stringtranslate.com

Коэффициент Эрбрана

В математике частное Эрбрана — это частное порядков групп когомологий циклической группы . Оно было изобретено Жаком Эрбраном . Оно имеет важное применение в теории полей классов .

Определение

Если G — конечная циклическая группа, действующая на G -модуле A , то группы когомологий H n ( G , A ) имеют период 2 для n ≥1; другими словами

Нn ( Г , А ) = Нn + 2 ( Г , А ) ,

изоморфизм , индуцированный произведением кубков с генератором H 2 ( G , Z ). (Если вместо этого мы используем группы когомологий Тейта , то периодичность распространяется вплоть до n = 0.)

Модуль Эрбрана — это A , для которого группы когомологий конечны. В этом случае фактор Эрбрана h ( G , A ) определяется как фактор

h ( Г , А ) = | Н 2 ( Г , А )|/| Н 1 ( Г , А )|

порядка четных и нечетных групп когомологий.

Альтернативное определение

Фактор может быть определен для пары эндоморфизмов абелевой группы f и g , которые удовлетворяют условию fg = gf = 0. Их фактор Эрбрана q ( f , g ) определяется как

если два индекса конечны. Если G — циклическая группа с генератором γ, действующим на абелеву группу A , то мы восстанавливаем предыдущее определение, взяв f = 1 - γ и g = 1 + γ + γ 2 + ... .

Характеристики

0 → А → Б → В → 0

является точным, и любые два из частных определены, то так же определен и третий и [2]

ч ( Г , В ) = ч ( Г , А ) ч ( Г , С )

Эти свойства означают, что частное Эрбрана обычно вычисляется относительно легко, и часто его гораздо легче вычислить, чем порядки любой из отдельных групп когомологий.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ ab Cohen (2007) стр.245
  2. ^ abc Serre (1979) стр.134

Ссылки