Альтернативная алгебра

Алгебра, где x(xy)=(xx)y и (yx)x=y(xx)

В абстрактной алгебре альтернативная алгебра — это алгебра , в которой умножение не обязательно должно быть ассоциативным , а только альтернативным . То есть, необходимо иметь

• ${\displaystyle x(xy)=(xx)y}$
• ${\displaystyle (yx)x=y(xx)}$

для всех x и y в алгебре.

Каждая ассоциативная алгебра, очевидно, альтернативна, но таковыми являются и некоторые строго неассоциативные алгебры, такие как октонионы .

Ассоциатор

Альтернативные алгебры так называются, потому что это алгебры, для которых ассоциатор является чередующимся . Ассоциатор — это трилинейное отображение , заданное формулой

${\displaystyle [x,y,z]=(xy)z-x(yz)}$.

По определению, полилинейное отображение является чередующимся, если оно исчезает всякий раз, когда два его аргумента равны. Левое и правое альтернативные тождества для алгебры эквивалентны ^[1]

${\displaystyle [x,x,y]=0}$

${\displaystyle [y,x,x]=0.}$

Оба эти тождества вместе подразумевают, что

${\displaystyle [x,y,x]=[x,x,x]+[x,y,x]-[x,x+y,x+y]=[x,x+y,-y]=[x,x,-y]-[x,y,y]=0}$

для всех и . Это эквивалентно гибкой идентичности ^[2] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle (xy)x=x(yx).}$

Ассоциатор альтернативной алгебры, следовательно, является чередующимся. Наоборот , любая алгебра, ассоциатор которой является чередующимся, очевидно, является альтернативной. По симметрии, любая алгебра, которая удовлетворяет любым двум из:

• левая альтернативная идентичность: ${\displaystyle x(xy)=(xx)y}$
• правильная альтернативная идентичность: ${\displaystyle (yx)x=y(xx)}$
• гибкая идентичность: ${\displaystyle (xy)x=x(yx).}$

является альтернативным и, следовательно, удовлетворяет всем трем тождествам.

Переменный ассоциатор всегда полностью кососимметричен. То есть,

${\displaystyle [x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},x_{\sigma (3)}]=\operatorname {sgn}(\sigma )[x_{1},x_{2},x_{3}]}$

для любой перестановки . Обратное справедливо до тех пор, пока характеристика базового поля не равна 2. ${\displaystyle \sigma }$

Примеры

• Каждая ассоциативная алгебра альтернативна.
• Октонионы образуют неассоциативную альтернативную алгебру, нормированную алгебру с делением размерности 8 над действительными числами . ^[3]
• В более общем смысле любая алгебра октонионов является альтернативной.

Не примеры

• Седенионы , тригинтадуонионы и все высшие алгебры Кэли–Диксона теряют альтернативность.

Характеристики

Теорема Артина утверждает, что в альтернативной алгебре подалгебра , порожденная любыми двумя элементами, ассоциативна . ^[4] Наоборот, любая алгебра, для которой это верно, является явно альтернативной. Из этого следует, что выражения, включающие только две переменные, могут быть записаны однозначно без скобок в альтернативной алгебре. Обобщение теоремы Артина утверждает, что всякий раз, когда три элемента в альтернативной алгебре ассоциируются (т. е. ), подалгебра, порожденная этими элементами, ассоциативна. ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle [x,y,z]=0}$

Следствием теоремы Артина является то, что альтернативные алгебры являются ассоциативными по мощности , то есть подалгебра, порождённая одним элементом, является ассоциативной. ^[5] Обратное утверждение не обязательно: седенионы являются ассоциативными по мощности, но не альтернативными.

Идентичность Муфанг

• ${\displaystyle a(x(ay))=(axa)y}$
• ${\displaystyle ((xa)y)a=x(aya)}$
• ${\displaystyle (ax)(ya)=a(xy)a}$

выполняется в любой альтернативной алгебре. ^[2]

В унитальной альтернативной алгебре мультипликативные обратные элементы уникальны всякий раз, когда они существуют. Более того, для любого обратимого элемента и всех есть ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y=x^{-1}(xy).}$

Это эквивалентно утверждению, что ассоциатор исчезает для всех таких и . ${\displaystyle [x^{-1},x,y]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Если и обратимы, то также обратимы с обратным . Таким образом, множество всех обратимых элементов замкнуто относительно умножения и образует петлю Муфанг . Эта петля единиц в альтернативном кольце или алгебре аналогична группе единиц в ассоциативном кольце или алгебре. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}}$

Теорема Клейнфельда утверждает, что любое простое неассоциативное альтернативное кольцо является обобщенной алгеброй октонионов над своим центром . ^[6] Структурная теория альтернативных колец представлена ​​в книге « Кольца, близкие к ассоциативным» Жевлакова, Слинько, Шестакова и Ширшова. ^[7]

Происшествие

Проективная плоскость над любым альтернативным делением является плоскостью Муфанг .

Каждая композиционная алгебра является альтернативной алгеброй, как показал Гай Рус в 2008 году: ^[8] Композиционная алгебра A над полем K имеет норму n , которая является мультипликативным гомоморфизмом : соединяющим ( A , ×) и ( K , ×). ${\displaystyle n(a\times b)=n(a)\times n(b)}$

Определим форму ( _ : _ ): A × A → K с помощью Тогда след a задается как ( a :1), а сопряжение как a * = ( a :1)e – a , где e – базисный элемент для 1. Серия упражнений доказывает, что композиционная алгебра всегда является альтернативной алгеброй. ^[9] ${\displaystyle (a:b)=n(a+b)-n(a)-n(b).}$

Смотрите также

• Алгебра над полем
• алгебра Мальцева
• Кольцо Цорна

Ссылки

1. Шефер (1995) стр. 27
2. Schafer (1995) стр. 28
3. Конвей, Джон Хортон ; Смит, Дерек А. (2003). О кватернионах и октонионах: их геометрии, арифметике и симметрии . AK Peters. ISBN 1-56881-134-9. Збл  1098.17001.
4. Шефер (1995) стр. 29
5. Шефер (1995) стр. 30
6. Жевлаков, Слинько, Шестаков, Ширшов. (1982) с. 151
7. Жевлаков, Слинько, Шестаков, Ширшов (1982)
8. Гай Рус (2008) «Исключительные симметричные области», §1: Алгебры Кэли, в Симметрии в комплексном анализе Брюса Гиллигана и Гая Руса, том 468 журнала Contemporary Mathematics , Американское математическое общество
9. Ассоциативная композиция алгебры/Трансцендентальная парадигма#Категориальное обращение в Wikibooks

• Шефер, Ричард Д. (1995). Введение в неассоциативные алгебры . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-68813-5. Збл  0145.25601.
• Жевлаков К.А.; Слинько А.М.; Шестаков, ИП; Ширшов, А.И. (1982) [1978]. Кольца, которые почти ассоциативны . Академическая пресса . ISBN 0-12-779850-1. MR  0518614. Zbl  0487.17001.

Внешние ссылки

• Жевлаков, К.А. (2001) [1994], «Альтернативные кольца и алгебры», Энциклопедия математики , Издательство ЭМС