Альтернативная алгебра

Алгебра, где x(xy)=(xx)y и (yx)x=y(xx)

В абстрактной алгебре альтернативная алгебра — это алгебра , в которой умножение не обязательно должно быть ассоциативным , а только альтернативным . То есть нужно иметь

• ${\displaystyle x(xy)=(xx)y}$
• ${\displaystyle (yx)x=y(xx)}$

для всех x и y в алгебре.

Очевидно, что каждая ассоциативная алгебра альтернативна, но альтернативными являются и некоторые строго неассоциативные алгебры, такие как октонионы .

Ассоциатор

Альтернативные алгебры названы так потому, что это алгебры, у которых ассоциатор знакопеременный . Ассоциатор представляет собой трилинейное отображение , заданное формулой

${\displaystyle [x,y,z]=(xy)z-x(yz)}$.

По определению, полилинейное отображение является чередующимся, если оно исчезает всякий раз, когда два его аргумента равны. Левое и правое альтернативные тождества алгебры эквивалентны ^[1]

${\displaystyle [x,x,y]=0}$

${\displaystyle [y,x,x]=0.}$

Обе эти идентичности вместе подразумевают, что

${\displaystyle [x,y,x]=[x,x,x]+[x,y,x]-[x,x+y,x+y]=[x,x+y,-y]=[x,x,-y]-[x,y,y]=0}$

для всех и . Это эквивалентно гибкому тождеству ^[2] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle (xy)x=x(yx).}$

Следовательно, ассоциатор альтернативной алгебры является чередующимся. И наоборот , любая алгебра, ассоциатор которой является знакопеременным, очевидно, альтернативна. По симметрии любая алгебра, удовлетворяющая любым двум из:

• левая альтернативная идентичность: ${\displaystyle x(xy)=(xx)y}$
• правильная альтернативная идентичность: ${\displaystyle (yx)x=y(xx)}$
• гибкая идентичность: ${\displaystyle (xy)x=x(yx).}$

альтернативна и, следовательно, удовлетворяет всем трем тождествам.

Альтернирующий ассоциатор всегда полностью кососимметричен. То есть,

${\displaystyle [x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},x_{\sigma (3)}]=\operatorname {sgn}(\sigma )[x_{1},x_{2},x_{3}]}$

для любой перестановки . Обратное справедливо до тех пор, пока характеристика основного поля не равна 2. ${\displaystyle \sigma }$

Примеры

• Любая ассоциативная алгебра альтернативна.
• Октонионы образуют неассоциативную альтернативную алгебру, нормированную алгебру с делением размерности 8 над действительными числами . ^[3]
• В более общем смысле любая алгебра октонионов альтернативна.

Непримеры

• Седенионы и все высшие алгебры Кэли–Диксона теряют альтернативность.

Характеристики

Теорема Артина утверждает, что в альтернативной алгебре подалгебра , порожденная любыми двумя элементами, ассоциативна . ^[4] И наоборот, любая алгебра, для которой это верно, явно альтернативна. Отсюда следует, что в альтернативной алгебре выражения, включающие только две переменные, можно однозначно записать без скобок. Обобщение теоремы Артина утверждает, что всякий раз, когда три элемента в альтернативной алгебре связаны (т. е. ), подалгебра, порожденная этими элементами, является ассоциативной. ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle [x,y,z]=0}$

Следствием теоремы Артина является то, что альтернативные алгебры степенно-ассоциативны , то есть подалгебра, порожденная одним элементом , ассоциативна. ^[5] Обратное не обязательно справедливо: седенионы являются властно-ассоциативными, но не альтернативными.

Личности Муфанга

• ${\displaystyle a(x(ay))=(axa)y}$
• ${\displaystyle ((xa)y)a=x(aya)}$
• ${\displaystyle (ax)(ya)=a(xy)a}$

справедливы в любой альтернативной алгебре. ^[2]

В альтернативной алгебре с единицей мультипликативные обратные уникальны, если они существуют. Более того, для любого обратимого элемента и всех имеющихся ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y=x^{-1}(xy).}$

Это эквивалентно утверждению, что ассоциатор исчезает для всех таких и . ${\displaystyle [x^{-1},x,y]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Если и обратимы, то также обратимо с обратным . Таким образом, множество всех обратимых элементов замкнуто относительно умножения и образует петлю Муфанга . Эта петля единиц в альтернативном кольце или алгебре аналогична группе единиц в ассоциативном кольце или алгебре. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}}$

Теорема Клейнфельда утверждает, что любое простое неассоциативное альтернативное кольцо является обобщенной алгеброй октонионов над своим центром . ^[6] Структурная теория альтернативных колец изложена в книге Жевлакова, Слинько, Шестакова и Ширшова « Кольца почти ассоциативные» . ^[7]

Вхождение

Проективная плоскость над любым альтернативным телом является плоскостью Муфанга .

Каждая композиционная алгебра является альтернативной алгеброй, как показал Гай Роос в 2008 году: ^[8] Композиционная алгебра A над полем K имеет норму n , которая является мультипликативным гомоморфизмом : соединяющим ( A , ×) и ( K , ×). ${\displaystyle n(a\times b)=n(a)\times n(b)}$

Определим форму ( _ : _ ): A × A → K по формуле. Тогда след a задается формулой ( a :1), а сопряженная форма — a * = ( a :1)e – a , где e — базовый элемент для 1. Ряд упражнений доказывает, что композиционная алгебра всегда является альтернативной алгеброй. ^[9] ${\displaystyle (a:b)=n(a+b)-n(a)-n(b).}$

Смотрите также

• Алгебра над полем
• Алгебра Мальцева
• Кольцо Цорна

Рекомендации

1. Шафер (1995) с. 27
2. Шафер (1995) с. 28
3. Конвей, Джон Хортон ; Смит, Дерек А. (2003). О кватернионах и октонионах: их геометрия, арифметика и симметрия . АК Петерс. ISBN 1-56881-134-9. Збл  1098.17001.
4. Шафер (1995) с. 29
5. Шафер (1995) с. 30
6. Жевлаков, Слинько, Шестаков, Ширшов. (1982) с. 151
7. Жевлаков, Слинько, Шестаков, Ширшов (1982)
8. Гай Роос (2008) «Исключительные симметричные области», §1: Алгебры Кэли, в книге «Симметрии в комплексном анализе» Брюса Гиллигана и Гая Рооса, том 468 журнала « Современная математика» , Американское математическое общество
9. Алгебра ассоциативной композиции / Трансцендентальная парадигма # Категориальная трактовка в Wikibooks

• Шафер, Ричард Д. (1995). Введение в неассоциативные алгебры . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-68813-5. Збл  0145.25601.
• Жевлаков К.А.; Слинько А.М.; Шестаков, ИП; Ширшов, А.И. (1982) [1978]. Кольца, которые почти ассоциативны . Академическая пресса . ISBN 0-12-779850-1. МР  0518614. Збл  0487.17001.

Внешние ссылки

• Жевлаков, К.А. (2001) [1994], «Альтернативные кольца и алгебры», Энциклопедия математики , EMS Press