Аннуитет

Серия платежей, осуществляемых через равные промежутки времени

В инвестициях аннуитет представляет собой серию платежей, осуществляемых через равные промежутки времени . ^[1] Примерами аннуитетов являются регулярные депозиты на сберегательный счет , ежемесячные выплаты по ипотеке , ежемесячные страховые выплаты и пенсионные выплаты. Аннуитеты можно классифицировать по частоте дат платежей. Выплаты (депозиты) могут производиться еженедельно, ежемесячно, ежеквартально, ежегодно или через любой другой регулярный интервал времени. Аннуитеты могут рассчитываться с помощью математических функций, известных как «функции аннуитета».

Аннуитет, который предусматривает выплаты на оставшуюся часть жизни человека, является пожизненным аннуитетом . Аннуитет, продолжающийся неопределенное время, является бессрочным .

Типы

Аннуитеты можно классифицировать по нескольким признакам.

Сроки платежей

Выплаты аннуитета -немедленно производятся в конце платежных периодов, так что проценты начисляются между выпуском аннуитета и первым платежом. Выплаты аннуитетных платежей производятся в начале платежных периодов, поэтому платеж производится сразу же при выдаче.

Условные платежи

Аннуитеты, предусматривающие выплаты, которые будут выплачиваться в течение заранее известного периода, являются определенными или гарантированными аннуитетами. Аннуитеты, выплачиваемые только при определенных обстоятельствах, являются условными аннуитетами . Типичным примером является пожизненная рента , которая выплачивается в течение оставшейся жизни получателя ренты. Определенные и пожизненные аннуитеты гарантированно выплачиваются в течение нескольких лет, а затем начинают зависеть от того, жив ли получатель ренты.

Вариативность платежей

• Фиксированные аннуитеты – это аннуитеты с фиксированными платежами. Если предоставлено страховой компанией, компания гарантирует фиксированную прибыль от первоначальных инвестиций. Фиксированные аннуитеты не регулируются Комиссией по ценным бумагам и биржам .
• Переменные аннуитеты — зарегистрированные продукты, которые регулируются SEC в Соединенных Штатах Америки. Они позволяют осуществлять прямые инвестиции в различные фонды, специально созданные для переменных аннуитетов. Как правило, страховая компания гарантирует определенное пособие в случае смерти или пожизненное пособие по выводу средств.
• Аннуитеты, индексированные по акциям – Аннуитеты, выплаты по которым привязаны к индексу. Обычно минимальный платеж составляет 0%, а максимальный заранее определен. Производительность индекса определяет, будет ли зачислен клиенту минимум, максимум или что-то среднее.

Отсрочка платежей

Аннуитет, выплаты по которому начинаются только по истечении определенного периода, является отсроченным аннуитетом (обычно после выхода на пенсию). Аннуитет, выплаты по которому начинаются сразу после оплаты клиентом, без периода отсрочки, является немедленным аннуитетом . ^{[ нужна цитата ]}

Оценка

Оценка аннуитета влечет за собой расчет текущей стоимости будущих аннуитетных платежей. Оценка аннуитета включает в себя такие понятия, как временная стоимость денег , процентная ставка и будущая стоимость . ^[2]

аннуитетный

Если количество платежей известно заранее, аннуитет представляет собой определенный или гарантированный аннуитет . Оценка некоторых аннуитетов может быть рассчитана по формулам в зависимости от сроков выплат.

Аннуитет-немедленный

Если платежи производятся в конце периодов времени, так что проценты накапливаются до выплаты, аннуитет называется аннуитетом -немедленным , или обычным аннуитетом . Выплаты по ипотеке производятся немедленно, проценты начисляются до их выплаты. Что такое аннуитет? Аннуитет представляет собой серию равных платежей, осуществляемых через одинаковые промежутки времени в начале каждого периода. Периоды могут быть ежемесячными, ежеквартальными, полугодовыми, ежегодными или любым другим определенным периодом. Примерами аннуитетных платежей являются арендная плата, аренда и страховые платежи, которые производятся для покрытия услуг, оказанных в период после платежа.

Текущая стоимость аннуитета — это стоимость потока платежей, дисконтированная на процентную ставку, чтобы учесть тот факт, что платежи производятся в различные моменты в будущем. Текущая стоимость выражается в актуарных обозначениях следующим образом:

${\displaystyle a_{{\overline {n}}|i}={\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}},}$

где – количество сроков и – процентная ставка за период. Приведенная стоимость линейна по величине платежей, поэтому приведенная стоимость платежей, или ренты, равна: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\text{PV}}(i,n,R)=R\times a_{{\overline {n}}|i}.}$

На практике часто кредиты указываются в годовом исчислении, а проценты начисляются, а платежи производятся ежемесячно. В этом случае проценты указываются как номинальная процентная ставка , и . ${\displaystyle I}$ ${\textstyle i=I/12}$

Будущая стоимость аннуитета представляет собой накопленную сумму, включая платежи и проценты, потока платежей, поступающих на процентный счет. Для немедленного аннуитета это значение сразу после n-го платежа. Будущая стоимость определяется:

${\displaystyle s_{{\overline {n}}|i}={\frac {(1+i)^{n}-1}{i}},}$

где – количество сроков и – процентная ставка за период. Будущая стоимость линейна по величине платежей, поэтому будущая стоимость платежей или ренты равна: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\text{FV}}(i,n,R)=R\times s_{{\overline {n}}|i}}$

Пример: Приведенная стоимость 5-летнего аннуитета с номинальной годовой процентной ставкой 12% и ежемесячными платежами в размере 100 долларов США равна:

${\displaystyle {\text{PV}}\left({\frac {0.12}{12}},5\times 12,\$100\right)=\$100\times a_{{\overline {60}}|0.01}=\$4,495.50}$

Под арендной платой понимается либо сумма, выплачиваемая в конце каждого периода в обмен на сумму PV, заимствованную в нулевой момент времени, основную сумму кредита , либо сумму, выплачиваемую по процентному счету в конце каждого периода, когда сумма PV инвестируется в нулевой момент времени, и счет становится нулевым при n-м снятии средств.

Будущая и текущая стоимость взаимосвязаны, поскольку:

${\displaystyle s_{{\overline {n}}|i}=(1+i)^{n}\times a_{{\overline {n}}|i}}$

и

${\displaystyle {\frac {1}{a_{{\overline {n}}|i}}}-{\frac {1}{s_{{\overline {n}}|i}}}=i}$

Доказательство формулы немедленного аннуитета

Чтобы вычислить текущую стоимость, k -й платеж должен быть дисконтирован до настоящего времени путем деления на проценты, умноженные на k слагаемых. Следовательно, вклад k -го платежа R составит . Просто учитывая, что R равно 1, тогда: ${\displaystyle {\frac {R}{(1+i)^{k}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{{\overline {n}}|i}&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1+i)^{k}}}={\frac {1}{1+i}}\sum _{k=0}^{n-1}\left({\frac {1}{1+i}}\right)^{k}\\[5pt]&={\frac {1}{1+i}}\left({\frac {1-(1+i)^{-n}}{1-(1+i)^{-1}}}\right)\quad \quad {\text{by using the equation for the sum of a geometric series}}\\[5pt]&={\frac {1-(1+i)^{-n}}{1+i-1}}\\[5pt]&={\frac {1-\left({\frac {1}{1+i}}\right)^{n}}{i}},\end{aligned}}}$

что дает нам требуемый результат.

Аналогично мы можем доказать формулу будущей стоимости. Платеж, произведенный в конце прошлого года, не будет накапливать проценты, а платеж, произведенный в конце первого года, будет накапливать проценты в общей сложности ( n  − 1) лет. Поэтому,

${\displaystyle s_{{\overline {n}}|i}=1+(1+i)+(1+i)^{2}+\cdots +(1+i)^{n-1}=(1+i)^{n}a_{{\overline {n}}|i}={\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}.}$

Ежегодный взнос

Аннуитет со сроком погашения — это аннуитет, выплаты по которому производятся в начале каждого периода. ^[3] Депозиты в виде сбережений, арендная плата или арендные платежи, а также страховые премии являются примерами причитающихся аннуитетов.

Каждый аннуитетный платеж может накапливаться за один дополнительный период. Таким образом, можно рассчитать текущую и будущую стоимость аннуитета.

${\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}=(1+i)\times a_{{\overline {n|}}i}={\frac {1-(1+i)^{-n}}{d}},}$

${\displaystyle {\ddot {s}}_{{\overline {n|}}i}=(1+i)\times s_{{\overline {n|}}i}={\frac {(1+i)^{n}-1}{d}},}$

где – количество сроков, – процентная ставка за срок, и – эффективная ставка дисконта, определяемая . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d={\frac {i}{i+1}}}$

Будущая и текущая стоимость причитающихся аннуитетов связаны, поскольку:

${\displaystyle {\ddot {s}}_{{\overline {n}}|i}=(1+i)^{n}\times {\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i},}$

${\displaystyle {\frac {1}{{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}}}-{\frac {1}{{\ddot {s}}_{{\overline {n}}|i}}}=d.}$

Пример: окончательную стоимость 7-летнего аннуитета с номинальной годовой процентной ставкой 9% и ежемесячными платежами в размере 100 долларов США можно рассчитать по формуле:

${\displaystyle {\text{FV}}_{\text{due}}\left({\frac {0.09}{12}},7\times 12,\$100\right)=\$100\times {\ddot {s}}_{{\overline {84}}|0.0075}=\$11,730.01.}$

В Excel функции PV и FV принимают необязательный пятый аргумент, который выбирает между аннуитетом немедленно или аннуитетом.

Аннуитет с n платежами представляет собой сумму одного аннуитетного платежа сейчас и обыкновенного аннуитета на один платеж меньше, а также равен, со сдвигом по времени, обыкновенному аннуитету. Таким образом мы имеем:

${\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}=a_{{\overline {n}}|i}(1+i)=a_{{\overline {n-1|}}i}+1}$. Стоимость на момент первого из n платежей равна 1.

${\displaystyle {\ddot {s}}_{{\overline {n|}}i}=s_{{\overline {n}}|i}(1+i)=s_{{\overline {n+1|}}i}-1}$. Значение через один период после времени последнего из n платежей 1.

Бессрочность

Бессрочная рента — это аннуитет, выплаты по которому продолжаются вечно. Обратите внимание, что

${\displaystyle \lim _{n\,\rightarrow \,\infty }{\text{PV}}(i,n,R)=\lim _{n\,\rightarrow \,\infty }R\times a_{{\overline {n}}|i}=\lim _{n\,\rightarrow \,\infty }R\times {\frac {1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}}=\,{\frac {R}{i}}.}$

Следовательно, бессрочная рента имеет конечную приведенную стоимость при наличии ненулевой ставки дисконтирования. Формулы вечности:

${\displaystyle a_{{\overline {\infty }}|i}={\frac {1}{i}}{\text{ and }}{\ddot {a}}_{{\overline {\infty }}|i}={\frac {1}{d}},}$

где – процентная ставка, – эффективная ставка дисконтирования. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle d={\frac {i}{1+i}}}$

Пожизненные аннуитеты

Оценка пожизненных аннуитетов может быть выполнена путем расчета актуарной приведенной стоимости будущих условных платежей. Таблицы дожития используются для расчета вероятности того, что получатель ренты доживет до каждого будущего периода выплат. Оценка пожизненных аннуитетов также зависит от сроков выплат, как и в случае с определенными аннуитетами, однако пожизненные аннуитеты не могут рассчитываться по аналогичным формулам, поскольку актуарная приведенная стоимость учитывает вероятность смерти в каждом возрасте.

Расчеты амортизации

Если аннуитет предназначен для погашения долга P с процентами, сумма задолженности после n платежей равна

${\displaystyle {\frac {R}{i}}-(1+i)^{n}\left({\frac {R}{i}}-P\right).}$

Потому что схема эквивалентна заимствованию суммы для создания бессрочного контракта с купоном и помещению этой заемной суммы в банк для роста с процентами . ${\displaystyle {\frac {R}{i}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\frac {R}{i}}-P}$ ${\displaystyle i}$

Кроме того, это можно рассматривать как текущую стоимость оставшихся платежей.

${\displaystyle R\left[{\frac {1}{i}}-{\frac {(i+1)^{n-N}}{i}}\right]=R\times a_{{\overline {N-n}}|i}.}$

См. также ипотечный кредит с фиксированной процентной ставкой .

Пример расчетов

Формула нахождения периодического платежа R по заданному A :

${\displaystyle R={\frac {A}{1+\left(1-\left(1+{\frac {j}{m}}\right)\right)^{-{\frac {(n-1)}{j/m}}}}}}$

Примеры:

1. Найдите периодическую выплату аннуитета в размере 70 000 долларов США, подлежащего выплате ежегодно в течение 3 лет с начислением сложных процентов в размере 15% ежегодно.
   • R = 70 000/(1+〖(1-(1+((.15)/1))〗^(-(3-1))/((.15)/1))
   • Р = 70 000/2,625708885
   • Р = 26659,46724 доллара США

Найдите коэффициент PVOA как. 1) найти r as, (1 ÷ 1,15)= 0,8695652174 2) найти r × ( r ⁿ − 1) ÷ ( r − 1) 08695652174 × (−0,3424837676) ÷ (−1304347826) = 2,2832251175 70000 ÷ 2,283225 1175= 30658,3873$ - это правильное значение

1. Найдите периодический платеж причитающегося аннуитета в размере 250 700 долларов США, выплачиваемого ежеквартально в течение 8 лет по ставке 5%, начисляемой ежеквартально.
   • R = 250 700/(1+〖(1-(1+((.05)/4))〗^(-(32-1))/((.05)/4))
   • Р = 250 700/26,5692901
   • Р = 9 435,71 долларов США

Нахождение периодического платежа(R) при условии S:

R = S\,/((〖((1+(j/m))〗^(n+1)-1)/(j/m)-1)

Примеры:

1. Найдите периодический платеж на сумму 55 000 долларов США, подлежащий выплате ежемесячно в течение 3 лет с начислением сложных процентов в размере 15% ежемесячно.
   • R=55 000/((〖((1+((.15)/12))〗^(36+1)-1)/((.15)/12)-1)
   • Р = 55 000/45,67944932
   • Р = 1204,04 доллара США
2. Найдите периодический платеж на сумму 1 600 000 долларов США, подлежащий выплате ежегодно в течение 3 лет по ставке 9% годовых.
   • R=1 600 000/((〖((1+((.09)/1) )〗^(3+1)-1)/((.09)/1)-1)
   • Р = 1 600 000/3,573129
   • Р = 447 786,80 долларов США

Правовые режимы

• Аннуитеты по американскому законодательству
• Аннуитеты по европейскому праву
• Аннуитеты по швейцарскому законодательству

Смотрите также

• Калькулятор амортизации
• Ипотека с фиксированной процентной ставкой
• Пожизненная рента
• Бессрочность
• Временная стоимость денег
• Аннуитетная головоломка

Рекомендации

1. Келлисон, Стивен Г. (1970). Теория интереса . Хомвуд, Иллинойс: Ричард Д. Ирвин, Inc., с. 45
2. Лашер, Уильям (2008). Практический финансовый менеджмент . Мейсон, Огайо: Томсон Юго-Западный. п. 230. ИСБН 0-324-42262-8..
3. Джордан, Брэдфорд Д.; Росс, Стивен Дэвид; Вестерфилд, Рэндольф (2000). Основы корпоративных финансов . Бостон: Ирвин/МакГроу-Хилл. п. 175. ИСБН 0-07-231289-0.

Другие источники

• Сэмюэл А. Броверман (2010). Математика инвестиций и кредита, 5-е издание . Академическая серия ACTEX. Публикации ACTEX. ISBN 978-1-56698-767-7.
• Стивен Келлисон (2008). Теория интереса, 3-е издание . МакГроу-Хилл/Ирвин. ISBN 978-0-07-338244-9.
• Спрэг, Томас Бонд (1878). «Аннуитеты»  . Британская энциклопедия . Том. II (9-е изд.). стр. 72–89.