Ангармоничность

Отклонение физической системы от гармонического осциллятора

Потенциальная энергия двухатомной молекулы как функция атомного расстояния . Когда молекулы находятся слишком близко или слишком далеко, они испытывают восстанавливающую силу обратно к u ₀ . (Представьте себе шарик, катящийся вперед и назад в углублении.) Синяя кривая близка по форме к фактической потенциальной яме молекулы , в то время как красная парабола является хорошим приближением для малых колебаний. Красное приближение рассматривает молекулу как гармонический осциллятор, поскольку восстанавливающая сила, -V'(u) , линейна относительно смещения u .

В классической механике ангармоничность — это отклонение системы от гармонического осциллятора . Осциллятор , который не колеблется в гармоническом движении , называется ангармоническим осциллятором, где система может быть приближена к гармоническому осциллятору, а ангармоничность может быть рассчитана с помощью теории возмущений . Если ангармоничность велика, то необходимо использовать другие численные методы. В действительности все колебательные системы являются ангармоническими, но тем больше приближаются к гармоническому осциллятору, чем меньше амплитуда колебания.

В результате возникают колебания с частотами и т. д., где - основная частота осциллятора. При этом частота отклоняется от частоты гармонических колебаний. См. также интермодуляционные и комбинационные тоны . В первом приближении сдвиг частоты пропорционален квадрату амплитуды колебания : ${\displaystyle 2\omega }$ ${\displaystyle 3\omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \Delta \omega =\omega -\omega _{0}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \Delta \omega \propto A^{2}}$

В системе осцилляторов с собственными частотами , , ... ангармонизм приводит к появлению дополнительных колебаний с частотами . ${\displaystyle \omega _{\alpha }}$ ${\displaystyle \omega _{\beta }}$ ${\displaystyle \omega _{\alpha }\pm \omega _{\beta }}$

Ангармоничность также изменяет энергетический профиль резонансной кривой, что приводит к интересным явлениям, таким как эффект фолдовера и супергармонический резонанс.

Общий принцип

Упругий маятник с двумя степенями свободы, демонстрирующий ангармоническое поведение.

Гармонические и ангармонические осцилляторы

Осциллятор — это физическая система, характеризующаяся периодическим движением, например, маятник, камертон или вибрирующая двухатомная молекула . ​​С математической точки зрения, существенной особенностью осциллятора является то, что для некоторой координаты x системы сила, величина которой зависит от x, будет отталкивать x от экстремальных значений и обратно к некоторому центральному значению x ₀ , заставляя x колебаться между экстремумами. Например, x может представлять смещение маятника из его положения покоя x = 0 . По мере увеличения абсолютного значения x увеличивается и восстанавливающая сила, действующая на вес маятника, которая толкает его обратно к положению покоя.

В гармонических осцилляторах восстанавливающая сила пропорциональна по величине (и противоположна по направлению) смещению x от его естественного положения x ₀ . Полученное дифференциальное уравнение подразумевает, что x должен колебаться синусоидально с течением времени, с периодом колебания, который присущ системе. x может колебаться с любой амплитудой, но всегда будет иметь один и тот же период.

Однако ангармонические осцилляторы характеризуются нелинейной зависимостью восстанавливающей силы от смещения x. Следовательно, период колебаний ангармонического осциллятора может зависеть от его амплитуды колебаний.

В результате нелинейности ангармонических осцилляторов частота вибрации может изменяться в зависимости от смещения системы. Эти изменения частоты вибрации приводят к тому, что энергия связывается с основной частотой вибрации и другими частотами посредством процесса, известного как параметрическая связь. ^{[ необходимо разъяснение ]}

Рассматривая нелинейную восстанавливающую силу как функцию F ( x − x ₀ ) смещения x от его естественного положения, мы можем заменить F ее линейным приближением F ₁ = F′ (0) ⋅ ( x − x ₀ ) при нулевом смещении. Аппроксимирующая функция F ₁ является линейной, поэтому она будет описывать простое гармоническое движение. Кроме того, эта функция F ₁ точна, когда x − x ₀ мало. По этой причине ангармоническое движение можно аппроксимировать как гармоническое движение, пока колебания малы.

Примеры по физике

В физическом мире существует множество систем, которые можно смоделировать как ангармонические осцилляторы в дополнение к нелинейной системе масса-пружина. Например, атом, состоящий из положительно заряженного ядра, окруженного отрицательно заряженным электронным облаком, испытывает смещение между центром масс ядра и электронным облаком, когда присутствует электрическое поле. Величина этого смещения, называемая электрическим дипольным моментом, линейно связана с приложенным полем для малых полей, но по мере увеличения величины поля соотношение между полем и дипольным моментом становится нелинейным, как и в механической системе.

Другие примеры ангармонических осцилляторов включают в себя маятник с большим углом; неравновесные полупроводники, которые обладают большой популяцией горячих носителей, которые демонстрируют нелинейное поведение различных типов, связанное с эффективной массой носителей; и ионосферную плазму, которая также демонстрирует нелинейное поведение, основанное на ангармоничности плазмы, поперечные колеблющиеся струны . Фактически, практически все осцилляторы становятся ангармоническими, когда их амплитуда накачки превышает некоторый порог, и в результате для описания их поведения необходимо использовать нелинейные уравнения движения.

Ангармоничность играет роль в решеточных и молекулярных колебаниях, в квантовых колебаниях ^[1] и в акустике . Атомы в молекуле или твердом теле колеблются около своих положений равновесия. Когда эти колебания имеют малые амплитуды, их можно описать гармоническими осцилляторами . Однако, когда амплитуды колебаний велики, например, при высоких температурах, ангармоничность становится важной. Примером эффектов ангармоничности является тепловое расширение твердых тел, которое обычно изучается в рамках квазигармонического приближения . Изучение вибрирующих ангармоничных систем с использованием квантовой механики является вычислительно сложной задачей, поскольку ангармоничность не только усложняет потенциал, испытываемый каждым осциллятором, но и вводит связь между осцилляторами. Можно использовать методы первопринципов, такие как теория функционала плотности, для отображения ангармонического потенциала, испытываемого атомами как в молекулах ^[2], так и в твердых телах. ^[3] Точные ангармонические колебательные энергии затем могут быть получены путем решения ангармонических колебательных уравнений для атомов в рамках теории среднего поля . Наконец, можно использовать теорию возмущений Мёллера–Плессета, чтобы выйти за рамки формализма среднего поля.

Период колебаний

Рассмотрим массу , движущуюся в потенциальной яме . Период колебаний может быть выведен ^[4] , где экстремумы движения задаются как и . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle U(x)}$ $${\displaystyle T={\sqrt {2m}}\int _{x_{-}}^{x_{+}}{\frac {dx}{\sqrt {E-U(x)}}}}$$ ${\displaystyle x_{-}<x<x_{+}}$ ${\displaystyle U(x_{-})=U(x_{+})=E}$

Смотрите также

• Негармоничность
• Гармонический осциллятор
• Музыкальная акустика
• Нелинейный резонанс
• Трансмон

Ссылки

• Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М. (1976), Механика (3-е изд.), Pergamon Press, ISBN 978-0-08-021022-3
• Филиппони, А.; Кавиччиа, Д.Р. (2011), «Ангармоническая динамика осциллятора с массой O-пружины», Американский журнал физики , 79 (7): 730–735, Bibcode : 2011AmJPh..79..730F, doi : 10.1119/1.3579129

1. Лим, Киран Ф.; Коулман, Уильям Ф. (август 2005 г.), «Влияние ангармоничности на двухатомные колебания: моделирование с помощью электронных таблиц», J. Chem. Educ. , 82 (8): 1263, Bibcode : 2005JChEd..82.1263F, doi : 10.1021/ed082p1263.1
2. Юнг, Дж. О.; Бенни Гербер, Р. (1996), "Вибрационные волновые функции и спектроскопия (H ₂ O) _n , n = 2, 3, 4, 5: Вибрационное самосогласованное поле с корреляционными поправками", J. Chem. Phys. , 105 (23): 10332, Bibcode :1996JChPh.10510332J, doi :10.1063/1.472960
3. Монсеррат, Б.; Драммонд, Н.Д.; Нидс, Р.Дж. (2013), «Ангармонические колебательные свойства в периодических системах: энергия, электрон-фононная связь и напряжение», Phys. Rev. B , 87 (14): 144302, arXiv : 1303.0745 , Bibcode : 2013PhRvB..87n4302M, doi : 10.1103/PhysRevB.87.144302, S2CID  118687212
4. Аморе, Паоло; Фернандес, Франциско М. (2005). «Точные и приближенные выражения для периода ангармонических осцилляторов». European Journal of Physics . 26 (4): 589–601. arXiv : math-ph/0409034 . Bibcode :2005EJPh...26..589A. doi :10.1088/0143-0807/26/4/004. S2CID  119615357.

Внешние ссылки

• Элмер, Франц-Йозеф (20 июля 1998 г.), Нелинейный резонанс, Базельский университет , архивировано из оригинала 13 июня 2011 г. , извлечено 28 октября 2010 г.