Полупростой модуль

Прямая сумма неприводимых модулей

В математике , особенно в области абстрактной алгебры , известной как теория модулей , полупростой модуль или полностью приводимый модуль — это тип модуля, который можно легко понять из его частей. Кольцо , которое является полупростым модулем над собой, известно как артиново полупростое кольцо . Некоторые важные кольца, такие как групповые кольца конечных групп над полями нулевой характеристики , являются полупростыми кольцами. Артиново кольцо изначально понимается через его наибольшее полупростое частное. Структура артиновых полупростых колец хорошо понятна с помощью теоремы Артина–Веддерберна , которая показывает эти кольца как конечные прямые произведения матричных колец .

Аналог того же понятия в теории групп см. в разделе Полупростое представление .

Определение

Модуль над ( не обязательно коммутативным) кольцом называется полупростым (или полностью приводимым ), если он является прямой суммой простых ( неприводимых) подмодулей.

Для модуля M следующие условия эквивалентны:

1. M является полупростым, т. е. представляет собой прямую сумму неприводимых модулей.
2. M — сумма его неприводимых подмодулей.
3. Каждый подмодуль M является прямым слагаемым : для каждого подмодуля N модуля M существует дополнение P такое , что M = N ⊕ P.

Доказательство эквивалентностей см. в разделе Полупростое представление § Эквивалентные характеризации .

Самый простой пример полупростого модуля — модуль над полем, т. е. векторным пространством . С другой стороны, кольцо Z целых чисел не является полупростым модулем над собой, поскольку подмодуль 2 Z не является прямым слагаемым.

Полупростой модуль сильнее полностью разложимого , который является прямой суммой неразложимых подмодулей .

Пусть A — алгебра над полем K. Тогда левый модуль M над A называется абсолютно полупростым , если для любого расширения поля F поля K , F ⊗ _K M — полупростой модуль над F ⊗ _K A.

Характеристики

• Если M полупрост, а N — подмодуль , то N и M / N также полупросты.
• Произвольная прямая сумма полупростых модулей является полупростой.
• Модуль M конечно порождён и полупрост тогда и только тогда, когда он артинов и его радикал равен нулю.

Кольца эндоморфизма

• Полупростой модуль M над кольцом R можно также рассматривать как гомоморфизм колец из R в кольцо эндоморфизмов абелевых групп M. Образ этого гомоморфизма — полупримитивное кольцо , и каждое полупримитивное кольцо изоморфно такому образу.
• Кольцо эндоморфизмов полупростого модуля не только полупримитивно, но и регулярно по фон Нейману . ^[1]

Полупростые кольца

Кольцо называется (лево-) полупростым, если оно полупросто как левый модуль над собой. ^[2] Удивительно, но лево-полупростое кольцо также является право-полупростым и наоборот. Поэтому различие левое/правое необязательно, и можно говорить о полупростых кольцах без двусмысленности.

Полупростое кольцо можно охарактеризовать в терминах гомологической алгебры : а именно, кольцо R является полупростым тогда и только тогда, когда любая короткая точная последовательность левых (или правых) R -модулей расщепляется. То есть, для короткой точной последовательности

${\displaystyle 0\to A\xrightarrow {f} B\xrightarrow {g} C\to 0}$

существует s  : C → B такой, что композиция g ∘ s  : C → C является тождеством. Отображение s известно как сечение. Из этого следует, что

${\displaystyle B\cong A\oplus C}$

или более точно

${\displaystyle B\cong f(A)\oplus s(C).}$

В частности, любой модуль над полупростым кольцом инъективен и проективен . Поскольку «проективный» подразумевает «плоский», полупростое кольцо является регулярным кольцом фон Неймана .

Полупростые кольца представляют особый интерес для алгебраистов. Например, если базовое кольцо R полупростое, то все R -модули автоматически будут полупростыми. Более того, каждый простой (левый) R -модуль изоморфен минимальному левому идеалу кольца R , то есть R является левым кольцом Каша .

Полупростые кольца являются как артиновыми , так и нётеровыми . Из приведенных выше свойств следует, что кольцо является полупростым тогда и только тогда, когда оно артиново и его радикал Джекобсона равен нулю.

Если артиново полупростое кольцо содержит поле в качестве центрального подкольца , оно называется полупростой алгеброй .

Примеры

• Для коммутативного кольца следующие четыре свойства эквивалентны: быть полупростым кольцом ; быть артиновым и приведенным ; ^[3] быть приведенным нётеровым кольцом размерности Крулля 0; и быть изоморфным конечному прямому произведению полей.
• Если K — поле, а G — конечная группа порядка n , то групповое кольцо K [ G ] полупросто тогда и только тогда, когда характеристика K не делит n . Это теорема Машке , важный результат в теории представлений групп .
• По теореме Веддерберна–Артина унитальное кольцо R является полупростым тогда и только тогда, когда оно (изоморфно) M _{n 1} ( D ₁ ) × M _{n 2} ( D ₂ ) × ... × M _{n r} ( D _r ) , где каждое D _i является телом , а каждое n _i является положительным целым числом, а M _n ( D ) обозначает кольцо матриц размера n на n с элементами в D .
• Примером полупростого неунитального кольца является M _∞ ( K ), бесконечная матрица с конечными строками и столбцами над полем K .

Простые кольца

Следует помнить, что, несмотря на терминологию, не все простые кольца являются полупростыми . Проблема в том, что кольцо может быть "слишком большим", то есть не (лево/право) артиновым. Фактически, если R — простое кольцо с минимальным левым/правым идеалом, то R полупросто.

Классическими примерами простых, но не полупростых колец являются алгебры Вейля , такие как Q -алгебра

${\displaystyle A=\mathbf {Q} {\langle x,y\rangle }/\langle xy-yx-1\rangle \ ,}$

которая является простой некоммутативной областью . Эти и многие другие прекрасные примеры более подробно обсуждаются в нескольких текстах по некоммутативной теории колец, включая главу 3 текста Лэма, в которой они описаны как неартиновы простые кольца. Теория модулей для алгебр Вейля хорошо изучена и существенно отличается от теории полупростых колец.

Якобсон полупростой

Кольцо называется полупростым Джекобсоном (или J-полупростым или полупримитивным ), если пересечение максимальных левых идеалов равно нулю, то есть если радикал Джекобсона равен нулю. Каждое кольцо, которое полупросто как модуль над собой, имеет нулевой радикал Джекобсона, но не каждое кольцо с нулевым радикалом Джекобсона полупросто как модуль над собой. J-полупростое кольцо является полупростым тогда и только тогда, когда оно является артиновым кольцом , поэтому полупростые кольца часто называют артиновыми полупростыми кольцами, чтобы избежать путаницы.

Например, кольцо целых чисел Z является J-полупростым, но не артиновым полупростым.

Смотрите также

• Цоколь
• Полупростая алгебра

Цитаты

1. Лэм 2001, стр. 62
2. Сенгупта 2012, стр. 125
3. Бурбаки 2012, стр. 133, VIII

Ссылки

• Бурбаки, Николя (2012), Algebre Ch. 8 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-35315-7
• Якобсон, Натан (1989), Основы алгебры II (2-е изд.), WH Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5
• Лам, Цит-Юэн (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам , Graduate Texts in Mathematics , т. 131 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 978-0-387-95325-0, г-н  1838439
• Ланг, Серж (2002), Алгебра (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0387953854
• Пирс, Р.С. (1982), Ассоциативные алгебры , Graduate Texts in Mathematics , Springer-Verlag , ISBN 978-1-4757-0165-4
• Сенгупта, Амбар (2012). «Индуцированные представления». Представление конечных групп: полупростое введение . Нью-Йорк. С. 235–248. doi :10.1007/978-1-4614-1231-1_8. ISBN 9781461412311. OCLC  769756134.{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )