Центратор и нормализатор

В математике , особенно в теории групп , централизатор (также называемый коммутантом ^[1]^[2] ) подмножества S в группе G — это набор элементов G , которые коммутируют с каждым элементом S , или, что то же самое, такие, что сопряжение с помощью оставляет каждый элемент S фиксированным. Нормализатор S в G — это набор элементов G , которые удовлетворяют более слабому условию сохранения множества фиксированным при сопряжении. Централизатор и нормализатор группы S являются подгруппами группы G. Многие методы теории групп основаны на изучении централизаторов и нормализаторов подходящих подмножеств S. $\operatorname {C} _{G}(S)$ $г$ $\mathrm {N} _{G}(S)$ $S\subseteq G$

При соответствующей формулировке определения применимы и к полугруппам .

В теории колец централизатор подмножества кольца определяется относительно полугрупповой операции (умножения) кольца. Централизатор подмножества кольца R является подкольцом кольца R . В этой статье также рассматриваются централизаторы и нормализаторы в алгебре Ли .

Идеализатор в полугруппе или кольце — это еще одна конструкция, построенная в том же духе , что и централизатор и нормализатор.

Определения

Группа и полугруппа

Централизатор подмножества S группы (или полугруппы) G определяется как ^[3]

\mathrm {C} _{G}(S)=\left\{g\in G\mid gs=sg{\text{для всех}}s\in S\right\}=\left\{ g\in G\mid gsg^{-1}=s{\text{ for all }}s\in S\right\},

где к полугруппам применимо только первое определение. Если нет никакой двусмысленности в отношении рассматриваемой группы, букву G можно исключить из обозначения. Когда S = { a } является одноэлементным множеством, мы пишем C _G ( a ) вместо C _G ({ a }). Другое менее распространенное обозначение централизатора — Z( a ), которое аналогично обозначению центра . С этим последним обозначением нужно быть осторожным, чтобы избежать путаницы между центром группы G , Z( G ), и централизатором элемента g в G , Z( g ).

Нормализатор S в группе (или полугруппе) G определяется как

\mathrm {N} _{G}(S)=\left\{g\in G\mid gS=Sg\right\} =\left\{g\in G\mid gSg^{-1} =S\вправо\},

где опять же к полугруппам применимо только первое определение. Если набор является подгруппой , то нормализатор - это наибольшая подгруппа, где - нормальная подгруппа . Определения централизатора и нормализатора схожи, но не идентичны. Если g находится в централизаторе S , а s находится в S , то должно быть, что gs = sg , но если g находится в нормализаторе, то gs = tg для некоторого t в S , причем t , возможно, отличается от s . То есть элементы централизатора S должны поточечно коммутировать с S , но элементы нормализатора S должны коммутировать только с S как с множеством . Те же соглашения об обозначениях, упомянутые выше для централизаторов, также применимы и к нормализаторам. Нормализатор не следует путать с нормальным замыканием . $S$ $G$ $N_{G}(S)$ $G'\subseteq G$ $S$ $G'$

Очевидно, что и обе являются подгруппами . $C_{G}(S)\subseteq N_{G}(S)$ $G$

Кольцо, алгебра над полем, кольцо Ли и алгебра Ли

Если R — кольцо или алгебра над полем , а S — подмножество R , то централизатор S точно такой, как определено для групп, с R вместо G.

Если это алгебра Ли (или кольцо Ли ) с произведением Ли [ x , y ], то централизатор подмножества S определяется как ^[4] ${\mathfrak {L}}$ ${\mathfrak {L}}$

\mathrm {C} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]=0{\text{ for all }}s\in S\}.

Определение централизаторов колец Ли связано с определением колец следующим образом. Если R — ассоциативное кольцо, то R можно задать скобочное произведение [ x , y ] = xy − yx . Конечно, тогда xy = yx тогда и только тогда, когда [ x , y ] = 0 . Если мы обозначим множество R со скобочным произведением как L _R , то очевидно, что кольцевой централизатор S в R равен кольцевому централизатору Ли S в L _R .

Нормализатор подмножества S алгебры Ли (или кольца Ли) определяется формулой ^[4] ${\mathfrak {L}}$

\mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]\in S{\text{ for all }}s\in S\}.

Хотя это стандартное использование термина «нормализатор» в алгебре Ли, на самом деле эта конструкция является идеализатором множества S в . Если S — аддитивная подгруппа группы , то — наибольшее подкольцо Ли (или подалгебра Ли, в зависимости от обстоятельств), в которой S — идеал Ли . ^[5] ${\mathfrak {L}}$ ${\mathfrak {L}}$ $\mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)$

Пример

Рассмотрим группу

G=S_{3}=\{[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]\}

(симметричная группа перестановок трех элементов).

Возьмем подмножество H группы G:

H=\{[1,2,3],[1,3,2]\}.

Обратите внимание, что [1, 2, 3] — это тождественная перестановка в G, сохраняющая порядок каждого элемента, а [1, 3, 2] — это перестановка, которая фиксирует первый элемент и меняет местами второй и третий элементы.

Нормализатором H относительно группы G являются все элементы G, которые дают набор H (потенциально перестановочный) при применении групповой операции. Разработка примера для каждого элемента G:

[1,2,3]

при применении к H => ; следовательно, [1, 2, 3] находится в нормализаторе (H) относительно G.

\{[1,2,3],[1,3,2]\}=H

[1,3,2]

при применении к H => ; следовательно, [1, 3, 2] находится в нормализаторе (H) относительно G.

\{[1,3,2],[1,2,3]\}=H

[2,1,3]

при применении к H => ; следовательно, [2, 1, 3] не входит в нормализатор (H) относительно G.

\{[2,1,3],[3,1,2]\}!=H

[2,3,1]

при применении к H => ; следовательно, [2, 3, 1] не входит в нормализатор (H) относительно G.

\{[2,3,1],[3,2,1]\}!=H

[3,1,2]

при применении к H => ; следовательно, [3, 1, 2] не входит в нормализатор (H) относительно G.

\{[3,1,2],[2,1,3]\}!=H

[3,2,1]

при применении к H => ; следовательно, [3, 2, 2] не входит в нормализатор (H) относительно G.

\{[3,2,1],[2,3,1]\}!=H

Следовательно, нормализатор (H) по отношению к G заключается в том, что оба этих элемента группы сохраняют множество H. $\{[1,2,3],[1,3,2]\}$

Группа считается простой, если нормализатором по отношению к подмножеству всегда является единица и она сама. Здесь ясно, что S ₃ — непростая группа.

Централизатор группы G — это множество элементов, оставляющих неизменным каждый элемент группы H. Понятно, что единственным таким элементом в S3 _{является} единица [1, 2, 3].

Характеристики

Полугруппы

Обозначим через централизатор в полугруппе ; т.е. тогда образует подполугруппу и ; т.е. коммутант является своим собственным бикоммутантом . $S'$ $S$ $A$ $S'=\{x\in A\mid sx=xs{\text{ for every }}s\in S\}.$ $S'$ $S'=S'''=S'''''$

Группы

Источник: ^[6]

Централизатор и нормализатор группы S являются подгруппами группы G.
Очевидно, _CG ( S ) ⊆ _NG ( S ) . Фактически, _CG ( S ) всегда является нормальной подгруппой в NG ₍ S ) _, являясь ядром гомоморфизма NG ( S ) → Bij( S ) и группы NG ₍ S ) / _CG ( S ) действует сопряжением как группа биекций на S . Например, группа Вейля компактной группы Ли G с тором T определяется как W ( G , T ) = NG ₍ T ) /C _G ( T ) , и особенно, если тор максимальный (т. е. C _G ( T ) = T ) это центральный инструмент теории групп Ли.
CG ( _CG₍ S ) ) содержит S , но CG ₍ S ) не обязательно содержит S. Удержание происходит именно тогда, когда S абелева.
Если H — подгруппа группы G , то NG ₍ H ) содержит H.
Если H — подгруппа группы G , то наибольшая подгруппа группы G , в которой H нормальна, — это подгруппа NG ₍ H).
Если S — подмножество G такое, что все элементы S коммутируют друг с другом, то наибольшая подгруппа G , центр которой содержит S, — это подгруппа C _G (S).
Подгруппа H группы G называетсясамонормализующаяся подгруппа группыG,еслиN_G ( H ) = H .
Центр группы G — это в точности CG ₍ G), и _G — абелева группа тогда и только тогда, когда CG ( G) = Z( G ) = G.
Для одноэлементных наборов C _G ( a ) = _NG ( a ) .
По симметрии, если S и T — два подмножества G , T ⊆ _CG ( S ) тогда и только тогда, когда S ⊆ _CG ( T ) .
Для подгруппы H группы G теорема N/C утверждает, что фактор -группа NG ( _H ) /C _G ( H ) изоморфна подгруппе Aut( H ), группе автоморфизмов H. Поскольку NG ( _G ) = G и CG ( G ) = Z( G ) _, из теоремы N/C также следует, что G /Z( G ) изоморфна Inn( G ), подгруппе Aut( G ), состоящей из всех внутренних автоморфизмов G .
Если мы определим групповой гомоморфизм T : G → Inn( G ) как T ( x ) ( g ) = T _x ( g ) = xgx ⁻¹ , то мы можем описать N _G ( S ) и C _G ( S ) в терминах группового действия Inn( G ) на G : стабилизатор S в Inn( G ) есть T (NG ₍ S ) ), а подгруппа Inn( G ), фиксирующая S поточечно, есть T ( _CG ( S ) ).
Подгруппа H группы G называется C-замкнутой или самобикоммутантной, если H = C _G ( S ) для некоторого подмножества S ⊆ G . Если это так, то на самом деле H = C _G (C _G ( H )) .

Кольца и алгебры над полем

Источник: ^[4]

Централизаторами в кольцах и в алгебрах над полем являются подкольца и подалгебры над полем соответственно; Централизаторами в кольцах Ли и в алгебрах Ли являются подкольца и подалгебры Ли соответственно.
Нормализатор S в кольце Ли содержит централизатор S .
CR (CR ₍ S ) ) содержит S _, но не обязательно равен. Теорема о двойном централизаторе касается ситуаций, когда имеет место равенство.
Если S — аддитивная подгруппа кольца Ли A , то NA ₍ S ) — наибольшее подкольцо Ли кольца A , в котором S — идеал Ли.
Если S — подкольцо Ли кольца Ли A , то S ⊆ _NA ( S ) .

Смотрите также

Примечания

^ Кевин О'Мира; Джон Кларк; Чарльз Винсонхалер (2011). Продвинутые темы линейной алгебры: переплетение матричных задач через форму Вейра. Издательство Оксфордского университета . п. 65. ИСБН 978-0-19-979373-0.
^ Карл Генрих Хофманн; Сидни А. Моррис (2007). Теория Ли связных пролиевских групп: теория структуры для пролиевых алгебр, пролиевых групп и связных локально компактных групп. Европейское математическое общество . п. 30. ISBN 978-3-03719-032-6.
^ Джейкобсон (2009), с. 41
^ abc Jacobson 1979, с. 28.
^ Джейкобсон 1979, с. 57.
^ Айзекс 2009, главы 1–3.