Бинарная операция, принимает две матрицы и возвращает скаляр.
В математике внутренний продукт Фробениуса — это бинарная операция, которая принимает две матрицы и возвращает скаляр . Его часто обозначают . Операция представляет собой покомпонентное скалярное произведение двух матриц, как если бы они были векторами, и удовлетворяет аксиомам для внутреннего произведения. Две матрицы должны иметь одинаковую размерность — одинаковое количество строк и столбцов, но не ограничиваются квадратными матрицами .
Определение
Даны две комплексно-числовые матрицы A и B размера n × m , записанные явно как
внутренний продукт Фробениуса определяется как:
где верхняя черта обозначает комплексно-сопряженное , а — эрмитово сопряженное . [1] Явно эта сумма равна
Расчет очень похож на скалярное произведение , которое, в свою очередь, является примером внутреннего продукта. [ нужна цитата ]
Отношение к другим продуктам
Если каждая из A и B — вещественная матрица, внутренний продукт Фробениуса представляет собой сумму элементов произведения Адамара . Если матрицы векторизованы (т. е. преобразованы в векторы-столбцы, обозначаемые « »), то
Поэтому
- [ нужна цитата ]
Характеристики
Как и любой внутренний продукт, это полуторалинейная форма для четырех комплексных матриц A , B , C , D и двух комплексных чисел a и b :
Кроме того, замена матриц представляет собой комплексное сопряжение:
Для той же матрицы
- , [ нужна цитата ]
и,
- .
Норма Фробениуса
Внутренний продукт индуцирует норму Фробениуса
- [1]
Примеры
Матрицы с действительными значениями
Для двух действительных матриц, если
затем
Комплексные матрицы
Для двух комплексных матриц, если
затем
пока
Внутренние произведения Фробениуса A с самим собой и B с самим собой соответственно равны
Смотрите также
Рекомендации