Ангармоничность

Отклонение физической системы от гармонического осциллятора

Потенциальная энергия двухатомной молекулы как функция атомного расстояния . Когда молекулы находятся слишком близко или слишком далеко, они испытывают восстанавливающую силу обратно к u ₀ . (Представьте себе шарик, катящийся вперед и назад в углублении.) Синяя кривая близка по форме к фактической потенциальной яме молекулы , в то время как красная парабола является хорошим приближением для малых колебаний. Красное приближение рассматривает молекулу как гармонический осциллятор, поскольку восстанавливающая сила, -V'(u) , линейна относительно смещения u .

В классической механике ангармоничность — это отклонение системы от гармонического осциллятора . Осциллятор , который не колеблется в гармоническом движении , называется ангармоническим осциллятором, где система может быть приближена к гармоническому осциллятору, а ангармоничность может быть рассчитана с помощью теории возмущений . Если ангармоничность велика, то необходимо использовать другие численные методы. В действительности все колебательные системы являются ангармоническими, но тем больше приближаются к гармоническому осциллятору, чем меньше амплитуда колебания.

В результате возникают колебания с частотами и т. д., где - основная частота осциллятора. При этом частота отклоняется от частоты гармонических колебаний. См. также интермодуляционные и комбинационные тоны . В первом приближении сдвиг частоты пропорционален квадрату амплитуды колебания : ${\displaystyle 2\omega }$ ${\displaystyle 3\omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \Delta \omega =\omega -\omega _{0}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \Delta \omega \propto A^{2}}$

В системе осцилляторов с собственными частотами , , ... ангармонизм приводит к появлению дополнительных колебаний с частотами . ${\displaystyle \omega _{\alpha }}$ ${\displaystyle \omega _{\beta }}$ ${\displaystyle \omega _{\alpha }\pm \omega _{\beta }}$

Ангармоничность также изменяет энергетический профиль резонансной кривой, что приводит к интересным явлениям, таким как эффект фолдовера и супергармонический резонанс.

Общий принцип

Упругий маятник с двумя степенями свободы, демонстрирующий ангармоническое поведение.

Гармонические и ангармонические осцилляторы

Осциллятор — это физическая система, характеризующаяся периодическим движением, например, маятник, камертон или вибрирующая двухатомная молекула . ​​С математической точки зрения, существенной особенностью осциллятора является то, что для некоторой координаты x системы сила, величина которой зависит от x, будет отталкивать x от экстремальных значений и обратно к некоторому центральному значению x ₀ , заставляя x колебаться между экстремумами. Например, x может представлять смещение маятника из его положения покоя x = 0 . По мере увеличения абсолютного значения x увеличивается и восстанавливающая сила, действующая на вес маятника, которая толкает его обратно к положению покоя.

В гармонических осцилляторах восстанавливающая сила пропорциональна по величине (и противоположна по направлению) смещению x от его естественного положения x ₀ . Полученное дифференциальное уравнение подразумевает, что x должен колебаться синусоидально с течением времени, с периодом колебания, который присущ системе. x может колебаться с любой амплитудой, но всегда будет иметь тот же период.

Однако ангармонические осцилляторы характеризуются нелинейной зависимостью восстанавливающей силы от смещения x. Следовательно, период колебаний ангармонического осциллятора может зависеть от его амплитуды колебаний.

В результате нелинейности ангармонических осцилляторов частота вибрации может изменяться в зависимости от смещения системы. Эти изменения частоты вибрации приводят к тому, что энергия связывается с основной частотой вибрации и другими частотами посредством процесса, известного как параметрическая связь. ^{[ необходимо разъяснение ]}

Рассматривая нелинейную восстанавливающую силу как функцию F ( x − x ₀ ) смещения x от его естественного положения, мы можем заменить F ее линейным приближением F ₁ = F′ (0) ⋅ ( x − x ₀ ) при нулевом смещении. Аппроксимирующая функция F ₁ является линейной, поэтому она будет описывать простое гармоническое движение. Кроме того, эта функция F ₁ точна, когда x − x ₀ мало. По этой причине ангармоническое движение можно аппроксимировать как гармоническое движение, пока колебания малы.

Примеры по физике

В физическом мире существует множество систем, которые можно смоделировать как ангармонические осцилляторы в дополнение к нелинейной системе масса-пружина. Например, атом, состоящий из положительно заряженного ядра, окруженного отрицательно заряженным электронным облаком, испытывает смещение между центром масс ядра и электронным облаком, когда присутствует электрическое поле. Величина этого смещения, называемая электрическим дипольным моментом, линейно связана с приложенным полем для малых полей, но по мере увеличения величины поля соотношение между полем и дипольным моментом становится нелинейным, как и в механической системе.

Другие примеры ангармонических осцилляторов включают в себя маятник с большим углом; неравновесные полупроводники, которые обладают большой популяцией горячих носителей, которые демонстрируют нелинейное поведение различных типов, связанное с эффективной массой носителей; и ионосферную плазму, которая также демонстрирует нелинейное поведение, основанное на ангармоничности плазмы, поперечные колеблющиеся струны . Фактически, практически все осцилляторы становятся ангармоническими, когда их амплитуда накачки превышает некоторый порог, и в результате для описания их поведения необходимо использовать нелинейные уравнения движения.

Ангармоничность играет роль в решеточных и молекулярных колебаниях, в квантовых колебаниях ^[1] и в акустике . Атомы в молекуле или твердом теле колеблются около своих положений равновесия. Когда эти колебания имеют малые амплитуды, их можно описать гармоническими осцилляторами . Однако, когда амплитуды колебаний велики, например, при высоких температурах, ангармоничность становится важной. Примером эффектов ангармоничности является тепловое расширение твердых тел, которое обычно изучается в рамках квазигармонического приближения . Изучение вибрирующих ангармоничных систем с использованием квантовой механики является вычислительно сложной задачей, поскольку ангармоничность не только усложняет потенциал, испытываемый каждым осциллятором, но и вводит связь между осцилляторами. Можно использовать методы первопринципов, такие как теория функционала плотности, для отображения ангармонического потенциала, испытываемого атомами как в молекулах ^[2], так и в твердых телах. ^[3] Точные ангармонические колебательные энергии затем могут быть получены путем решения ангармонических колебательных уравнений для атомов в рамках теории среднего поля . Наконец, можно использовать теорию возмущений Мёллера–Плессета, чтобы выйти за рамки формализма среднего поля.

Период колебаний

Рассмотрим массу , движущуюся в потенциальной яме . Период колебаний может быть выведен ^[4] , где экстремумы движения задаются как и . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle U(x)}$ $${\displaystyle T={\sqrt {2m}}\int _{x_{-}}^{x_{+}}{\frac {dx}{\sqrt {E-U(x)}}}}$$ ${\displaystyle x_{-}<x<x_{+}}$ ${\displaystyle U(x_{-})=U(x_{+})=E}$

Смотрите также

• Негармоничность
• Гармонический осциллятор
• Музыкальная акустика
• Нелинейный резонанс
• Трансмон

Ссылки

• Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М. (1976), Механика (3-е изд.), Pergamon Press, ISBN 978-0-08-021022-3
• Филиппони, А.; Кавиччиа, Д.Р. (2011), «Ангармоническая динамика осциллятора с массой O-пружины», Американский журнал физики , 79 (7): 730–735, Bibcode : 2011AmJPh..79..730F, doi : 10.1119/1.3579129

1. Лим, Киран Ф.; Коулман, Уильям Ф. (август 2005 г.), «Влияние ангармоничности на двухатомные колебания: моделирование с помощью электронных таблиц», J. Chem. Educ. , 82 (8): 1263, Bibcode : 2005JChEd..82.1263F, doi : 10.1021/ed082p1263.1
2. Юнг, Дж. О.; Бенни Гербер, Р. (1996), "Вибрационные волновые функции и спектроскопия (H ₂ O) _n , n = 2, 3, 4, 5: Вибрационное самосогласованное поле с корреляционными поправками", J. Chem. Phys. , 105 (23): 10332, Bibcode :1996JChPh.10510332J, doi :10.1063/1.472960
3. Монсеррат, Б.; Драммонд, Н.Д.; Нидс, Р.Дж. (2013), «Ангармонические колебательные свойства в периодических системах: энергия, электрон-фононная связь и напряжение», Phys. Rev. B , 87 (14): 144302, arXiv : 1303.0745 , Bibcode : 2013PhRvB..87n4302M, doi : 10.1103/PhysRevB.87.144302, S2CID  118687212
4. Аморе, Паоло; Фернандес, Франциско М. (2005). «Точные и приближенные выражения для периода ангармонических осцилляторов». European Journal of Physics . 26 (4): 589–601. arXiv : math-ph/0409034 . Bibcode :2005EJPh...26..589A. doi :10.1088/0143-0807/26/4/004. S2CID  119615357.

Внешние ссылки

• Элмер, Франц-Йозеф (20 июля 1998 г.), Нелинейный резонанс, Базельский университет , архивировано из оригинала 13 июня 2011 г. , извлечено 28 октября 2010 г.