Аннигилятор (теория колец)

Идеал, который отображает в ноль подмножество модуля

В математике аннулятором подмножества S модуля над кольцом называется идеал, образованный элементами кольца, которые всегда дают ноль при умножении на каждый элемент S.

Над областью целостности модуль, имеющий ненулевой аннулятор, является модулем кручения , а конечно порождённый модуль кручения имеет ненулевой аннулятор.

Приведенное выше определение применимо также в случае некоммутативных колец , где левый аннулятор левого модуля является левым идеалом, а правый аннулятор правого модуля является правым идеалом.

Определения

Пусть R — кольцо , а M — левый R-модуль. Выберем непустое подмножество S из M. Аннулятор S , обозначаемый Ann R ( S ) , — это множество всех элементов r из R _, таких , что для всех s из S rs = 0. [ 1 ] ^В записи множеств

${\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid rs=0}$для всех ${\displaystyle s\in S\}}$

Это множество всех элементов R , которые «аннигилируют» S (элементы, для которых S является торсионным множеством). Подмножества правых модулей также могут быть использованы после изменения « sr = 0 » в определении.

Аннулятор одного элемента x обычно записывается как Ann _R ( x ) вместо Ann _R ({ x }). Если кольцо R можно понять из контекста, то индекс R можно опустить.

Поскольку R является модулем над собой, S можно считать подмножеством самого R , и поскольку R является как правым, так и левым R -модулем, обозначение должно быть немного изменено, чтобы указать левую или правую сторону. Обычно и или какая-либо подобная схема индексации используется для различения левых и правых аннигиляторов, если это необходимо. ${\displaystyle \ell .\!\mathrm {Ann} _{R}(S)\,}$ ${\displaystyle r.\!\mathrm {Ann} _{R}(S)\,}$

Если M является R -модулем и Ann _R ( M ) = 0 , то M называется точным модулем .

Характеристики

Если S является подмножеством левого R -модуля M , то Ann( S ) является левым идеалом R . ^[2 ]

Если S является подмодулем M , то Ann _R ( S ) является даже двусторонним идеалом: ( ac ) s = a ( cs ) = 0, поскольку cs является другим элементом S . ^[3 ]

Если S является подмножеством M , а N является подмодулем M, порождённым S , то в общем случае Ann _R ( N ) является подмножеством Ann _R ( S ), но они не обязательно равны. Если R коммутативно , то равенство имеет место.

M можно также рассматривать как R / Ann _R ( M )-модуль, используя действие . Кстати, не всегда возможно превратить R -модуль в R / I -модуль таким образом, но если идеал I является подмножеством аннулятора M , то это действие вполне определено. Рассматриваемый как R / Ann _R ( M )-модуль, M автоматически является точным модулем. ${\displaystyle {\overline {r}}m:=rm\,}$

Для коммутативных колец

Пусть в этом разделе — коммутативное кольцо и конечно порождённый -модуль . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$

Отношение к поддержке

Поддержка модуля определяется как

${\displaystyle \operatorname {Supp} M=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R\mid M_{\mathfrak {p}}\neq 0\}.}$

Тогда, когда модуль конечно порожден, имеет место соотношение

${\displaystyle V(\operatorname {Ann} _{R}(M))=\operatorname {Supp} M}$,

где — множество простых идеалов, содержащих подмножество. ^[4] ${\displaystyle V(\cdot )}$

Короткие точные последовательности

Учитывая короткую точную последовательность модулей,

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0,}$

свойство поддержки

${\displaystyle \operatorname {Supp} M=\operatorname {Supp} M'\cup \operatorname {Supp} M'',}$^[5]

вместе с отношением к аннигилятору подразумевается

${\displaystyle V(\operatorname {Ann} _{R}(M))=V(\operatorname {Ann} _{R}(M'))\cup V(\operatorname {Ann} _{R}(M'')).}$

А точнее, отношения

${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(M')\cap \operatorname {Ann} _{R}(M'')\supseteq \operatorname {Ann} _{R}(M)\supseteq \operatorname {Ann} _{R}(M')\operatorname {Ann} _{R}(M'').}$

Если последовательность расщепляется, то неравенство слева всегда является равенством. Это справедливо для произвольных прямых сумм модулей, как

${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}\left(\bigoplus _{i\in I}M_{i}\right)=\bigcap _{i\in I}\operatorname {Ann} _{R}(M_{i}).}$

Модули факторизации и аннигиляторы

Если задан идеал и пусть — конечно порожденный модуль, то имеет место соотношение ${\displaystyle I\subseteq R}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\text{Supp}}(M/IM)=\operatorname {Supp} M\cap V(I)}$

на носителе. Используя отношение к носителю, это дает отношение к аннулятору ^[6]

${\displaystyle V({\text{Ann}}_{R}(M/IM))=V({\text{Ann}}_{R}(M))\cap V(I).}$

Примеры

Над целыми числами

Над любым конечно порождённым модулем полностью классифицируется как прямая сумма его свободной части с его торсионной частью из фундаментальной теоремы абелевых групп. Тогда аннулятор конечно порождённого модуля нетривиален, только если он полностью торсионный. Это потому, что ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle {\text{Ann}}_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ^{\oplus k})=\{0\}=(0)}$

поскольку единственный элемент, убивающий каждый из них , это . Например, аннигилятором является ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\oplus \mathbb {Z} /3}$

${\displaystyle {\text{Ann}}_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /2\oplus \mathbb {Z} /3)=(6)=({\text{lcm}}(2,3)),}$

идеал, порожденный . Фактически аннигилятор торсионного модуля ${\displaystyle (6)}$

${\displaystyle M\cong \bigoplus _{i=1}^{n}(\mathbb {Z} /a_{i})^{\oplus k_{i}}}$

изоморфен идеалу, порожденному их наименьшим общим кратным , . Это показывает, что аннигиляторы могут быть легко классифицированы по целым числам. ${\displaystyle (\operatorname {lcm} (a_{1},\ldots ,a_{n}))}$

Над коммутативным кольцомР

Аналогичное вычисление можно выполнить для любого конечно представленного модуля над коммутативным кольцом . Определение конечной представленности подразумевает, что существует точная последовательность, называемая представлением, заданная формулой ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle R^{\oplus l}\xrightarrow {\phi } R^{\oplus k}\to M\to 0}$

где находится в . Запись явно в виде матрицы дает это как ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\text{Mat}}_{k,l}(R)}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi ={\begin{bmatrix}\phi _{1,1}&\cdots &\phi _{1,l}\\\vdots &&\vdots \\\phi _{k,1}&\cdots &\phi _{k,l}\end{bmatrix}};}$

следовательно, имеет разложение в прямую сумму ${\displaystyle M}$

${\displaystyle M=\bigoplus _{i=1}^{k}{\frac {R}{(\phi _{i,1}(1),\ldots ,\phi _{i,l}(1))}}}$

Если каждый из этих идеалов записать как

${\displaystyle I_{i}=(\phi _{i,1}(1),\ldots ,\phi _{i,l}(1))}$

тогда идеал, заданный ${\displaystyle I}$

${\displaystyle V(I)=\bigcup _{i=1}^{k}V(I_{i})}$

представляет собой уничтожитель.

Надк[х,у]

Над коммутативным кольцом для поля аннулятор модуля ${\displaystyle k[x,y]}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle M={\frac {k[x,y]}{(x^{2}-y)}}\oplus {\frac {k[x,y]}{(y-3)}}}$

дается идеалом

${\displaystyle {\text{Ann}}_{k[x,y]}(M)=((x^{2}-y)(y-3)).}$

Цепные условия на идеалах аннигилятора

Решетка идеалов вида , где S — подмножество R, является полной решеткой , если она частично упорядочена включением . Существует интерес к изучению колец, для которых эта решетка (или ее правый аналог) удовлетворяет условию возрастающей цепи или условию нисходящей цепи . ${\displaystyle \ell .\!\mathrm {Ann} _{R}(S)}$

Обозначим решетку левых аннуляторных идеалов R как , а решетку правых аннуляторных идеалов R как . Известно, что удовлетворяет условию возрастающей цепи тогда и только тогда, когда удовлетворяет условию нисходящей цепи, и симметрично удовлетворяет условию возрастающей цепи тогда и только тогда, когда удовлетворяет условию нисходящей цепи. Если любая из решеток имеет любое из этих условий цепи, то R не имеет бесконечных попарно ортогональных множеств идемпотентов . ^{[7] [8]} ${\displaystyle {\mathcal {LA}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {RA}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {LA}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {RA}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {RA}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {LA}}\,}$

Если R — кольцо, для которого выполняется ACC, и _R R имеет конечную равномерную размерность , то R называется левым кольцом Голди . ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {LA}}\,}$

Теоретико-категорное описание коммутативных колец

Когда R коммутативен, а M является R -модулем, мы можем описать Ann _R ( M ) как ядро ​​отображения действия R → End _R ( M ), определяемого дополнительным отображением тождества M → M вдоль Hom - тензорного сопряжения .

В более общем случае, если задано билинейное отображение модулей , аннулятор подмножества — это множество всех элементов, которые аннулируются : ${\displaystyle F\colon M\times N\to P}$ ${\displaystyle S\subseteq M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \operatorname {Ann} (S):=\{n\in N\mid \forall s\in S:F(s,n)=0\}.}$

И наоборот, если , то можно определить аннигилятор как подмножество . ${\displaystyle T\subseteq N}$ ${\displaystyle M}$

Аннулятор дает связь Галуа между подмножествами и , а связанный с ним оператор замыкания сильнее, чем диапазон. В частности: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

• аннигиляторы являются подмодулями
• ${\displaystyle \operatorname {Span} S\leq \operatorname {Ann} (\operatorname {Ann} (S))}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ann} (\operatorname {Ann} (\operatorname {Ann} (S)))=\operatorname {Ann} (S)}$

Важный частный случай — наличие невырожденной формы на векторном пространстве , в частности, скалярного произведения : тогда аннулятор, связанный с отображением, называется ортогональным дополнением . ${\displaystyle V\times V\to K}$

Связь с другими свойствами колец

Для модуля M над нётеровым коммутативным кольцом R простой идеал в R, являющийся аннулятором ненулевого элемента из M , называется ассоциированным простым идеалом M.

• Аннуляторы используются для определения левых колец Риккарта и колец Бэра .
• Множество (левых) делителей нуля D _S числа S можно записать как

${\displaystyle D_{S}=\bigcup _{x\in S\setminus \{0\}}{\mathrm {Ann} _{R}(x)}.}$

(Здесь мы допускаем, чтобы ноль был делителем нуля.)

В частности, D _R — это множество (левых) делителей нуля R, где S = R , а R действует на себя как левый R -модуль.

• Когда R коммутативен и нётеров , множество в точности равно объединению ассоциированных простых чисел R -модуля R. ${\displaystyle D_{R}}$

Смотрите также

• Теорема Фальтингса об аннигиляторе
• Цоколь
• Поддержка модуля

Примечания

1. Пирс (1982), стр. 23.
2. Доказательство: Если a и b оба аннулируют S , то для каждого s из S , ( a  +  b ) s = as  +  bs = 0, и для любого r из R , ( ra ) s = r ( as ) = ​​r 0 = 0.
3. Пирс (1982), стр. 23, Лемма b, пункт (i).
4. "Лемма 10.39.5 (00L2) — Проект Stacks". stacks.math.columbia.edu . Получено 13.05.2020 .
5. "Лемма 10.39.9 (00L3) — Проект Stacks". stacks.math.columbia.edu . Получено 13.05.2020 .
6. "Лемма 10.39.9 (00L3) — Проект Stacks". stacks.math.columbia.edu . Получено 13.05.2020 .
7. Андерсон и Фуллер 1992, стр. 322.
8. Lam 1999.

Ссылки

• Андерсон, Фрэнк В.; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Graduate Texts in Mathematics , т. 13 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. x+376, doi :10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, г-н  1245487
• Израиль Натан Херштейн (1968) Некоммутативные кольца , Математические монографии Каруса № 15, Математическая ассоциация Америки , стр. 3.
• Лам, Цит Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Graduate Texts in Mathematics № 189, т. 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 228–232, doi :10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, г-н  1653294
• Ричард С. Пирс. Ассоциативные алгебры . Graduate Texts in Mathematics, т. 88, Springer-Verlag, 1982, ISBN 978-0-387-90693-5