Цоколь (математика)

В математике термин «цоколь» имеет несколько связанных значений.

Цоколь группы

В контексте теории групп цоколь группы G , обозначаемый soc( G ), — это подгруппа , порождённая минимальными нормальными подгруппами группы G . Может случиться, что группа не имеет минимальной нетривиальной нормальной подгруппы (то есть каждая нетривиальная нормальная подгруппа собственно содержит другую такую ​​подгруппу), и в этом случае цоколь определяется как подгруппа, порождённая тождеством. Цоколь — это прямое произведение минимальных нормальных подгрупп. ^[1]

В качестве примера рассмотрим циклическую группу Z ₁₂ с генератором u , которая имеет две минимальные нормальные подгруппы, одна из которых порождена u ⁴ (что дает нормальную подгруппу с 3 элементами), а другая — u ⁶ (что дает нормальную подгруппу с 2 элементами). Таким образом, цоколем Z ₁₂ является группа, порожденная u ⁴ и u ⁶ , которая является просто группой, порожденной u ² .

Цоколь является характеристической подгруппой , и, следовательно, нормальной подгруппой. Однако она не обязательно транзитивно нормальна .

Если группа G является конечной разрешимой группой , то цоколь можно выразить как произведение элементарных абелевых p -групп . Таким образом, в этом случае это просто произведение копий Z / p Z для различных p , где одно и то же p может встречаться в произведении несколько раз.

Цоколь модуля

В контексте теории модулей и теории колец цоколь модуля M над кольцом R определяется как сумма минимальных ненулевых подмодулей M. Его можно рассматривать как двойственное понятие к понятию радикала модуля . В обозначениях множеств ,

${\displaystyle \mathrm {soc} (M)=\sum _{N{\text{ is a simple submodule of }}M}N.}$

Эквивалентно,

${\displaystyle \mathrm {soc} (M)=\bigcap _{E{\text{ is an essential submodule of }}M}E.}$

Цоколь кольца R может ссылаться на одно из двух множеств в кольце. Рассматривая R как правый R -модуль, определяется soc( R _R ), а рассматривая R как левый R -модуль, определяется soc( _R R ). Оба этих цоколя являются кольцевыми идеалами , и известно, что они не обязательно равны.

• Если M — артинов модуль , то soc( M ) сам по себе является существенным подмодулем M .

Фактически, если M — полуартинов модуль , то soc( M ) сам по себе является существенным подмодулем M . Кроме того, если M — ненулевой модуль над левым полуартиновым кольцом, то soc( M ) сам по себе является существенным подмодулем M . Это происходит потому , что любой ненулевой модуль над левым полуартиновым кольцом является полуартиновым модулем.

• Модуль полупрост тогда и только тогда, когда soc( M ) =  M. Кольца, для которых soc( M ) =  M для всех M, являются в точности полупростыми кольцами .
• соц(соц( М )) = соц( М ).
• M является конечно копорождённым модулем тогда и только тогда, когда soc( M ) конечно порождён и soc( M ) является существенным подмодулем M .
• Поскольку сумма полупростых модулей является полупростой, цоколь модуля можно также определить как единственный максимальный полупростой подмодуль.
• Из определения rad( R ) легко видеть, что rad( R ) аннулирует soc( R ). Если R — конечномерная унитальная алгебра , а M — конечно порождённый R -модуль, то цоколь состоит в точности из элементов, аннулируемых радикалом Джекобсона R . ^[2]

Цоколь алгебры Ли

В контексте алгебр Ли цоколем симметричной алгебры Ли называется собственное пространство ее структурного автоморфизма , которое соответствует собственному значению  −1. (Симметричная алгебра Ли разлагается в прямую сумму своего цоколя и косоцоколя .) ^[3]

Смотрите также

• Инъекционная оболочка
• Радикал модуля
• Косокл

Ссылки

1. Робинсон 1996, стр.87.
2. JL Alperin ; Rowen B. Bell, Группы и представления , 1995, ISBN  0-387-94526-1 , стр. 136
3. Михаил Постников , Геометрия VI: Риманова геометрия , 2001, ISBN 3540411089 , стр. 98 

• Альперин, JL ; Белл, Роуэн Б. (1995). Группы и представления . Спрингер-Верлаг . п. 136. ИСБН 0-387-94526-1.
• Андерсон, Фрэнк Уайли; Фуллер, Кент Р. (1992). Кольца и категории модулей . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97845-1.
• Робинсон, Дерек Дж. С. (1996), Курс теории групп , Graduate Texts in Mathematics , т. 80 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. xviii+499, doi :10.1007/978-1-4419-8594-1, ISBN 0-387-94461-3, г-н  1357169