Матричная экспонента

Матричная операция, обобщающая возведение в степень скалярных чисел

В математике матричная экспонента — это матричная функция на квадратных матрицах , аналогичная обычной экспоненциальной функции . Он используется для решения систем линейных дифференциальных уравнений. В теории групп Ли матричная экспонента дает экспоненциальное отображение между матричной алгеброй Ли и соответствующей группой Ли .

Пусть X — действительная или комплексная матрица размера n × n . Экспонента X , обозначаемая e ^X или exp( X ) , представляет собой матрицу размера n × n , заданную степенным рядом

$${\displaystyle e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k}}$$

где определяется как единичная матрица тех же размеров, что и . ^[1] Ряд всегда сходится, поэтому экспонента X четко определена. ${\displaystyle X^{0}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$

Эквивалентно,

$${\displaystyle e^{X}=\lim _{k\rightarrow \infty }\left(I+{\frac {X}{k}}\right)^{k}}$$

Iединичная матрица размера n × n

Когда X является диагональной матрицей размера n × n, тогда exp( X ) будет диагональной матрицей размера n × n , где каждый диагональный элемент равен обычной экспоненте , примененной к соответствующему диагональному элементу X .

Характеристики

Элементарные свойства

Пусть X и Y — комплексные матрицы размера n × n , а a и b — произвольные комплексные числа. Обозначим единичную матрицу размера n × n через I , а нулевую матрицу через 0. Матричная экспонента удовлетворяет следующим свойствам. ^[2]

Начнем со свойств, которые являются непосредственными следствиями определения степенного ряда:

• е ⁰ = я
• exp( X ^T ) = (exp X ) ^T , где X ^T обозначает транспонирование X .
• exp ( X ^∗ ) = (exp X ) ∗ ^, где X ^∗ обозначает сопряженное транспонирование X.
• Если Y обратим, то e YXY ^{− 1} = Ye ^X Y ⁻¹ .

Следующий ключевой результат таков:

• Если тогда . ${\displaystyle XY=YX}$ ${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{X+Y}}$

Доказательство этого тождества такое же, как и стандартное доказательство степенного ряда для соответствующего тождества для экспоненты действительных чисел. То есть, пока и коммутируют ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ , для аргумента не имеет значения, являются ли и числами или матрицами. Важно отметить, что это тождество обычно не выполняется, если и не коммутировать (см. неравенство Голдена-Томпсона ниже). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Следствия предыдущего тождества следующие:

• е ^aX е ^{bX знак} равно е ^{( а + б ) Икс}
• е ^X е ^{- X} = я

Используя приведенные выше результаты, мы можем легко проверить следующие утверждения. Если X симметричен , то e ^X также симметричен, а если X кососимметричен , то e ^X ортогонален . Если X эрмитово , то e ^X также эрмитово, а если X косоэрмитово , то e ^X унитарно .

Наконец, преобразование Лапласа матричных экспонент сводится к резольвенте ,

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-ts}e^{tX}\,dt=(sI-X)^{-1}}$$

s

Системы линейных дифференциальных уравнений

Одной из причин важности матричной экспоненты является то, что ее можно использовать для решения систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений . Решение

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t),\quad y(0)=y_{0},}$$

A

$${\displaystyle y(t)=e^{At}y_{0}.}$$

Матричную экспоненту можно использовать и для решения неоднородного уравнения

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t)+z(t),\quad y(0)=y_{0}.}$$

Для дифференциальных уравнений вида не существует решения в замкнутой форме

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=A(t)\,y(t),\quad y(0)=y_{0},}$$

Aряд Магнуса

Определитель матричной экспоненты

По формуле Якоби для любой комплексной квадратной матрицы справедливо следующее тождество следа : ^[3]

${\displaystyle \det \left(e^{A}\right)=e^{\operatorname {tr} (A)}~.}$

Эта формула не только предоставляет вычислительный инструмент, но и демонстрирует, что матричная экспонента всегда является обратимой матрицей . Это следует из того факта, что правая часть приведенного выше уравнения всегда отлична от нуля, и поэтому det( e ^A ) ≠ 0 , из чего следует, что e ^A должна быть обратимой.

В действительном случае формула также отображает карту

$${\displaystyle \exp \colon M_{n}(\mathbb {R} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$$

сюръективным

Действительные симметричные матрицы

Матричная экспонента вещественной симметричной матрицы положительно определена. Пусть — вещественная симметричная матрица размера n × n и вектор-столбец. Используя элементарные свойства матричной экспоненты и симметричных матриц, имеем: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle x^{T}e^{S}x=x^{T}e^{S/2}e^{S/2}x=x^{T}(e^{S/2})^{T}e^{S/2}x=(e^{S/2}x)^{T}e^{S/2}x=\lVert e^{S/2}x\rVert ^{2}\geq 0.}$$

Поскольку обратимо, равенство справедливо только для , и мы имеем для всех ненулевых . Следовательно , положительно определено. ${\displaystyle e^{S/2}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x^{T}e^{S}x>0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle e^{S}}$

Экспонента сумм

Для любых действительных чисел (скаляров) x и y мы знаем, что экспоненциальная функция удовлетворяет условию e ^{x + y} = e ^x e ^y . То же самое справедливо и для коммутирующих матриц. Если матрицы X и Y коммутируют (это означает, что XY = YX ), то

$${\displaystyle e^{X+Y}=e^{X}e^{Y}.}$$

Однако для матриц, которые не коммутируют, приведенное выше равенство не обязательно выполняется.

Формула произведения Ли

Даже если X и Y не коммутируют, экспоненту e ^{X + Y} можно вычислить по формуле произведения Ли ^[4]

$${\displaystyle e^{X+Y}=\lim _{k\to \infty }\left(e^{{\frac {1}{k}}X}e^{{\frac {1}{k}}Y}\right)^{k}.}$$

Использование большого конечного k для аппроксимации вышеизложенного является основой расширения Сузуки-Троттера, часто используемого в числовой эволюции во времени .

Формула Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа.

В другом направлении, если X и Y — достаточно малые (но не обязательно коммутирующие) матрицы, мы имеем

$${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z},}$$

ZX исформулы Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа^[5]

$${\displaystyle Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots ,}$$

XY.XYZ = X + Y.

Неравенства для экспонент эрмитовых матриц

Для эрмитовых матриц существует примечательная теорема, связанная со следом матричных экспонент.

Если A и B — эрмитовые матрицы, то ^[6]

$${\displaystyle \operatorname {tr} \exp(A+B)\leq \operatorname {tr} \left[\exp(A)\exp(B)\right].}$$

Требование коммутативности отсутствует. Существуют контрпримеры, показывающие, что неравенство Голдена-Томпсона не может быть распространено на три матрицы – и, в любом случае, tr(exp( A )exp( B )exp( C )) не гарантированно вещественен для эрмитовых A , B , С . Однако Либ доказал ^{[7] [8]} , что его можно обобщить на три матрицы, если мы изменим выражение следующим образом:

$${\displaystyle \operatorname {tr} \exp(A+B+C)\leq \int _{0}^{\infty }\mathrm {d} t\,\operatorname {tr} \left[e^{A}\left(e^{-B}+t\right)^{-1}e^{C}\left(e^{-B}+t\right)^{-1}\right].}$$

Экспоненциальная карта

Экспонента матрицы всегда является обратимой матрицей . Обратная матрица e ^X определяется как e ^{− X} . Это аналогично тому факту, что экспонента комплексного числа всегда отлична от нуля. Затем матричная экспонента дает нам карту

$${\displaystyle \exp \colon M_{n}(\mathbb {C} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$$

nnобщую линейную группуnгруппуразмера nnсюръективно^[9]C , а не R

Для любых двух матриц X и Y ,

$${\displaystyle \left\|e^{X+Y}-e^{X}\right\|\leq \|Y\|e^{\|X\|}e^{\|Y\|},}$$

где ‖ · ‖ обозначает произвольную матричную норму . Отсюда следует , что экспоненциальное отображение непрерывно и липшицево непрерывно на компактных подмножествах Mn ₍ C ) .

Карта

$${\displaystyle t\mapsto e^{tX},\qquad t\in \mathbb {R} }$$

гладкуюt = 0

Фактически это дает однопараметрическую подгруппу полной линейной группы, поскольку

$${\displaystyle e^{tX}e^{sX}=e^{(t+s)X}.}$$

Производная этой кривой (или касательного вектора ) в точке t определяется выражением

Производная при t = 0 — это просто матрица X , то есть X порождает эту однопараметрическую подгруппу.

В более общем смысле, ^[10] для общего t -зависимого показателя X ( t ) ,

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{X(t)}=\int _{0}^{1}e^{\alpha X(t)}{\frac {dX(t)}{dt}}e^{(1-\alpha )X(t)}\,d\alpha ~.}$

Вынеся приведенное выше выражение e ^{X ( t )} за знак интеграла и расширив подынтегральную функцию с помощью леммы Адамара , можно получить следующее полезное выражение для производной матричного показателя степени: ^[11]

$${\displaystyle \left({\frac {d}{dt}}e^{X(t)}\right)e^{-X(t)}={\frac {d}{dt}}X(t)+{\frac {1}{2!}}\left[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)\right]+{\frac {1}{3!}}\left[X(t),\left[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)\right]\right]+\cdots }$$

Коэффициенты в приведенном выше выражении отличаются от тех, которые появляются в экспоненте. Для замкнутой формы см. производную экспоненциального отображения .

Производные по направлению при ограничении эрмитовыми матрицами

Пусть – эрмитова матрица с различными собственными значениями. Пусть – его собственное разложение где – унитарная матрица, столбцы которой являются собственными векторами матрицы , – ее сопряженное транспонирование и вектор соответствующих собственных значений. Тогда для любой эрмитовой матрицы производная от at по направлению равна ^{[12] [13]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle X=E{\textrm {diag}}(\Lambda )E^{*}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle \Lambda =\left(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\right)}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \exp :X\to e^{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle D\exp(X)[V]\triangleq \lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{\epsilon }}\left(\displaystyle e^{X+\epsilon V}-e^{X}\right)=E(G\odot {\bar {V}})E^{*}}$$

${\displaystyle {\bar {V}}=E^{*}VE}$ ${\displaystyle \odot }$ ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle G_{i,j}=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {e^{\lambda _{i}}-e^{\lambda _{j}}}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}&{\text{ if }}i\neq j,\\&e^{\lambda _{i}}&{\text{ otherwise}}.\\\end{aligned}}\right.}$$

^[13] ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle D^{2}\exp(X)[U,V]\triangleq \lim _{\epsilon _{u}\to 0}\lim _{\epsilon _{v}\to 0}{\frac {1}{4\epsilon _{u}\epsilon _{v}}}\left(\displaystyle e^{X+\epsilon _{u}U+\epsilon _{v}V}-e^{X-\epsilon _{u}U+\epsilon _{v}V}-e^{X+\epsilon _{u}U-\epsilon _{v}V}+e^{X-\epsilon _{u}U-\epsilon _{v}V}\right)=EF(U,V)E^{*}}$$

${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$

$${\displaystyle F(U,V)_{i,j}=\sum _{k=1}^{n}\phi _{i,j,k}({\bar {U}}_{ik}{\bar {V}}_{jk}^{*}+{\bar {V}}_{ik}{\bar {U}}_{jk}^{*})}$$

$${\displaystyle \phi _{i,j,k}=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {G_{ik}-G_{jk}}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}&{\text{ if }}i\neq j,\\&{\frac {G_{ii}-G_{ik}}{\lambda _{i}-\lambda _{k}}}&{\text{ if }}i=j{\text{ and }}k\neq i,\\&{\frac {G_{ii}}{2}}&{\text{ if }}i=j=k.\\\end{aligned}}\right.}$$

Вычисление матричной экспоненты

Найти надежные и точные методы вычисления матричной экспоненты сложно, и это все еще является темой серьезных текущих исследований в области математики и численного анализа. Matlab , GNU Octave , R и SciPy используют аппроксимант Паде . ^{[14] [15] [16] [17]} В этом разделе мы обсуждаем методы, которые в принципе применимы к любой матрице и которые можно явно реализовать для малых матриц. ^[18] В последующих разделах описываются методы, подходящие для численного оценивания больших матриц.

Диагонализуемый корпус

Если матрица диагональная :

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1}&0&\cdots &0\\0&a_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}},}$$

$${\displaystyle e^{A}={\begin{bmatrix}e^{a_{1}}&0&\cdots &0\\0&e^{a_{2}}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &e^{a_{n}}\end{bmatrix}}.}$$

Этот результат также позволяет возводить в степень диагонализуемые матрицы . Если

А = УДУ ^-1

и D диагональ, то

е ^А знак равно Ue ^D U ^-1 .

Применение формулы Сильвестра дает тот же результат. (Чтобы убедиться в этом, заметим, что сложение и умножение, а, следовательно, и возведение в степень, диагональных матриц эквивалентно поэлементному сложению и умножению и, следовательно, возведению в степень; в частности, «одномерное» возведение в степень ощущается поэлементно для диагонали. случай.)

Пример: Диагонализуемый

Например, матрица

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&4\\1&1\\\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1&0\\0&3\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}^{-1}.}$$

Таким образом,

$${\displaystyle e^{A}={\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}e^{\begin{bmatrix}-1&0\\0&3\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{e}}&0\\0&e^{3}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {e^{4}+1}{2e}}&{\frac {e^{4}-1}{e}}\\{\frac {e^{4}-1}{4e}}&{\frac {e^{4}+1}{2e}}\\\end{bmatrix}}.}$$

Нильпотентный случай

Матрица N нильпотентна , если N ^q = 0 для некоторого целого числа q . В этом случае матричную экспоненту e ^N можно вычислить непосредственно из разложения в ряд, поскольку ряд заканчивается после конечного числа членов:

$${\displaystyle e^{N}=I+N+{\frac {1}{2}}N^{2}+{\frac {1}{6}}N^{3}+\cdots +{\frac {1}{(q-1)!}}N^{q-1}~.}$$

Поскольку ряд имеет конечное число шагов, он представляет собой матричный полином, который можно эффективно вычислить .

Общий случай

Используя разложение Жордана – Шевалле.

С помощью разложения Жордана – Шевалле любая матрица X с комплексными элементами может быть выражена как ${\displaystyle n\times n}$

$${\displaystyle X=A+N}$$

• A диагонализуема
• N нильпотентен
• A ездит с N

Это означает, что мы можем вычислить экспоненту X , приведя к двум предыдущим случаям:

$${\displaystyle e^{X}=e^{A+N}=e^{A}e^{N}.}$$

Обратите внимание, что нам нужна коммутативность A и N , чтобы последний шаг работал.

Используя каноническую форму Джордана

Близко связанный метод состоит в том , чтобы , если поле алгебраически замкнуто , работать с жордановой формой X. Предположим, что X = PJP ⁻¹ , где J — жордановая форма X. Затем

$${\displaystyle e^{X}=Pe^{J}P^{-1}.}$$

Кроме того, поскольку

$${\displaystyle {\begin{aligned}J&=J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n}),\\e^{J}&=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n}){\big )}\\&=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1}){\big )}\oplus \exp {\big (}J_{a_{2}}(\lambda _{2}){\big )}\oplus \cdots \oplus \exp {\big (}J_{a_{n}}(\lambda _{n}){\big )}.\end{aligned}}}$$

Поэтому нам нужно только знать, как вычислить матричную экспоненту жорданового блока . Но каждый жорданов блок имеет вид

$${\displaystyle {\begin{aligned}&&J_{a}(\lambda )&=\lambda I+N\\&\Rightarrow &e^{J_{a}(\lambda )}&=e^{\lambda I+N}=e^{\lambda }e^{N}.\end{aligned}}}$$

где N — специальная нильпотентная матрица. Тогда матричная экспонента J определяется выражением

$${\displaystyle e^{J}=e^{\lambda _{1}}e^{N_{a_{1}}}\oplus e^{\lambda _{2}}e^{N_{a_{2}}}\oplus \cdots \oplus e^{\lambda _{n}}e^{N_{a_{n}}}}$$

Проекционный корпус

Если P является матрицей проекции (т.е. является идемпотентной : P ² = P ), ее матричная экспонента равна:

е ^п знак равно я + ( е - 1) п .

Получая это путем разложения показательной функции, каждая степень P сводится к P , которая становится общим делителем суммы:

$${\displaystyle e^{P}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {P^{k}}{k!}}=I+\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\right)P=I+(e-1)P~.}$$

Случай вращения

Для простого вращения, при котором перпендикулярные единичные векторы a и b задают плоскость, ^[19] матрица вращения R может быть выражена через аналогичную экспоненциальную функцию, включающую генератор G и угол θ . ^{[20] [21]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}G&=\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}&P&=-G^{2}=\mathbf {aa} ^{\mathsf {T}}+\mathbf {bb} ^{\mathsf {T}}\\P^{2}&=P&PG&=G=GP~,\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}R\left(\theta \right)=e^{G\theta }&=I+G\sin(\theta )+G^{2}(1-\cos(\theta ))\\&=I-P+P\cos(\theta )+G\sin(\theta )~.\\\end{aligned}}}$$

Формула для экспоненты получается в результате уменьшения степеней G при разложении в ряд и идентификации соответствующих коэффициентов ряда G ² и G с -cos( θ ) и sin( θ ) соответственно. Второе выражение здесь для e ^Gθ такое же, как выражение для R ( θ ) в статье, содержащей вывод генератора , R ( θ ) = e ^Gθ .

В двух измерениях, если и , то , , и ${\displaystyle a=\left[{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle b=\left[{\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle G=\left[{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle G^{2}=\left[{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right]}$

$${\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}=I\cos(\theta )+G\sin(\theta )}$$

Матрица P = − G ² проецирует вектор на ab -плоскость, и вращение затрагивает только эту часть вектора. Примером, иллюстрирующим это, является поворот на 30 ° = π/6 в плоскости, охватываемой a и b ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}&\mathbf {b} &={\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{bmatrix}0\\1\\2\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}G={\frac {1}{\sqrt {5}}}&{\begin{bmatrix}0&-1&-2\\1&0&0\\2&0&0\\\end{bmatrix}}&P=-G^{2}&={\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}5&0&0\\0&1&2\\0&2&4\\\end{bmatrix}}\\P{\begin{bmatrix}1\\2\\3\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{5}}&{\begin{bmatrix}5\\8\\16\\\end{bmatrix}}=\mathbf {a} +{\frac {8}{\sqrt {5}}}\mathbf {b} &R\left({\frac {\pi }{6}}\right)&={\frac {1}{10}}{\begin{bmatrix}5{\sqrt {3}}&-{\sqrt {5}}&-2{\sqrt {5}}\\{\sqrt {5}}&8+{\sqrt {3}}&-4+2{\sqrt {3}}\\2{\sqrt {5}}&-4+2{\sqrt {3}}&2+4{\sqrt {3}}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

Пусть N = I - P , поэтому N ² = N и его произведения на P и G равны нулю. Это позволит нам оценить мощности R .

$${\displaystyle {\begin{aligned}R\left({\frac {\pi }{6}}\right)&=N+P{\frac {\sqrt {3}}{2}}+G{\frac {1}{2}}\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{2}&=N+P{\frac {1}{2}}+G{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{3}&=N+G\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{6}&=N-P\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{12}&=N+P=I\\\end{aligned}}}$$

Оценка по ряду Лорана

В силу теоремы Кэли–Гамильтона матричная экспонента выражается в виде многочлена порядка n −1.

Если P и Q _t — ненулевые полиномы от одной переменной, такие, что P ( A ) = 0 , и если мероморфная функция

$${\displaystyle f(z)={\frac {e^{tz}-Q_{t}(z)}{P(z)}}}$$

,

$${\displaystyle e^{tA}=Q_{t}(A).}$$

( z ) иzA.

Такой полином Q _t ( z ) можно найти следующим образом — см. формулу Сильвестра . Если a является корнем P , Q _a,t ( z ) решается из произведения P на главную часть ряда Лорана f в точке a : оно пропорционально соответствующему коварианту Фробениуса . Тогда сумма St Q a _,t , где a пробегает все корни P , может быть принята _за конкретное Q _t . Все остальные Qt будут получены добавлением кратного P к St _{( z} ) . В частности, S _t ( z ) , полином Лагранжа-Сильвестра , является единственным Q _t , степень которого меньше степени P .

Пример . Рассмотрим случай произвольной матрицы 2×2:

$${\displaystyle A:={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}.}$$

Матрица экспоненты e ^tA в силу теоремы Кэли–Гамильтона должна иметь вид

$${\displaystyle e^{tA}=s_{0}(t)\,I+s_{1}(t)\,A.}$$

(Для любого комплексного числа z и любой C -алгебры B мы снова обозначаем через z произведение z на единицу B. )

Пусть α и β — корни характеристического многочлена A ,

$${\displaystyle P(z)=z^{2}-(a+d)\ z+ad-bc=(z-\alpha )(z-\beta )~.}$$

Тогда у нас есть

$${\displaystyle S_{t}(z)=e^{\alpha t}{\frac {z-\beta }{\alpha -\beta }}+e^{\beta t}{\frac {z-\alpha }{\beta -\alpha }}~,}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(t)&={\frac {\alpha \,e^{\beta t}-\beta \,e^{\alpha t}}{\alpha -\beta }},&s_{1}(t)&={\frac {e^{\alpha t}-e^{\beta t}}{\alpha -\beta }}\end{aligned}}}$$

если α ≠ β ; в то время как, если α = β ,

$${\displaystyle S_{t}(z)=e^{\alpha t}(1+t(z-\alpha ))~,}$$

так что

$${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(t)&=(1-\alpha \,t)\,e^{\alpha t},&s_{1}(t)&=t\,e^{\alpha t}~.\end{aligned}}}$$

Определение

$${\displaystyle {\begin{aligned}s&\equiv {\frac {\alpha +\beta }{2}}={\frac {\operatorname {tr} A}{2}}~,&q&\equiv {\frac {\alpha -\beta }{2}}=\pm {\sqrt {-\det \left(A-sI\right)}},\end{aligned}}}$$

у нас есть

$${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(t)&=e^{st}\left(\cosh(qt)-s{\frac {\sinh(qt)}{q}}\right),&s_{1}(t)&=e^{st}{\frac {\sinh(qt)}{q}},\end{aligned}}}$$

где sin( qt )/ q равно 0, если t = 0 , и t, если q = 0 .

Таким образом,

${\displaystyle e^{tA}=e^{st}\left(\left(\cosh(qt)-s{\frac {\sinh(qt)}{q}}\right)~I~+{\frac {\sinh(qt)}{q}}A\right)~.}$

Таким образом, как указано выше, матрица А , разложившаяся на сумму двух взаимно коммутирующих частей, следового и бесследового,

$${\displaystyle A=sI+(A-sI)~,}$$

матричная экспонента сводится к простому произведению экспонент двух соответствующих частей. Это формула, часто используемая в физике, поскольку она представляет собой аналог формулы Эйлера для спиновых матриц Паули , то есть вращения дублетного представления группы SU(2) .

Полиному St также _можно дать следующую « интерполяционную » характеристику. Определим е _т ( z ) ≡ е ^tz и n ≡ deg P . Тогда S _t ( z ) является уникальным многочленом степени < n ^, который удовлетворяет условию S _t ^{( k )} ( a ) = et ₍ ^{k )} ( a ) всякий раз, когда k меньше кратности a как корня P . Мы предполагаем, как это очевидно возможно, что P — минимальный многочлен от A . Далее мы предполагаем, что A — диагонализуемая матрица . В частности, корни P просты, а « интерполяционная » характеристика указывает на то, что S _t задается интерполяционной формулой Лагранжа, поэтому это полином Лагранжа-Сильвестра .

С другой стороны, если P = ( z - a ) ⁿ , то

$${\displaystyle S_{t}=e^{at}\ \sum _{k=0}^{n-1}\ {\frac {t^{k}}{k!}}\ (z-a)^{k}~.}$$

Самый простой случай, не охваченный приведенными выше наблюдениями, - это когда a ≠ b , что дает ${\displaystyle P=(z-a)^{2}\,(z-b)}$

$${\displaystyle S_{t}=e^{at}\ {\frac {z-b}{a-b}}\ \left(1+\left(t+{\frac {1}{b-a}}\right)(z-a)\right)+e^{bt}\ {\frac {(z-a)^{2}}{(b-a)^{2}}}.}$$

Оценка путем реализации формулы Сильвестра

Практическое, ускоренное вычисление вышеизложенного сводится к следующим быстрым шагам. Напомним, что матрица exp( tA ) размера n×n представляет собой линейную комбинацию первых n -1 степеней матрицы A по теореме Кэли–Гамильтона . Для диагонализуемых матриц, как показано выше, например, в случае 2×2, формула Сильвестра дает exp( tA ) = B _α exp( tα ) + B _β exp( tβ ) , где B s — коварианты Фробениуса A .

Однако проще всего просто решить эти B напрямую, вычислив это выражение и его первую производную при t = 0 в терминах A и I , чтобы найти тот же ответ, что и выше.

Но эта простая процедура работает и для дефектных матриц, в обобщении Бухгейма. ^[22] Здесь это показано на примере матрицы размером 4×4, которая не является диагонализуемой , а B не являются матрицами проекций.

Учитывать

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&-{\frac {1}{8}}\\0&0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}~,}$$

λ ₁ = 3/4λ ₂ = 1

Рассмотрим экспоненту каждого собственного значения, умноженную на t , exp( λ _i t ) . Умножьте каждое возведенное в степень собственное значение на соответствующую матрицу неопределенных коэффициентов B _i . Если собственные значения имеют алгебраическую кратность больше 1, то повторите процесс, но теперь умножая на дополнительный коэффициент t для каждого повторения, чтобы обеспечить линейную независимость.

(Если бы одно собственное значение имело кратность три, то было бы три члена: Напротив, когда все собственные значения различны, B являются просто ковариантами Фробениуса , и решение для них, как показано ниже, просто сводится к инверсии Матрица Вандермонда этих 4 собственных значений.) ${\displaystyle B_{i_{1}}e^{\lambda _{i}t},~B_{i_{2}}te^{\lambda _{i}t},~B_{i_{3}}t^{2}e^{\lambda _{i}t}}$

Суммируем все такие слагаемые, вот таких четыре,

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{At}&=B_{1_{1}}e^{\lambda _{1}t}+B_{1_{2}}te^{\lambda _{1}t}+B_{2_{1}}e^{\lambda _{2}t}+B_{2_{2}}te^{\lambda _{2}t},\\e^{At}&=B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{1_{2}}te^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+B_{2_{2}}te^{1t}~.\end{aligned}}}$$

Чтобы решить все неизвестные матрицы B с точки зрения первых трех степеней A и единицы, нужны четыре уравнения, причем приведенное выше дает одно такое при t = 0. Далее продифференцируйте его по t ,

$${\displaystyle Ae^{At}={\frac {3}{4}}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left({\frac {3}{4}}t+1\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+1B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1t+1\right)B_{2_{2}}e^{1t}~,}$$

и опять,

$${\displaystyle {\begin{aligned}A^{2}e^{At}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}t+\left({\frac {3}{4}}+1\cdot {\frac {3}{4}}\right)\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1^{2}t+(1+1\cdot 1)\right)B_{2_{2}}e^{1t}\\&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}t+{\frac {3}{2}}\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{t}+\left(t+2\right)B_{2_{2}}e^{t}~,\end{aligned}}}$$

и еще раз,

$${\displaystyle {\begin{aligned}A^{3}e^{At}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}t+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}+\left({\frac {3}{2}}\right)\cdot {\frac {3}{4}}\right)\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1^{3}t+(1+2)\cdot 1\right)B_{2_{2}}e^{1t}\\&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}\!+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}t\!+{\frac {27}{16}}\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}\!+B_{2_{1}}e^{t}\!+\left(t+3\cdot 1\right)B_{2_{2}}e^{t}~.\end{aligned}}}$$

(В общем случае необходимо взять n −1 производных.)

Полагая t = 0 в этих четырех уравнениях, теперь можно решить четыре матрицы коэффициентов B s:

$${\displaystyle {\begin{aligned}I&=B_{1_{1}}+B_{2_{1}}\\A&={\frac {3}{4}}B_{1_{1}}+B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+B_{2_{2}}\\A^{2}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}+{\frac {3}{2}}B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+2B_{2_{2}}\\A^{3}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}+{\frac {27}{16}}B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+3B_{2_{2}}~,\end{aligned}}}$$

уступать

$${\displaystyle {\begin{aligned}B_{1_{1}}&=128A^{3}-366A^{2}+288A-80I\\B_{1_{2}}&=16A^{3}-44A^{2}+40A-12I\\B_{2_{1}}&=-128A^{3}+366A^{2}-288A+80I\\B_{2_{2}}&=16A^{3}-40A^{2}+33A-9I~.\end{aligned}}}$$

Замена значением A дает матрицы коэффициентов

$${\displaystyle {\begin{aligned}B_{1_{1}}&={\begin{bmatrix}0&0&48&-16\\0&0&-8&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\\B_{1_{2}}&={\begin{bmatrix}0&0&4&-2\\0&0&-1&{\frac {1}{2}}\\0&0&{\frac {1}{4}}&-{\frac {1}{8}}\\0&0&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{4}}\end{bmatrix}}\\B_{2_{1}}&={\begin{bmatrix}1&0&-48&16\\0&1&8&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\\B_{2_{2}}&={\begin{bmatrix}0&1&8&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

так что окончательный ответ

$${\displaystyle e^{tA}={\begin{bmatrix}e^{t}&te^{t}&\left(8t-48\right)e^{t}\!+\left(4t+48\right)e^{{\frac {3}{4}}t}&\left(16-2\,t\right)e^{t}\!+\left(-2t-16\right)e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&e^{t}&8e^{t}\!+\left(-t-8\right)e^{{\frac {3}{4}}t}&-2e^{t}+{\frac {t+4}{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&0&{\frac {t+4}{4}}e^{{\frac {3}{4}}t}&-{\frac {t}{8}}e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&0&{\frac {t}{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}&-{\frac {t-4}{4}}e^{{\frac {3}{4}}t}~.\end{bmatrix}}}$$

Процедура намного короче алгоритма Путцера, иногда используемого в таких случаях.

Иллюстрации

Предположим, что мы хотим вычислить экспоненту

$${\displaystyle B={\begin{bmatrix}21&17&6\\-5&-1&-6\\4&4&16\end{bmatrix}}.}$$

Его жордановая форма :

$${\displaystyle J=P^{-1}BP={\begin{bmatrix}4&0&0\\0&16&1\\0&0&16\end{bmatrix}},}$$

P

$${\displaystyle P={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{4}}&2&{\frac {5}{4}}\\{\frac {1}{4}}&-2&-{\frac {1}{4}}\\0&4&0\end{bmatrix}}.}$$

Давайте сначала вычислим exp( J ). У нас есть

$${\displaystyle J=J_{1}(4)\oplus J_{2}(16)}$$

Экспонента матрицы 1×1 — это просто экспонента одного элемента матрицы, поэтому exp( J ₁ (4)) = [ e ⁴ ] . Экспоненту J ₂ (16) можно вычислить по формуле e ^{(λ I + N )} = e ^λ e ^N , упомянутой выше; это дает ^[23]

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\exp \left({\begin{bmatrix}16&1\\0&16\end{bmatrix}}\right)=e^{16}\exp \left({\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}\right)=\\[6pt]{}={}&e^{16}\left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}+{1 \over 2!}{\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}+\cdots {}\right)={\begin{bmatrix}e^{16}&e^{16}\\0&e^{16}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

Следовательно, экспонента исходной матрицы B равна

$${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(B)&=P\exp(J)P^{-1}=P{\begin{bmatrix}e^{4}&0&0\\0&e^{16}&e^{16}\\0&0&e^{16}\end{bmatrix}}P^{-1}\\[6pt]&={1 \over 4}{\begin{bmatrix}13e^{16}-e^{4}&13e^{16}-5e^{4}&2e^{16}-2e^{4}\\-9e^{16}+e^{4}&-9e^{16}+5e^{4}&-2e^{16}+2e^{4}\\16e^{16}&16e^{16}&4e^{16}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

Приложения

Линейные дифференциальные уравнения

Матричная экспонента имеет приложения к системам линейных дифференциальных уравнений . (См. также матричное дифференциальное уравнение .) Напомним, ранее в этой статье говорилось, что однородное дифференциальное уравнение вида

$${\displaystyle \mathbf {y} '=A\mathbf {y} }$$

e ^At y (0)

Если мы рассмотрим вектор

$${\displaystyle \mathbf {y} (t)={\begin{bmatrix}y_{1}(t)\\\vdots \\y_{n}(t)\end{bmatrix}}~,}$$

неоднородных

$${\displaystyle \mathbf {y} '(t)=A\mathbf {y} (t)+\mathbf {b} (t).}$$

анзацаe ^{- At}

$${\displaystyle {\begin{aligned}&&e^{-At}\mathbf {y} '-e^{-At}A\mathbf {y} &=e^{-At}\mathbf {b} \\&\Rightarrow &e^{-At}\mathbf {y} '-Ae^{-At}\mathbf {y} &=e^{-At}\mathbf {b} \\&\Rightarrow &{\frac {d}{dt}}\left(e^{-At}\mathbf {y} \right)&=e^{-At}\mathbf {b} ~.\end{aligned}}}$$

Второй шаг возможен благодаря тому, что если AB = BA , то e ^At B = Be ^At . Итак, вычисление e ^At приводит к решению системы путем простого интегрирования третьего шага по t .

Решение этой проблемы можно получить путем интегрирования и умножения на для исключения показателя степени в LHS. Обратите внимание, что while является матрицей, учитывая, что это матричная экспонента, мы можем сказать, что . Другими словами, . ${\displaystyle e^{{\textbf {A}}t}}$ ${\displaystyle e^{{\textbf {A}}t}}$ ${\displaystyle e^{{\textbf {A}}t}e^{-{\textbf {A}}t}=I}$ ${\displaystyle \exp {{\textbf {A}}t}=\exp {{(-{\textbf {A}}t)}^{-1}}}$

Пример (однородный)

Рассмотрим систему

$${\displaystyle {\begin{matrix}x'&=&2x&-y&+z\\y'&=&&3y&-1z\\z'&=&2x&+y&+3z\end{matrix}}~.}$$

Соответствующая дефектная матрица

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{bmatrix}}~.}$$

Матричная экспонента

$${\displaystyle e^{tA}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)&-2te^{2t}&e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}-2t\right)&2(t+1)e^{2t}&-e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)&2te^{2t}&e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)\end{bmatrix}}~,}$$

так что общее решение однородной системы имеет вид

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\frac {x(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}-2t\right)\\e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)\end{bmatrix}}+{\frac {y(0)}{2}}{\begin{bmatrix}-2te^{2t}\\2(t+1)e^{2t}\\2te^{2t}\end{bmatrix}}+{\frac {z(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)\end{bmatrix}}~,}$$

в размере

$${\displaystyle {\begin{aligned}2x&=x(0)e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)+y(0)\left(-2te^{2t}\right)+z(0)e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\[2pt]2y&=x(0)\left(-e^{2t}\right)\left(-1+e^{2t}-2t\right)+y(0)2(t+1)e^{2t}+z(0)\left(-e^{2t}\right)\left(-1+e^{2t}\right)\\[2pt]2z&=x(0)e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)+y(0)2te^{2t}+z(0)e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)~.\end{aligned}}}$$

Пример (неоднородный)

Рассмотрим теперь неоднородную систему

$${\displaystyle {\begin{matrix}x'&=&2x&-&y&+&z&+&e^{2t}\\y'&=&&&3y&-&z&\\z'&=&2x&+&y&+&3z&+&e^{2t}\end{matrix}}~.}$$

У нас снова есть

$${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{array}}\right]~,}$$

и

$${\displaystyle \mathbf {b} =e^{2t}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}.}$$

Ранее у нас уже было общее решение однородного уравнения. Поскольку сумма однородного и частного решений дает общее решение неоднородной задачи, нам теперь нужно найти только частное решение.

Мы имеем, как указано выше,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}&=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{(-u)A}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}2e^{u}-2ue^{2u}&-2ue^{2u}&0\\-2e^{u}+2(u+1)e^{2u}&2(u+1)e^{2u}&0\\2ue^{2u}&2ue^{2u}&2e^{u}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}e^{2u}\left(2e^{u}-2ue^{2u}\right)\\e^{2u}\left(-2e^{u}+2(1+u)e^{2u}\right)\\2e^{3u}+2ue^{4u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}{\begin{bmatrix}-{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t-1)-16\right)\\{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t+4)-16\right)\\{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t-1)-16\right)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2e^{t}-2te^{2t}&-2te^{2t}&0\\-2e^{t}+2(t+1)e^{2t}&2(t+1)e^{2t}&0\\2te^{2t}&2te^{2t}&2e^{t}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{bmatrix}}~,\end{aligned}}}$$

cy _p

Обобщение неоднородного случая: изменение параметров

Для неоднородного случая можно использовать интегрирующие коэффициенты (метод, аналогичный вариации параметров ). Мы ищем частное решение вида y _p ( t ) = exp( tA ) z ( t ) ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}'(t)&=\left(e^{tA}\right)'\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=Ae^{tA}\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=A\mathbf {y} _{p}(t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)~.\end{aligned}}}$$

Чтобы y _p было решением,

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{tA}\mathbf {z} '(t)&=\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} '(t)&=\left(e^{tA}\right)^{-1}\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} (t)&=\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+\mathbf {c} ~.\end{aligned}}}$$

Таким образом,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}(t)&=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\&=\int _{0}^{t}e^{(t-u)A}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} ~,\end{aligned}}}$$

c

Точнее, рассмотрим уравнение

$${\displaystyle Y'-A\ Y=F(t)}$$

с начальным условием Y ( t ₀ ) = Y ₀ , где

• A - комплексная матрица размера n на n ,
• F — непрерывная функция из некоторого открытого ^{интервала} I до Cn ,
• ${\displaystyle t_{0}}$это точка Я , и
• ${\displaystyle Y_{0}}$является вектором C ⁿ .

Умножение показанного выше равенства слева на e -tA ^дает

$${\displaystyle Y(t)=e^{(t-t_{0})A}\ Y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}e^{(t-x)A}\ F(x)\ dx~.}$$

Мы утверждаем, что решение уравнения

$${\displaystyle P(d/dt)\ y=f(t)}$$

с начальными условиями для 0 ≤ k < n ${\displaystyle y^{(k)}(t_{0})=y_{k}}$

$${\displaystyle y(t)=\sum _{k=0}^{n-1}\ y_{k}\ s_{k}(t-t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}s_{n-1}(t-x)\ f(x)\ dx~,}$$

где обозначения следующие:

• ${\displaystyle P\in \mathbb {C} [X]}$— монический полином степени n > 0 ,
• f — непрерывная комплекснозначная функция, определенная на некотором открытом интервале I ,
• ${\displaystyle t_{0}}$это точка Я ,
• ${\displaystyle y_{k}}$является комплексным числом, и

s _k ( t ) — коэффициентв многочлене, обозначенномв подразделе «Оценка рядами Лорана» выше. ${\displaystyle X^{k}}$ ${\displaystyle S_{t}\in \mathbb {C} [X]}$

Чтобы обосновать это утверждение, мы преобразуем наше скалярное уравнение порядка n в векторное уравнение первого порядка путем обычного сведения к системе первого порядка . Наше векторное уравнение принимает вид

$${\displaystyle {\frac {dY}{dt}}-A\ Y=F(t),\quad Y(t_{0})=Y_{0},}$$

Aтранспонированнаякомпаньон P.

В случае n = 2 получаем следующее утверждение. Решение

$${\displaystyle y''-(\alpha +\beta )\ y'+\alpha \,\beta \ y=f(t),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=y_{1}}$$

является

$${\displaystyle y(t)=y_{0}\ s_{0}(t-t_{0})+y_{1}\ s_{1}(t-t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}s_{1}(t-x)\,f(x)\ dx,}$$

где функции s ₀ и s ₁ такие же, как в подразделе «Оценка по рядам Лорана» выше.

Матрично-матричные экспоненты

Матричная экспонента другой матрицы (матрично-матричная экспонента), ^[24] определяется как

$${\displaystyle X^{Y}=e^{\log(X)\cdot Y}}$$

$${\displaystyle ^{Y}\!X=e^{Y\cdot \log(X)}}$$

нормальнойнеособойX размера n × nY размера n × n

Для матрично-матричных экспонент существует различие между левой экспонентой ^Y X и правой экспонентой X ^Y , поскольку оператор умножения для преобразования матрицы в матрицу не является коммутативным . Более того,

• Если X нормальный и неособый, то X ^Y и ^Y X имеют одинаковый набор собственных значений.
• Если X нормальный и неособый, Y нормальный и XY = YX , то X ^Y = ^Y X.
• Если X нормально и неособо, и X , Y , Z коммутируют друг с другом, то X ^{Y + Z} = X ^Y · X ^Z и ^{Y + Z} X = ^Y X · ^Z X .

Смотрите также

• Матричная функция
• Матрица логарифма
• С ₀ -полугруппа
• Экспоненциальная функция
• Экспоненциальная карта (теория Ли)
• Расширение Магнуса
• Производная экспоненциальной карты
• Векторный поток
• Неравенство Голдена – Томпсона
• Распределение фазового типа
• Формула произведения лжи
• Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа
• Ковариант Фробениуса
• Формула Сильвестра
• Тригонометрические функции матриц

Рекомендации

1. Холл, 2015 г., уравнение 2.1.
2. Зал 2015 г. Предложение 2.3
3. Холл, 2015 г. Теорема 2.12.
4. Холл, 2015 г., Теорема 2.11.
5. Зал 2015, Глава 5.
6. Бхатия, Р. (1997). Матричный анализ . Тексты для аспирантов по математике. Том. 169. Спрингер. ISBN 978-0-387-94846-1.
7. Либ, Эллиот Х. (1973). «Выпуклые функции следа и гипотеза Вигнера-Янасе-Дайсона». Достижения в математике . 11 (3): 267–288. дои : 10.1016/0001-8708(73)90011-X .
8. Х. Эпштейн (1973). «Замечания к двум теоремам Э. Либа». Связь в математической физике . 31 (4): 317–325. Бибкод : 1973CMaPh..31..317E. дои : 10.1007/BF01646492. S2CID  120096681.
9. Зал 2015 г. Упражнения 2.9 и 2.10.
10. Р. М. Уилкокс (1967). «Экспоненциальные операторы и дифференцирование параметров в квантовой физике». Журнал математической физики . 8 (4): 962–982. Бибкод : 1967JMP.....8..962W. дои : 10.1063/1.1705306.
11. Холл, 2015 г., Теорема 5.4.
12. Льюис, Адриан С.; Сендов, Христо С. (2001). «Дважды дифференцируемые спектральные функции» (PDF) . Журнал SIAM по матричному анализу и приложениям . 23 (2): 368–386. дои : 10.1137/S089547980036838X.См. теорему 3.3.
13. Деледалль, Шарль-Альбан; Денис, Лоик; Тюпин, Флоренция (2022). «Уменьшение спеклов в матрично-логарифмической области для радиолокационных изображений с синтезированной апертурой». Журнал математического изображения и видения . 64 (3): 298–320. дои : 10.1007/s10851-022-01067-1 .См. предложения 1 и 2.
14. "Матричная экспонента - MATLAB expm - MathWorks Deutschland" . Mathworks.de. 30 апреля 2011 г. Проверено 5 июня 2013 г.
15. «GNU Octave - Функции матрицы». Network-theory.co.uk. 11 января 2007 г. Архивировано из оригинала 29 мая 2015 г. Проверено 5 июня 2013 г.
16. "R - pkg {Matrix}: Матричная экспонента" . 28 февраля 2005 г. Проверено 17 июля 2023 г.
17. "Документация по функциям scipy.linalg.expm" . Сообщество SciPy. 18 января 2015 г. Проверено 29 мая 2015 г.
18. См. Hall 2015, раздел 2.2.
19. в евклидовом пространстве
20. Вейль, Герман (1952). Пространство-время имеет значение. Дувр. п. 142. ИСБН 978-0-486-60267-7.
21. Бьоркен, Джеймс Д.; Дрелл, Сидни Д. (1964). Релятивистская квантовая механика . МакГроу-Хилл. п. 22.
22. Райнхарт, РФ (1955). «Эквивалентность определений матричной функции». Американский математический ежемесячник , 62 (6), 395–414.
23. Это можно обобщить; в общем случае экспонента J _n ( a ) представляет собой верхнетреугольную матрицу с e ^a /0! на главной диагонали e ^a /1! на приведенном выше, e ^a /2! на следующем и так далее.
24. Игнасио Баррадас и Джоэл Э. Коэн (1994). «Итерированное возведение в степень, матричное возведение в степень и энтропия» (PDF) . Academic Press, Inc. Архивировано из оригинала (PDF) 26 июня 2009 г.

• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3-319-13466-6
• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (1991). Темы матричного анализа . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-46713-1..
• Молер, Клив ; Ван Лоан, Чарльз Ф. (2003). «Девятнадцать сомнительных способов вычисления экспоненты матрицы, двадцать пять лет спустя» (PDF) . Обзор СИАМ . 45 (1): 3–49. Бибкод : 2003SIAMR..45....3M. CiteSeerX  10.1.1.129.9283 . дои : 10.1137/S00361445024180. ISSN  1095-7200..
• Сузуки, Масуо (1985). «Формулы разложения экспоненциальных операторов и экспонент Лия с некоторыми приложениями к квантовой механике и статистической физике». Журнал математической физики . 26 (4): 601–612. Бибкод : 1985JMP....26..601S. дои : 10.1063/1.526596.
• Куртрайт, ТЛ ; Фэрли, Д.Б. ; Захос, СК (2014). «Компактная формула для вращений как полиномов матрицы спина». Симметрия, интегрируемость и геометрия: методы и приложения . 10 : 084.arXiv : 1402.3541 . Бибкод : 2014SIGMA..10..084C. дои : 10.3842/SIGMA.2014.084. S2CID  18776942.
• Домовладелец, Олстон С. (2006). Теория матриц в численном анализе . Дуврские книги по математике. ISBN 978-0-486-44972-2.
• Ван Кортрик, ТС (2016). «Матричные экспоненты, элементы группы SU (N) и действительные полиномиальные корни». Журнал математической физики . 57 (2): 021701. arXiv : 1508.05859 . Бибкод : 2016JMP....57b1701V. дои : 10.1063/1.4938418. S2CID  119647937.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Матричная экспонента». Математический мир .