Сопряженное транспонирование

Complex matrix A* obtained from a matrix A by transposing it and conjugating each entry

В математике сопряженное транспонирование , также известное как эрмитово транспонирование , комплексной матрицы — это матрица, полученная путем транспонирования и применения комплексного сопряжения к каждой записи (комплексно-сопряженное существо для действительных чисел и ). Существует несколько обозначений, например или , ^[1] , ^[2] или (часто в физике) . ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle a+ib}$ ${\displaystyle a-ib}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} '}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\dagger }}$

Для реальных матриц сопряженное транспонирование — это просто транспонирование . ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}$

Определение

Сопряженное транспонирование матрицы формально определяется формулой ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

где нижний индекс обозначает -ю запись для и , а верхняя черта обозначает скалярное комплексное сопряжение. ${\displaystyle ij}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq m}$

Это определение также можно записать как

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\left({\overline {\mathbf {A} }}\right)^{\operatorname {T} }={\overline {\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}}}$

где обозначает транспонирование и обозначает матрицу с комплексно сопряженными элементами. ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {A} }}}$

Другие названия сопряженного транспонирования матрицы — эрмитово сопряжение , сопряженная матрица или трансъюгат . Сопряженное транспонирование матрицы можно обозначить любым из этих символов: ${\displaystyle \mathbf {A} }$

• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$, обычно используемый в линейной алгебре
• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$, обычно используемый в линейной алгебре
• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\dagger }}$(иногда произносится как кинжал ), обычно используется в квантовой механике .
• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{+}}$, хотя этот символ чаще используется для псевдообратной задачи Мура – ​​Пенроуза.

В некоторых контекстах обозначает матрицу только с комплексно сопряженными элементами и без транспозиции. ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$

Пример

Предположим, мы хотим вычислить сопряженное транспонирование следующей матрицы . ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&-2-i&5\\1+i&i&4-2i\end{bmatrix}}}$

Сначала транспонируем матрицу:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&1+i\\-2-i&i\\5&4-2i\end{bmatrix}}}$

Затем мы сопрягаем каждую запись матрицы:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }={\begin{bmatrix}1&1-i\\-2+i&-i\\5&4+2i\end{bmatrix}}}$

Основные замечания

Квадратная матрица с элементами называется ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle a_{ij}}$

• Эрмитово или самосопряженное, если ; то есть, . ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ ${\displaystyle a_{ij}={\overline {a_{ji}}}}$
• Наклонить эрмитово или антиэрмитово, если ; то есть, . ${\displaystyle \mathbf {A} =-\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ ${\displaystyle a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}}$
• Нормально, если . ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$
• Унитарный , если , равносильно , эквивалентно . ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {I}}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} ={\boldsymbol {I}}}$

Даже если она не квадратная, обе матрицы и являются эрмитовыми и фактически положительными полуопределенными матрицами . ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$

Сопряженную транспонированную «сопряженную» матрицу не следует путать с сопряженной , , которую также иногда называют сопряженной . ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ ${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )}$

Сопряженное транспонирование матрицы с действительными элементами сводится к транспонированию , поскольку сопряженное действительное число является самим числом. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Мотивация

Сопряженное транспонирование можно мотивировать, отметив, что комплексные числа могут быть с пользой представлены действительными матрицами, подчиняющимися матричному сложению и умножению: ${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle a+ib\equiv {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}.}$

То есть обозначая каждое комплексное число действительной матрицей линейного преобразования на диаграмме Аргана (рассматриваемой как действительное векторное пространство ), на которое влияет комплексное -умножение на . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Таким образом, матрица комплексных чисел может быть хорошо представлена ​​матрицей действительных чисел. Таким образом, сопряженное транспонирование возникает очень естественно в результате простого транспонирования такой матрицы, если снова рассматривать ее как матрицу, состоящую из комплексных чисел. ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle 2m\times 2n}$ ${\displaystyle n\times m}$

Свойства сопряженного транспонирования

• ${\displaystyle (\mathbf {A} +{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }+{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }}$для любых двух матриц одинаковой размерности. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$
• ${\displaystyle (z\mathbf {A} )^{\mathrm {H} }={\overline {z}}\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$для любого комплексного числа и любой матрицы . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle (\mathbf {A} {\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$для любой матрицы и любой матрицы . Обратите внимание, что порядок факторов обратный. ^[1] ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle n\times p}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$
• ${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} }$для любой матрицы , т.е. эрмитова транспозиция является инволюцией . ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$
• Если – квадратная матрица, то где обозначает определитель . ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)={\overline {\det \left(\mathbf {A} \right)}}}$ ${\displaystyle \operatorname {det} (A)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$
• Если – квадратная матрица, то где обозначает след . ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)={\overline {\operatorname {tr} (\mathbf {A} )}}}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (A)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \mathbf {A} }$обратима тогда и только тогда, когда обратима , и в этом случае . ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)^{-1}=\left(\mathbf {A} ^{-1}\right)^{\mathrm {H} }}$
• Собственные значения являются комплексно сопряженными собственными значениями . ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \left\langle \mathbf {A} x,y\right\rangle _{m}=\left\langle x,\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }y\right\rangle _{n}}$для любой матрицы , любого вектора и любого вектора . Здесь обозначает стандартное комплексное скалярное произведение на , и аналогично для . ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle y\in \mathbb {C} ^{m}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{n}}$

Обобщения

Последнее свойство, приведенное выше, показывает, что если рассматривать как линейное преобразование гильбертова пространства в , то матрица соответствует сопряженному оператору . Таким образом, концепцию сопряженных операторов между гильбертовыми пространствами можно рассматривать как обобщение сопряженного транспонирования матриц относительно ортонормированного базиса. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m},}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Доступно другое обобщение: предположим , что это линейное отображение из одного комплексного векторного пространства в другое, тогда определены комплексно-сопряженное линейное отображение , а также транспонированное линейное отображение , и, таким образом, мы можем принять сопряженное транспонирование как комплексно-сопряженное транспонирование . Он отображает сопряженный двойственный элемент к сопряженному двойственному . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$

Смотрите также

• Комплексное скалярное произведение
• Эрмитовский сопряженный
• Адъюгатная матрица

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Сопряженное транспонирование». mathworld.wolfram.com . Проверено 8 сентября 2020 г.
2. HW Тернбулл, AC Эйткен, «Введение в теорию канонических матриц», 1932.

Внешние ссылки

• «Сопряженная матрица», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]