алгебра Фробениуса

Алгебраическая структура с «хорошими» свойствами двойственности

В математике , особенно в областях теории представлений и теории модулей , алгебра Фробениуса — это конечномерная унитальная ассоциативная алгебра с особым видом билинейной формы , которая придает алгебрам особенно хорошие теории двойственности. Алгебры Фробениуса начали изучаться в 1930-х годах Ричардом Брауэром и Сесилом Несбиттом и были названы в честь Георга Фробениуса . Тадаси Накаяма открыл начала богатой теории двойственности (Nakayama 1939), (Nakayama 1941). Жан Дьедонне использовал это для характеристики алгебр Фробениуса (Dieudonné 1958). Алгебры Фробениуса были обобщены до квазифробениусовых колец , тех нётеровых колец, правое регулярное представление которых является инъективным . В последнее время интерес к алгебрам Фробениуса возобновился из-за их связей с топологической квантовой теорией поля .

Определение

Конечномерная, унитальная, ассоциативная алгебра A, определенная над полем k, называется алгеброй Фробениуса, если A снабжена невырожденной билинейной формой σ  : A × A → k , которая удовлетворяет следующему уравнению: σ ( a · b , c ) = σ ( a , b · c ) . Эта билинейная форма называется формой Фробениуса алгебры.

Эквивалентно, можно снабдить A линейным функционалом λ :  A → k таким , что ядро ​​λ не содержит ненулевых левых идеалов A .

Алгебра Фробениуса называется симметричной , если σ симметрична , или, что эквивалентно, λ удовлетворяет λ ( a · b ) = λ ( b · a ) .

Существует также другое, в основном не связанное с предыдущим понятие симметричной алгебры векторного пространства .

Автоморфизм Накаямы

Для алгебры Фробениуса A с σ , как указано выше, автоморфизм ν алгебры A , такой что σ ( a , b ) = σ ( ν ( b ), a ), является автоморфизмом Накаямы, связанным с A и σ .

Примеры

1. Любая матричная алгебра, определенная над полем k, является алгеброй Фробениуса с формой Фробениуса σ ( a , b )=tr( a · b ), где tr обозначает след .
2. Любая конечномерная унитальная ассоциативная алгебра A имеет естественный гомоморфизм в свое собственное кольцо эндоморфизмов End( A ). Билинейная форма может быть определена на A в смысле предыдущего примера. Если эта билинейная форма невырождена, то она снабжает A структурой алгебры Фробениуса.
3. Каждое групповое кольцо k [ G ] конечной группы G над полем k является симметричной алгеброй Фробениуса с формой Фробениуса σ ( a , b ), заданной коэффициентом при единичном элементе в a · b .
4. Для поля k четырехмерная k -алгебра k [ x , y ]/ ( x ² , y ² ) является алгеброй Фробениуса. Это следует из характеризации коммутативных локальных колец Фробениуса ниже, поскольку это кольцо является локальным кольцом с его максимальным идеалом, порожденным x и y , и единственным минимальным идеалом, порожденным xy .
5. Для поля k трехмерная k -алгебра A = k [ x , y ]/ ( x , y ) ² не является алгеброй Фробениуса. Гомоморфизм A из xA в A , индуцированный x ↦ y , не может быть продолжен до гомоморфизма A из A в A , показывая, что кольцо не является самоинъективным, а значит, не является фробениусовым.
6. Любая конечномерная алгебра Хопфа , согласно теореме Ларсона-Свидлера 1969 года о модулях и интегралах Хопфа.

Характеристики

• Прямое произведение и тензорное произведение алгебр Фробениуса являются алгебрами Фробениуса.
• Конечномерная коммутативная локальная алгебра над полем является фробениусовой тогда и только тогда, когда правый регулярный модуль инъективен, тогда и только тогда, когда алгебра имеет единственный минимальный идеал .
• Коммутативные локальные алгебры Фробениуса — это в точности нульмерные локальные кольца Горенштейна, содержащие свое поле вычетов и конечномерные над ним.
• Фробениусовы алгебры являются квазифробениусовыми кольцами и, в частности, они являются лево- и правоартиновыми , а также лево- и правосамоинъективными .
• Для поля k конечномерная, унитальная, ассоциативная алгебра является фробениусовой тогда и только тогда, когда инъективный правый A -модуль Hom _k ( A , k ) изоморфен правому регулярному представлению A .
• Для бесконечного поля k конечномерная, унитальная, ассоциативная k -алгебра является алгеброй Фробениуса, если она имеет лишь конечное число минимальных правых идеалов .
• Если F — конечномерное поле расширения k , то конечномерная F -алгебра естественным образом является конечномерной k -алгеброй посредством ограничения скаляров и является F -алгеброй Фробениуса тогда и только тогда, когда она является k -алгеброй Фробениуса. Другими словами, свойство Фробениуса не зависит от поля, пока алгебра остается конечномерной.
• Аналогично, если F — конечномерное поле расширения k , то каждая k -алгебра A естественным образом порождает F -алгебру, F ⊗ _k A , и A является k -алгеброй Фробениуса тогда и только тогда, когда F ⊗ _k A является F -алгеброй Фробениуса.
• Среди тех конечномерных, унитальных, ассоциативных алгебр, правое регулярное представление которых инъективно, алгебры Фробениуса A — это как раз те, чьи простые модули M имеют ту же размерность, что и их A -дуальные, Hom _A ( M , A ). Среди этих алгебр A -дуальные простых модулей всегда просты.
• Конечномерная бифробениусова алгебра или строгая двойная фробениусова алгебра — это k -векторное пространство A с двумя структурами умножения в качестве унитальных алгебр Фробениуса ( A , • , 1) и ( A , , ): должны существовать мультипликативные гомоморфизмы и из A в k с и невырожденными, и k -изоморфизм S из A на себя, который является антиавтоморфизмом для обеих структур, такой что Это как раз тот случай, когда A — конечномерная алгебра Хопфа над k , а S — ее антипод. Групповая алгебра конечной группы дает пример. ^{[1] [2] [3] [4]} ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \phi (a\cdot b)}$ ${\displaystyle \varepsilon (a\star b)}$ ${\displaystyle \phi (a\cdot b)=\varepsilon (S(a)\star b).}$

Категориально-теоретическое определение

В теории категорий понятие объекта Фробениуса является абстрактным определением алгебры Фробениуса в категории. Объект Фробениуса в моноидальной категории состоит из объекта A из C вместе с четырьмя морфизмами ${\displaystyle (A,\mu ,\eta ,\delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle (C,\otimes ,I)}$

${\displaystyle \mu :A\otimes A\to A,\qquad \eta :I\to A,\qquad \delta :A\to A\otimes A\qquad \mathrm {and} \qquad \varepsilon :A\to I}$

такой что

• ${\displaystyle (A,\mu ,\eta )\,}$является моноидным объектом в C ,
• ${\displaystyle (A,\delta ,\varepsilon )}$является комоноидным объектом в C ,
• диаграммы

и

коммутируют (для простоты диаграммы приведены здесь в случае, когда моноидальная категория C является строгой) и известны как условия Фробениуса . ^[5]

Более компактно, алгебра Фробениуса в C — это так называемый моноидальный функтор Фробениуса A: 1 → C , где 1 — категория, состоящая из одного объекта и одной стрелки.

Алгебра Фробениуса называется изометрической или специальной , если . ${\displaystyle \mu \circ \delta =\mathrm {Id} _{A}}$

Приложения

Алгебры Фробениуса первоначально изучались как часть исследования теории представлений конечных групп и внесли вклад в изучение теории чисел , алгебраической геометрии и комбинаторики . Они использовались для изучения алгебр Хопфа , теории кодирования и колец когомологий компактных ориентированных многообразий .

Топологические квантовые теории поля

Произведение и копроизведение на алгебре Фробениуса можно интерпретировать как функтор (1+1)-мерной топологической квантовой теории поля , примененной к паре брюк .

Недавно было замечено, что они играют важную роль в алгебраической трактовке и аксиоматическом обосновании топологической квантовой теории поля . Коммутативная алгебра Фробениуса однозначно (с точностью до изоморфизма) определяет (1+1)-мерную TQFT. Точнее, категория коммутативных -алгебр Фробениуса эквивалентна категории симметричных сильных моноидальных функторов из - (категория 2-мерных кобордизмов между 1-мерными многообразиями) в (категория векторных пространств над ). ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\textbf {Cob}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Vect}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$

Соответствие между TQFT и алгебрами Фробениуса задается следующим образом:

• Одномерные многообразия являются несвязными объединениями окружностей: TQFT связывает векторное пространство с окружностью, а тензорное произведение векторных пространств — с несвязным объединением окружностей,
• TQFT (функториально) каждому кобордизму между многообразиями соответствует отображение между векторными пространствами,
• отображение, связанное с парой брюк (кобордизм между 1 кругом и 2 кругами), дает отображение произведения или отображение копроизведения , в зависимости от того, как сгруппированы граничные компоненты – коммутативно или кокоммутативно, и ${\displaystyle V\otimes V\to V}$ ${\displaystyle V\to V\otimes V}$
• карта, связанная с диском, дает единицу (след) или единицу (скаляры) в зависимости от группировки границы.

Эту связь между алгебрами Фробениуса и (1+1)-мерными TQFT можно использовать для объяснения категоризации Ховановым полинома Джонса . [ ^{6] [7]}

Обобщения

Расширения Фробениуса

Пусть B — подкольцо, разделяющее единичный элемент ассоциативного кольца A. Это также известно как расширение кольца A | B. Такое расширение кольца называется расширением Фробениуса, если

• Существует линейное отображение E : A → B, удовлетворяющее условию бимодуляльности E ( bac ) = bE ( a ) c для всех b,c ∈ B и a ∈ A .
• В A существуют элементы, обозначаемые и такие, что для всех a ∈ A имеем: ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle \{y_{i}\}_{i=1}^{n}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}E(ax_{i})y_{i}=a=\sum _{i=1}^{n}x_{i}E(y_{i}a)}$

Отображение E иногда называют гомоморфизмом Фробениуса, а элементы — дуальными базисами. (В качестве упражнения можно дать эквивалентное определение расширения Фробениуса как объекта алгебры-коалгебры Фробениуса в категории B - B -бимодулей, где только что приведенные уравнения становятся уравнениями коединицы для коединицы E. ) ${\displaystyle x_{i},y_{i}}$

Например, алгебра Фробениуса A над коммутативным кольцом K с ассоциативной невырожденной билинейной формой (-,-) и проективными K-базами является расширением Фробениуса A | K с E(a) = ( a ,1). Другими примерами расширений Фробениуса являются пары групповых алгебр, связанных с подгруппой конечного индекса, подалгебры Хопфа полупростой алгебры Хопфа, расширения Галуа и некоторые подфакторы алгебры фон Неймана конечного индекса. Другим источником примеров расширений Фробениуса (и скрученных версий) являются некоторые пары подалгебр алгебр Фробениуса, где подалгебра стабилизируется симметризующим автоморфизмом надалгебры. ${\displaystyle x_{i},y_{i}}$

Подробности примера группового кольца — это следующее применение элементарных понятий в теории групп . Пусть G — группа, а H — подгруппа конечного индекса n в G ; пусть g ₁ , ..., g _n . — представители левых смежных классов, так что G — несвязное объединение смежных классов g ₁ H , ..., g _n H . Над любым коммутативным базовым кольцом k определим групповые алгебры A = k [ G ] и B = k [ H ], так что B — подалгебра в A . Определим гомоморфизм Фробениуса E : A → B , положив E ( h ) = h для всех h из H и E ( g ) = 0 для g, не принадлежащего H  : линейно расширим его с элементов базисной группы на все A , так что получим проекцию B - B -бимодуля

${\displaystyle E\left(\sum _{g\in G}n_{g}g\right)=\sum _{h\in H}n_{h}h\ \ \ {\text{ for }}n_{g}\in k}$

(Условие ортонормальности следует далее.) Двойственная база задается как , поскольку ${\displaystyle E(g_{i}^{-1}g_{j})=\delta _{ij}1}$ ${\displaystyle x_{i}=g_{i},y_{i}=g_{i}^{-1}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}g_{i}E\left(g_{i}^{-1}\sum _{g\in G}n_{g}g\right)=\sum _{i}\sum _{h\in H}n_{g_{i}h}g_{i}h=\sum _{g\in G}n_{g}g}$

Другое уравнение с двойной основой можно вывести из наблюдения, что G также является несвязным объединением правых смежных классов . ${\displaystyle Hg_{1}^{-1},\ldots ,Hg_{n}^{-1}}$

Также расширения Хопфа-Галуа являются расширениями Фробениуса по теореме Креймера и Такеучи 1989 года. Простым примером этого является конечная группа G, действующая автоморфизмами на алгебре A с подалгеброй инвариантов:

${\displaystyle B=\{x\in A\mid \forall g\in G,g(x)=x\}.}$

По критерию ДеМейера A является G -Галуа над B, если в A существуют элементы, удовлетворяющие: ${\displaystyle \{a_{i}\}_{i=1}^{n},\{b_{i}\}_{i=1}^{n}}$

${\displaystyle \forall g\in G:\ \ \sum _{i=1}^{n}a_{i}g(b_{i})=\delta _{g,1_{G}}1_{A}}$

откуда также

${\displaystyle \forall g\in G:\ \ \sum _{i=1}^{n}g(a_{i})b_{i}=\delta _{g,1_{G}}1_{A}.}$

Тогда A является расширением Фробениуса B с E : A → B, определяемым формулой

${\displaystyle E(a)=\sum _{g\in G}g(a)}$

который удовлетворяет

${\displaystyle \forall x\in A:\ \ \sum _{i=1}^{n}E(xa_{i})b_{i}=x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}E(b_{i}x).}$

(Более того, примером расширения отделимой алгебры , поскольку является элемент отделимости, удовлетворяющий ea = ae для всех a в A , а также . Также примером подкольца глубины два ( B в A ), поскольку ${\textstyle e=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes _{B}b_{i}}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=1}$

${\displaystyle a\otimes _{B}1=\sum _{g\in G}t_{g}g(a)}$

где

${\displaystyle t_{g}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes _{B}g(b_{i})}$

для каждого g в G и a в A .)

Расширения Фробениуса имеют хорошо развитую теорию индуцированных представлений, исследованную в работах Каша и Парейгиса, Накаямы и Цузуку в 1950-х и 1960-х годах. Например, для каждого B -модуля M индуцированный модуль A ⊗ _B M (если M - левый модуль) и коиндуцированный модуль Hom _B ( A, M ) естественно изоморфны как A -модули (в качестве упражнения определяется изоморфизм при заданных E и двойственных базисах). Теорема о кольце эндоморфизмов Каша 1960 года утверждает, что если A | B - расширение Фробениуса, то также является A → End( A _B ), где отображение задается как a ↦ λ _a ( x ) и λ _a ( x ) = ax для каждого a,x ∈ A . Теоремы об эндоморфизме кольца и обратные им теоремы позднее исследовали Мюллер, Морита, Онодера и другие.

Присоединения Фробениуса

Как уже намекалось в предыдущем абзаце, расширения Фробениуса имеют эквивалентную категориальную формулировку. А именно, если задано расширение кольца , то индуцированный функтор индукции из категории, скажем, левых S -модулей в категорию левых R -модулей имеет как левый, так и правый сопряженный, называемые коограничением и ограничением соответственно. Расширение кольца тогда называется Фробениусовым тогда и только тогда, когда левый и правый сопряженные естественно изоморфны. ${\displaystyle S\subset R}$ ${\displaystyle R\otimes _{S}-\colon {\text{Mod}}(S)\to {\text{Mod}}(R)}$

Это приводит к очевидной абстракции к обычной теории категорий: присоединение называется присоединением Фробениуса тогда и только тогда, когда . Функтор F является функтором Фробениуса , если он является частью присоединения Фробениуса, т. е. если он имеет изоморфные левые и правые сопряженные элементы. ${\displaystyle F\dashv G}$ ${\displaystyle G\dashv F}$

Смотрите также

• Биалгебра
• Категория Фробениуса
• норма Фробениуса
• Внутренний продукт Фробениуса
• алгебра Хопфа
• Квазифробениусова алгебра Ли
• Категория компактных кинжалов

Ссылки

1. Хаим, Мариана (2007). «Групповые алгебры и матрицы Адамара». Журнал алгебры . 308 (1): 215–235. arXiv : math/0602224 . CiteSeerX  10.1.1.241.966 . doi :10.1016/j.jalgebra.2006.06.005. MR  2290919. S2CID  17741240.
2. Коппинен, М. (1996). «Об алгебрах с двумя умножениями, включая алгебры Хопфа и алгебры Бозе-Меснера» (PDF) . J. Algebra . 182 (1): 256–273. doi :10.1006/jabr.1996.0170. MR  1388866.
3. Ван, Чжихуа; Ли, Либин (2018). «Двойные алгебры Фробениуса». Front. Math. China . 13 (2): 399–415. doi :10.1007/s11464-018-0682-3. MR  3778372. S2CID  125866864.
4. Дои, Юкио; Такеучи, Мицухиро (2000). «Алгебры Би-Фробениуса». Новые тенденции в теории алгебры Хопфа (La Falda, 1999) . Созерцание Математика. Том. 267. Американское математическое общество . стр. 67–97. ISBN 0-8218-2126-1. МР  1800707.
5. Павлович, Душко (2013), «Моноидальный компьютер I: Базовая вычислимость по диаграммам строк», Информация и вычисления , 226 : 94–116, arXiv : 1208.5205 , doi : 10.1016/j.ic.2013.03.007, S2CID  17127693
6. Бар-Натан, Дрор (2005), "Гомологии Хованова для плетений и кобордизмов", Geom. Topol. , 9 (3): 1443–1499, arXiv : math/0410495 , Bibcode : 2004math.....10495B, doi : 10.2140/gt.2005.9.1443, S2CID  1247623
7. Пол Тернер (2006), Пять лекций по гомологии Хованова , arXiv : math/0606464 , Bibcode : 2006math......6464T

• Брауэр, Р.; Несбитт , К. (1937), «О регулярных представлениях алгебр», Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 23 (4): 236–240, Bibcode : 1937PNAS...23..236B, doi : 10.1073/pnas.23.4.236 , PMC  1076908 , PMID  16588158
• Демейер, Ф., Ингрэм, Э. (1971), Сепарабельные алгебры над коммутативными кольцами , Lect. Notes Math, т. 181, Springer{{citation}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Дьедонне, Жан (1958), «Замечания о квазифробениусовых кольцах», Illinois Journal of Mathematics , 2 (3): 346–354, doi : 10.1215/ijm/1255454538 , ISSN  0019-2082, MR  0097427
• Фробениус, Фердинанд Георг (1903), «Теория гиперкомплекса Größen I», Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften (на немецком языке): 504–537, JFM  34.0238.02
• Кок, Иоахим (2003), Алгебры Фробениуса и двумерные топологические квантовые теории поля , студенческие тексты Лондонского математического общества, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83267-0
• Лэм, TY (1999), Лекции по модулям и кольцам , Graduate Texts in Mathematics, т. 189, Springer, ISBN 978-0-387-98428-5
• Лурье, Якоб (2009), О классификации топологических теорий поля (PDF) , arXiv : 0905.0465
• Накаяма, Тадаси (1939), «Об алгебрах Фробениусова. I», Анналы математики , вторая серия, 40 (3), Анналы математики: 611–633, Бибкод : 1939AnMat..40..611N, doi : 10.2307/1968946 , JSTOR  1968946, МР  0000016
• Накаяма, Тадаси (1941), «Об алгебрах Фробениуса. II», Анналы математики , вторая серия, 42 (1), Анналы математики: 1–21, doi : 10.2307/1968984, hdl : 10338.dmlcz/140501 , JSTOR  1968984, МР  0004237
• Несбитт, К. (1938), «О регулярных представлениях алгебр», Annals of Mathematics , вторая серия, 39 (3): 634–658, doi :10.2307/1968639, ISSN  0003-486X, JSTOR  1968639, MR  1503429, PMC  1076908 , PMID  16588158
• Онодера, Т. (1964), «Некоторые исследования проективных расширений Фробениуса», Hokkaido Mathematical Journal , 18 (1–2): 89–107, doi : 10.14492/hokmj/1530691549

Внешние ссылки

• Стрит, Росс (2004). "Алгебры Фробениуса и моноидальные категории" (PDF) . Ежегодное собрание Австралийского матем. общества . CiteSeerX  10.1.1.180.7082 .