Малая теорема Веддерберна

Результат по алгебре

В математике малая теорема Веддерберна утверждает, что каждое конечное деление является полем . Другими словами, для конечных колец нет различия между областями , делениями и полями.

Теорема Артина–Цорна обобщает теорему на альтернативные кольца : каждое конечное альтернативное тело является полем. ^[1]

История

Первоначальное доказательство было дано Джозефом Уэддерберном в 1905 году ^[2] , который затем доказал теорему двумя другими способами. Другое доказательство было дано Леонардом Юджином Диксоном вскоре после первоначального доказательства Уэддерберна, и Диксон признал приоритет Уэддерберна. Однако, как отмечено в (Parshall 1983), первое доказательство Уэддерберна было неверным — в нем был пробел — и его последующие доказательства появились только после того, как он прочитал правильное доказательство Диксона. На этом основании Паршалл утверждает, что Диксону следует приписать первое правильное доказательство.

Упрощенная версия доказательства была позже дана Эрнстом Виттом . ^[2] Доказательство Витта представлено ниже. С другой стороны, теорема является следствием теоремы Скулема–Нётер с помощью следующего аргумента. ^[3] Пусть — конечная алгебра с делением с центром . Пусть и обозначают мощность . Каждое максимальное подполе из имеет элементы; поэтому они изоморфны и, таким образом, сопряжены по Скулему–Нётер. Но конечная группа (мультипликативная группа из в нашем случае) не может быть объединением сопряженных элементов собственной подгруппы; следовательно, . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle [D:k]=n^{2}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle q^{n}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle n=1}$

Более позднее « теоретико-групповое » доказательство было дано Тедом Качинским в 1964 году. ^[4] Это доказательство, первое опубликованное математическое сочинение Качинского, представляло собой короткую двухстраничную заметку, в которой также признавались более ранние исторические доказательства.

Связь с группой Брауэра конечного поля

Теорема по сути эквивалентна утверждению, что группа Брауэра конечного поля тривиальна. Фактически, эта характеристика немедленно дает доказательство теоремы следующим образом: пусть K — конечное поле. Поскольку частное Эрбрана обращается в нуль по конечности, совпадает с , которое, в свою очередь, обращается в нуль по Гильберту 90 . ${\displaystyle \operatorname {Br} (K)=H^{2}(K^{\text{al}}/K)}$ ${\displaystyle H^{1}(K^{\text{al}}/K)}$

Тривиальность группы Брауэра также может быть получена прямым вычислением следующим образом. Пусть и пусть будет конечным расширением степени так, что Тогда будет циклической группой порядка и стандартный метод вычисления когомологий конечных циклических групп показывает, что где отображение нормы задается как Принимая в качестве генератора циклической группы, мы находим, что имеет порядок и, следовательно, должен быть генератором . Это подразумевает, что является сюръективным, и, следовательно , тривиальным. ${\displaystyle |K|=q,}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle |L|=q^{n}.}$ ${\displaystyle \mathrm {Gal} (L/K)}$ ${\displaystyle n,}$ $${\displaystyle H^{2}(L/K)=K^{\times }/N_{L/K}(L^{\times }),}$$ ${\displaystyle N_{L/K}:L^{\times }\to K^{\times }}$ $${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )=\prod _{\sigma \in \mathrm {Gal} (L/K)}\sigma (\alpha )=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdot \alpha ^{q^{2}}\cdots \alpha ^{q^{n-1}}=\alpha ^{\frac {q^{n}-1}{q-1}}.}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L^{\times },}$ ${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )}$ ${\displaystyle q-1,}$ ${\displaystyle K^{\times }}$ ${\displaystyle N_{L/K}}$ ${\displaystyle H^{2}(L/K)}$

Доказательство

Пусть A — конечная область. Для каждого ненулевого x в A эти два отображения

${\displaystyle a\mapsto ax,a\mapsto xa:A\to A}$

инъективны по свойству сокращения и, таким образом, сюръективны по подсчету. Из элементарной теории групп ^[5] следует , что ненулевые элементы образуют группу относительно умножения. Таким образом, является телом . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Чтобы доказать, что каждое конечное тело является полем, мы используем сильную индукцию по размеру тела. Таким образом, пусть будет телом, и предположим, что все тела, которые являются собственными подмножествами, являются полями. Поскольку центр является полем, является векторным пространством над с конечной размерностью . Наша цель состоит в том, чтобы показать . Если является порядком , то имеет порядок . Обратите внимание, что поскольку содержит различные элементы и , . Для каждого из , который не находится в центре, централизатор явно является телом и, таким образом, полем, по предположению индукции, и поскольку может рассматриваться как векторное пространство над и может рассматриваться как векторное пространство над , мы имеем , который имеет порядок , где делится и меньше . Рассматривая , , и как группы при умножении, мы можем записать уравнение класса ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Z(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Z(A)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Z(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {q}^{n}}$ ${\displaystyle Z(A)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle q>1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {Z}_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {Z}_{x}}$ ${\displaystyle Z(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {Z}_{x}}$ ${\displaystyle {Z}_{x}}$ ${\displaystyle {q}^{d}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {Z(A)}^{*}}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle {Z}_{x}^{*}}$

${\displaystyle q^{n}-1=q-1+\sum {q^{n}-1 \over q^{d}-1}}$

где сумма берется по классам сопряженности, не содержащимся в , и определены так, что для каждого класса сопряженности порядок для любого в классе равен . и оба допускают полиномиальную факторизацию в терминах циклотомических полиномов ${\displaystyle {Z(A)}^{*}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {Z}_{x}^{*}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {q}^{d}-1}$ ${\displaystyle {q}^{n}-1}$ ${\displaystyle q^{d}-1}$

${\displaystyle \Phi _{f}(q).}$

Циклотомические многочлены на находятся в и соблюдают следующие тождества: ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$

${\displaystyle x^{n}-1=\prod _{m|n}\Phi _{m}(x)}$и . ${\displaystyle x^{d}-1=\prod _{m|d}\Phi _{m}(x)}$

Поскольку каждый из них является собственным делителем , ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$делит оба и каждый на , ${\displaystyle {x}^{n}-1}$ ${\displaystyle {x^{n}-1 \over x^{d}-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$

поэтому по приведенному выше уравнению класса необходимо разделить , и, следовательно, принимая нормы ${\displaystyle \Phi _{n}(q)}$ ${\displaystyle q-1}$

${\displaystyle |\Phi _{n}(q)|\leq q-1}$.

Чтобы увидеть, что это заставляет быть , мы покажем ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle |\Phi _{n}(q)|>q-1}$

для использования факторизации по комплексным числам. В полиномиальном тождестве ${\displaystyle n>1}$

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod (x-\zeta ),}$

где пробегает примитивные корни -й степени из единицы, устанавливается равным и затем принимает абсолютные значения ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle |\Phi _{n}(q)|=\prod |q-\zeta |.}$

Для , мы видим, что для каждого примитивного корня -й степени из единицы , ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle |q-\zeta |>|q-1|}$

из-за расположения , , и в комплексной плоскости. Таким образом ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle |\Phi _{n}(q)|>q-1.}$

Примечания

1. Шульт, Эрнест Э. (2011). Точки и линии. Характеристика классических геометрий . Universitext. Берлин: Springer-Verlag . С. 123. ISBN 978-3-642-15626-7. Збл  1213.51001.
2. Lam (2001), стр. 204
3. Теорема 4.1 в гл. IV Милна, теория полей классов, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/cft.html
4. Kaczynski, TJ (июнь–июль 1964 г.). «Еще одно доказательство теоремы Веддерберна». American Mathematical Monthly . 71 (6): 652–653. doi :10.2307/2312328. JSTOR  2312328.(Ссылка Jstor, требуется вход в систему)
5. например, Упражнение 1-9 в Милне, теория групп, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/GT.pdf

Ссылки

• Паршалл, КХ (1983). «В поисках теоремы о конечном делении алгебры и за ее пределами: Джозеф Х. М. Веддерберн, Леонард Диксон и Освальд Веблен». Архивы международной истории науки . 33 : 274–99.
• Лам, Цит-Юэн (2001). Первый курс по некоммутативным кольцам . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 131 (2 ed.). Springer. ISBN 0-387-95183-0.

Внешние ссылки

• Доказательство теоремы Веддерберна на Planet Math
• Доказательство системы Mizar : http://mizar.org/version/current/html/weddwitt.html#T38