Аналитический сигнал

Частное представление сигнала

В математике и обработке сигналов аналитический сигнал — это комплекснозначная функция , не имеющая отрицательных частотных компонентов. ^[1]   Действительная и мнимая части аналитического сигнала — это действительные функции, связанные друг с другом преобразованием Гильберта .

Аналитическое представление действительной функции — это аналитический сигнал , включающий исходную функцию и ее преобразование Гильберта. Это представление облегчает множество математических манипуляций. Основная идея заключается в том, что отрицательные частотные компоненты преобразования Фурье (или спектра ) действительной функции являются излишними из-за эрмитовой симметрии такого спектра. Эти отрицательные частотные компоненты можно отбросить без потери информации, при условии, что вместо этого кто-то готов иметь дело с комплексной функцией. Это делает определенные атрибуты функции более доступными и облегчает вывод методов модуляции и демодуляции, таких как однополосная.

Пока управляемая функция не имеет отрицательных частотных компонентов (то есть она все еще аналитическая ), преобразование из комплексной обратно в действительную является просто вопросом отбрасывания мнимой части. Аналитическое представление является обобщением концепции фазора : ^[2] в то время как фазор ограничен неизменяемыми во времени амплитудой, фазой и частотой, аналитический сигнал допускает изменяющиеся во времени параметры.

Определение

Передаточная функция для создания аналитического сигнала

Если — действительная функция с преобразованием Фурье (где — действительная величина, обозначающая частоту), то преобразование имеет эрмитову симметрию относительно оси: ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle S(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=0}$

${\displaystyle S(-f)=S(f)^{*},}$

где — комплексно сопряженная функция . Функция: ${\displaystyle S(f)^{*}}$ ${\displaystyle S(f)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{\mathrm {a} }(f)&\triangleq {\begin{cases}2S(f),&{\text{for}}\ f>0,\\S(f),&{\text{for}}\ f=0,\\0,&{\text{for}}\ f<0\end{cases}}\\&=\underbrace {2\operatorname {u} (f)} _{1+\operatorname {sgn}(f)}S(f)=S(f)+\operatorname {sgn}(f)S(f),\end{aligned}}}$

где

• ${\displaystyle \operatorname {u} (f)}$— это ступенчатая функция Хевисайда ,
• ${\displaystyle \operatorname {sgn}(f)}$это знаковая функция ,

содержит только неотрицательные частотные компоненты . И операция обратима из-за эрмитовой симметрии : ${\displaystyle S(f)}$ ${\displaystyle S(f)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S(f)&={\begin{cases}{\frac {1}{2}}S_{\mathrm {a} }(f),&{\text{for}}\ f>0,\\S_{\mathrm {a} }(f),&{\text{for}}\ f=0,\\{\frac {1}{2}}S_{\mathrm {a} }(-f)^{*},&{\text{for}}\ f<0\ {\text{(Hermitian symmetry)}}\end{cases}}\\&={\frac {1}{2}}[S_{\mathrm {a} }(f)+S_{\mathrm {a} }(-f)^{*}].\end{aligned}}}$

Аналитический сигнал представляет собой обратное преобразование Фурье : ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle S_{\mathrm {a} }(f)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&\triangleq {\mathcal {F}}^{-1}[S_{\mathrm {a} }(f)]\\&={\mathcal {F}}^{-1}[S(f)+\operatorname {sgn}(f)\cdot S(f)]\\&=\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} _{s(t)}+\overbrace {\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{\operatorname {sgn}(f)\}} _{j{\frac {1}{\pi t}}}*\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} _{s(t)}} ^{\text{convolution}}\\&=s(t)+j\underbrace {\left[{1 \over \pi t}*s(t)\right]} _{\operatorname {\mathcal {H}} [s(t)]}\\&=s(t)+j{\hat {s}}(t),\end{aligned}}}$

где

• ${\displaystyle {\hat {s}}(t)\triangleq \operatorname {\mathcal {H}} [s(t)]}$— преобразование Гильберта ; ${\displaystyle s(t)}$
• ${\displaystyle *}$— оператор бинарной свертки ;
• ${\displaystyle j}$— мнимая единица .

Отметим, что это также можно выразить как операцию фильтрации, которая напрямую удаляет отрицательные частотные компоненты : ${\displaystyle s(t)=s(t)*\delta (t),}$

${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=s(t)*\underbrace {\left[\delta (t)+j{1 \over \pi t}\right]} _{{\mathcal {F}}^{-1}\{2u(f)\}}.}$

Отрицательные частотные компоненты

Так как восстановление отрицательных частотных компонентов является простым вопросом отбрасывания , что может показаться нелогичным. Комплексное сопряжение содержит только отрицательные частотные компоненты. И, следовательно, восстанавливает подавленные положительные частотные компоненты. Другая точка зрения заключается в том, что мнимая составляющая в любом случае является членом, который вычитает частотные компоненты из Оператор удаляет вычитание, создавая видимость добавления новых компонентов. ${\displaystyle s(t)=\operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }(t)]}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} [s_{\mathrm {a} }(t)]}$ ${\displaystyle s_{\mathrm {a} }^{*}(t)}$ ${\displaystyle s(t)=\operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }^{*}(t)]}$ ${\displaystyle s(t).}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} }$

Примеры

Пример 1

${\displaystyle s(t)=\cos(\omega t),}$   где   ${\displaystyle \omega >0.}$

Затем:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {s}}(t)&=\cos \left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)=\sin(\omega t),\\s_{\mathrm {a} }(t)&=s(t)+j{\hat {s}}(t)=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t)=e^{j\omega t}.\end{aligned}}}$

Последнее равенство — это формула Эйлера , следствием которой является В общем случае аналитическое представление простой синусоиды получается путем выражения ее в терминах комплексно-экспоненциальных функций, отбрасывания отрицательной частотной составляющей и удвоения положительной частотной составляющей. А аналитическое представление суммы синусоид — это сумма аналитических представлений отдельных синусоид. ${\textstyle \cos(\omega t)={\frac {1}{2}}\left(e^{j\omega t}+e^{j(-\omega )t}\right).}$

Пример 2

Здесь мы используем формулу Эйлера для определения и отбрасывания отрицательной частоты.

${\displaystyle s(t)=\cos(\omega t+\theta )={\frac {1}{2}}\left(e^{j(\omega t+\theta )}+e^{-j(\omega t+\theta )}\right)}$

Затем:

${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)={\begin{cases}e^{j(\omega t+\theta )}\ \ =\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{j\theta },&{\text{if}}\ \omega >0,\\e^{-j(\omega t+\theta )}=\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{-j\theta },&{\text{if}}\ \omega <0.\end{cases}}}$

Пример 3

Это еще один пример использования метода преобразования Гильберта для удаления отрицательных частотных компонентов. Ничто не мешает нам вычислить для комплекснозначного . Но это может быть необратимое представление, поскольку исходный спектр в общем случае не является симметричным. Поэтому, за исключением этого примера, общее обсуждение предполагает действительнозначное . ${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)}$ ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle s(t)=e^{-j\omega t}}$, где . ${\displaystyle \omega >0}$

Затем:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {s}}(t)&=je^{-j\omega t},\\s_{\mathrm {a} }(t)&=e^{-j\omega t}+j^{2}e^{-j\omega t}=e^{-j\omega t}-e^{-j\omega t}=0.\end{aligned}}}$

Характеристики

Мгновенная амплитуда и фаза

Функция, выделенная синим цветом, и величина ее аналитического представления, выделенная красным цветом, демонстрирующая эффект огибающей.

Аналитический сигнал также может быть выражен в полярных координатах :

${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=s_{\mathrm {m} }(t)e^{j\phi (t)},}$

где вводятся следующие переменные во времени величины:

• ${\displaystyle s_{\mathrm {m} }(t)\triangleq |s_{\mathrm {a} }(t)|}$называется мгновенной амплитудой или огибающей ;
• ${\displaystyle \phi (t)\triangleq \arg \!\left[s_{\mathrm {a} }(t)\right]}$называется мгновенной фазой или фазовым углом .

На прилагаемой диаграмме синяя кривая изображает , а красная кривая — соответствующий . ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle s_{\mathrm {m} }(t)}$

Производная по времени развернутой мгновенной фазы имеет единицу измерения радианы/секунду и называется мгновенной угловой частотой :

${\displaystyle \omega (t)\triangleq {\frac {d\phi }{dt}}(t).}$

Таким образом, мгновенная частота ( в герцах ) равна:

${\displaystyle f(t)\triangleq {\frac {1}{2\pi }}\omega (t).}$  ^[3]

Мгновенная амплитуда, а также мгновенная фаза и частота в некоторых приложениях используются для измерения и обнаружения локальных особенностей сигнала. Другое применение аналитического представления сигнала относится к демодуляции модулированных сигналов . Полярные координаты удобно разделяют эффекты амплитудной модуляции и фазовой (или частотной) модуляции и эффективно демодулируют определенные виды сигналов.

Комплексная огибающая/полоса частот

Аналитические сигналы часто смещаются по частоте (преобразуются с понижением частоты) в сторону 0 Гц, что может создавать [несимметричные] отрицательные частотные компоненты: где — произвольная опорная угловая частота. ^[2] $${\displaystyle {s_{\mathrm {a} }}_{\downarrow }(t)\triangleq s_{\mathrm {a} }(t)e^{-j\omega _{0}t}=s_{\mathrm {m} }(t)e^{j(\phi (t)-\omega _{0}t)},}$$ ${\displaystyle \omega _{0}}$

Эта функция имеет разные названия, такие как комплексная огибающая и комплексная полоса частот . Комплексная огибающая не является уникальной; она определяется выбором . Эта концепция часто используется при работе с сигналами в полосе пропускания . Если это модулированный сигнал, может быть приравнена к его несущей частоте . ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$

В других случаях выбирается так, чтобы он находился где-то посередине желаемой полосы пропускания. Тогда простой фильтр нижних частот с действительными коэффициентами может вырезать интересующую часть. Другой мотив — уменьшить самую высокую частоту, что снижает минимальную скорость для выборки без наложения спектров. Сдвиг частоты не подрывает математическую читаемость комплексного представления сигнала. Так что в этом смысле преобразованный с понижением частоты сигнал все еще является аналитическим . Однако восстановление действительного представления больше не является простым вопросом простого извлечения действительного компонента. Может потребоваться преобразование с повышением частоты, и если сигнал был дискретизирован (дискретное время), интерполяция ( повышающая дискретизация ) также может быть необходима, чтобы избежать наложения спектров . ${\displaystyle \omega _{0}}$

Если выбрано больше, чем самая высокая частота, то не имеет положительных частот. В этом случае извлечение действительного компонента восстанавливает их, но в обратном порядке; низкочастотные компоненты теперь являются высокочастотными и наоборот. Это можно использовать для демодуляции типа однополосного сигнала, называемого нижней боковой полосой или инвертированной боковой полосой . ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t),}$ ${\displaystyle {s_{\mathrm {a} }}_{\downarrow }(t)}$

Иногда рассматриваются и другие варианты опорной частоты:

• Иногда выбирается, чтобы минимизировать ${\displaystyle \omega _{0}}$ $${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }(\omega -\omega _{0})^{2}|S_{\mathrm {a} }(\omega )|^{2}\,d\omega .}$$
• В качестве альтернативы можно выбрать ^[4] для минимизации среднеквадратической ошибки при линейной аппроксимации развернутой мгновенной фазы : ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \phi (t)}$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\omega (t)-\omega _{0}]^{2}|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}\,dt}$$
• или другой вариант (для некоторого оптимума ): ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\phi (t)-(\omega _{0}t+\theta )]^{2}\,dt.}$$

В области обработки сигналов в частотно-временной области было показано, что аналитический сигнал необходим для определения распределения Вигнера–Вилле , чтобы метод мог обладать желаемыми свойствами, необходимыми для практических приложений. ^[5]

Иногда фразе «комплексная огибающая» придается более простое значение комплексной амплитуды (постоянной частоты) фазора; ^{[a] [b]} в других случаях комплексная огибающая, как определено выше, интерпретируется как зависящее от времени обобщение комплексной амплитуды. ^[c] Их взаимосвязь не отличается от таковой в случае действительных значений: переменная огибающая, обобщающая постоянную амплитуду . ${\displaystyle s_{m}(t)}$

Расширение аналитического сигнала на сигналы нескольких переменных

Понятие аналитического сигнала хорошо определено для сигналов одной переменной, которой обычно является время. Для сигналов двух или более переменных аналитический сигнал может быть определен разными способами, и ниже представлены два подхода.

Многомерный аналитический сигнал на основе произвольного направления

Простое обобщение аналитического сигнала может быть сделано для многомерного сигнала, как только будет установлено, что подразумевается под отрицательными частотами для этого случая. Это можно сделать, введя единичный вектор в область Фурье и обозначив любой вектор частоты как отрицательный, если . Затем аналитический сигнал получается путем удаления всех отрицательных частот и умножения результата на 2 в соответствии с процедурой, описанной для случая одномерных сигналов. Однако нет конкретного направления, для которого нужно выбирать, если нет дополнительных ограничений. Поэтому выбор является специальным или специфичным для приложения. ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {u}}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\cdot {\boldsymbol {\hat {u}}}<0}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {u}}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {u}}}}$

Моногенный сигнал

Действительная и мнимая части аналитического сигнала соответствуют двум элементам векторнозначного моногенного сигнала, как он определен для однопеременных сигналов. Однако моногенный сигнал может быть расширен до произвольного числа переменных простым способом, производя ( n + 1) -мерную векторнозначную функцию для случая n -переменных сигналов.

Смотрите также

• Практические соображения по вычислению преобразований Гильберта
• Данные I/Q
• Отрицательная частота

Приложения

• Однополосная модуляция
• Квадратурный фильтр
• Фильтр причин

Примечания

1. "комплексная огибающая (или комплексная амплитуда)" ^[6]
2. "комплексная огибающая (или комплексная амплитуда)", стр. 586 ^[7]
3. "Комплексная огибающая — это расширенная интерпретация комплексной амплитуды как функции времени". стр. 85 ^[8]

Ссылки

1. Смит, Дж. О. «Аналитические сигналы и фильтры преобразования Гильберта», в книге «Математика дискретного преобразования Фурье (ДПФ) с аудиоприложениями», второе издание, https://ccrma.stanford.edu/~jos/r320/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html или https://www.dsprelated.com/freebooks/mdft/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html, онлайн-книга, издание 2007 г., дата обращения 29.04.2021.
2. Брейсвелл, Рон. Преобразование Фурье и его приложения . McGraw-Hill, 2000. стр. 361-362
3. Б. Боашаш, «Оценка и интерпретация мгновенной частоты сигнала. Часть I: Основы», Труды IEEE, т. 80, № 4, стр. 519–538, апрель 1992 г.
4. Джастис, Дж. (1 декабря 1979 г.). «Аналитическая обработка сигналов в музыкальных вычислениях». Труды IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . 27 (6): 670–684. doi :10.1109/TASSP.1979.1163321. ISSN  0096-3518.
5. Б. Боашаш, «Заметки об использовании распределения Вигнера для частотно-временного анализа сигналов», IEEE Trans. on Acoustics, Speech, and Signal Processing, т. 26, № 9, 1987
6. Главач, Франц; Оже, Франсуа (2013-03-01). Анализ частоты времени. John Wiley & Sons. ISBN 9781118623831.
7. Дриггерс, Рональд Г. (2003-01-01). Энциклопедия оптической инженерии: Abe-Las, страницы 1-1024. CRC Press. ISBN 9780824742508.
8. Окамото, Кенити (2001-01-01). Глобальное дистанционное зондирование окружающей среды. IOS Press. ISBN 9781586031015.

Дальнейшее чтение

• Леон Коэн, Частотно-временной анализ , Prentice Hall, Upper Saddle River, 1995.
• Фредерик В. Кинг, Преобразования Гильберта , т. II, Cambridge University Press, Кембридж, 2009.
• Б. Боашаш, Анализ и обработка частотно-временных сигналов: полный справочник , Elsevier Science, Оксфорд, 2003.

Внешние ссылки

• Аналитические сигналы и фильтры преобразования Гильберта