Противоположное кольцо

Математическая концепция

В математике , в частности, в абстрактной алгебре , противоположностью кольца является другое кольцо с теми же элементами и операцией сложения, но с умножением, выполняемым в обратном порядке. Более явно, противоположностью кольца ( R , +, ⋅ ) является кольцо ( R , +, ∗), умножение ∗ которого определяется как a ∗ b = b ⋅ a для всех a , b в R. ^{[1] [2]} Противоположное кольцо может быть использовано для определения мультимодулей , обобщения бимодулей . Они также помогают прояснить связь между левыми и правыми модулями (см. § Свойства ).

Моноиды , группы , кольца и алгебры можно рассматривать как категории с одним объектом . Построение противоположной категории обобщает противоположную группу , противоположное кольцо и т. д.

Отношение к автоморфизмам и антиавтоморфизмам

В этом разделе символ умножения в противоположном кольце изменен со звездочки на ромб, чтобы избежать путаницы с некоторыми унарными операциями.

Кольцо называется самопротивоположным , если оно изоморфно своему противоположному кольцу, ^{[3] [4] [a],} и само название указывает на то, что оно по сути то же самое, что и ⁠ ⁠ . ${\displaystyle R^{\text{op}}}$ ${\displaystyle R}$

Все коммутативные кольца являются самопротивоположными.

Определим антиизоморфизм

⁠ ⁠ ${\displaystyle \iota :(R,\diamond )\to (R,\cdot )}$ , где для ⁠ ⁠ . ^[б] ${\displaystyle \iota (a)=a}$ ${\displaystyle a\in R}$

Это действительно антиизоморфизм, так как ⁠ ⁠ ${\displaystyle \iota (a\diamond b)=a\diamond b=b\cdot a=\iota (b)\cdot \iota (a)}$ . Антиизоморфизм может быть определен в общем случае для полугрупп, моноидов, групп, колец, rngs, алгебр. В случае колец (и rngs) мы получаем общую эквивалентность. ${\displaystyle \iota }$

Кольцо ^[c] является самооппозитным тогда и только тогда, когда оно имеет хотя бы один антиавтоморфизм.

Доказательство: ⁠ ⁠ ${\displaystyle \Rightarrow }$ : Пусть является самооппозитным. Если является изоморфизмом, то ⁠ ⁠ , будучи композицией антиизоморфизма и изоморфизма, является антиизоморфизмом из в себя, следовательно, антиавтоморфизмом. ${\displaystyle (R,\cdot )}$ ${\displaystyle f:(R,\cdot )\to (R,\diamond )}$ ${\displaystyle \iota \circ f}$ ${\displaystyle (R,\cdot )}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle \Leftarrow }$ : Если — антиавтоморфизм, то — изоморфизм как композиция двух антиизоморфизмов. Так же как и самооппозитный. ${\displaystyle g:(R,\cdot )\to (R,\cdot )}$ ${\displaystyle (\iota ^{-1}\circ g):(R,\cdot )\to (R,\diamond )}$ ${\displaystyle (R,\cdot )}$

и

Если является самооппозитным и группа автоморфизмов конечна, то число антиавтоморфизмов равно числу автоморфизмов. ${\displaystyle (R,\cdot )}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (R,\cdot )}$

Доказательство: По предположению и приведенной выше эквивалентности существуют антиавтоморфизмы. Если мы выберем один из них и обозначим его ⁠ ⁠ ${\displaystyle q}$ , то отображение ⁠ ⁠ ${\displaystyle h\mapsto q\circ h}$ , где пробегает ⁠ ⁠ , очевидно, инъективно, но также и сюръективно, поскольку каждый антиавтоморфизм для некоторого автоморфизма ⁠ ⁠ . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (R,\cdot )}$ ${\displaystyle g=q\circ (q^{-1}\circ g)=q\circ h}$ ${\displaystyle h}$

Аналогичным образом можно доказать, что при тех же предположениях число изоморфизмов из в равно числу антиавтоморфизмов ⁠ ⁠ . ${\displaystyle (R,\cdot )}$ ${\displaystyle (R,\diamond )}$ ${\displaystyle (R,\cdot )}$

Если некоторый антиавтоморфизм также является автоморфизмом, то для каждого ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle a,b\in (R,\cdot )}$

${\displaystyle g(a\cdot b)=g(b)\cdot g(a)=g(b\cdot a)}$

Так как является биективным, для всех и ⁠ ⁠ , то кольцо коммутативно и все антиавтоморфизмы являются автоморфизмами. От противного, если кольцо некоммутативно (и самопротивоположно), то никакой антиавтоморфизм не является автоморфизмом. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Обозначим через группу всех автоморфизмов вместе со всеми антиавтоморфизмами. Из приведенных выше замечаний следует, что если кольцо (или rng) некоммутативно и самопротивоположно. Если оно коммутативно или несамопротивоположно, то ⁠ ⁠ . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \vert G\vert =2\vert \mathrm {Aut} (R,\cdot )\vert }$ ${\displaystyle \vert G\vert =\vert \mathrm {Aut} (R,\cdot )\vert }$

Примеры

Наименьшее некоммутативное кольцо с единицей

Наименьшее такое кольцо имеет восемь элементов, и это единственное некоммутативное кольцо среди 11 колец с единицей порядка 8, с точностью до изоморфизма. ^[5] Оно имеет аддитивную группу ⁠ ⁠ . ^{[3] : 76} Очевидно, что антиизоморфно ⁠ ⁠ , как это всегда бывает, но оно также изоморфно ⁠ ⁠ . Ниже приведены таблицы сложения и умножения в ⁠ ⁠ , ^[d] и умножения в противоположном кольце, которое является транспонированной таблицей. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}=\mathrm {C} _{2}^{3}}$ ${\displaystyle R^{\text{op}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Чтобы доказать, что два кольца изоморфны, возьмем карту, заданную таблицей ${\displaystyle f:R^{\text{op}}\to R}$

Карта меняет местами элементы только в двух парах: и ⁠ ⁠ . Переименуйте соответствующим образом элементы в таблице умножения для (аргументов и значений). Затем переставьте строки и столбцы, чтобы вернуть аргументы в порядке возрастания. Таблица становится в точности таблицей умножения ⁠ ⁠ . Аналогичные изменения в таблице аддитивной группы дают ту же таблицу, поэтому является автоморфизмом этой группы, и поскольку , это действительно изоморфизм колец. ${\displaystyle 3\leftrightarrow 4}$ ${\displaystyle 5\leftrightarrow 7}$ ${\displaystyle \diamond }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(1)=1}$

Отображение инволютивно, т.е. ⁠ ​​⁠ ${\displaystyle f\circ f={\text{id}}}$ , поэтому = и оно является изоморфизмом из в в равной степени. ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{\text{op}}}$

Таким образом, перестановку можно переинтерпретировать, чтобы определить изоморфизм , и тогда она будет антиавтоморфизмом заданной той же перестановкой . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:(R,\cdot )\rightarrow (R,\diamond )}$ ${\displaystyle q=\iota \circ f}$ ${\displaystyle (R,\cdot )}$ ${\displaystyle q=(3,4)(5,7)}$

Кольцо имеет ровно два автоморфизма: тождество и , то есть . Таким образом, его полная группа имеет четыре элемента, два из которых являются антиавтоморфизмами. Один из них равен , а второй, обозначим его как , можно вычислить ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{R}}$ ${\displaystyle p=(3,5)(4,7)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (R)=\{\operatorname {id} _{R},p\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle r=q\circ p=(3,4)(5,7)(3,5)(4,7)=(3,7)(4,5)}$

${\displaystyle G=\{\operatorname {id} _{R},p,q,r\}=\{\operatorname {id} _{R},(3,5)(4,7),(3,4)(5,7),(3,7)(4,5)\}}$

Элемента порядка 4 нет, поэтому группа не циклическая и должна быть группой ( группой Клейна ⁠ ⁠ ), что можно подтвердить расчетом. «Группа симметрии» этого кольца изоморфна группе симметрии прямоугольника. ${\displaystyle \mathrm {D} _{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {K} _{4}}$

Некоммутативное кольцо с 27 элементами

Кольцо верхних треугольных матриц 2 × 2 над полем с 3 элементами имеет 27 элементов и является некоммутативным кольцом. Оно уникально с точностью до изоморфизма, то есть все некоммутативные кольца с единицей и 27 элементами изоморфны ему. ^{[5] [6]} Наибольшее некоммутативное кольцо , перечисленное в «Книге колец», имеет 27 элементов и также является изоморфным. В этом разделе используются обозначения из «Книги» для элементов . Следует иметь в виду две вещи: что элемент, обозначенный через , является единицей , а что — не является единицей. ^{[4] : 369} Аддитивная группа ⁠ ⁠ . ^{[4] : 330} Группа всех автоморфизмов имеет 6 элементов: ${\displaystyle {\text{F}}_{3}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 18}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{3}^{3}}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (S)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=\operatorname {id} _{S}\\h_{2}&=(1,13,25)(2,26,14)(4,16,19)(5,20,17)(7,10,22)(8,23,11)\\h_{3}&=(1,25,13)(2,14,26)(4,19,16)(5,17,20)(7,22,10)(8,11,23)=h_{2}^{-1}=h_{2}^{2}\\h_{4}&=(4,16)(5,17)(7,22)(8,23)(13,25)(14,26)(3,15)(6,21)(12,24)\\h_{5}&=(1,13)(2,26)(4,19)(8,11)(10,22)(17,20)(3,15)(6,21)(12,24)\\h_{6}&=(1,25)(2,14)(5,20)(7,10)(11,23)(16,19)(3,15)(6,21)(12,24).\end{aligned}}}$

Так как является самооппозитным, то он также имеет 6 антиавтоморфизмов. Один изоморфизм — это ⁠ ⁠ , который можно проверить с помощью таблиц операций в «Книге», как в первом примере, переименовав и переставив. На этот раз изменения следует внести в исходные таблицы операций . Результатом является таблица умножения , а таблица сложения остается неизменной. Таким образом, один антиавтоморфизм ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:(S,\cdot )\to (S,\diamond )}$ ${\displaystyle f=(1,14,13,2,25,26)(4,20,16,17,19,5)(7,8,10,23,22,11)(3,15)(6,21)(12,24)}$ ${\displaystyle S=(S,\cdot )}$ ${\displaystyle S^{\operatorname {op} }=(S,\diamond )}$

${\displaystyle q_{1}=\iota \circ f=(1,14,13,2,25,26)(4,20,16,17,19,5)(7,8,10,23,22,11)(3,15)(6,21)(12,24)}$

дается той же перестановкой. Остальные пять могут быть вычислены (в мультипликативной записи символ композиции можно опустить): ${\displaystyle \circ }$

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{2}&=q_{1}h_{2}=(1,14,13,2,25,26)(4,20,16,17,19,5)(7,8,10,23,22,11)(3,15)(6,21)(12,24)\\&\quad \cdot (1,13,25)(2,26,14)(4,16,19)(5,20,17)(7,10,22)(8,23,11)\\&=[(1,14,13,2,25,26)(1,13,25)(2,26,14)][(4,20,16,17,19,5)(4,16,19)(5,20,17)]\\&\quad \cdot [(7,8,10,23,22,11)(7,10,22)(8,23,11)](3,15)(6,21)(12,24)\\&=(1,2)(13,26)(14,25)(4,17)(5,16)(19,20)(7,23)(8,22)(10,11)(3,15)(6,21)(12,24)\\&=(1,2)(4,17)(5,16)(7,23)(8,22)(10,11)(13,26)(14,25)(19,20)(3,15)(6,21)(12,24)\\q_{3}&=q_{1}h_{3}=(1,26,25,2,13,14)(4,5,19,17,16,20)(7,11,22,23,10,8)(3,15)(6,21)(12,24)=q_{1}^{-1}\\q_{4}&=q_{1}h_{4}=(1,14)(2,25)(4,17)(5,19)(7,11)(8,22)(10,23)(13,26)(16,20)\\q_{5}&=q_{1}h_{5}=(1,2)(4,5)(7,8)(10,11)(13,14)(16,17)(19,20)(22,23)(25,26)\\q_{6}&=q_{1}h_{6}=(1,26)(2,13)(4,20)(5,16)(7,23)(8,10)(11,22)(14,25)(17,19)\end{aligned}}}$

${\displaystyle G=\{h_{1},h_{2},h_{3},h_{4},h_{5},h_{6},q_{1},q_{2},q_{3},q_{4},q_{5},q_{6}\}.}$
Группа имеет 7 элементов порядка 2 (3 автоморфизма и 4 антиавтоморфизма) и может быть идентифицирована как диэдральная группа ^[e] (см. Список малых групп ). В геометрической аналогии кольцо имеет «группу симметрии», изоморфную группе симметрии 3-антипризмы , ^[f], которая является точечной группой в нотации Шёнфлиса или, короче, в нотации Германа–Могена для 3-мерного пространства. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{6}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{\mathrm {3d} }}$ ${\displaystyle {\overline {3}}m}$

Наименьшие несамопротивоположные кольца с единицей

Все кольца с единицей порядков от 9 до 15 являются коммутативными, ^[5] поэтому они являются самопротивоположными. Кольца, которые не являются самопротивоположными, появляются впервые среди колец порядка 16. Из общего числа 50 колец с единицей ^[7], имеющих 16 элементов (37 ^[8] коммутативных и 13 ^[5] некоммутативных), имеется 4 различных несамопротивоположных кольца. ^[6] Их можно сцепить в две пары колец, противолежащих друг другу в паре, и обязательно с той же аддитивной группой, поскольку антиизоморфизм колец является изоморфизмом их аддитивных групп.

Одна пара колец ^{[3] : 330} и имеет аддитивную группу ^{[3] : 262} , а другая пара ^{[3] : 535} и ⁠ ⁠ , ^{[3] : 541} группу ⁠ ⁠ . ^{[3] : 433} Их таблицы операций не представлены в этой статье, так как их можно найти в цитируемом источнике, и можно проверить, что , они противоположны, но не изоморфны. То же самое верно для пары и ⁠ ⁠ , однако кольцо ^{[3] : 335,} указанное в «Книге колец», не равно, а только изоморфно ⁠ ⁠ . Остальные 13 − 4 = 9 некоммутативных колец являются самопротивоположными. ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}=R_{1}^{\text{op}}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{4}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}}$ ${\displaystyle R_{3}}$ ${\displaystyle R_{4}=R_{3}^{\text{op}}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}=\mathrm {C} _{2}^{4}}$ ${\displaystyle R_{3}^{\text{op}}=R_{4}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle {\widetilde {R}}_{2}}$ ${\displaystyle R_{2}}$

Свободная алгебра с двумя генераторами

Свободная алгебра над полем с образующими имеет умножение из умножения слов. Например, ${\displaystyle k\langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x,y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(2x^{2}yx+3yxy)\cdot (xyxy+1)=&{\text{ }}2x^{2}yx^{2}yxy+2x^{2}yx\\&+3yxyxyxy+3yxy.\end{aligned}}}$

Тогда противоположная алгебра имеет умножение, заданное формулой

${\displaystyle {\begin{aligned}(2x^{2}yx+3yxy)*(xyxy+1)&=(xyxy+1)\cdot (2x^{2}yx+3yxy)\\&=2xyxyx^{2}yx+3xyxy^{2}xy+2x^{2}yx+3yxy,\end{aligned}}}$

которые не являются равными элементами.

Алгебра кватернионов

Алгебра кватернионов ^[9] над полем с является алгеброй с делением, определяемой тремя образующими с соотношениями ${\displaystyle H(a,b)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a,b\in F^{\times }}$ ${\displaystyle i,j,k}$

${\displaystyle i^{2}=a,\ j^{2}=b,\ k=ij=-ji}$

Все элементы имеют вид ${\displaystyle x\in H(a,b)}$

${\displaystyle x=x_{0}+x_{i}i+x_{j}j+x_{k}k}$, где ${\displaystyle x_{0},x_{i},x_{j},x_{k}\in F}$

Например, если , то — обычная алгебра кватернионов. ${\displaystyle F=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle H(-1,-1)}$

Если умножение обозначается , то оно имеет таблицу умножения ${\displaystyle H(a,b)}$ ${\displaystyle \cdot }$

Тогда противоположная алгебра с обозначением умножения имеет таблицу ${\displaystyle H(a,b)^{\text{op}}}$ ${\displaystyle *}$

Коммутативное кольцо

Коммутативное кольцо изоморфно своему противоположному кольцу, так как для всех и в ⁠ ⁠ . Они даже равны ⁠ ⁠ , так как их операции равны, т.е. ⁠ ​​⁠ . ${\displaystyle (R,\cdot )}$ ${\displaystyle (R,*)=R^{\text{op}}}$ ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x=x*y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (R,*)=(R,\cdot )}$ ${\displaystyle *=\cdot }$

Характеристики

• Два кольца R ₁ и R ₂ изоморфны тогда и только тогда , когда изоморфны их соответствующие противоположные кольца.
• Противоположность противоположности кольца R тождественна R , то есть ( R ^op ) ^op = R.
• Кольцо и противоположное ему кольцо антиизоморфны .
• Кольцо коммутативно тогда и только тогда, когда его операция совпадает с противоположной ей операцией. ^[2]
• Левые идеалы кольца являются правыми идеалами его противоположности. ^[10]
• Противоположное кольцо деления — это делительное кольцо. ^[11]
• Левый модуль над кольцом является правым модулем над своей противоположностью, и наоборот. ^[12]

Примечания

1. Противоположные друг другу кольца в «Книге колец» обозначены как «самостоятельные», что является другим названием, но значение ясно.
2. Хотя ι является тождественной функцией на множестве R , она не является тождеством как морфизм, поскольку ( R , ⋅) и ( R , ⋄) являются двумя разными объектами (если R некоммутативно), а тождественный морфизм может быть только из объекта в себя. Поэтому ι нельзя обозначить как id _R , когда R понимается как сокращение от ( R , ⋄) . Если ( R , ⋅) коммутативно, то ( R , ⋄) = ( R , ⋅) и ι = id _{( R ,⋅)} = id _{( R , ⋄} ) = id _R .
3. В этой эквивалентности (и в следующем равенстве) кольцо может быть вполне общим, т.е. с единицей или без нее, некоммутативным или коммутативным, конечным или бесконечным.
4. Таблицы операций отличаются от исходных. Они были изменены следующим образом. Единица 4 была переименована в 1, а 1 в 4 в таблице сложения и умножения, а строки и столбцы были переставлены так, чтобы расположить единицу 1 рядом с 0 для большей ясности. Таким образом, два кольца изоморфны.
5. Символ D _n предназначен для сокращения Dih _n , группы диэдра с 2 n элементами, т.е. используется геометрическое соглашение.
6. Под названием 3-антипризмы здесь понимается правильная 3-угольная антипризма, которая не является однородной, т.е. ее боковые грани не являются равносторонними треугольниками. Если бы они были равносторонними, то антипризма была бы правильным октаэдром с группой симметрии большей, чем D _3d .

Цитаты

1. Беррик и Китинг (2000), с. 19
2. Бурбаки 1989, стр. 101.
3. Нёбауэр, Кристоф (23 октября 2000 г.). «Книга колец».
4. Nöbauer, Christof (26 октября 2000 г.). "Книга колец, часть II". Архивировано из оригинала 24-08-2007.
5. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A127708 (Число некоммутативных колец с 1)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
6. Nöbauer, Christof (5 апреля 2002 г.). "Числа колец в группах порядка простой мощности". Архивировано из оригинала 2006-10-02.
7. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A037291 (Число колец с 1)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
8. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A127707 (Число коммутативных колец с 1)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
9. Милн. Теория полей классов . стр. 120.
10. Бурбаки 1989, стр. 103.
11. Бурбаки 1989, стр. 114.
12. Бурбаки 1989, стр. 192.

Ссылки

• Беррик, А. Дж.; Китинг, М. Э. (2000). Введение в кольца и модули с учетом теории К. Кембриджские исследования в области высшей математики. Том 65. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-63274-4.
• Бурбаки, Николя (1989). Алгебра I. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64243-5. OCLC  18588156.

Смотрите также

• Противоположная группа
• Противоположная категория