В алгебре , деление кольца , также называемое телом (или, иногда, sfield [1] [2] ), является нетривиальным кольцом , в котором определено деление на ненулевые элементы. В частности, это нетривиальное кольцо [3], в котором каждый ненулевой элемент a имеет мультипликативное обратное , то есть элемент, обычно обозначаемый a –1 , такой что a a –1 = a –1 a = 1 . Таким образом, (правое) деление может быть определено как a / b = a b –1 , но эта запись избегается, так как можно иметь a b –1 ≠ b –1 a .
Коммутативное тело — это поле . Малая теорема Веддерберна утверждает, что все конечные тела являются коммутативными и, следовательно, конечными полями .
Исторически деления иногда назывались полями, в то время как поля назывались «коммутативными полями». [7] В некоторых языках, таких как французский , слово, эквивалентное «полю» («corps»), используется как для коммутативных, так и для некоммутативных случаев, и различие между этими двумя случаями проводится путем добавления уточнений, таких как «corps commutatif» (коммутативное поле) или «corps gauche» (косое поле).
Все тела простые . То есть они не имеют двустороннего идеала, кроме нулевого идеала и самого себя.
Все поля являются делениями, и каждое неполевое деление некоммутативно. Наиболее известным примером является кольцо кватернионов . Если допустить только рациональные коэффициенты вместо действительных в конструкциях кватернионов, то получится еще одно деление. В общем случае, если R — кольцо, а S — простой модуль над R, то по лемме Шура кольцо эндоморфизмов S является делением ; [ 8 ] каждое деление возникает таким образом из некоторого простого модуля.
Большая часть линейной алгебры может быть сформулирована и останется корректной для модулей над телом D вместо векторных пространств над полем. При этом необходимо указать, рассматриваются ли правые или левые модули, и необходимо соблюдать осторожность, чтобы правильно различать левое и правое в формулах. В частности, каждый модуль имеет базис , и можно использовать исключение Гаусса . Таким образом, все, что можно определить с помощью этих инструментов, работает на алгебрах деления. Матрицы и их произведения определяются аналогично. [ требуется ссылка ] Однако матрица, которая является обратимой слева, не обязательно должна быть обратимой справа, и если это так, ее правая обратная матрица может отличаться от ее левой обратной матрицы. (См. Обобщенная обратная матрица § Односторонняя обратная матрица .)
Определители не определены над некоммутативными алгебрами с делением, и все, что требует этой концепции, не может быть обобщено на некоммутативные алгебры с делением.
Работая в координатах, элементы конечномерного правого модуля могут быть представлены векторами-столбцами, которые можно умножать справа на скаляры, а слева на матрицы (представляющие линейные отображения); для элементов конечномерного левого модуля необходимо использовать векторы-строки, которые можно умножать слева на скаляры, а справа на матрицы. Двойственный к правому модулю модуль является левым, и наоборот. Транспонирование матрицы необходимо рассматривать как матрицу над противоположным делением D op для того, чтобы правило ( AB ) T = B T A T оставалось действительным.
Каждый модуль над телом свободен ; то есть он имеет базис, и все базы модуля имеют одинаковое число элементов . Линейные отображения между конечномерными модулями над телом можно описать матрицами ; тот факт, что линейные отображения по определению коммутируют со скалярным умножением, удобнее всего представить в обозначениях, записав их с противоположной стороны векторов, как скаляры. Алгоритм исключения Гаусса остается применимым. Ранг столбца матрицы — это размерность правого модуля, порожденного столбцами, а ранг строки — это размерность левого модуля, порожденного строками; то же доказательство, что и для случая векторного пространства, можно использовать, чтобы показать, что эти ранги одинаковы и определяют ранг матрицы.
Тела — единственные кольца , над которыми каждый модуль свободен: кольцо R является делением тогда и только тогда, когда каждый R -модуль свободен . [9]
Центр деления коммутативен и, следовательно, является полем. [10] Каждое деление, следовательно, является алгеброй с делением над своим центром. Тела можно грубо классифицировать в соответствии с тем, являются ли они конечномерными или бесконечномерными над своими центрами. Первые называются центрально конечными , а вторые центрально бесконечными . Каждое поле одномерно над своим центром. Кольцо гамильтоновых кватернионов образует четырехмерную алгебру над своим центром, которая изоморфна действительным числам.
Малая теорема Веддерберна : Все конечные тела коммутативны и, следовательно, являются конечными полями . ( Эрнст Витт дал простое доказательство.)
Теорема Фробениуса : Единственными конечномерными ассоциативными алгебрами с делением над действительными числами являются сами действительные числа, комплексные числа и кватернионы .
Кольца деления раньше назывались «полями». Во многих языках для колец деления используется слово, означающее «тело», в некоторых языках обозначающее либо коммутативные, либо некоммутативные кольца деления, в то время как в других языках обозначающее специально коммутативные кольца деления (то, что мы сейчас называем полями в английском языке). Более полное сравнение можно найти в статье о полях .
Название «skew field» имеет интересную семантическую особенность: модификатор (здесь «skew») расширяет область действия базового термина (здесь «field»). Таким образом, поле — это особый тип skew field, и не все skew fields являются полями.
Хотя предполагается, что обсуждаемые здесь кольца с делением и алгебры имеют ассоциативное умножение, неассоциативные алгебры с делением, такие как октонионы, также представляют интерес.
Ближнее поле — это алгебраическая структура, похожая на деление кольца, за исключением того, что она имеет только один из двух законов распределения .
