Делимость (теория колец)

Концепция в математической теории колец

В математике понятие делителя изначально возникло в контексте арифметики целых чисел. С развитием абстрактных колец , архетипом которых являются целые числа , первоначальное понятие делителя нашло естественное расширение.

Делимость является полезным понятием для анализа структуры коммутативных колец из-за ее связи с идеальной структурой таких колец.

Определение

Пусть R — кольцо, ^[a] и пусть a и b — элементы R. Если существует элемент x в R с ax = b , говорят, что a является левым делителем b , а b — правым кратным a . ^[1] Аналогично, если существует элемент y в R с ya = b , говорят, что a является правым делителем b , а b — левым кратным a . Говорят, что a является двусторонним делителем b , если он является как левым делителем, так и правым делителем b ; x и y выше не обязаны быть равными.

Когда R коммутативен, понятия левого делителя, правого делителя и двустороннего делителя совпадают, поэтому говорят просто, что a является делителем b или что b является кратным a , и пишут . Элементы a и b области целостности являются ассоциированными , если и . Отношение ассоциированности является отношением эквивалентности на R , поэтому оно делит R на непересекающиеся классы эквивалентности . ${\displaystyle a\mid b}$ ${\displaystyle a\mid b}$ ${\displaystyle b\mid a}$

Примечание: Хотя эти определения имеют смысл для любой магмы , они используются в первую очередь, когда эта магма является мультипликативным моноидом кольца.

Характеристики

Утверждения о делимости в коммутативном кольце можно перевести в утверждения о главных идеалах . Например, ${\displaystyle R}$

• Выполняется тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle a\mid b}$ ${\displaystyle (b)\subseteq (a)}$
• Элементы a и b являются ассоциированными тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle (a)=(b)}$
• Элемент u является единицей тогда и только тогда, когда u является делителем каждого элемента R.
• Элемент u является единицей тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle (u)=R}$
• Если для некоторой единицы u , то a и b являются ассоциированными. Если R является областью целостности , то верно обратное. ${\displaystyle a=bu}$
• Пусть R — область целостности. Если элементы в R полностью упорядочены по делимости, то R называется кольцом оценки .

В приведенном выше выражении обозначает главный идеал, порожденный элементом . ${\displaystyle (a)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a}$

Ноль как делитель и делители нуля

• Если буквально интерпретировать определение делителя, то каждый a является делителем 0, поскольку можно взять x = 0. Из-за этого принято злоупотреблять терминологией, делая исключение для делителей нуля: элемент a в коммутативном кольце называют делителем нуля , если существует ненулевой x такой, что ax = 0. [ ^2]
• В некоторых текстах термин «делитель нуля» применяется к ненулевому элементу x , где множитель a дополнительно должен быть ненулевым, где x решает выражение ax = 0 , но такое определение является более сложным и не имеет некоторых из вышеперечисленных свойств.

Смотрите также

• Делитель – делимость целых чисел
• Многочлен § Делимость – делимость в многочленах
• Квазигруппа – в остальном обычная магма с делимостью
• Делитель нуля
• домен GCD

Примечания

1. В этой статье предполагается, что кольца имеют 1.

Цитаты

1. Бурбаки 1989, стр. 97
2. Бурбаки 1989, стр. 98

Ссылки

• Бурбаки, Н. (1989) [1970], Алгебра I, главы 1–3, Springer-Verlag , ISBN 9783540642435

В данной статье использованы материалы статьи Citizendium «Дельность (теория колец)», которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License , но не по лицензии GFDL .