Расширение руды

В математике , особенно в области алгебры , известной как теория колец , расширение Оре , названное в честь Эйстейна Оре , является особым типом расширения кольца , свойства которого относительно хорошо изучены. Элементы расширения Оре называются полиномами Оре .

Расширения Оре появляются в нескольких естественных контекстах, включая косые и дифференциальные кольца многочленов , групповые алгебры полициклических групп , универсальные обертывающие алгебры разрешимых алгебр Ли и координатные кольца квантовых групп .

Определение

Предположим, что R — (не обязательно коммутативное ) кольцо , — гомоморфизм колец и — σ -вывод R , что означает, что — гомоморфизм абелевых групп, удовлетворяющий условию ${\displaystyle \sigma \colon R\to R}$ ${\displaystyle \delta \colon R\to R}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \delta (r_{1}r_{2})=\sigma (r_{1})\delta (r_{2})+\delta (r_{1})r_{2}}$.

Тогда расширение Оре , также называемое косым кольцом многочленов , представляет собой некоммутативное кольцо, полученное путем придания кольцу многочленов нового умножения, при условии соблюдения тождества ${\displaystyle R[x;\sigma ,\delta ]}$ ${\displaystyle R[x]}$

${\displaystyle xr=\sigma (r)x+\delta (r)}$.

Если δ = 0 (т. е. является нулевым отображением), то расширение Оре обозначается R [ x ;  σ ]. Если σ = 1 (т. е. является тождественным отображением ), то расширение Оре обозначается R [  x ,  δ  ] и называется дифференциальным многочленным кольцом .

Примеры

Алгебры Вейля являются расширениями Оре, где R — любое коммутативное кольцо многочленов , σ — эндоморфизм кольца тождеств , а δ — производная многочлена . Алгебры Оре представляют собой класс итерированных расширений Оре при подходящих ограничениях, которые позволяют разработать некоммутативное расширение теории базисов Грёбнера .

Характеристики

• Расширение домена Ore — это домен.
• Расширение Оре тела представляет собой некоммутативную область главных идеалов .
• Если σ — автоморфизм , а R — левое нётерово кольцо , то расширение Оре R [  λ ;  σ ,  δ  ] также является лево-нётеровым.

Элементы

Элемент f кольца Оре R называется

• двусторонний ^[1] (или инвариантный ^[2] ), если R·f = f·R , и
• центральный , если g·f = f·g для всех g в R.

Дальнейшее чтение

• Гудэрл, К. Р.; Уорфилд, Р. Б. младший (2004), Введение в некоммутативные нётеровы кольца, второе издание , Лондонское математическое общество, студенческие тексты, т. 61, Кембридж: Cambridge University Press , ISBN 0-521-54537-4, МР  2080008
• Макконнелл, Дж. К.; Робсон, Дж. К. (2001), Некоммутативные нётеровы кольца , Graduate Studies in Mathematics , т. 30, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2169-5, г-н  1811901
• Азеддин Уарит (1992) Расширения руды d'anneaux noetheriens á ip, Comm. Алгебра, 20 № 6, 1819–1837. https://zbmath.org/?q=an:0754.16014
• Азеддин Уарит (1994) Замечание о свойстве Джейкобсона расширений ПИ Оре. (Une remarque sur la proprieté de Jacobson des Extensions de Ore a IP) (на французском языке) Zbl 0819.16024. Арх. Математика. 63, № 2, 136-139 (1994). https://zbmath.org/?q=an:00687054
• Роуэн, Луис Х. (1988), Теория колец, т. I, II , Чистая и прикладная математика, т. 127, 128, Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 0-12-599841-4, МР  0940245

Ссылки

1. Якобсон, Натан (1996). Конечномерные алгебры с делением над полями . Springer.
2. Кон, Пол М. (1995). Косые поля: теория общих разделительных колец . Cambridge University Press .