Квантовая статистическая механика

Статистическая механика квантово-механических систем

Квантовая статистическая механика — это статистическая механика, применяемая к квантово-механическим системам . В квантовой механике статистический ансамбль (распределение вероятностей по возможным квантовым состояниям ) описывается оператором плотности S , который является неотрицательным, самосопряженным , ядерным оператором следа 1 в гильбертовом пространстве H , описывающим квантовую систему. Это можно показать с помощью различных математических формализмов квантовой механики . Один из таких формализмов обеспечивается квантовой логикой .

Ожидание

Из классической теории вероятностей мы знаем, что математическое ожидание случайной величины X определяется ее распределением D _X следующим образом:

${\displaystyle \mathbb {E} (X)=\int _{\mathbb {R} }d\lambda \operatorname {D} _{X}(\lambda )}$

при условии, конечно, что случайная величина интегрируема или что случайная величина неотрицательна. Аналогично, пусть A — наблюдаемая квантовомеханической системы. A задается плотно определенным самосопряженным оператором на H . Спектральная мера A, определенная формулой

${\displaystyle \operatorname {E} _{A}(U)=\int _{U}d\lambda \operatorname {E} (\lambda ),}$

однозначно определяет A и, наоборот, однозначно определяется A . E _A — булев гомоморфизм борелевских подмножеств R в решетку Q самосопряженных проекторов H . По аналогии с теорией вероятностей, учитывая состояние S , мы вводим распределение A под S , которое является вероятностной мерой, определенной на борелевских подмножествах R следующим образом :

${\displaystyle \operatorname {D} _{A}(U)=\operatorname {Tr} (\operatorname {E} _{A}(U)S).}$

Аналогично, ожидаемое значение A определяется через распределение вероятностей D _A по формуле

${\displaystyle \mathbb {E} (A)=\int _{\mathbb {R} }d\lambda \,\operatorname {D} _{A}(\lambda ).}$

Обратите внимание, что это ожидание относится к смешанному состоянию S , которое используется в определении _DA .

Замечание . По техническим причинам необходимо рассматривать отдельно положительную и отрицательную части A , определяемые функциональным исчислением Бореля для неограниченных операторов.

Легко можно показать:

${\displaystyle \mathbb {E} (A)=\operatorname {Tr} (AS)=\operatorname {Tr} (SA).}$

Обратите внимание, что если S — чистое состояние , соответствующее вектору , то: ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \mathbb {E} (A)=\langle \psi |A|\psi \rangle .}$

След оператора A записывается следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {Tr} (A)=\sum _{m}\langle m|A|m\rangle .}$

Энтропия фон Неймана

Особое значение для описания случайности состояния имеет энтропия фон Неймана S , формально определяемая формулой

${\displaystyle \operatorname {H} (S)=-\operatorname {Tr} (S\log _{2}S)}$.

На самом деле оператор S log ₂ S не обязательно является трассовым. Однако если S — неотрицательный самосопряженный оператор не ядерного класса, мы определяем Tr( S ) = +∞. Также обратите внимание, что любой оператор плотности S можно диагонализовать, что он может быть представлен в некотором ортонормированном базисе (возможно, бесконечной) матрицей вида

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0&\cdots \\0&\lambda _{2}&\cdots &0&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\\0&0&&\lambda _{n}&\\\vdots &\vdots &&&\ddots \end{bmatrix}}}$

и мы определяем

${\displaystyle \operatorname {H} (S)=-\sum _{i}\lambda _{i}\log _{2}\lambda _{i}.}$

Соглашение заключается в том , что событие с нулевой вероятностью не должно вносить вклад в энтропию. Это значение представляет собой расширенное действительное число (то есть в [0, ∞]), и это, очевидно, унитарный инвариант S . ${\displaystyle \;0\log _{2}0=0}$

Замечание . Действительно возможно, что H( S ) = +∞ для некоторого оператора плотности S . Фактически T — диагональная матрица

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2(\log _{2}2)^{2}}}&0&\cdots &0&\cdots \\0&{\frac {1}{3(\log _{2}3)^{2}}}&\cdots &0&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\\0&0&&{\frac {1}{n(\log _{2}n)^{2}}}&\\\vdots &\vdots &&&\ddots \end{bmatrix}}}$

T — неотрицательный трассировочный класс, и можно показать, что T log ₂ T не является трассировочным классом.

Теорема . Энтропия — унитарный инвариант.

По аналогии с классической энтропией ( обратите внимание на сходство в определениях), H( S ) измеряет количество случайности в состоянии S. Чем более разбросаны собственные значения, тем больше энтропия системы. Для системы, в которой пространство H конечномерно, энтропия максимальна для состояний S , которые в диагональной форме имеют представление

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{n}}&0&\cdots &0\\0&{\frac {1}{n}}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\frac {1}{n}}\end{bmatrix}}}$

Для такого S H( S ) = log ₂ n . Состояние S называется максимально смешанным состоянием.

Напомним, что чистое состояние – это одна из форм

${\displaystyle S=|\psi \rangle \langle \psi |,}$

для ψ вектор нормы 1.

Теорема . H( S ) = 0 тогда и только тогда, когда S является чистым состоянием.

Ибо S является чистым состоянием тогда и только тогда, когда его диагональная форма имеет ровно один ненулевой элемент, равный 1.

Энтропию можно использовать как меру квантовой запутанности .

Канонический ансамбль Гиббса

Рассмотрим ансамбль систем, описываемых гамильтонианом H со средней энергией E . Если H имеет спектр чистой точки и собственные значения H переходят в +∞ достаточно быстро, e ^{− r H} будет неотрицательным оператором ядерного класса для каждого положительного r . ${\displaystyle E_{n}}$

Канонический ансамбль Гиббса описывается состоянием

${\displaystyle S={\frac {\mathrm {e} ^{-\beta H}}{\operatorname {Tr} (\mathrm {e} ^{-\beta H})}}.}$

Где β таково, что среднее значение энергии по ансамблю удовлетворяет условию

${\displaystyle \operatorname {Tr} (SH)=E}$

и

${\displaystyle \operatorname {Tr} (\mathrm {e} ^{-\beta H})=\sum _{n}\mathrm {e} ^{-\beta E_{n}}=Z(\beta )}$

Это называется функцией распределения ; это квантовомеханическая версия канонической статистической суммы классической статистической механики. Вероятность того, что случайно выбранная из ансамбля система окажется в состоянии, соответствующем собственному значению энергии, равна ${\displaystyle E_{m}}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}(E_{m})={\frac {\mathrm {e} ^{-\beta E_{m}}}{\sum _{n}\mathrm {e} ^{-\beta E_{n}}}}.}$

При определенных условиях канонический ансамбль Гиббса максимизирует энтропию фон Неймана состояния, подчиняющегося требованию сохранения энергии. ^{[ нужны разъяснения ]}

Большой канонический ансамбль

Для открытых систем, где энергия и число частиц могут колебаться, система описывается большим каноническим ансамблем , описываемым матрицей плотности

${\displaystyle \rho ={\frac {\mathrm {e} ^{\beta (\sum _{i}\mu _{i}N_{i}-H)}}{\operatorname {Tr} \left(\mathrm {e} ^{\beta (\sum _{i}\mu _{i}N_{i}-H)}\right)}}.}$

где N ₁ , N ₂ , ... являются операторами числа частиц для различных видов частиц, которыми обмениваются с резервуаром. Обратите внимание, что это матрица плотности, включающая гораздо больше состояний (с переменным N) по сравнению с каноническим ансамблем.

Большая функция раздела — это

${\displaystyle {\mathcal {Z}}(\beta ,\mu _{1},\mu _{2},\cdots )=\operatorname {Tr} (\mathrm {e} ^{\beta (\sum _{i}\mu _{i}N_{i}-H)})}$

Смотрите также

• Квантовая термодинамика
• Тепловая квантовая теория поля

Рекомендации

• Дж. фон Нейман, Математические основы квантовой механики , Princeton University Press , 1955.
• Ф. Рейф, Статистическая и теплофизика , McGraw-Hill, 1965.