Аликвотная последовательность

Нерешенная задача по математике :

Все ли аликвотные последовательности в конечном итоге заканчиваются простым числом, совершенным числом или набором дружественных или общительных чисел? (Гипотеза Каталана об аликвотных последовательностях)

(еще нерешенные проблемы по математике)

В математике аликвотная последовательность — это последовательность положительных целых чисел, в которой каждый член является суммой собственных делителей предыдущего члена. Если последовательность достигает числа 1, она заканчивается, поскольку сумма собственных делителей числа 1 равна 0.

Определение и обзор

Аликвотную последовательность, начинающуюся с положительного целого числа $k,$ можно формально определить в терминах функции суммы делителей $σ 1$ или функции аликвотной суммы $s$ следующим образом: ^[1] Если добавить условие $s$ $n$ $-1$ $= 0$ , то все члены после 0 будут равны 0, и все аликвотные последовательности будут бесконечными, и мы можем предположить, что все аликвотные последовательности сходятся , предел этих последовательностей обычно равен 0 или 6. ${\begin{align}s_{0}&=k\\[4pt]s_{n}&=s(s_{n-1})=\sigma _{1}(s_{n-1})-s_{n-1}\quad {\text{if}}\quad s_{n-1}>0\\[4pt]s_{n}&=0\quad {\text{if}}\quad s_{n-1}=0\\[4pt]s(0)&={\text{undefined}}\end{align}}$

Например, аликвотная последовательность числа 10 — это 10, 8, 7, 1, 0 , потому что:

${\begin{align}\sigma _{1}(10)-10&=5+2+1=8,\\[4pt]\sigma _{1}(8)-8&=4+2+1=7,\\[4pt]\sigma _{1}(7)-7&=1,\\[4pt]\sigma _{1}(1)-1&=0.\end{align}}$

Многие аликвотные последовательности заканчиваются на нуле; все такие последовательности обязательно заканчиваются простым числом, за которым следует 1 (поскольку единственный собственный делитель простого числа — 1), за которым следует 0 (поскольку 1 не имеет собственных делителей). См. (последовательность A080907 в OEIS ) для списка таких чисел до 75. Существует множество способов, которыми аликвотная последовательность может не заканчиваться:

Совершенное число имеет повторяющуюся аликвотную последовательность с периодом 1. Например, аликвотная последовательность числа 6 имеет вид 6, 6, 6, 6, ...
Дружественное число имеет повторяющуюся аликвотную последовательность периода 2. Например, аликвотная последовательность числа 220 — это 220, 284, 220, 284, ...
Общительное число имеет повторяющуюся аликвотную последовательность с периодом 3 или больше. (Иногда термин общительное число используется также для обозначения дружественных чисел.) Например, аликвотная последовательность числа 1264460 — это 1264460, 1547860, 1727636, 1305184, 1264460, ...
Некоторые числа имеют аликвотную последовательность, которая в конечном итоге является периодической, но само число не является совершенным, дружественным или общительным. Например, аликвотная последовательность числа 95 — это 95, 25, 6, 6, 6, 6, ... Числа, подобные 95, которые не являются совершенными, но имеют в конечном итоге повторяющуюся аликвотную последовательность периода 1, называются стремящимися числами . ^[2]

Длины аликвотных последовательностей, начинающихся с $n,$ равны

1, 2, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 4, 2, 7, 2, 5, 5, 6, 2, 4, 2, 7, 3, 6, 2, 5, 1, 7, 3, 1, 2, 15, 2, 3, 6, 8, 3, 4, 2, 7, 3, 4, 2, 14, 2, 5, 7, 8, 2, 6, 4, 3, ... (последовательность A044050 в OEIS )

Конечные члены (исключая 1) аликвотных последовательностей, начинающихся с $n,$ равны

1, 2, 3, 3, 5, 6, 7, 7, 3, 7, 11, 3, 13, 7, 3, 3, 17, 11, 19, 7, 11, 7, 23, 17, 6, 3, 13, 28, 29, 3, 31, 31, 3, 7, 13, 17, 37, 7, 17, 43, 41, 3, 43, 43, 3, 3, 47, 41, 7, 43, ... (последовательность A115350 в OEIS )

Числа, аликвотная последовательность которых заканчивается на 1, являются

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ... (последовательность A080907 в OEIS )

Числа, аликвотная последовательность которых, как известно, заканчивается совершенным числом , отличным от самих совершенных чисел (6, 28, 496, ...), называются

25, 95, 119, 143, 417, 445, 565, 608, 650, 652, 675, 685, 783, 790, 909, 913, ... (последовательность A063769 в OEIS )

Числа, аликвотная последовательность которых заканчивается циклом длиной не менее 2, являются

220, 284, 562, 1064, 1184, 1188, 1210, 1308, 1336, 1380, 1420, 1490, 1604, 1690, 1692, 1772, 1816, 1898, 2008, 2122, 2152, 2172, 2362, ... (последовательность A121507 в OEIS )

Числа, аликвотная последовательность которых не является конечной или периодической, являются

276, 306, 396, 552, 564, 660, 696, 780, 828, 888, 966, 996, 1074, 1086, 1098, 1104, 1134, 1218, 1302, 1314, 1320, 1338, 1350, 1356, 1392, 1398, 1410, 1464, 1476, 1488, ... (последовательность A131884 в OEIS )

Число, которое никогда не является последующим в аликвотной последовательности, называется неприкасаемым числом .

2 , 5 , 52 , 88 , 96 , 120 , 124 , 146 , 162 , 188 , 206 , 210 , 216 , 238 , 246 , 248 , 262, 268, 276 , 288 , 290 , 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, ... (последовательность A005114 в OEIS )

Гипотеза Каталана–Диксона

Важная гипотеза , выдвинутая Каталаном , иногда называемая гипотезой Каталана– Диксона , заключается в том, что каждая аликвотная последовательность заканчивается одним из вышеперечисленных способов: простым числом, совершенным числом или набором дружественных или общительных чисел. ^[3] Альтернативой было бы существование числа, аликвотная последовательность которого бесконечна, но никогда не повторяется. Любое из многих чисел, аликвотные последовательности которых не были полностью определены, может быть таким числом. Первые пять чисел-кандидатов часто называют пятеркой Лемера (названной в честь Д. Х. Лемера ): 276 , 552, 564, 660 и 966. ^[4] Однако стоит отметить, что 276 может достичь высокой вершины в своей аликвотной последовательности, а затем спуститься; число 138 достигает пика 179931895322, прежде чем вернуться к 1.

Гай и Селфридж полагают, что гипотеза Каталана–Диксона ложна (поэтому они предполагают, что некоторые аликвотные последовательности не ограничены сверху (т.е. расходятся)). ^[5]

Систематический поиск аликвотных последовательностей

Аликвотную последовательность можно представить в виде ориентированного графа , , для заданного целого числа , где обозначает сумму собственных делителей . ^[6]Циклы в представляют общительные числа в интервале . Двумя особыми случаями являются циклы, представляющие совершенные числа , и циклы длины два, представляющие дружественные пары . $G_{н,с}$ $n$ $s(k)$ $к$ $G_{н,с}$ $[1,n]$

Смотрите также

Арифметическая динамика

Примечания

^ Вайсштейн, Эрик В. «Аликвоту последовательности». MathWorld .
^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A063769 (Стремительные числа: числа, аликвотная последовательность которых заканчивается совершенным числом.)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Каталана о последовательности аликвот». MathWorld .
^ Creyaufmüller, Wolfgang (24 мая 2014 г.). "Lehmer Five" . Получено 14 июня 2015 г.
^ А.С. Мосунов, Что мы знаем об аликвотных последовательностях?
^ Роча, Родриго Каэтано; Татте, Бхалчандра (2015), Обнаружение распределенных циклов в крупномасштабных разреженных графах , Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional (SBPO), doi : 10.13140/RG.2.1.1233.8640

Ссылки

Мануэль Бенито; Вольфганг Крейауфмюллер; Хуан Луис Варона; Пол Циммерман. Аликвотная последовательность 3630 заканчивается после достижения 100 цифр. Экспериментальная математика, т. 11, № 2, Natick, MA, 2002, стр. 201–206.
В. Креяуфмюллер. Primzahlfamilien — Das Catalan'sche Issue und die Familien der Primzahlen im Bereich 1 до 3000 в деталях . Штутгарт 2000 (3-е изд.), 327 стр.

Внешние ссылки

Текущее состояние аликвотных последовательностей с начальным сроком менее 2 миллионов
Таблицы аликвотных циклов (JOM Pedersen)
Аликвота Пейдж (Вольфганг Крейауфмюллер)
Аликвотные последовательности (Кристоф Клавье)
Форум по расчету аликвотных последовательностей (MersenneForum)
Страница сводки последовательности аликвот для последовательностей до 100000 (есть аналогичные страницы для более высоких диапазонов) (Карстен Бонат)
Активный сайт исследований аликвотных последовательностей (Жан-Люк Гарамбоа) (на французском)