Фрэнсис Уильям Ловер ( / l ɔː ˈ v ɪər / ; 9 февраля 1937 — 23 января 2023) — американский математик, известный своими работами в области теории категорий , теории топосов и философии математики .
Ловер родился в Манси, штат Индиана , и вырос на ферме недалеко от Мэтьюза, получил степень бакалавра по математике в Университете Индианы . [1]
Ловер изучал механику сплошной среды и кинетическую теорию , будучи студентом бакалавриата у Клиффорда Трусделла . [2] Он узнал о теории категорий, преподавая курс функционального анализа для Трусделла, в частности, из задачи в учебнике Джона Л. Келли «Общая топология» .
Ловер нашел его многообещающей основой для простых строгих аксиом для физических идей Трусделла и Уолтера Нолла . Трусделл поддержал заявку Ловера на дальнейшее обучение у Сэмюэля Эйленберга , основателя теории категорий, в Колумбийском университете в 1960 году. [1] [3]
Перед получением степени доктора философии Ловер провел год в Беркли в качестве неформального студента теории моделей и теории множеств , слушая лекции Альфреда Тарского и Даны Скотт . На своей первой преподавательской должности в колледже Рида ему было поручено разработать курсы по исчислению и абстрактной алгебре с фундаментальной точки зрения. Он пытался использовать тогдашнюю аксиоматическую теорию множеств, но обнаружил, что она неработоспособна для студентов, поэтому вместо этого он разработал первые аксиомы для более актуальной композиции отображений множеств. Позже он упростил эти аксиомы в Элементарной теории категории множеств (1964), которая стала ингредиентом (константным случаем) элементарной теории топосов .
Ловер умер 23 января 2023 года в Чапел-Хилл, Северная Каролина, после продолжительной болезни в возрасте 85 лет. [1] [3]
Ловер получил докторскую степень в Колумбийском университете в 1963 году вместе с Эйленбергом. Его диссертация ввела категорию категорий как основу для семантики алгебраических теорий . С 1964 по 1967 год в Forschungsinstitut für Mathematik в ETH в Цюрихе он работал над категорией категорий и находился под особым влиянием семинаров Пьера Габриэля в Обервольфахе по основам алгебраической геометрии Гротендика . Затем он преподавал в Чикагском университете, работая с Мак Лейном , и в Городском университете Нью-Йорка (CUNY), работая с Алексом Хеллером. Чикагские лекции Ловера по категориальной динамике стали еще одним шагом к теории топосов, а его лекции в CUNY по гипердоктринам продвинули категориальную логику, особенно используя его открытие 1963 года, что экзистенциальные и универсальные кванторы можно охарактеризовать как особые случаи сопряженных функторов .
Вернувшись в Цюрих в 1968 и 1969 годах, он предложил элементарные (первого порядка) аксиомы для топосов, обобщающие концепцию топоса Гротендика (см. История теории топосов ), и работал с алгебраическим топологом Майлсом Тирни над разъяснением и применением этой теории. Тирни обнаружил существенные упрощения в описании «топологий» Гротендика . Позднее Андерс Кок нашел дальнейшие упрощения, так что топос можно описать как категорию с произведениями и уравнителями , в которой представимы понятия пространства отображения и подобъекта . Ловер указал, что топология Гротендика может быть полностью описана как эндоморфизм представителя подобъекта, а Тирни показал, что условия, которым она должна удовлетворять, — это просто идемпотентность и сохранение конечных пересечений. Эти «топологии» важны как в алгебраической геометрии , так и в теории моделей, поскольку они определяют подтопосы как пучковые категории.
В 1969 году в Университете Далхаузи была создана группа из 15 исследователей, поддерживаемых Килламом, во главе с Ловером; но в 1971 году группа была распущена. Ловер был противоречивым из-за своих политических взглядов, например, из-за его оппозиции к использованию Закона о военных мерах 1970 года и из-за преподавания истории математики без разрешения. [4] Но в 1995 году в Далхаузи состоялось празднование 50-летия теории категорий, на котором присутствовали Ловер и Сондерс Маклейн.
Ловер проводил семинар в Перудже, Италия (1972–1974) и в особенности работал над различными видами обогащенной категории . Например, метрическое пространство можно рассматривать как обогащенную категорию. [ нужен контекст ] С 1974 года до выхода на пенсию в 2000 году он был профессором математики в Университете Буффало , часто сотрудничая со Стивеном Шануэлем . В 1977 году он был избран на должность профессора математики Мартина на пять лет, что сделало возможным проведение встречи на тему «Категории в физике сплошных сред» в 1982 году. Клиффорд Трусделл принял участие в этой встрече, как и несколько других исследователей рациональных основ физики сплошных сред и синтетической дифференциальной геометрии , которая развилась из пространственной части программы категориальной динамики Ловера. Ловер продолжал работать над своим 50-летним поиском строгой гибкой базы для физических идей, свободной от ненужных аналитических осложнений. Он был почетным профессором математики и почетным адъюнкт-профессором философии в Буффало. [3]
Основной мотивацией работы Ловера является поиск хороших математических (строгих) основ физики , в частности (классической) механики сплошной среды (или, по крайней мере, некоторых ее кинематических аспектов ; Ловер, похоже, не упоминает гамильтонианы , лагранжианы или функционалы действия). [5]
В интервью (стр. 8) он вспоминал: [2]
Я был студентом Университета Индианы с 1955 по январь 1960 года. Мне нравилась экспериментальная физика, но не нравились неточные рассуждения в некоторых теоретических курсах. Поэтому я решил сначала изучать математику. Трусделл был на математическом факультете, но у него были большие познания в инженерной физике. Он взял на себя ответственность за мое образование там. ... в 1955 году (и впоследствии) посоветовал мне продолжить изучение механики сплошных сред и кинетической теории. Летом 1958 года я изучал топологическую динамику у Джорджа Уэйплса, намереваясь понять как можно больше в категориальных терминах. ... Категории, очевидно, будут важны для упрощения основ физики сплошных сред. Я пришел к выводу, что сделаю теорию категорий центральным направлением своего обучения.
Затем в том же интервью (стр. 11) он сказал о начале 1960-х годов:
Я чувствовал острую потребность узнать больше о теории множеств и логике у экспертов в этой области, конечно же, с целью прояснить основы теории категорий и физики.
Название раннего текста «Топосы законов движения», который часто цитируется как текст, вводящий синтетическую дифференциальную геометрию , ясно свидетельствует о происхождении и мотивации этих идей в классической механике . [6]
В интервью Уильям Ф. Ловер вспоминает о своей работе доцентом в Чикагском университете в 1967 году. Он упоминает, что он и Мак Лейн совместно преподавали курс по механике , что привело его к рассмотрению обоснования старых интуитивных методов в геометрии , в конечном итоге придумав термин « синтетическая дифференциальная геометрия ». Этот курс был основан на книге Макки « Математические основы квантовой механики » , что указывает на влияние Макки на теорию категорий . [2]
Далее в интервью он обсуждает истоки синтетической дифференциальной геометрии, отмечая, что идея совместного курса по механике возникла из предложения Чандры. Этот курс был первым в серии, и Мак Лейн позже прочитал доклад об уравнении Гамильтона-Якоби в Военно-морской академии в 1970 году, который был опубликован в The American Mathematical Monthly . Он объясняет, что начал применять теорию топосов Гротендика, изученную у Габриэля, для упрощения основ механики сплошной среды , вдохновленный учениями Трусделла, аксиоматизациями Нолла и собственными усилиями в 1958 году по категоризации топологической динамики.
Более подробный обзор этих идей и их связи с физикой можно найти во введении к сборнику книг «Категории в физике сплошных сред» , который представляет собой труды встречи, организованной Ловером в 1982 году. [7]
В своей речи 1997 года "Toposes of Laws of Motion" Ловер отмечает давнюю программу исчисления бесконечно малых , механики сплошной среды и дифференциальной геометрии , которая направлена на реконструкцию мира из бесконечно малых. Он признает скептицизм вокруг этой идеи, но подчеркивает ее плодотворные результаты за последние 300 лет. Он считает, что недавние разработки позволили математикам сделать эту программу более явной, сосредоточившись на том, как физика сплошной среды может быть математически построена из "простых ингредиентов". [6]
В том же докладе Ловер упоминает, что основные пространства, необходимые для функционального анализа и физических теорий поля, можно найти в любом топосе с соответствующим объектом (T).
В своей статье 2000 года «Комментарии к развитию теории топоса» Ловер обсуждает свою мотивацию к упрощению и обобщению концепции топоса Гротендика. Он объясняет, что его интерес возник из его ранних исследований в области физики, в частности, основ физики континуума , вдохновленных Трусделлом, Ноллом и другими. Он отмечает, что хотя математический аппарат, используемый в этой области, является мощным, он часто не соответствует явлениям. Ловер задается вопросом, можно ли сформулировать проблемы и необходимые аксиомы более прямо и ясно, что потенциально приведет к более простому, но строгому изложению. Эти вопросы побудили его применить метод топоса в его лекциях 1967 года в Чикаго по категориальной динамике. Он понял, что для достижения его целей необходима дальнейшая работа над понятием топоса . Его время, проведенное с логиками Беркли в 1961-62 годах, слушая экспертов по основам, также повлияло на его подход. [8]
Ловер подчеркивает, что несколько книг по упрощенной теории топосов , включая недавний и доступный текст Маклейна и Мурдейка, а также три превосходные книги по синтетической дифференциальной геометрии , обеспечивают прочную основу для дальнейшей работы в области функционального анализа и развития физики сплошной среды.
Уильям Ловер также предложил формализации в теории категорий , категориальной логике и теории топосов понятий, которые мотивированы философией , в частности, в «Науке логики » Георга Гегеля ( см. там же для получения дополнительной информации).
Сюда входят, например, определения таких концепций, как объективная и субъективная логика, абстрактное общее, конкретное общее, конкретное частное, единство противоположностей , Aufhebung , бытие, становление, пространство и количество, связность, интенсивное и экстенсивное количество... и т. д. [5]
В своей работе «Категории пространства и количества» из «Пространства математики» (1992) Уильям Ловер выражает свою уверенность в том, что технические достижения, достигнутые теоретиками категорий, принесут значительную пользу диалектической философии в ближайшие десятилетия и столетие. Он утверждает, что эти достижения предоставят точные математические модели для вековых философских различий, таких как общее против частного, объективное против субъективного и бытие против становления. Он подчеркивает, что математикам необходимо заниматься этими философскими вопросами, чтобы сделать математику и другие науки более доступными и полезными. Это, как он отмечает, потребует от философов изучения математики, а от математиков — изучения философии. [9]
Предшественником этого начинания является Герман Грассман с его Ausdehnungslehre . [10]
Теоретик категорий Уильям Ловер был убежденным марксистом-ленинцем ; в какой-то момент он выступил с докладом под названием «Применение идей марксизма-ленинизма и Мао Цзэдуна к математике и естественным наукам».
Согласно некрологу Андерса Кока, написанному в 1971 году: [11]
Администрация университета [Далхаузи] отказалась продлить контракт с [Ловером] из-за его политической деятельности в знак протеста против войны во Вьетнаме и провозглашенного Трюдо Закона о военных мерах, приостанавливающего гражданские свободы под предлогом опасности терроризма.
Согласно некрологу на сайте Коммунистической партии Канады (марксистско-ленинской) : [12]
Более 1000 студентов собрались в вестибюле здания студенческого союза Дала, чтобы выступить против произвольного увольнения профессора Ловера.
Он считал, что его политические взгляды связаны с его математической работой порой удивительным и неожиданным образом: например, вот отрывок из «Квантификаторов и пучков» (1970): [13]
Когда основные противоречия вещи найдены, научная процедура заключается в том, чтобы суммировать их в лозунгах, которые затем постоянно используются как идеологическое оружие для дальнейшего развития и преобразования вещи. Выполнение этого для «теории множеств» требует учета опыта, что основные пары противоположных тенденций в математике принимают форму сопряженных функторов, и освобождает нас от математически нерелевантных следов (∈), оставленных процессом накопления (∪) множества мощности (P) на каждом этапе метафизического «построения».
В более ранних разделах статьи он обсуждает «единство противоположностей» между логикой и геометрией. Он поясняет, что его обсуждение противоречия, идеологии и оппозиции уходит корнями в марксистскую традицию , ссылаясь на « О противоречии » Мао (1937) в библиографии. Кроме того, он связывает различные математические концепции с диалектикой Гегеля и теорией познания Ленина в других частях своей работы.
{{cite journal}}: CS1 maint: другие ( ссылка )