Транспонировать

Матричная операция, которая переворачивает матрицу по ее диагонали.

Транспонирование A ^T матрицы A можно получить, отразив элементы вдоль ее главной диагонали. Повторение процесса с транспонированной матрицей возвращает элементы в исходное положение.

В линейной алгебре транспонирование матрицы — это оператор , который переворачивает матрицу по ее диагонали; то есть он меняет индексы строк и столбцов матрицы A ^, создавая другую матрицу, часто обозначаемую AT (среди других обозначений). ^[1]

Транспонирование матрицы было предложено в 1858 году британским математиком Артуром Кэли . ^[2] В случае логической матрицы , представляющей бинарное отношение R, транспонирование соответствует обратному отношению R ^T .

Транспонирование матрицы

Определение

Транспонирование матрицы A , обозначенной AT , ^{[3] ⊤} A , A ^⊤ , , ^{[4] [5]} A′ , ^{[6] A} tr ^, t ^A или A t ^, может быть построено с помощью любого из следующие методы: ${\displaystyle A^{\intercal }}$

1. Отразите A над его главной диагональю (которая проходит от верхнего левого угла до нижнего правого), чтобы получить AT ^.
2. Запишите строки A как столбцы A ^T
3. Запишите столбцы A как строки A ^T

Формально i -я строка j -го элемента столбца AT является j -й строкой i ^- го элемента столбца A :

${\displaystyle \left[\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right]_{ij}=\left[\mathbf {A} \right]_{ji}.}$

Если A — матрица размера m × n , то AT — матрица ^{размера} n × m .

В случае квадратных матриц AT может также обозначать Т- ^ю степень матрицы A. Во избежание возможной путаницы многие авторы используют левые прописные буквы, т. е. обозначают транспонирование как ^T A . Преимущество этого обозначения состоит в том, что при использовании показателей степени скобки не требуются: поскольку ( TA ) ⁿ = ^T ( ^An ) , ^{обозначение} T ^A n ^не является двусмысленным.

В этой статье этой путаницы можно избежать, никогда не используя символ T в качестве имени переменной .

Определения матриц, включающие транспозицию

Квадратная матрица, транспонирование которой равно самой себе, называется симметричной матрицей ; то есть A симметричен, если

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} .}$

Квадратная матрица, транспонирование которой равно ее отрицательному значению, называется кососимметричной матрицей ; то есть A кососимметричен, если

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=-\mathbf {A} .}$

Квадратная комплексная матрица, транспонирование которой равно матрице, в которой каждая запись заменена ее комплексно-сопряженным (обозначено здесь подчеркиванием), называется эрмитовой матрицей (что эквивалентно матрице, равной ее сопряженному транспонированию ); то есть A эрмитово, если

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }={\overline {\mathbf {A} }}.}$

Квадратная комплексная матрица, транспонирование которой равно отрицанию ее комплексно-сопряженной матрицы, называется косоэрмитовой матрицей ; то есть A является косоэрмитовым, если

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=-{\overline {\mathbf {A} }}.}$

Квадратная матрица, транспонирование которой равно обратной, называется ортогональной матрицей ; то есть A ортогонально, если

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} ^{-1}.}$

Квадратная комплексная матрица, транспонирование которой равно сопряженной обратной, называется унитарной матрицей ; то есть A унитарно, если

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }={\overline {\mathbf {A} ^{-1}}}.}$

Примеры

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}}$

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}}$

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}}$

Характеристики

Пусть A и B — матрицы, а c — скаляр .

• ${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} .}$

  Операция транспонирования является инволюцией (самообратной ) .

• ${\displaystyle \left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }+\mathbf {B} ^{\operatorname {T} }.}$

  Транспонирование учитывает сложение .

• ${\displaystyle \left(c\mathbf {A} \right)^{\operatorname {T} }=c\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }.}$

  Транспонирование скаляра - это тот же скаляр. Вместе с предыдущим свойством это означает, что транспонирование представляет собой линейное отображение пространства матриц размера m × n в пространство матриц размера n × m .

• ${\displaystyle \left(\mathbf {AB} \right)^{\operatorname {T} }=\mathbf {B} ^{\operatorname {T} }\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }.}$

  Порядок факторов обратный.
  Это означает, что квадратная матрица A обратима тогда и только тогда, когда A ^T обратима, и в этом случае имеет место ( A ⁻¹ ) ^T = ( A ^T ) ⁻¹ . По индукции этот результат распространяется на общий случай кратных матриц, где

  ( А ₁ А ₂ ... А _{k -1} А _k ) ^Т  знак равно  А _k ^Т А _{k -1} ^Т … А ₂ ^Т А ₁ ^Т .

• ${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)=\det(\mathbf {A} ).}$

  Определитель квадратной матрицы такой же, как и определитель ее транспонирования .

• Скалярное произведение двух векторов-столбцов a и b можно вычислить как одну запись матричного произведения
  $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\operatorname {T} }\mathbf {b} .}$$
• Если A имеет только вещественные элементы, то AT ^A — положительно -полуопределенная матрица .
• ${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{-1}=\left(\mathbf {A} ^{-1}\right)^{\operatorname {T} }.}$

  Транспонирование обратимой матрицы также является обратимым, а ее инверсия является транспонированием обратной исходной матрицы.
  Обозначение A ^-T иногда используется для обозначения любого из этих эквивалентных выражений.

• Если A — квадратная матрица, то ее собственные значения равны собственным значениям ее транспонирования, поскольку они имеют один и тот же характеристический полином .
• В любом поле квадратная матрица аналогична . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}$

  Это означает, что и имеют одни и те же инвариантные факторы , что означает, что они имеют один и тот же минимальный полином, характеристический полином и собственные значения, среди других свойств. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}$

  Доказательство этого свойства использует следующие два наблюдения.

  • Пусть и – матрицы над некоторым базовым полем , и пусть – расширение поля . Если и подобны как матрицы по , то они подобны по . В частности, это применимо, когда является алгебраическим замыканием . ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle k}$
  • Если – матрица над алгебраически замкнутым полем в жордановой нормальной форме относительно некоторого базиса, то аналогична . Далее это сводится к доказательству того же факта в случае одного жорданового блока, что является простым упражнением. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Продукты

Если A — матрица размера m × n , а AT — ^ее транспонирование, то результат умножения матриц на эти две матрицы дает две квадратные матрицы: AA ^T — это m × m , а AT ^A — это n × n . Кроме того, эти произведения представляют собой симметричные матрицы . Действительно, матричное произведение AA ^T имеет элементы, которые являются ^{скалярным} произведением строки A на столбец AT . Но столбцы AT являются строками A ^, поэтому запись соответствует скалярному продукту двух строк A. Если p _{i j} — это запись продукта, он получается из строк i и j в A . Запись p _{j i} также получается из этих строк, таким образом p _{i j} = p _{j i} , а матрица произведения ( p _{i j} ) симметрична. Аналогично, произведение A ^T A является симметричной матрицей.

Быстрое доказательство симметрии AA ^T следует из того факта, что это собственное транспонирование:

${\displaystyle \left(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }=\left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }.}$^[7]

Реализация транспонирования матриц на компьютерах

Иллюстрация порядка строк и столбцов

На компьютере часто можно избежать явного транспонирования матрицы в памяти , просто обращаясь к тем же данным в другом порядке. Например, библиотеки программного обеспечения для линейной алгебры , такие как BLAS , обычно предоставляют опции, позволяющие указать, что определенные матрицы должны интерпретироваться в транспонированном порядке, чтобы избежать необходимости перемещения данных.

Однако остается ряд обстоятельств, при которых необходимо или желательно физически переупорядочить матрицу в памяти к ее транспонированному порядку. Например, если матрица хранится в порядке следования строк , строки матрицы являются смежными в памяти, а столбцы — несмежными. Если над столбцами необходимо выполнить повторяющиеся операции, например, в алгоритме быстрого преобразования Фурье , транспонирование матрицы в памяти (чтобы сделать столбцы смежными) может повысить производительность за счет увеличения локальности памяти .

В идеале можно было бы надеяться транспонировать матрицу с минимальным дополнительным объемом памяти. Это приводит к проблеме транспонирования матрицы размера n  ×  m на месте с дополнительным объемом памяти O(1) или, самое большее, объемом памяти, намного меньшим, чем mn . Для n  ≠  m это включает в себя сложную перестановку элементов данных, которую нетривиально реализовать на месте. Поэтому эффективное транспонирование матриц на месте стало предметом многочисленных исследовательских публикаций в области информатики , начиная с конца 1950-х годов, и было разработано несколько алгоритмов.

Транспонирует линейные карты и билинейные формы

Поскольку основное использование матриц заключается в представлении линейных карт между конечномерными векторными пространствами , транспонирование — это операция над матрицами, которую можно рассматривать как представление некоторой операции на линейных картах.

Это приводит к гораздо более общему определению транспонирования, которое работает с любой линейной картой, даже если линейные карты не могут быть представлены матрицами (например, в случае бесконечномерных векторных пространств). В конечномерном случае матрица, представляющая транспонирование линейного отображения, является транспонированием матрицы, представляющей линейное отображение, независимо от выбора базиса .

Транспонирование линейной карты

Обозначим через X ^# алгебраическое сопряженное пространство к R - модулю X. Пусть X и Y — R -модули. Если u  : X → Y — линейное отображение , то его алгебраически сопряженное или двойственное отображение ^[8] — это отображение u ^#  : Y ^# → X ^# , определенное соотношением f ↦ f ∘ u . Полученный функционал u ^# ( f ) называется обратным обращением f к u . Следующее соотношение характеризует алгебраический сопряженный к u ^[9]

⟨ ты ^# ( ж ), Икс ⟩ знак равно ⟨ ж , ты ( Икс )⟩ для всех f € Y ^# и Икс € X

где ⟨•, •⟩ — естественное спаривание (т. е. определяемое ⟨ h , z ⟩  := h ( z ) ). Это определение без изменений применимо также к левым модулям и векторным пространствам. ^[10]

Видно, что определение транспонирования не зависит от какой-либо билинейной формы модулей, в отличие от сопряженного (ниже).

Непрерывное двойственное пространство топологического векторного пространства (ТВП) X обозначается X ' . Если X и Y являются TVS, то линейное отображение u  : X → Y слабо непрерывно тогда и только тогда, когда u ^# ( Y ' ) ⊆ X ' , и в этом случае мы обозначаем ^t u  : Y ' → X ' ограничение u ^# на Y ' . Отображение ^t u называется транспонированием [ ¹¹ ] u .

Если матрица A описывает линейное отображение относительно базисов V и W , то матрица A ^{T описывает транспонирование} этого линейного отображения относительно двойственных базисов .

Транспонирование билинейной формы

Каждое линейное отображение в двойственное пространство u  : X → X ^# определяет билинейную форму B  : X × X → F с соотношением B ( x , y ) = u ( x ) ( y ) . Определив транспонирование этой билинейной формы как билинейную форму ^t B , определенную транспонированием ^t u  : X ^## → X ^# т.е. ^t B ( y , x ) = ^t u ( Ψ( y ))( x ) , мы находим что B ( Икс , y ) знак равно ^т B ( y , Икс ) . Здесь Ψ — естественный гомоморфизм X → X ^## в двойной двойственный .

примыкающий

Если векторные пространства X и Y имеют соответственно _{невырожденные билинейные формы B X и BY} , может быть _{определено} понятие , известное как сопряженное , которое тесно связано с транспонированием:

Если u  : X → Y — линейное отображение векторных пространств X и Y , мы определяем g как сопряженное к u , если g  : Y → X удовлетворяет условиям

${\displaystyle B_{X}{\big (}x,g(y){\big )}=B_{Y}{\big (}u(x),y{\big )}}$для всех x ∈ X и y ∈ Y.

Эти билинейные формы определяют изоморфизм между X и X ^# , а также между Y и Y ^# , что приводит к изоморфизму между транспонированным и присоединенным к u . Матрица сопряженного отображения является транспонированной матрицей только в том случае, если базисы ортонормированы относительно своих билинейных форм. Однако в этом контексте многие авторы используют термин транспонирование для обозначения сопряженного, как оно определено здесь.

Сопряженный позволяет нам рассмотреть, равно ли g  : Y → X u ⁻¹  : Y → X . В частности, это позволяет определить ортогональную группу над векторным пространством X квадратичной формы без ссылки на матрицы (или их компоненты) как набор всех линейных отображений X → X , для которых сопряженное равно обратному.

В сложном векторном пространстве вместо билинейных форм часто работают с полуторалинейными формами (сопряженно-линейными по одному аргументу). Эрмитово сопряженное отображение между такими пространствами определяется аналогично, а матрица эрмитова сопряженного задается сопряженной транспонированной матрицей, если базы ортонормированы.

Смотрите также

• Матрица адъюгата , транспонирование матрицы кофактора
• Сопряженное транспонирование
• Псевдообратная обратная связь Мура – ​​Пенроуза
• Проекция (линейная алгебра)

Рекомендации

1. Никамп, Дуэйн. «Транспонирование матрицы». Математическое понимание . Проверено 8 сентября 2020 г.
2. Артур Кэли (1858) «Мемуары по теории матриц», Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 148  : 17–37. Транспонирование (или «транспонирование») определено на стр. 31.
3. Т. А. Уайтлоу (1 апреля 1991 г.). Введение в линейную алгебру, 2-е издание. ЦРК Пресс. ISBN 978-0-7514-0159-2.
4. «Транспонирование матричного продукта (ProofWiki)» . ДоказательствоВики . Проверено 4 февраля 2021 г.
5. «Какой символ лучше всего подходит для транспонирования вектора/матрицы?» Обмен стеками . Проверено 4 февраля 2021 г.
6. Вайсштейн, Эрик В. «Транспонирование». mathworld.wolfram.com . Проверено 8 сентября 2020 г.
7. Гилберт Стрэнг (2006) Линейная алгебра и ее приложения , 4-е издание, стр. 51, Thomson Brooks/Cole ISBN 0-03-010567-6 
8. Шефер и Вольф 1999, стр. 128.
9. Халмос 1974, §44
10. Бурбаки 1989, II §2.5
11. Тревес 2006, с. 240.

дальнейшее чтение

• Бурбаки, Николя (1989) [1970]. Алгебра I, главы 1–3 [ Алгебра: главы 1–3 ] (PDF) . Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64243-5. ОСЛК  18588156.

• Халмос, Пол (1974), Конечномерные векторные пространства , Спрингер, ISBN 978-0-387-90093-3.
• Марускин, Джаред М. (2012). Основная линейная алгебра. Сан-Хосе: Солар Крест. стр. 122–132. ISBN 978-0-9850627-3-6.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.
• Шварц, Джейкоб Т. (2001). Введение в матрицы и векторы. Минеола: Дувр. стр. 126–132. ISBN 0-486-42000-0.

Внешние ссылки

• Гилберт Стрэнг (весна 2010 г.) Линейная алгебра из открытых курсов MIT