Комплексная матрица, сопряженное транспонирование которой равно ее обратной
В линейной алгебре обратимая комплексная квадратная матрица U является унитарной , если ее обратная матрица U −1 равна ее сопряженной транспонированной U * , то есть, если
![{\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где I — единичная матрица .
В физике, особенно в квантовой механике, сопряженное транспонирование называется эрмитовым сопряжением матрицы и обозначается кинжалом ( †), поэтому приведенное выше уравнение записывается
![{\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Комплексная матрица U называется специальной унитарной , если она унитарна и ее определитель матрицы равен 1 .
Для действительных чисел аналогом унитарной матрицы является ортогональная матрица . Унитарные матрицы имеют важное значение в квантовой механике, поскольку они сохраняют нормы и, следовательно, амплитуды вероятности .
Характеристики
Для любой унитарной матрицы U конечного размера справедливы следующие условия:
- Учитывая два комплексных вектора x и y , умножение на U сохраняет их внутренний продукт ; то есть ⟨ U x , U y ⟩ = ⟨ x , y ⟩ .
- U в норме ( ).
![{\displaystyle U^{*}U=UU^{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- U диагонализуемо ; _ то есть U унитарно подобен диагональной матрице, как следствие спектральной теоремы . Таким образом, U имеет разложение вида , где V унитарно, а D диагонально и унитарно.
![{\displaystyle U=VDV^{*},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
. То есть будет находиться на единичной окружности комплексной плоскости.![{\displaystyle \det (U)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Его собственные пространства ортогональны.
- U можно записать как U = e iH , где e обозначает матричную экспоненту , i — мнимая единица, а H — эрмитова матрица .
Для любого неотрицательного целого числа n набор всех унитарных матриц размера n × n с матричным умножением образует группу , называемую унитарной группой U( n ) .
Любая квадратная матрица с единичной евклидовой нормой представляет собой среднее двух унитарных матриц. [1]
Эквивалентные условия
Если U — квадратная комплексная матрица, то следующие условия эквивалентны: [2]
является унитарным.
является унитарным.
является обратимым с .![{\displaystyle U^{-1}=U^{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Столбцы образуют ортонормированный базис относительно обычного скалярного произведения. Другими словами, .
![{\displaystyle U}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle U^{*}U=I}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Строки образуют ортонормированный базис относительно обычного скалярного произведения. Другими словами, .
![{\displaystyle U}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle UU^{*}=I}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
является изометрией относительно обычной нормы. То есть для всех , где .![{\displaystyle \|Ux\|_{2} =\|x\|_{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
— нормальная матрица (т. е. существует ортонормированный базис, образованный собственными векторами матрицы ) с собственными значениями , лежащими на единичной окружности .![{\displaystyle U}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Элементарные конструкции
Унитарная матрица 2 × 2
Одно общее выражение унитарной матрицы 2 × 2 :
![{\displaystyle U={\begin{bmatrix}a&b\\-e^{i\varphi }b^{*}&e^{i\varphi }a^{*}\\\end{bmatrix}},\qquad \left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2}=1\ ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
который зависит от 4 реальных параметров (фазы a , фазы b , относительной величины между a и b и угла φ ). Форма настроена так, что определитель такой матрицы равен
![{\displaystyle \det(U)=e^{i\varphi}~.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Подгруппа этих элементов с называется специальной унитарной группой SU(2).![{\ displaystyle \ U \ }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \ \det(U)=1\ }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Среди нескольких альтернативных форм матрицу U можно записать в следующем виде:
![{\displaystyle \ U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\alpha}\cos \theta &e^{i\beta}\sin \theta \\-e^{- i\beta }\sin \theta &e^{-i\alpha }\cos \theta \\\end{bmatrix}}\ ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где и выше, а углы могут принимать любые значения.![{\displaystyle \ е^{я\альфа} \ соз \ тета = а\ }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \ е^{я\бета}\sin \theta =b\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \ \varphi,\альфа,\бета,\тета \}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Введя и имеет следующую факторизацию:![{\displaystyle \ \alpha =\psi +\delta \ }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \ \beta =\psi -\delta \,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\psi }&0\\0&e^{-i\psi }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix} \cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\delta }&0\\0&e^{-i \delta }\end{bmatrix}}~.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это выражение подчеркивает связь между унитарными матрицами 2 × 2 и ортогональными матрицами 2 × 2 с углом θ .
Другая факторизация: [3]
![{\displaystyle U={\begin{bmatrix}\cos \rho &-\sin \rho \\\sin \rho &\;\cos \rho \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^ {i\xi }&0\\0&e^{i\zeta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\;\cos \sigma &\sin \sigma \\-\sin \sigma &\cos \sigma \\\end{bmatrix}}~.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Возможны многие другие факторизации унитарной матрицы в базовых матрицах. [4] [5] [6] [7] [8]
- Смотрите также:
Альгамбра, Альваро М. (10 января 2022 г.). «Запрещено симметрией». Новости и мнения. Физика природы . 18 (3): 235–236. дои : 10.1038/s41567-021-01483-x. ISSN 1745-2481. S2CID 256745894. Физику больших систем часто понимают как результат локальных операций между ее компонентами. Теперь показано, что эта картина может быть неполной в квантовых системах, взаимодействия которых ограничены симметриями.
</ref>
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Ли, Чи-Квонг; Пун, Эдвард (2002). «Аддитивное разложение действительных матриц». Линейная и полилинейная алгебра . 50 (4): 321–326. дои : 10.1080/03081080290025507. S2CID 120125694.
- ^ Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ . Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/CBO9781139020411. ISBN 9781139020411.
- ^ Фюр, Хартмут; Жешотник, Зиемовит (2018). «Заметка о факторинге унитарных матриц». Линейная алгебра и ее приложения . 547 : 32–44. дои : 10.1016/j.laa.2018.02.017 . ISSN 0024-3795. S2CID 125455174.
- ^ Уильямс, Колин П. (2011). «Квантовые ворота». В Уильямсе, Колин П. (ред.). Исследования в области квантовых вычислений . Тексты по информатике. Лондон, Великобритания: Спрингер. п. 82. дои : 10.1007/978-1-84628-887-6_2. ISBN 978-1-84628-887-6.
- ^ Нильсен, Массачусетс ; Чуанг, Исаак (2010). Квантовые вычисления и квантовая информация. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета . п. 20. ISBN 978-1-10700-217-3. ОСЛК 43641333.
- ^ Баренко, Адриано; Беннетт, Чарльз Х.; Клив, Ричард; ДиВинченцо, Дэвид П.; Марголус, Норман; Шор, Питер; и другие. (1 ноября 1995 г.). «Элементарные вентили для квантовых вычислений». Физический обзор А. Американское физическое общество (APS). 52 (5): 3457–3467, особенно. 3465. arXiv : Quant-ph/9503016 . дои : 10.1103/physreva.52.3457. ISSN 1050-2947. PMID 9912645. S2CID 8764584.
- ↑ Марвиан, Иман (10 января 2022 г.). «Ограничения на реализуемые унитарные операции, налагаемые симметрией и локальностью». Физика природы . 18 (3): 283–289. arXiv : 2003.05524 . дои : 10.1038/s41567-021-01464-0. ISSN 1745-2481. S2CID 245840243.
- ^ Ярлског, Сесилия (2006). «Рекурсивная параметризация и инвариантные фазы унитарных матриц». arXiv : math-ph/0510034 .
Внешние ссылки