Нулевое кольцо

Уникальное кольцо, состоящее из одного элемента

В теории колец , разделе математики , нулевое кольцо ^{[1] [2] [3] [4] [5]} или тривиальное кольцо — это единственное кольцо (с точностью до изоморфизма ), состоящее из одного элемента. (Реже термин «нулевое кольцо» используется для обозначения любого rng ​​квадратного нуля , т. е. rng , в котором xy = 0 для всех x и y . В этой статье говорится о кольце из одного элемента.)

В категории колец нулевое кольцо является конечным объектом , тогда как кольцо целых чисел Z является начальным объектом .

Определение

Нулевое кольцо, обозначаемое {0} или просто 0 , состоит из одноэлементного множества {0} с операциями + и ·, определенными таким образом, что 0 + 0 = 0 и 0 · 0 = 0.

Характеристики

• Нулевое кольцо — это единственное кольцо, в котором аддитивное тождество 0 и мультипликативное тождество 1 совпадают. ^{[1] [6]} (Доказательство: Если 1 = 0 в кольце R , то для всех r из R имеем r = 1 r = 0 r = 0. Доказательство последнего равенства можно найти здесь.)
• Нулевое кольцо коммутативно.
• Элемент 0 в нулевом кольце является единицей , служащей своей собственной мультипликативной инверсией .
• Группа единиц нулевого кольца — это тривиальная группа {0}.
• Элемент 0 в нулевом кольце не является делителем нуля .
• Единственный идеал в нулевом кольце — это нулевой идеал {0}, который также является единичным идеалом, равным всему кольцу. Этот идеал не является ни максимальным , ни простым .
• Нулевое кольцо обычно исключается из полей , хотя иногда его называют тривиальным полем . Исключение его согласуется с тем фактом, что его нулевой идеал не является максимальным. (Когда математики говорят о « поле с одним элементом », они имеют в виду несуществующий объект, и их намерение состоит в том, чтобы определить категорию, которая была бы категорией схем над этим объектом, если бы он существовал.)
• Нулевое кольцо обычно исключается из целостных доменов . ^[7] Считается ли нулевое кольцо доменом вообще , является вопросом соглашения, но есть два преимущества в том, чтобы не считать его доменом. Во-первых, это согласуется с определением, что домен — это кольцо, в котором 0 является единственным делителем нуля (в частности, 0 требуется, чтобы быть делителем нуля, что не выполняется в нулевом кольце). Во-вторых, таким образом, для положительного целого числа n кольцо Z / n Z является доменом тогда и только тогда, когда n является простым числом, но 1 не является простым числом.
• Для каждого кольца A существует единственный гомоморфизм колец из A в нулевое кольцо. Таким образом, нулевое кольцо является конечным объектом в категории колец . ^[8]
• Если A — ненулевое кольцо, то не существует гомоморфизма колец из нулевого кольца в A. В частности, нулевое кольцо не является подкольцом никакого ненулевого кольца. ^[8]
• Нулевое кольцо — это уникальное кольцо характеристики 1.
• Единственный модуль для нулевого кольца — нулевой модуль. Он свободен от ранга א для любого кардинального числа א.
• Нулевое кольцо не является локальным кольцом . Однако оно является полулокальным кольцом .
• Нулевое кольцо является артиновым и (следовательно) нётеровым .
• Спектр нулевого кольца — пустая схема . [ ^8]
• Размерность Крулля нулевого кольца равна −∞.
• Нулевое кольцо полупростое , но не простое .
• Нулевое кольцо не является центральной простой алгеброй ни над каким полем.
• Полное фактор-кольцо нулевого кольца равно ему самому.

Конструкции

• Для любого кольца A и идеала I кольца A частное A / I является нулевым кольцом тогда и только тогда, когда I = A , т.е. тогда и только тогда, когда I является единичным идеалом .
• Для любого коммутативного кольца A и мультипликативного множества S в A локализация S ⁻¹ A является нулевым кольцом тогда и только тогда, когда S содержит .
• Если A — любое кольцо, то кольцо M ₀ ( A ) матриц размера 0 × 0 над A является нулевым кольцом.
• Прямым произведением пустого набора колец является нулевое кольцо.
• Кольцо эндоморфизмов тривиальной группы является нулевым кольцом.
• Кольцо непрерывных действительных функций на пустом топологическом пространстве является нулевым кольцом.

Цитаты

1. Артин 1991, стр. 347
2. Атья и Макдональд 1969, стр. 1
3. Bosch 2012, стр. 10
4. Бурбаки, стр. 101
5. Лэм 2003, стр. 1
6. Ланг 2002, стр. 83
7. Лэм 2003, стр. 3
8. Hartshorne 1977, стр. 80

Ссылки

• Артин, Майкл (1991), Алгебра , Prentice-Hall
• Атья, М.Ф.; Макдональд , И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Эддисон-Уэсли
• Bosch, Siegfried (2012), Алгебраическая геометрия и коммутативная алгебра , Springer
• Бурбаки, Н. , Алгебра I, Главы 1–3
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Springer
• Лэм, TY (2003), Упражнения по классической теории колец , Springer
• Ланг, Серж (2002), Алгебра (3-е изд.), Springer