Гладкий анализ бесконечно малых — это современная переформулировка исчисления в терминах бесконечно малых . Основанный на идеях Ф. У. Ловера и использующий методы теории категорий , он рассматривает все функции как непрерывные и неспособные быть выраженными в терминах дискретных сущностей. Как теория, это подмножество синтетической дифференциальной геометрии . Теренс Тао называл эту концепцию «дешевым нестандартным анализом». [1]
Нильквадратные или нильпотентные бесконечно малые числа — это числа ε, где ε ² = 0 верно, но ε = 0 не обязательно должно быть верно в то же время. Calculus Made Easy в частности использует нильпотентные бесконечно малые числа.
Этот подход отходит от классической логики, используемой в традиционной математике, отрицая закон исключенного третьего , например, НЕ ( a ≠ b ) не подразумевает a = b . В частности, в теории гладкого бесконечно малого анализа можно доказать для всех бесконечно малых ε , НЕ ( ε ≠ 0); тем не менее, доказуемо ложно, что все бесконечно малые равны нулю. [2] Можно видеть, что закон исключенного третьего не может выполняться из следующей базовой теоремы (опять же, понимаемой в контексте теории гладкого бесконечно малого анализа):
Несмотря на этот факт, можно попытаться определить разрывную функцию f ( x ), указав, что f ( x ) = 1 для x = 0 и f ( x ) = 0 для x ≠ 0. Если бы закон исключенного третьего был выполнен, то это была бы полностью определенная разрывная функция. Однако существует множество x , а именно бесконечно малых, таких, что ни x = 0, ни x ≠ 0 не выполняется, поэтому функция не определена для действительных чисел.
В типичных моделях гладкого анализа бесконечно малых бесконечно малые необратимы, и поэтому теория не содержит бесконечных чисел. Однако существуют также модели, которые включают обратимые бесконечно малые.
Существуют и другие математические системы, включающие бесконечно малые, включая нестандартный анализ и сюрреалистические числа . Гладкий бесконечно малый анализ похож на нестандартный анализ тем, что (1) он призван служить основой для анализа , и (2) бесконечно малые величины не имеют конкретных размеров (в отличие от сюрреалистов, в которых типичная бесконечно малая величина равна 1/ω , где ω — ординал фон Неймана ). Однако гладкий бесконечно малый анализ отличается от нестандартного анализа использованием неклассической логики и отсутствием принципа переноса . Некоторые теоремы стандартного и нестандартного анализа ложны в гладком бесконечно малом анализе, включая теорему о промежуточном значении и парадокс Банаха–Тарского . Утверждения в нестандартном анализе можно перевести в утверждения о пределах , но то же самое не всегда верно в гладком бесконечно малом анализе.
Интуитивно гладкий бесконечно малый анализ можно интерпретировать как описание мира, в котором линии состоят из бесконечно малых сегментов, а не из точек. Эти сегменты можно считать достаточно длинными, чтобы иметь определенное направление, но недостаточно длинными, чтобы быть изогнутыми. Построение разрывных функций терпит неудачу, потому что функция отождествляется с кривой, а кривая не может быть построена поточечно. Мы можем представить себе неудачу теоремы о промежуточном значении как результат способности бесконечно малого сегмента охватывать линию. Аналогично, парадокс Банаха–Тарского терпит неудачу, потому что объем нельзя разбить на точки.