Квантовая запутанность

Корреляция между квантовыми системами

Процесс спонтанного параметрического понижающего преобразования может разделять фотоны на пары фотонов типа II со взаимно перпендикулярной поляризацией.

Квантовая запутанность — это явление, которое возникает, когда дуэт частиц генерируется, взаимодействует или разделяет пространственную близость таким образом, что квантовое состояние каждой частицы группы не может быть описано независимо от состояния других, в том числе когда частицы разделены большим расстоянием. Тема квантовой запутанности лежит в основе несоответствия между классической и квантовой физикой : запутанность — это основная особенность квантовой механики, отсутствующая в классической механике. ^[1]

Измерения физических свойств , таких как положение , импульс , спин и поляризация, выполняемые на запутанных частицах, в некоторых случаях могут оказаться идеально коррелированными . Например, если пара запутанных частиц генерируется так, что их общий спин равен нулю, и обнаружено, что одна частица имеет вращение по часовой стрелке на первой оси, то спин другой частицы, измеренный на той же оси, оказывается против часовой стрелки. Однако такое поведение приводит к, казалось бы, парадоксальным эффектам: любое измерение свойств частицы приводит к кажущемуся и необратимому коллапсу волновой функции этой частицы и изменяет исходное квантовое состояние. В случае запутанных частиц такие измерения влияют на запутанную систему в целом.

Такие явления были предметом статьи Альберта Эйнштейна , Бориса Подольского и Натана Розена в 1935 году [ ^2] и вскоре после этого нескольких статей Эрвина Шрёдингера ^{[3] [4]} , описывающих то, что стало известно как парадокс ЭПР . Эйнштейн и другие считали такое поведение невозможным, поскольку оно нарушало взгляд на причинность локального реализма (Эйнштейн называл это «жутким действием на расстоянии ») ^[5] и утверждали, что принятая формулировка квантовой механики , следовательно, должна быть неполной.

Позже, однако, нелогичные предсказания квантовой механики были проверены ^{[6] [7] [8]} в тестах, в которых поляризация или спин запутанных частиц измерялись в разных местах, что статистически нарушало неравенство Белла . В более ранних тестах нельзя было исключить, что результат в одной точке мог быть незаметно передан в удаленную точку, влияя на результат во второй точке. ^[8] Однако с тех пор были проведены так называемые тесты Белла «без лазеек», когда места были достаточно разделены, так что связь со скоростью света заняла бы больше времени — в одном случае в 10 000 раз дольше, — чем интервал между измерения. ^{[7] [6]}

Согласно некоторым интерпретациям квантовой механики , эффект одного измерения наступает мгновенно. Другие интерпретации, не признающие коллапс волновой функции , оспаривают существование какого-либо «эффекта» вообще. Однако все интерпретации сходятся во мнении, что запутанность приводит к корреляции между измерениями и что взаимная информация между запутанными частицами может быть использована, но любая передача информации со скоростью, превышающей скорость света , невозможна. ^{[9] [10]} Таким образом, несмотря на распространенное мнение об обратном, квантовая запутанность не может использоваться для связи со скоростью, превышающей скорость света . ^[11]

Квантовая запутанность была продемонстрирована экспериментально с фотонами , ^{[12] [13]} электронами , ^{[14] [15]} и даже маленькими алмазами. ^[16] Использование запутанности в коммуникациях , вычислениях и квантовом радаре является активной областью исследований и разработок.

История

Заголовок статьи о парадоксе Эйнштейна-Подольского-Розена (ЭПР) в номере The New York Times от 4 мая 1935 года.

В 1935 году Альберт Эйнштейн , Борис Подольский и Натан Розен опубликовали статью о нелогичных предсказаниях, которые квантовая механика делает для пар объектов, приготовленных вместе определенным образом. ^[2] В этом исследовании все трое сформулировали парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена (парадокс ЭПР), мысленный эксперимент , который пытался показать, что « квантово-механическое описание физической реальности, данное волновыми функциями, не является полным». ^[2] Однако эти трое учёных не придумали слово « запутанность» и не обобщили особые свойства рассматриваемого ими квантового состояния . После статьи об ЭПР Эрвин Шредингер написал письмо Эйнштейну на немецком языке , в котором использовал слово Verschränkung (переведенное им самим как запутанность ) «для описания корреляций между двумя частицами, которые взаимодействуют, а затем разделяются, как в эксперименте ЭПР». ^[17] Однако Шредингер обсуждал это явление еще в 1932 году. ^[18]

Вскоре после этого Шрёдингер опубликовал основополагающую статью, определяющую и обсуждающую понятие «запутывания». В статье он признал важность этой концепции и заявил: ^[3] «Я бы не назвал [запутанность] одной из них , а скорее характерной чертой квантовой механики, той, которая обеспечивает полный ее отход от классических направлений мысли». Как и Эйнштейн, Шредингер был недоволен концепцией запутанности, поскольку она, казалось, нарушала ограничение скорости передачи информации, подразумеваемое теорией относительности . ^[19] Позже Эйнштейн высмеял запутанность, назвав ее « spukhafte Fernwirkung » ^[20] или « жутким действием на расстоянии ».

Статья ЭПР вызвала значительный интерес среди физиков, что вызвало много дискуссий об основах квантовой механики и интерпретации Бома в частности, но произвело относительно мало других опубликованных работ. Несмотря на интерес, слабое место в аргументах ЭПР не было обнаружено до 1964 года, когда Джон Стюарт Белл доказал, что одно из их ключевых предположений, принцип локальности , применительно к интерпретации скрытых переменных, на которую надеялась ЭПР, было математически противоречивым. с предсказаниями квантовой теории.

В частности, Белл продемонстрировал верхний предел, наблюдаемый в неравенстве Белла , относительно силы корреляций, которые могут быть получены в любой теории, подчиняющейся локальному реализму , и показал, что квантовая теория предсказывает нарушения этого предела для некоторых запутанных систем. ^[21] Его неравенство поддается экспериментальной проверке, и было проведено множество соответствующих экспериментов , начиная с новаторской работы Стюарта Фридмана и Джона Клаузера в 1972 году ^[22] и экспериментов Алена Аспекта в 1982 году ^{. [23]}

Ранний экспериментальный прорыв произошел благодаря Карлу Кохеру ^{[12] [13]} , который уже в 1967 году представил аппарат, в котором было показано, что два фотона, последовательно испускаемые из атома кальция, запутаны – первый случай запутанного видимого света. Два фотона прошли через диаметрально расположенные параллельные поляризаторы с более высокой вероятностью, чем предсказывалось классически, но с корреляциями, количественно согласующимися с квантово-механическими расчетами. Он также показал, что корреляция изменяется как квадрат косинуса угла между настройками поляризатора ^[13] и экспоненциально уменьшается с задержкой во времени между испускаемыми фотонами. ^[24] Аппарат Кохера, оснащенный лучшими поляризаторами, использовался Фридманом и Клаузером, которые смогли подтвердить косинус-квадратическую зависимость и использовать ее для демонстрации нарушения неравенства Белла для набора фиксированных углов. ^[22] Все эти эксперименты показали согласие с квантовой механикой, а не с принципом локального реализма.

На протяжении десятилетий каждая из них оставляла открытой по крайней мере одну лазейку , с помощью которой можно было поставить под сомнение достоверность результатов. Однако в 2015 году был проведен эксперимент, который одновременно закрыл лазейки как в обнаружении, так и в определении местоположения, и был объявлен «без лазеек»; этот эксперимент с уверенностью исключил большой класс теорий локального реализма. ^[25] Аспект пишет, что «... ни один эксперимент... нельзя назвать полностью свободным от лазеек», но он говорит, что эксперименты «устраняют последние сомнения в том, что нам следует отказаться» от локальных скрытых переменных, и ссылается на примеры оставшиеся лазейки считаются «надуманными» и «чуждыми обычному способу рассуждений в физике». ^[26]

Работа Белла открыла возможность использования этих сверхсильных корреляций в качестве ресурса для общения. Это привело к открытию в 1984 году протоколов распределения квантовых ключей , наиболее известные из которых — BB84 Чарльза Беннета и Жиля Брассара ^[27] и E91 Артура Экерта . ^[28] Хотя BB84 не использует запутанность, протокол Экерта использует нарушение неравенства Белла в качестве доказательства безопасности.

В 2022 году Нобелевская премия по физике была присуждена Алену Аспекту , Джону Клаузеру и Антону Цайлингеру «за эксперименты со запутанными фотонами, установление нарушения неравенств Белла и новаторство в области квантовой информатики». ^[29]

Концепция

Значение запутанности

Запутанной системой называется система, квантовое состояние которой нельзя рассматривать как произведение состояний ее локальных составляющих; то есть они не являются отдельными частицами, а представляют собой неразделимое целое. В запутанности один компонент не может быть полностью описан без учета другого(их). Состояние сложной системы всегда выражается как сумма или суперпозиция произведений состояний локальных составляющих; он запутан, если эту сумму нельзя записать как одно произведение.

Квантовые системы могут запутываться в результате различных типов взаимодействий. Некоторые способы достижения запутанности в экспериментальных целях см. в разделе о методах ниже. Запутывание нарушается, когда запутанные частицы декогерируют за счет взаимодействия с окружающей средой; например, когда производится измерение. ^[30]

В качестве примера запутанности: субатомная частица распадается на запутанную пару других частиц. События распада подчиняются различным законам сохранения , и в результате результаты измерений одной дочерней частицы должны быть сильно коррелированы с результатами измерений другой дочерней частицы (так, чтобы полный импульс, угловой момент, энергия и т. д. оставался неизменным). примерно одинаково до и после этого процесса). Например, частица со спином ноль может распасться на пару частиц со спином 1/2. Поскольку общий спин до и после этого распада должен быть равен нулю (сохранение углового момента), всякий раз, когда измеряется, что первая частица имеет спин вверх по какой-то оси, вторая частица, измеренная по той же оси, всегда оказывается со спином вниз. . (Это называется случаем спиновой антикорреляции; и если априорные вероятности измерения каждого спина равны, говорят, что пара находится в синглетном состоянии .)

Приведенный выше результат может показаться, а может и не показаться неожиданным. Классическая система будет обладать тем же свойством, и для этого, безусловно, потребуется теория скрытых переменных , основанная на сохранении углового момента как в классической, так и в квантовой механике. Разница в том, что классическая система всегда имеет определенные значения для всех наблюдаемых, а квантовая — нет. В некотором смысле, который будет обсуждаться ниже, рассматриваемая здесь квантовая система, по-видимому, приобретает распределение вероятностей для результата измерения спина вдоль любой оси другой частицы после измерения первой частицы. Это распределение вероятностей в целом отличается от того, каким оно было бы без измерения первой частицы. Это, конечно, может показаться удивительным в случае пространственно разделенных запутанных частиц.

Парадокс

Парадокс заключается в том, что измерение, произведенное на любой из частиц, по-видимому, разрушает состояние всей запутанной системы — и происходит это мгновенно, прежде чем какая-либо информация о результате измерения могла быть передана другой частице (при условии, что информация не может распространяться быстрее, чем свет ) и, следовательно, гарантировал «правильный» результат измерения другой части запутанной пары. В копенгагенской интерпретации результатом измерения спина одной из частиц является коллапс (волновой функции) в состояние, в котором каждая частица имеет определенный спин (либо вверх, либо вниз) вдоль оси измерения. Результат считается случайным, причем вероятность каждого варианта равна 50%. Однако, если оба спина измеряются вдоль одной и той же оси, они оказываются антикоррелированными. Это означает, что случайный результат измерения, выполненного на одной частице, по-видимому, был передан другой частице, так что она может сделать «правильный выбор», когда ее тоже будут измерять. ^[31]

Расстояние и время измерений можно выбрать так, чтобы интервал между двумя измерениями был пространственным , следовательно, любой причинный эффект, связывающий события, должен был бы распространяться быстрее света. Согласно принципам специальной теории относительности , никакая информация не может перемещаться между двумя такими измерениями. Даже невозможно сказать, какое из измерений было первым. Для двух пространственно разделенных событий x ₁ и x ₂ существуют инерциальные системы отсчета , в которых x ₁ является первым, и другие, в которых x ₂ является первым. Следовательно, корреляцию между двумя измерениями нельзя объяснить как одно измерение, определяющее другое: разные наблюдатели расходятся во мнениях относительно роли причины и следствия.

(На самом деле подобные парадоксы могут возникнуть и без запутанности: положение отдельной частицы разбросано по пространству, и два широко разнесенных детектора, пытающиеся обнаружить частицу в двух разных местах, должны мгновенно достичь соответствующей корреляции, чтобы они оба не обнаруживали частица.)

Теория скрытых переменных

Возможное решение парадокса состоит в том, чтобы предположить, что квантовая теория неполна, а результат измерений зависит от заранее определенных «скрытых переменных». ^[32] Состояние измеряемых частиц содержит некоторые скрытые переменные , значения которых эффективно определяют, прямо с момента разделения, какими будут результаты измерений спина. Это означало бы, что каждая частица несет с собой всю необходимую информацию, и в момент измерения от одной частицы к другой ничего не нужно передавать. Эйнштейн и другие (см. предыдущий раздел) первоначально считали, что это единственный выход из парадокса, а принятое квантовомеханическое описание (со случайным результатом измерения) должно быть неполным.

Нарушения неравенства Белла

Однако локальные теории скрытых переменных терпят неудачу, когда рассматриваются измерения вращения запутанных частиц вдоль разных осей. Если выполнено большое количество пар таких измерений (на большом количестве пар запутанных частиц), то статистически, если взгляд на локальный реалист или скрытые переменные верен, результаты всегда будут удовлетворять неравенству Белла . Ряд экспериментов на практике показал, что неравенство Белла не выполняется. Однако до 2015 года во всех этих экспериментах были проблемы с лазейками, которые сообщество физиков считало наиболее важными. ^{[33] [34]} Когда измерения запутанных частиц производятся в движущихся релятивистских системах отсчета, в которых каждое измерение (в своем релятивистском временном интервале) происходит раньше другого, результаты измерений остаются коррелированными. ^{[35] [36]}

Фундаментальная проблема измерения вращения по разным осям заключается в том, что эти измерения не могут иметь определенные значения одновременно — они несовместимы в том смысле, что максимальная одновременная точность этих измерений ограничена принципом неопределенности . Это противоречит тому, что наблюдается в классической физике, где любое количество свойств можно измерить одновременно с произвольной точностью. Математически доказано, что совместимые измерения не могут выявить корреляции, нарушающие неравенство Белла, ^[37] и, таким образом, запутанность является фундаментально неклассическим явлением.

Известные экспериментальные результаты, доказывающие квантовую запутанность

Первый эксперимент, подтвердивший жуткое действие Эйнштейна на расстоянии (запутывание), был успешно подтвержден в лаборатории Чиен-Шиунг Ву и его коллегой И. Шакновым в 1949 году и был опубликован в первый день Нового года в 1950 году. Результат конкретно доказал квантовые корреляции. пары фотонов. ^[38] В экспериментах 2012 и 2013 годов была создана поляризационная корреляция между фотонами, которые никогда не сосуществовали во времени. ^{[39] [40]} Авторы утверждают, что этот результат был достигнут путем обмена запутанностью между двумя парами запутанных фотонов после измерения поляризации одного фотона ранней пары, и что это доказывает, что квантовая нелокальность применима не только к пространству, но и к пространству. также ко времени.

В трех независимых экспериментах в 2013 году было показано, что классически передаваемые разделимые квантовые состояния могут использоваться для переноса запутанных состояний. ^[41] Первый тест Белла без лазеек был проведен Рональдом Хэнсоном из Делфтского технологического университета в 2015 году, подтвердив нарушение неравенства Белла. ^[42]

В августе 2014 года бразильский исследователь Габриэла Баррето Лемос и его команда смогли «сфотографировать» объекты, используя фотоны, которые не взаимодействовали с объектами, но были запутаны фотонами, которые взаимодействовали с такими объектами. Лемос из Венского университета уверен, что этот новый метод квантовой визуализации может найти применение там, где получение изображений при слабом освещении является обязательным, в таких областях, как биологическая или медицинская визуализация. ^[43]

С 2016 года различные компании, например IBM и Microsoft, создали квантовые компьютеры, которые позволили разработчикам и техническим энтузиастам свободно экспериментировать с концепциями квантовой механики, включая квантовую запутанность. ^[44]

Возникновение времени из квантовой запутанности

Существует фундаментальный конфликт, называемый проблемой времени , между тем, как понятие времени используется в квантовой механике , и той ролью, которую оно играет в общей теории относительности . В стандартных квантовых теориях время действует как независимый фон, посредством которого развиваются состояния, а оператор Гамильтона действует как генератор бесконечно малых сдвигов квантовых состояний во времени. ^[45]

Напротив, общая теория относительности рассматривает время как динамическую переменную , которая напрямую связана с материей и, кроме того, требует, чтобы гамильтоновы ограничения исчезли. В квантовой общей теории относительности квантовая версия гамильтонова ограничения с использованием метрических переменных приводит к уравнению Уиллера-ДеВитта :

${\displaystyle {\hat {H}}(x)|\psi \rangle =0}$

где – ограничение Гамильтона и обозначает волновую функцию Вселенной . Оператор действует в гильбертовом пространстве волновых функций, но это не то же самое гильбертово пространство, что и в нерелятивистском случае. Этот гамильтониан больше не определяет эволюцию системы, поскольку уравнение Шредингера : , перестает быть справедливым. Это свойство известно как безвременье. Были предприняты различные попытки включить время в полностью квантовую структуру, начиная с механизма Пейджа и Вуттерса и других последующих предложений. ^{[46] [47]} ${\displaystyle {\hat {H}}(x)}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}|\psi \rangle =i\hbar {\partial \over {\partial t}}|\psi \rangle }$

Было также предложено, что возникновение времени возникает в результате квантовых корреляций между развивающейся системой и эталонной системой квантовых часов. Концепция запутанности системного времени введена как квантификатор фактической различимой эволюции, которую претерпевает система. ^{[48] ​​[49] [50] [51]}

Возникающая гравитация

Основываясь на переписке AdS/CFT , Марк Ван Раамсдонк предположил, что пространство-время возникает как возникающий феномен квантовых степеней свободы, которые запутаны и живут на границе пространства-времени. ^[52] Индуцированная гравитация может возникнуть из первого закона запутанности. ^{[53] [54]}

Нелокальность и запутанность

В средствах массовой информации и популярной науке квантовая нелокальность часто изображается как эквивалент запутанности. Хотя это верно для чистых двудольных квантовых состояний, в целом запутанность необходима только для нелокальных корреляций, но существуют смешанные запутанные состояния, которые не создают таких корреляций. ^[55] Хорошо известным примером являются состояния Вернера , которые запутаны при определенных значениях , но всегда могут быть описаны с использованием локальных скрытых переменных. ^[56] Более того, было показано, что для произвольного числа частиц существуют состояния, которые действительно запутаны, но допускают локальную модель. ^[57] ${\displaystyle p_{sym}}$

Упомянутые доказательства существования локальных моделей предполагают, что одновременно доступна только одна копия квантового состояния. Если частицам позволить выполнять локальные измерения во многих копиях таких состояний, то многие явно локальные состояния (например, кубитные состояния Вернера) больше не могут быть описаны локальной моделью. Это, в частности, справедливо для всех дистиллируемых состояний. Однако остается открытым вопрос, станут ли все запутанные состояния нелокальными при наличии достаточного количества копий. ^[58]

Короче говоря, запутанность состояния, разделяемого двумя частицами, необходима, но недостаточна для того, чтобы это состояние было нелокальным. Важно признать, что запутанность чаще рассматривается как алгебраическая концепция, известная как предпосылка нелокальности, а также квантовой телепортации и сверхплотного кодирования , тогда как нелокальность определяется в соответствии с экспериментальной статистикой и имеет гораздо большее значение. занимается основами и интерпретациями квантовой механики . ^[59]

Квантово-механическая основа

Следующие подразделы предназначены для тех, кто хорошо разбирается в формальном математическом описании квантовой механики, включая знакомство с формализмом и теоретической базой, разработанной в статьях: нотация Бракета и математическая формулировка квантовой механики .

Чистые состояния

Рассмотрим две произвольные квантовые системы A и B с гильбертовыми пространствами H _A и H _B соответственно . Гильбертово пространство сложной системы представляет собой тензорное произведение

${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}.}$

Если первая система находится в состоянии , а вторая в состоянии , состояние составной системы будет ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle _{B}}$

${\displaystyle |\psi \rangle _{A}\otimes |\phi \rangle _{B}.}$

Состояния сложной системы, которые можно представить в таком виде, называются сепарабельными состояниями, или состояниями-продуктами .

Не все состояния являются отделимыми состояниями (и, следовательно, состояниями-продуктами). Зафиксируйте основу для H _A и основу для H _B . Наиболее общее состояние в H _A ⊗ H _B имеет вид ${\displaystyle \{|i\rangle _{A}\}}$ ${\displaystyle \{|j\rangle _{B}\}}$

${\displaystyle |\psi \rangle _{AB}=\sum _{i,j}c_{ij}|i\rangle _{A}\otimes |j\rangle _{B}}$.

Это состояние разделимо, если существуют векторы, которые уступают и Оно неразделимо, если для любых векторов хотя бы для одной пары координат имеем : Если состояние неразделимо, то оно называется «запутанным состоянием». ${\displaystyle [c_{i}^{A}],[c_{j}^{B}]}$ ${\displaystyle c_{ij}=c_{i}^{A}c_{j}^{B},}$ ${\textstyle |\psi \rangle _{A}=\sum _{i}c_{i}^{A}|i\rangle _{A}}$ ${\textstyle |\phi \rangle _{B}=\sum _{j}c_{j}^{B}|j\rangle _{B}.}$ ${\displaystyle [c_{i}^{A}],[c_{j}^{B}]}$ ${\displaystyle c_{i}^{A},c_{j}^{B}}$ ${\displaystyle c_{ij}\neq c_{i}^{A}c_{j}^{B}.}$

Например, при наличии двух базисных векторов H _A и двух базисных векторов H _B запутанное состояние : ${\displaystyle \{|0\rangle _{A},|1\rangle _{A}\}}$ ${\displaystyle \{|0\rangle _{B},|1\rangle _{B}\}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\right).}$

Если сложная система находится в этом состоянии, то ни системе А , ни системе В нельзя приписать определенное чистое состояние . Другими словами, хотя энтропия фон Неймана всего состояния равна нулю (как и для любого чистого состояния), энтропия подсистем больше нуля. В этом смысле системы «запутаны». Это имеет конкретные эмпирические последствия для интерферометрии. ^[60] Приведенный выше пример является одним из четырех состояний Белла , которые являются ₍ максимально) запутанными чистыми состояниями (чистыми состояниями пространства HA ⊗ H _B , но которые не могут быть разделены на чистые состояния каждого HA _и H _B ) .

Теперь предположим, что Алиса является наблюдателем системы A , а Боб — наблюдателем системы B. Если в приведенном выше запутанном состоянии Алиса производит измерение в собственном базисе A , есть два возможных результата, происходящих с равной вероятностью: ^[61] ${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$

1. Алиса измеряет 0, и состояние системы падает до . ${\displaystyle |0\rangle _{A}|1\rangle _{B}}$
2. Алиса измеряет 1, и состояние системы падает до . ${\displaystyle |1\rangle _{A}|0\rangle _{B}}$

Если произойдет первое, то любое последующее измерение, выполненное Бобом на том же базисе, всегда будет возвращать 1. Если произойдет последнее (Алиса измеряет 1), то измерение Боба с уверенностью вернет 0. Таким образом, система B была изменена Алисой, выполнившей локальное измерение системы A. Это остается верным, даже если системы A и B пространственно разделены. Это основа парадокса ЭПР.

Результат измерения Алисы случайен. Алиса не может решить, в какое состояние свернуть составную систему, и, следовательно, не может передавать информацию Бобу, воздействуя на свою систему. Таким образом, в этой конкретной схеме причинность сохраняется. Общий аргумент см. в теореме об отсутствии связи .

Ансамбли

Как упоминалось выше, состояние квантовой системы задается единичным вектором в гильбертовом пространстве. В более общем смысле, если у кого-то меньше информации о системе, то ее называют «ансамблем» и описывают ее с помощью матрицы плотности , которая представляет собой положительно-полуопределенную матрицу , или трассового класса , когда пространство состояний бесконечномерно, и имеет след 1. Опять же по спектральной теореме такая матрица принимает общий вид:

${\displaystyle \rho =\sum _{i}w_{i}|\alpha _{i}\rangle \langle \alpha _{i}|,}$

где w _i — положительнозначные вероятности (их сумма равна 1), векторы α _i — единичные векторы, и в бесконечномерном случае мы бы взяли замыкание таких состояний в норме следа. Мы можем интерпретировать ρ как представление ансамбля, где – доля ансамбля, состояния которого равны . Таким образом, когда смешанное состояние имеет ранг 1, оно описывает «чистый ансамбль». Когда информации о состоянии квантовой системы недостаточно, нам нужны матрицы плотности для представления состояния. ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle |\alpha _{i}\rangle }$

Экспериментально смешанный ансамбль можно реализовать следующим образом. Рассмотрим аппарат «черный ящик», который выбрасывает электроны в сторону наблюдателя. Гильбертовы пространства электронов идентичны . Аппарат мог бы производить электроны, находящиеся в одном и том же состоянии; в этом случае электроны, полученные наблюдателем, представляют собой чистый ансамбль. Однако аппарат мог производить электроны в разных состояниях. Например, он может создать две популяции электронов: одну с состоянием со спинами, выровненными в положительном направлении z , а другую с состоянием со спинами, выровненными в отрицательном направлении y . Как правило, это смешанный ансамбль, поскольку может быть любое количество популяций, каждая из которых соответствует отдельному штату. ${\displaystyle |\mathbf {z} +\rangle }$ ${\displaystyle |\mathbf {y} -\rangle }$

Следуя приведенному выше определению, для двудольной составной системы смешанные состояния представляют собой просто матрицы плотности на HA _⊗ H _B . То есть он имеет общий вид

${\displaystyle \rho =\sum _{i}w_{i}\left[\sum _{j}{\bar {c}}_{ij}(|\alpha _{ij}\rangle \otimes |\beta _{ij}\rangle )\right]\left[\sum _{k}c_{ik}(\langle \alpha _{ik}|\otimes \langle \beta _{ik}|)\right]}$

где w _i — положительно оцененные вероятности, а векторы — единичные векторы. Оно самосопряженное, положительное и имеет след 1. ${\textstyle \sum _{j}|c_{ij}|^{2}=1}$

Расширяя определение отделимости от чистого случая, мы говорим, что смешанное состояние является отделимым, если его можно записать в виде ^{[62] : 131–132.}

${\displaystyle \rho =\sum _{i}w_{i}\rho _{i}^{A}\otimes \rho _{i}^{B},}$

где w _i - положительнозначные вероятности, а 's и 's сами являются смешанными состояниями (операторами плотности) в подсистемах A и B соответственно. Другими словами, состояние является отделимым, если оно представляет собой распределение вероятностей по некоррелированным состояниям или состояниям-продуктам. Записав матрицы плотности в виде сумм чистых ансамблей и разложив их, мы можем без ограничения общности предположить, что и сами являются чистыми ансамблями. В таком случае состояние называется запутанным, если оно неразделимо. ${\displaystyle \rho _{i}^{A}}$ ${\displaystyle \rho _{i}^{B}}$ ${\displaystyle \rho _{i}^{A}}$ ${\displaystyle \rho _{i}^{B}}$

В общем, выяснить, запутано или нет смешанное состояние, считается затруднительным. Показано, что общий двудольный случай NP-труден . ^[63] Для случаев 2 × 2 и 2 × 3 необходимым и достаточным критерием разделимости является знаменитое условие положительного частичного транспонирования (PPT) . ^[64]

Матрицы уменьшенной плотности

Идея приведенной матрицы плотности была введена _Полем Дираком в 1930 году. [ ^65] Рассмотрим, как указано выше, системы A и B , каждая из которых имеет гильбертово пространство HA , H _B. Пусть состояние сложной системы будет

${\displaystyle |\Psi \rangle \in H_{A}\otimes H_{B}.}$

Как указано выше, в общем случае невозможно связать чистое состояние с компонентной системой A. Однако связать матрицу плотности все же возможно. Позволять

${\displaystyle \rho _{T}=|\Psi \rangle \;\langle \Psi |}$.

который является оператором проекции на это состояние. Состояние A является частичным следом ρ T _на базисе системы B :

${\displaystyle \rho _{A}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j}^{N_{B}}\left(I_{A}\otimes \langle j|_{B}\right)\left(|\Psi \rangle \langle \Psi |\right)\left(I_{A}\otimes |j\rangle _{B}\right)={\hbox{Tr}}_{B}\;\rho _{T}.}$

Сумма происходит по и тождественному оператору в . ρ _A иногда называют приведенной матрицей плотности ρ на подсистеме A . В просторечии мы «отслеживаем» систему B , чтобы получить приведенную матрицу плотности на A . ${\displaystyle N_{B}:=\dim(H_{B})}$ ${\displaystyle I_{A}}$ ${\displaystyle H_{A}}$

Например, приведенная матрица плотности A для запутанного состояния

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\right),}$

обсуждалось выше

${\displaystyle \rho _{A}={\tfrac {1}{2}}\left(|0\rangle _{A}\langle 0|_{A}+|1\rangle _{A}\langle 1|_{A}\right).}$

Это показывает, что, как и ожидалось, приведенная матрица плотности для запутанного чистого ансамбля представляет собой смешанный ансамбль. Также неудивительно, что матрица плотности A для обсуждавшегося выше состояния чистого продукта равна ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}\otimes |\phi \rangle _{B}}$

${\displaystyle \rho _{A}=|\psi \rangle _{A}\langle \psi |_{A}}$.

В общем, двучастное чистое состояние ρ является запутанным тогда и только тогда, когда его приведенные состояния являются смешанными, а не чистыми.

Два приложения, которые их используют

Матрицы приведенной плотности были явно рассчитаны для различных спиновых цепочек с уникальным основным состоянием. Примером может служить одномерная спиновая цепочка AKLT : ^[66] основное состояние можно разделить на блок и окружение. Приведенная матрица плотности блока пропорциональна проектору на вырожденное основное состояние другого гамильтониана.

Матрица приведенной плотности также оценивалась для спиновых цепочек XY , где она имеет полный ранг. Было доказано, что в термодинамическом пределе спектр приведенной матрицы плотности большого блока спинов в этом случае представляет собой точную геометрическую последовательность ^{[67] .}

Запутанность как ресурс

В квантовой теории информации запутанные состояния считаются «ресурсом», то есть чем-то дорогостоящим в производстве и позволяющим осуществлять ценные преобразования. ^{[68] [69]} Наиболее очевидна эта перспектива в условиях «отдаленных лабораторий», то есть двух квантовых систем, обозначенных «А» и «В», на каждой из которых могут выполняться произвольные квантовые операции , но которые не взаимодействуют друг с другом квантовомеханически. Единственное разрешенное взаимодействие — это обмен классической информацией, который в сочетании с наиболее общими локальными квантовыми операциями порождает класс операций, называемый LOCC (локальные операции и классическая коммуникация). Эти операции не позволяют создавать запутанные состояния между системами A и B. Но если A и B снабжены запасом запутанных состояний, то они вместе с операциями LOCC могут обеспечить более широкий класс преобразований. Например, взаимодействие между кубитом A и кубитом B можно реализовать, сначала телепортировав кубит A в B, а затем позволив ему взаимодействовать с кубитом B (что теперь является операцией LOCC, поскольку оба кубита находятся в лаборатории B) и затем телепортируем кубит обратно в A. В этом процессе используются два максимально запутанных состояния двух кубитов. Таким образом, запутанные состояния являются ресурсом, который позволяет реализовать квантовые взаимодействия (или квантовые каналы) в условиях, когда доступны только LOCC, но они расходуются в процессе. Существуют и другие приложения, в которых запутанность можно рассматривать как ресурс, например, частное общение или различение квантовых состояний. ^[70]

Классификация запутывания

Не все квантовые состояния одинаково ценны как ресурс. Для количественной оценки этого значения можно использовать различные меры запутанности (см. ниже), которые присваивают числовое значение каждому квантовому состоянию. Однако часто бывает интересно остановиться на более грубом способе сравнения квантовых состояний. Это приводит к появлению различных схем классификации. Большинство классов запутанности определяются на основе того, можно ли преобразовать состояния в другие состояния с помощью LOCC или подкласса этих операций. Чем меньше набор разрешенных операций, тем точнее классификация. Важными примерами являются:

• Если два состояния могут быть преобразованы друг в друга с помощью локальной унитарной операции, говорят, что они находятся в одном классе LU . Это лучший из обычно рассматриваемых классов. Два состояния в одном классе LU имеют одинаковое значение для мер запутанности и то же значение, что и ресурс в настройке удаленных лабораторий. Существует бесконечное количество различных классов LU (даже в простейшем случае двух кубитов в чистом состоянии). ^{[71] [72]}
• Если два состояния могут быть преобразованы друг в друга с помощью локальных операций, включая измерения с вероятностью больше 0, говорят, что они принадлежат к одному и тому же «классу SLOCC» («стохастический LOCC»). Качественно два состояния и в одном и том же классе SLOCC одинаково сильны (поскольку я могу преобразовать одно в другое и затем делать все, что оно мне позволит), но поскольку преобразования и могут иметь успех с разной вероятностью, они уже не одинаково ценны . Например, для двух чистых кубитов существует только два класса SLOCC: запутанные состояния (которые содержат как (максимально запутанные) состояния Белла, так и слабо запутанные состояния, такие как ) и разделяемые состояния (т.е. состояния-продукты, такие как ). ^{[73] [74]} ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle \rho _{2}}$ ${\displaystyle \rho _{1}\to \rho _{2}}$ ${\displaystyle \rho _{2}\to \rho _{1}}$ ${\displaystyle |00\rangle +0.01|11\rangle }$ ${\displaystyle |00\rangle }$
• Вместо рассмотрения преобразований отдельных копий состояния (например , ) можно определить классы, основанные на возможности преобразований нескольких копий. Например, есть примеры, когда по LOCC невозможно, но можно. Очень важная (и очень грубая) классификация основана на свойстве, можно ли превратить сколь угодно большое количество копий состояния хотя бы в одно чисто запутанное состояние. Состояния, обладающие этим свойством, называются дистилляционными. Эти состояния являются наиболее полезными квантовыми состояниями, поскольку, если их достаточно, их можно преобразовать (с помощью локальных операций) в любое запутанное состояние и, следовательно, обеспечить все возможные варианты использования. Поначалу стало неожиданностью, что не все запутанные состояния поддаются дистилляции, а те, которые не являются таковыми, называются « связанными запутанными ». ^{[75] [70]} ${\displaystyle \rho _{1}\to \rho _{2}}$ ${\displaystyle \rho _{1}\to \rho _{2}}$ ${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{1}\to \rho _{2}}$ ${\displaystyle \rho }$

Другая классификация запутанности основана на том, что квантовые корреляции, присутствующие в состоянии, позволяют делать A и B: различают три подмножества запутанных состояний: (1) нелокальные состояния , которые производят корреляции, которые не могут быть объяснены локальными скрытыми состояниями. переменную модель и, таким образом, нарушают неравенство Белла, (2) управляемые состояния , которые содержат достаточные корреляции для A, чтобы модифицировать («управлять») посредством локальных измерений условное приведенное состояние B таким образом, что A может доказать B, что состояние, которым они обладают, действительно запутано, и, наконец, (3) те запутанные состояния, которые не являются ни нелокальными, ни управляемыми. Все три множества непусты. ^[76]

Энтропия

В этом разделе обсуждается энтропия смешанного состояния, а также то, как ее можно рассматривать как меру квантовой запутанности.

Определение

График зависимости энтропии фон Неймана от собственного значения для двудольного двухуровневого чистого состояния. Когда собственное значение имеет значение 0,5, энтропия фон Неймана максимальна, что соответствует максимальной запутанности.

В классической теории информации H энтропия Шеннона связана с распределением вероятностей следующим образом: ^[77] ${\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n}}$

${\displaystyle H(p_{1},\cdots ,p_{n})=-\sum _{i}p_{i}\log _{2}p_{i}.}$

Поскольку смешанное состояние ρ представляет собой распределение вероятностей по ансамблю, это естественным образом приводит к определению энтропии фон Неймана :

${\displaystyle S(\rho )=-{\hbox{Tr}}\left(\rho \log _{2}{\rho }\right).}$

В общем, функциональное исчисление Бореля используется для вычисления неполиномиальной функции, такой как log ₂ ( ρ ) . Если неотрицательный оператор ρ действует на конечномерном гильбертовом пространстве и имеет собственные значения , то log ₂ ( ρ ) оказывается ничем иным, как оператором с теми же собственными векторами, но с собственными значениями . Тогда энтропия Шеннона равна: ${\displaystyle \lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}}$ ${\displaystyle \log _{2}(\lambda _{1}),\cdots ,\log _{2}(\lambda _{n})}$

${\displaystyle S(\rho )=-{\hbox{Tr}}\left(\rho \log _{2}{\rho }\right)=-\sum _{i}\lambda _{i}\log _{2}\lambda _{i}}$.

Поскольку событие с вероятностью 0 не должно вносить вклад в энтропию, и учитывая, что

${\displaystyle \lim _{p\to 0}p\log p=0,}$

принимается соглашение 0 log(0) = 0 . Это распространяется и на бесконечномерный случай: если ρ имеет спектральное разрешение

${\displaystyle \rho =\int \lambda dP_{\lambda },}$

примите то же соглашение при вычислении

${\displaystyle \rho \log _{2}\rho =\int \lambda \log _{2}\lambda dP_{\lambda }.}$

Как и в статистической механике , чем большей неопределенностью (количеством микросостояний) должна обладать система, тем больше энтропия. Например, энтропия любого чистого состояния равна нулю, что неудивительно, поскольку нет никакой неопределенности относительно системы в чистом состоянии. Энтропия любой из двух подсистем запутанного состояния, обсуждавшегося выше, равна log(2) (можно показать, что это максимальная энтропия для смешанных состояний 2 × 2 ).

Как мера запутанности

Энтропия предоставляет один инструмент, который можно использовать для количественной оценки запутанности, хотя существуют и другие меры запутанности. ^{[78] [79]} Если вся система чиста, энтропия одной подсистемы может использоваться для измерения степени ее запутанности с другими подсистемами. Для двудольных чистых состояний энтропия фон Неймана приведенных состояний является уникальной мерой запутанности в том смысле, что это единственная функция в семействе состояний, которая удовлетворяет определенным аксиомам, необходимым для меры запутанности. ^[80]

Классический результат состоит в том, что энтропия Шеннона достигает максимума при и только при равномерном распределении вероятностей {1/ n ,...,1/ n }. Поэтому двудольное чистое состояние ρ ∈ HA ⊗ H _B называется максимально запутанным состоянием , если _{приведенное} состояние каждой подсистемы ρ является диагональной матрицей

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{n}}&&\\&\ddots &\\&&{\frac {1}{n}}\end{bmatrix}}.}$

Для смешанных состояний пониженная энтропия фон Неймана — не единственная разумная мера запутанности.

Кроме того, теоретико-информационное определение тесно связано с энтропией в смысле статистической механики ^[81] (при сравнении двух определений в данном контексте принято считать константу Больцмана k = 1 ). Например, по свойствам функционального исчисления Бореля мы видим, что для любого унитарного оператора U

${\displaystyle S(\rho )=S\left(U\rho U^{*}\right).}$

Действительно, без этого свойства энтропия фон Неймана не была бы четко определена.

В частности, U мог бы быть оператором временной эволюции системы, т. е.

${\displaystyle U(t)=\exp \left({\frac {-iHt}{\hbar }}\right),}$

где H — гамильтониан системы. Здесь энтропия не меняется.

Обратимость процесса связана с результирующим изменением энтропии, т. е. процесс обратим тогда и только тогда, когда он оставляет энтропию системы неизменной. Следовательно, движение стрелы времени к термодинамическому равновесию — это просто растущее распространение квантовой запутанности. ^[82] Это обеспечивает связь между квантовой теорией информации и термодинамикой .

Энтропию Реньи также можно использовать как меру запутанности.

Тем не менее 23 января 2023 года физики сообщили, что второго закона манипуляции запутанностью не существует. По словам исследователей, «невозможно установить прямого аналога второму закону термодинамики». ^[83]

Меры по запутыванию

Меры запутанности количественно определяют степень запутанности в квантовом состоянии (часто рассматриваемом как двудольное). Как уже упоминалось, энтропия запутанности является стандартной мерой запутанности для чистых состояний (но больше не является мерой запутанности для смешанных состояний). Для смешанных состояний в литературе есть несколько мер запутанности ^[78] , но ни одна из них не является стандартной.

• Стоимость запутывания
• Дистилляционная запутанность
• Запутывание образования
• Совпадение
• Относительная энтропия запутанности
• Раздавленное запутывание
• Логарифмическая отрицательность

Большинство (но не все) этих мер запутанности сводятся для чистых состояний к энтропии запутанности, и их трудно ( NP-трудно ) вычислить для смешанных состояний по мере роста размерности запутанной системы. ^[84]

Квантовая теория поля

Теорему Риха-Шлидера квантовой теории поля иногда рассматривают как аналог квантовой запутанности.

Приложения

Запутанность имеет множество приложений в квантовой теории информации . С помощью запутанности можно достичь невыполнимых иначе задач.

Среди наиболее известных применений запутанности — сверхплотное кодирование и квантовая телепортация. ^[85]

Большинство исследователей считают, что запутанность необходима для реализации квантовых вычислений (хотя некоторые это оспаривают). ^[86]

Запутывание используется в некоторых протоколах квантовой криптографии , ^{[87] [88]} , но для доказательства безопасности КРК при стандартных предположениях запутанность не требуется. ^[89] Однако показана аппаратно-независимая безопасность QKD, использующая запутанность между партнерами по связи. ^[90]

Запутанные состояния

Существует несколько канонических запутанных состояний, которые часто возникают в теории и экспериментах.

Для двух кубитов состояния Белла таковы :

${\displaystyle |\Phi ^{\pm }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\pm |1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})}$

${\displaystyle |\Psi ^{\pm }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}\pm |1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}).}$

Все эти четыре чистых состояния максимально запутаны (в соответствии с энтропией запутанности ) и образуют ортонормированный базис (линейную алгебру) гильбертова пространства двух кубитов. Они играют фундаментальную роль в теореме Белла .

Для кубитов M>2 состояние GHZ равно

${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {|0\rangle ^{\otimes M}+|1\rangle ^{\otimes M}}{\sqrt {2}}},}$

что сводится к состоянию Белла для . Традиционное состояние GHZ было определено для . Состояния ГГц иногда расширяются до кудитов , то есть систем d , а не двухмерных систем. ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$ ${\displaystyle M=2}$ ${\displaystyle M=3}$

Также для кубитов M>2 существуют спиновые сжатые состояния — класс сжатых когерентных состояний, удовлетворяющих определённым ограничениям на неопределённость измерений спина, которые обязательно запутаны. ^[91] Состояния со сжатием спина являются хорошими кандидатами для повышения точности измерений с использованием квантовой запутанности. ^[92]

Для двух бозонных мод состояние ПОЛДЕНЬ

${\displaystyle |\psi _{\text{NOON}}\rangle ={\frac {|N\rangle _{a}|0\rangle _{b}+|{0}\rangle _{a}|{N}\rangle _{b}}{\sqrt {2}}},\,}$

Это похоже на состояние Белла, за исключением того, что базисные кеты 0 и 1 были заменены на « N фотонов находятся в одном режиме» и «N фотонов находятся в другом режиме». ${\displaystyle |\Psi ^{+}\rangle }$

Наконец, существуют также двойные состояния Фока для бозонных мод, которые можно создать, подав состояние Фока в два плеча, ведущих к светоделителю. Они представляют собой сумму нескольких состояний NOON и могут использоваться для достижения предела Гейзенберга. ^[93]

При правильно выбранных мерах запутанности состояния Белла, GHZ и NOON максимально запутаны, в то время как спин-сжатые и двойные состояния Фока запутаны лишь частично. Частично запутанные состояния обычно легче получить экспериментально.

Способы создания запутанности

Запутывание обычно создается прямым взаимодействием между субатомными частицами. Эти взаимодействия могут принимать различные формы. Одним из наиболее часто используемых методов является спонтанное параметрическое преобразование с понижением частоты для генерации пары фотонов, запутанных в поляризации. ^{[70] [94]} Другие методы включают использование волоконного соединителя для удержания и смешивания фотонов, фотонов, испускаемых каскадом распада биэкситона в квантовой точке , ^[95] использование эффекта Хонга-Оу-Манделя , и т. д. Квантовая запутанность частицы и ее античастицы , например электрона и позитрона , может быть создана путем частичного перекрытия соответствующих квантовых волновых функций в интерферометре Харди . ^{[96] [97]} В самых ранних тестах теоремы Белла запутанные частицы генерировались с помощью атомных каскадов . ^[22]

Также возможно создать запутанность между квантовыми системами, которые никогда не взаимодействовали напрямую, с помощью замены запутанности . Две независимо приготовленные идентичные частицы также могут быть запутаны, если их волновые функции просто перекрываются в пространстве, по крайней мере частично. ^[98]

Тестирование системы на запутывание

Матрица плотности ρ называется сепарабельной, если ее можно записать в виде выпуклой суммы состояний-продуктов, а именно

$${\displaystyle {\rho =\sum _{j}p_{j}\rho _{j}^{(A)}\otimes \rho _{j}^{(B)}}}$$

${\displaystyle 0\leq p_{j}\leq 1}$

Для систем 2-кубит и кубит-кутрит (2 × 2 и 2 × 3 соответственно) простой критерий Переса – Городецкого обеспечивает как необходимый, так и достаточный критерий разделимости и, следовательно, — непреднамеренно — для обнаружения запутанности. Однако в общем случае критерий просто необходим для разделимости, поскольку при обобщении проблема становится NP-трудной. ^{[99] [100]} Другие критерии разделимости включают (но не ограничиваются ими) критерий диапазона , критерий уменьшения и критерии, основанные на соотношениях неопределенности. ^{[101] [102] [103] [104]} См. ссылку. ^[105] за обзор критериев разделимости в системах с дискретными переменными и [105]. ^[106] за обзор методов и проблем экспериментальной сертификации запутанности в системах с дискретными переменными.

Численный подход к проблеме предложен Йоном Магне Лейнаасом , Яном Мирхеймом и Эйриком Оврумом в их статье «Геометрические аспекты запутанности». ^[107] Лейнаас и др. предложить численный подход, итеративно уточняя предполагаемое разделимое состояние до целевого состояния, подлежащего тестированию, и проверяя, действительно ли целевое состояние может быть достигнуто. Реализацией алгоритма (включая встроенный критерий Переса-Городецкого ) является веб-приложение StateSeparator.

В системах с непрерывными переменными также применяется критерий Переса-Городецкого. В частности, Саймон ^[108] сформулировал частный вариант критерия Переса-Городецкого в терминах моментов второго порядка канонических операторов и показал, что он необходим и достаточен для -модовых гауссовских состояний (см. ^[109] для, казалось бы, другой, но по сути эквивалентный подход). Позднее было обнаружено ^[110] , что условие Саймона также необходимо и достаточно для гауссовских состояний -моды, но уже недостаточно для гауссовских состояний -моды. Условие Саймона можно обобщить, принимая во внимание моменты высших порядков канонических операторов ^{[111] [112]} или используя энтропийные меры. ^{[113] [114]} ${\displaystyle 1\oplus 1}$ ${\displaystyle 1\oplus n}$ ${\displaystyle 2\oplus 2}$

В 2016 году Китай запустил первый в мире спутник квантовой связи. ^{[115] Миссия} «Квантовые эксперименты в космическом масштабе» (QUESS) стоимостью 100 миллионов долларов была запущена 16 августа 2016 года с космодрома Цзюцюань на севере Китая в 01:40 по местному времени. ^{[ нужна цитата ]}

В течение следующих двух лет спутник, получивший прозвище «Миций» в честь древнего китайского философа, продемонстрирует возможность квантовой связи между Землей и космосом и проверит квантовую запутанность на беспрецедентных расстояниях. ^{[ нужна цитата ]}

В номере журнала Science от 16 июня 2017 г. Инь и др. отчет, устанавливающий новый рекорд расстояния квантовой запутанности в 1203 км, демонстрирующий выживание двухфотонной пары и нарушение неравенства Белла, достигая оценки CHSH 2,37 ± 0,09 при строгих условиях локальности Эйнштейна, от спутника Мициуса до баз в Лицзяне, Юньнань и Делинге, Квинхай, что на порядок повышает эффективность передачи по сравнению с предыдущими оптоволоконными экспериментами. ^{[116] [117]}

Естественно запутанные системы

Электронные оболочки многоэлектронных атомов всегда состоят из запутанных электронов. Правильную энергию ионизации можно рассчитать только с учетом электронной запутанности. ^[118]

Фотосинтез

Было высказано предположение, что в процессе фотосинтеза запутанность участвует в передаче энергии между светособирающими комплексами и фотосинтетическим реакционным центром , где энергия каждого поглощенного фотона собирается в виде химической энергии. Без такого процесса невозможно объяснить эффективное преобразование света в химическую энергию. С помощью фемтосекундной спектроскопии когерентность запутанности в комплексе Фенны-Мэттьюза-Олсона измерялась в течение сотен фемтосекунд (относительно долгое время в этом отношении), что подтверждает эту теорию. ^{[119] [120]}

Однако критические последующие исследования ставят под сомнение интерпретацию этих результатов и связывают сообщаемые признаки электронной квантовой когерентности с ядерной динамикой в ​​хромофоре или с экспериментами, проводимыми при криогенных, а не физиологических температурах. ^{[121] [122] [123 ] [124] [125] [126] [127]}

Запутывание макроскопических объектов

В 2020 году исследователи сообщили о квантовой запутанности между движением механического осциллятора миллиметрового размера и несопоставимой удаленной спиновой системой облака атомов. ^{[128] [129]} Более поздние работы дополнили эту работу квантовой запутанностью двух механических осцилляторов. ^{[130] [131] [132]}

Запутывание элементов живых систем

В октябре 2018 года физики сообщили о создании квантовой запутанности с использованием живых организмов , в частности, между фотосинтезирующими молекулами внутри живых бактерий и квантованным светом . ^{[133] [134]}

Живые организмы (зеленые серные бактерии) изучались как медиаторы для создания квантовой запутанности между невзаимодействующими световыми модами, что демонстрирует высокую степень запутанности между световыми и бактериальными модами и, в некоторой степени, даже запутанность внутри бактерий. ^[135]

В декабре 2023 года физики впервые сообщили о запутанности отдельных молекул, которая может иметь важные применения в квантовых вычислениях. ^[136]

Смотрите также

• Связанное запутывание
• Совпадение
• ворота CNOT
• Мысленные эксперименты Эйнштейна
• Перегонка перепутывания
• Свидетель запутанности
• ЭР = ЭПР
• Связь быстрее света
• Многосторонняя запутанность
• Нормально распределенные и некоррелированные не означают независимости.
• Принцип исключения Паули
• Квантовая когерентность
• Квантовые вычисления
• Квантовый диссонанс
• Квантовая сеть
• Квантовый фазовый переход
• Квантовая псевдотелепатия
• Квантовая телепортация
• Ретропричинность
• Сепарабельное состояние
• Спонтанное параметрическое преобразование с понижением частоты
• Раздавленное запутывание
• Эксперимент Штерна-Герлаха
• Амплитуда вероятности Уорда

• Физический портал

Рекомендации

1. Прощай, Деннис (10 октября 2022 г.). «Черные дыры могут скрывать невероятную тайну нашей Вселенной. Возьмите гравитацию, добавьте квантовую механику, перемешайте. Что вы получите? Может быть, голографический космос». Нью-Йорк Таймс . Проверено 10 октября 2022 г.
2. Эйнштейн, Альберт ; Подольский, Борис ; Розен, Натан (1935). «Можно ли квантово-механическое описание физической реальности считать полным?». Физ. Преподобный . 47 (10): 777–780. Бибкод : 1935PhRv...47..777E. дои : 10.1103/PhysRev.47.777 .
3. Шрёдингер, Эрвин (1935). «Обсуждение вероятностных отношений между разделенными системами». Математические труды Кембриджского философского общества . 31 (4): 555–563. Бибкод : 1935PCPS...31..555S. дои : 10.1017/S0305004100013554. S2CID  121278681.
4. Шрёдингер, Эрвин (1936). «Вероятностные отношения между разделенными системами». Математические труды Кембриджского философского общества . 32 (3): 446–452. Бибкод : 1936PCPS...32..446S. дои : 10.1017/S0305004100019137. S2CID  122822435.
5. Физик Джон Белл изображает лагерь Эйнштейна в этих дебатах в своей статье под названием «Носки Бертльмана и природа реальности», стр. 143 книги «Выразимое и невыразимое в квантовой механике »: «Для ЭПР это было бы немыслимым «жутким действием на расстоянии». Чтобы избежать такого действия на расстоянии, они должны заранее приписать рассматриваемым областям пространства-времени реальные свойства. наблюдения, коррелированные свойства, которые предопределяют результаты этих частных наблюдений. Поскольку эти реальные свойства, фиксированные до наблюдения, не содержатся в квантовом формализме, этот формализм для ЭПР является неполным. Он может быть правильным, насколько это возможно. , но обычный квантовый формализм не может быть исчерпывающим». И снова на стр. 144 Белл говорит: «Эйнштейн без труда признал, что события в разных местах могут быть коррелированы. Чего он не мог принять, так это того, что вмешательство в одном месте может немедленно повлиять на дела в другом». Загружено 5 июля 2011 г. с сайта Bell, JS (1987). Выразимое и невыразимое в квантовой механике (PDF) . ЦЕРН . ISBN 0521334950. Архивировано из оригинала (PDF) 12 апреля 2015 года . Проверено 14 июня 2014 г.
6. Инь, Хуан; Цао, Юань; Ён, Хай-Лин; Рен, Джи-Ганг; Лян, Хао; Ляо, Шэн-Кай; Чжоу, Фэй; Лю, Чанг; Ву, Ю-Пин; Пан, Гэ-Шэн; Ли, Ли; Лю, Най-Ле; Чжан, Цян; Пэн, Ченг-Чжи; Пан, Цзянь-Вэй (2013). «Ограничение скорости жутких действий на расстоянии». Письма о физических отзывах . 110 (26): 260407. arXiv : 1303.0614 . Бибкод : 2013PhRvL.110z0407Y. doi : 10.1103/PhysRevLett.110.260407. PMID  23848853. S2CID  119293698.
7. Мэтсон, Джон (13 августа 2012 г.). «Квантовая телепортация достигнута на рекордные расстояния». Новости природы . дои : 10.1038/nature.2012.11163. S2CID  124852641.
8. Фрэнсис, Мэтью (30 октября 2012 г.). «Квантовая запутанность показывает, что реальность не может быть локальной». Арс Техника . Проверено 22 августа 2023 г.
9. Роджер Пенроуз , Дорога к реальности: Полное руководство по законам Вселенной , Лондон, 2004, с. 603.
10. Гриффитс, Дэвид Дж. (2004), Введение в квантовую механику (2-е изд.) , Прентис Холл, ISBN 978-0-13-111892-8.
11. Сигел, Итан. «Нет, мы все еще не можем использовать квантовую запутанность, чтобы общаться быстрее скорости света». Форбс . Проверено 6 января 2023 г.
12. Кохер, Калифорния; Комминс, Эд (1967). «Поляризационная корреляция фотонов, испускаемых в атомном каскаде». Письма о физических отзывах . 18 (15): 575–577. Бибкод : 1967PhRvL..18..575K. doi : 10.1103/PhysRevLett.18.575.
13. Кохер, Карл Элвин (1 мая 1967 г.). «ПОЛЯРИЗАЦИОННАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ ФОТОНОВ, ИЗЛУЧЕННЫХ В АТОМНОМ КАСКАДЕ». {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
14. Хенсен, Б.; и другие. (21 октября 2015 г.). «Нарушение неравенства Белла без лазеек с использованием спинов электронов, разделенных на 1,3 километра». Природа . 526 (7575): 682–686. arXiv : 1508.05949 . Бибкод : 2015Natur.526..682H. дои : 10.1038/nature15759. hdl : 2117/79298. PMID  26503041. S2CID  205246446.См. также версию с бесплатным онлайн-доступом.
15. Маркофф, Джек (21 октября 2015 г.). «Прости, Эйнштейн. Квантовое исследование предполагает, что« жуткое действие »реально» . Нью-Йорк Таймс . Проверено 21 октября 2015 г.
16. Ли, КК; Спрэг, MR; Сассман, Би Джей; Нанн, Дж.; Лэнгфорд, Северная Каролина; Джин, Х.-М.; Чемпион, Т.; Михельбергер, П.; Рейм, К.Ф.; Англия, Д.; Якш, Д.; Уолмсли, Айова (2 декабря 2011 г.). «Запутывание макроскопических алмазов при комнатной температуре». Наука . 334 (6060): 1253–1256. Бибкод : 2011Sci...334.1253L. дои : 10.1126/science.1211914. PMID  22144620. S2CID  206536690.
17. Кумар, М., Quantum , Icon Books, 2009, стр. 313.
18. Кристандл, Матиас (2006). «Структура двудольных квантовых состояний - идеи теории групп и криптографии»: vi, iv. arXiv : Quant-ph/0604183 . Бибкод : 2006PhDT.......289C. {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
19. Алиса Бокулич, Грегг Джагер, Философия квантовой информации и запутанности , Cambridge University Press, 2010, стр. хв.
20. Письмо Эйнштейна Максу Борну, 3 марта 1947 г.; Письма Борна-Эйнштейна; Переписка между Альбертом Эйнштейном и Максом и Хедвигой. Родились с 1916 по 1955 год , Уокер, Нью-Йорк, 1971 год. Цитируется по Хобсону, члену парламента; и другие. (1998). «Квантовая запутанность и сложность связи». СИАМ Дж. Компьютер . 30 (6): 1829–1841. CiteSeerX 10.1.1.20.8324 . )
21. Белл, Дж. С. (1964). «О парадоксе Эйнштейна-Польдольского-Розена». Физика Телосложение Физика . 1 (3): 195–200. doi : 10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.1.195 .
22. Фридман, Стюарт Дж.; Клаузер, Джон Ф. (1972). «Экспериментальная проверка локальных теорий скрытых переменных». Письма о физических отзывах . 28 (14): 938–941. Бибкод : 1972PhRvL..28..938F. doi : 10.1103/PhysRevLett.28.938 .
23. Аспект, Ален; Гранжье, Филипп; Роджер, Жерар (1982). «Экспериментальная реализация мысленного эксперимента Эйнштейна-Подольского-Розена-Бома: новое нарушение неравенств Белла». Письма о физических отзывах . 49 (2): 91–94. Бибкод : 1982PhRvL..49...91A. doi : 10.1103/PhysRevLett.49.91 .
24. Кохер, Калифорния (1971). «Временные корреляции при обнаружении последовательно испускаемых фотонов». Анналы физики . 65 (1): 1–18. Бибкод : 1971AnPhy..65....1K. дои : 10.1016/0003-4916(71)90159-X.
25. Хэнсон, Рональд (2015). «Нарушение неравенства Белла без лазеек с использованием спинов электронов, разделенных на 1,3 километра». Природа . 526 (7575): 682–686. arXiv : 1508.05949 . Бибкод : 2015Natur.526..682H. дои : 10.1038/nature15759. PMID  26503041. S2CID  205246446.
26. Аспект, Ален (16 декабря 2015 г.). «Закрывая дверь к квантовым дебатам Эйнштейна и Бора». Физика . 8 : 123. Бибкод : 2015PhyOJ...8..123A. дои : 10.1103/Физика.8.123 .
27. CH Беннетт и Г. Брассар. «Квантовая криптография: распределение открытых ключей и подбрасывание монеты». В материалах Международной конференции IEEE по компьютерам, системам и обработке сигналов , том 175, стр. 8. Нью-Йорк, 1984 г. http://researcher.watson.ibm.com/researcher/files/us-bennetc/BB84highest.pdf. Архивировано 30 января 2020 г. в Wayback Machine.
28. Экерт, АК (1991). «Квантовая криптография, основанная на теореме Белла». Физ. Преподобный Летт . 67 (6): 661–663. Бибкод : 1991PhRvL..67..661E. doi : 10.1103/PhysRevLett.67.661. ISSN  0031-9007. PMID  10044956. S2CID  27683254.
29. «Нобелевская премия по физике 2022». Нобелевская премия (Пресс-релиз). Шведская королевская академия наук . 4 октября 2022 г. Проверено 5 октября 2022 г.
30. Ашер Перес, Квантовая теория: концепции и методы , Kluwer, 1993; ISBN 0-7923-2549-4 , с. 115. 
31. Андерсон, Руперт В. (28 марта 2015 г.). Космический сборник: Межзвездные путешествия (Первое изд.). Космический сборник. п. 100. ИСБН 9781329022027.
32. Гибни, Элизабет (2017). «Космические испытания подтверждают «жуткие действия на расстоянии» Эйнштейна». Научный американец .
33. Герхардт, И.; Лю, К.; Ламас-Линарес, А.; Скаар, Дж.; Скарани, В.; Макаров В.; Курцифер, К. (2011), «Экспериментальная имитация нарушения неравенств Белла», Physical Review Letters , 107 (17): 170404, arXiv : 1106.3224 , Bibcode : 2011PhRvL.107q0404G, doi : 10.1103/PhysRevLett.107.1704 04, ПМИД  22107491, S2CID  16306493
34. Сантос, Э. (2004). «Неспособность провести проверку неравенства Белла без лазеек поддерживает локальный реализм». Основы физики . 34 (11): 1643–1673. Бибкод : 2004FoPh...34.1643S. doi : 10.1007/s10701-004-1308-z. S2CID  123642560.
35. Збинден, Х.; и другие. (2001). «Экспериментальная проверка нелокальных квантовых корреляций в релятивистских конфигурациях». Физ. Преподобный А. 63 (2): 22111. arXiv : quant-ph/0007009 . Бибкод : 2001PhRvA..63b2111Z. doi :10.1103/PhysRevA.63.022111. S2CID  44611890.
36. Некоторые из истории обоих ссылаются на Збиндена и др. эксперименты представлены в книге Гилдер Л., « Эпоха запутанности» , Vintage Books, 2008, стр. 321–324.
37. Сирельсон, BS (1980). «Квантовые обобщения неравенства Белла». Письма по математической физике . 4 (2): 93–100. Бибкод : 1980LMaPh...4...93C. дои : 10.1007/BF00417500. S2CID  120680226.
38. Ву, К. х.; Шахнов И. (1950). «Угловая корреляция рассеянного аннигиляционного излучения». Физический обзор . 77 (1): 136. Бибкод : 1950PhRv...77..136W. doi :10.1103/PhysRev.77.136.
39. Ма, Сяо-сун; Зоттер, Стефан; Кофлер, Йоханнес; Урсин, Руперт; Дженневейн, Томас; Брукнер, Часлав; Цайлингер, Антон (26 апреля 2012 г.). «Экспериментальная замена запутанности с отложенным выбором». Физика природы . 8 (6): 480–485. arXiv : 1203.4834 . Бибкод : 2012NatPh...8..480M. дои : 10.1038/nphys2294. S2CID  119208488.
40. Мегидиш, Э.; Халеви, А.; Шахам, Т.; Двир, Т.; Доврат, Л.; Айзенберг, HS (2013). «Обмен запутанностью между фотонами, которые никогда не сосуществовали». Письма о физических отзывах . 110 (21): 210403. arXiv : 1209.4191 . Бибкод : 2013PhRvL.110u0403M. doi : 10.1103/physrevlett.110.210403. PMID  23745845. S2CID  30063749.
41. «Классический перевозчик может создать запутывание» . Physicsworld.com. 11 декабря 2013 года . Проверено 14 июня 2014 г.
42. «Тест Белла без лазеек | Рональд Хэнсон» . Архивировано из оригинала 4 июля 2018 года . Проверено 24 октября 2015 г.
43. Гибни, Элизабет (2014). «Запутанные фотоны создают картину парадокса». Природа . дои : 10.1038/nature.2014.15781 . S2CID  124976589 . Проверено 13 октября 2014 г.
44. Розаткар, Гаурав (16 августа 2018 г.). «Демонстрация квантовой запутанности». ОСФ .
45. Сакураи, Джей Джей; Наполитано, Джим Дж. (14 июля 2010 г.). Современная квантовая механика (2-е изд.). Пирсон. п. 68. ИСБН 978-0-8053-8291-4.
46. Пейдж, Дон Н.; Вуттерс, Уильям К. (15 июня 1983 г.). «Эволюция без эволюции: динамика, описываемая стационарными наблюдаемыми». Физический обзор D . 27 (12): 2885–2892. Бибкод : 1983PhRvD..27.2885P. doi :10.1103/PhysRevD.27.2885.
47. Ровелли, Карло (15 октября 1990 г.). «Квантовая механика без времени: модель». Физический обзор D . 42 (8): 2638–2646. Бибкод : 1990PhRvD..42.2638R. doi :10.1103/PhysRevD.42.2638. ПМИД  10013133.
48. Морева, Екатерина (2014). «Время от квантовой запутанности: экспериментальная иллюстрация». Физический обзор А. 89 (5): 052122. arXiv : 1310.4691 . Бибкод : 2014PhRvA..89e2122M. doi : 10.1103/PhysRevA.89.052122. S2CID  118638346.
49. Джованнетти, Витторио; Ллойд, Сет; Макконе, Лоренцо (26 августа 2015 г.). «Квантовое время». Физический обзор D . 92 (4): 045033. arXiv : 1504.04215 . Бибкод : 2015PhRvD..92d5033G. doi : 10.1103/PhysRevD.92.045033. hdl : 1721.1/98287. S2CID  85537706.
50. Боэтт, А.; Россиньоли, Р.; Гигена, Н.; Сересо, М. (27 июня 2016 г.). «Запутывание системного времени в модели дискретного времени». Физический обзор А. 93 (6): 062127.arXiv : 1512.07313 . Бибкод : 2016PhRvA..93f2127B. doi :10.1103/PhysRevA.93.062127. S2CID  119245348.
51. Боэтт, А.; Россиньоли, Р. (12 сентября 2018 г.). «История состояний систем и операторов». Физический обзор А. 98 (3): 032108.arXiv : 1806.00956 . Бибкод : 2018PhRvA..98c2108B. doi : 10.1103/PhysRevA.98.032108. S2CID  56101730.
52. Ван Раамсдонк, Марк (19 июня 2010 г.). «Создание пространства-времени с помощью квантовой запутанности». Общая теория относительности и гравитация . 42 (10): 2323–2329. arXiv : 1005.3035 . Бибкод : 2010GReGr..42.2323V. дои : 10.1007/s10714-010-1034-0. ISSN  0001-7701. S2CID  189843725.
53. Ли, Джэ-Вон; Ким, Хён Чан; Ли, Юнджай (2013). «Гравитация из квантовой информации». Журнал Корейского физического общества . 63 (5): 1094–1098. arXiv : 1001.5445 . Бибкод : 2013JKPS...63.1094L. дои : 10.3938/jkps.63.1094. ISSN  0374-4884. S2CID  118494859.
54. Свингл, Брайан; Ван Раамсдонк, Марк (12 мая 2014 г.). «Универсальность гравитации от запутанности». arXiv : 1405.2933 [геп-й].
55. Бруннер, Николас; Кавальканти, Даниэль; Пиронио, Стефано; Скарани, Валерио; Венер, Стефани (2014). «Нелокальность Белла». Обзоры современной физики . 86 (2): 419–478. arXiv : 1303.2849 . Бибкод : 2014РвМП...86..419Б. doi : 10.1103/RevModPhys.86.419. S2CID  119194006.
56. Вернер, РФ (1989). «Квантовые состояния с корреляциями Эйнштейна – Подольского – Розена, допускающие модель скрытой переменной». Физический обзор А. 40 (8): 4277–4281. Бибкод : 1989PhRvA..40.4277W. doi :10.1103/PhysRevA.40.4277. ПМИД  9902666.
57. Аугузиак, Р.; Демьянович, М.; Тура, Дж.; Асин, А. (2015). «Запутанность и нелокальность неэквивалентны для любого количества сторон». Письма о физических отзывах . 115 (3): 030404. arXiv : 1407.3114 . Бибкод : 2015PhRvL.115c0404A. doi : 10.1103/PhysRevLett.115.030404. hdl : 2117/78836. PMID  26230773. S2CID  29758483.
58. Вертези, Тамаш; Бруннер, Николас (2014). «Опровержение гипотезы Переса путем демонстрации нелокальности Белла из связанной запутанности». Природные коммуникации . 5 (1): 5297. arXiv : 1405.4502 . Бибкод : 2014NatCo...5.5297V. doi : 10.1038/ncomms6297. PMID  25370352. S2CID  5135148.
59. В литературе «нелокальность» иногда используется для характеристики концепций, которые отличаются от отсутствия модели локальных скрытых переменных, например, можно ли различить состояния с помощью локальных измерений и что может происходить также для незапутанных состояний; см., например, Bennett, Charles H.; ДиВинченцо, Дэвид П.; Фукс, Кристофер А.; Мор, Таль; Рейнс, Эрик; Шор, Питер В.; Смолин, Джон А.; Вуттерс, Уильям К. (1999). «Квантовая нелокальность без запутанности». Физ. Преподобный А. 59 (2): 1070–1091. arXiv : Quant-ph/9804053 . Бибкод : 1999PhRvA..59.1070B. doi :10.1103/PhysRevA.59.1070. S2CID  15282650.Это нестандартное использование термина здесь не обсуждается.
60. Джагер Г., Шимони А., Вайдман Л. (1995). «Две интерферометрические дополнительности». Физ. Преподобный . 51 (1): 54–67. Бибкод : 1995PhRvA..51...54J. doi :10.1103/PhysRevA.51.54. ПМИД  9911555.
61. Нильсен, Майкл А.; Чуанг, Исаак Л. (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация . Издательство Кембриджского университета . стр. 112–113. ISBN 978-0-521-63503-5.
62. Лало, Франк (2001), «Действительно ли мы понимаем квантовую механику», Американский журнал физики , 69 (6): 655–701, arXiv : quant-ph/0209123 , Bibcode : 2001AmJPh..69..655L, doi :10.1119/1.1356698, S2CID  123349369
63. Гурвиц, Л. (2003). «Классическая детерминированная сложность проблемы Эдмондса и квантовая запутанность». Материалы тридцать пятого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений . п. 10. arXiv : quant-ph/0303055 . дои : 10.1145/780542.780545. ISBN 978-1-58113-674-6. S2CID  5745067.
64. Городецкий М, Городецкий П, Городецкий Р (1996). «Отделимость смешанных состояний: необходимые и достаточные условия». Буквы по физике А. 223 (1): 210. arXiv : quant-ph/9605038 . Бибкод : 1996PhLA..223....1H. CiteSeerX 10.1.1.252.496 . дои : 10.1016/S0375-9601(96)00706-2. S2CID  10580997. 
65. Дирак, Поль Адриен Морис (1930). «Заметка об обменных явлениях в атоме Томаса» (PDF) . Математические труды Кембриджского философского общества . 26 (3): 376–385. Бибкод : 1930PCPS...26..376D. дои : 10.1017/S0305004100016108 .
66. Фан, Х; Корепин В; Ройчоудхури V (2004). «Запутывание в твердом состоянии валентной связи». Письма о физических отзывах . 93 (22): 227203. arXiv : quant-ph/0406067 . Бибкод : 2004PhRvL..93v7203F. doi : 10.1103/PhysRevLett.93.227203. PMID  15601113. S2CID  28587190.
67. Франчини, Ф.; Это, АР; Корепин В.Е.; Тахтаджан, Луизиана (2010). «Спектр матрицы плотности большого блока спинов модели XY в одном измерении». Квантовая обработка информации . 10 (3): 325–341. arXiv : 1002.2931 . дои : 10.1007/s11128-010-0197-7. S2CID  6683370.
68. Читамбар, Эрик; Гур, Гилад (2019). «Квантовые теории ресурсов». Обзоры современной физики . 91 (2): 025001. arXiv : 1806.06107 . Бибкод : 2019RvMP...91b5001C. doi : 10.1103/RevModPhys.91.025001. S2CID  119194947.
69. Георгиев, Данко Д.; Гаддер, Стэнли П. (2022). «Чувствительность мер запутанности в двудольных чистых квантовых состояниях». Буквы современной физики Б. 36 (22): 2250101–2250255. arXiv : 2206.13180 . Бибкод : 2022MPLB...3650101G. дои : 10.1142/S0217984922501019. S2CID  250072286.
70. Городецкий, Рышард; Городецкий, Павел; Городецкий, Михал; Городецкий, Кароль (2009). «Квантовая запутанность». Обзоры современной физики . 81 (2): 865–942. arXiv : Quant-ph/0702225 . Бибкод : 2009RvMP...81..865H. doi : 10.1103/RevModPhys.81.865. S2CID  59577352.
71. Грассл, М.; Реттелер, М.; Бет, Т. (1998). «Вычисление локальных инвариантов квантово-битовых систем». Физ. Преподобный А. 58 (3): 1833–1839. arXiv : Quant-ph/9712040 . Бибкод : 1998PhRvA..58.1833G. doi :10.1103/PhysRevA.58.1833. S2CID  15892529.
72. Краус, Барбара (2010). «Локальная унитарная эквивалентность многочастных чистых состояний». Письма о физических отзывах . 104 (2): 020504. arXiv : 0909.5152 . Бибкод : 2010PhRvL.104b0504K. doi : 10.1103/PhysRevLett.104.020504. PMID  20366579. S2CID  29984499.
73. Нильсен, Массачусетс (1999). «Условия класса преобразований запутанности». Письма о физических отзывах . 83 (2): 436. arXiv : quant-ph/9811053 . Бибкод : 1999PhRvL..83..436N. doi : 10.1103/PhysRevLett.83.436. S2CID  17928003.
74. Гур, Г.; Уоллах, Северная Каролина (2013). «Классификация многочастной запутанности всей конечномерности». Физ. Преподобный Летт . 111 (6): 060502. arXiv : 1304.7259 . Бибкод : 2013PhRvL.111f0502G. doi : 10.1103/PhysRevLett.111.060502. PMID  23971544. S2CID  1570745.
75. Городецкий, М.; Городецкий, П.; Городецкий, Р. (1998). «Запутывание в смешанном состоянии и дистилляция: существует ли связанная запутанность в природе?». Физ. Преподобный Летт . 80 (1998): 5239–5242. arXiv : Quant-ph/9801069 . Бибкод : 1998PhRvL..80.5239H. doi : 10.1103/PhysRevLett.80.5239. S2CID  111379972.
76. Уайзман, HM; Джонс, С.Дж.; Доэрти, AC (2007). «Управление, запутанность, нелокальность и парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена». Письма о физических отзывах . 98 (14): 140402. arXiv : quant-ph/0612147 . Бибкод : 2007PhRvL..98n0402W. doi : 10.1103/PhysRevLett.98.140402. PMID  17501251. S2CID  30078867.
77. Серф, Николас Дж.; Клив, Ричард. «Информационная интерпретация квантовых кодов, исправляющих ошибки» (PDF) .
78. Пленио, Мартин Б.; Вирмани, Шашанк (2007). «Введение в меры запутывания». Квант. Инф. Комп . 1 :1–51. arXiv : Quant-ph/0504163 . Бибкод : 2005quant.ph..4163P.
79. Ведрал, Влатко (2002). «Роль относительной энтропии в квантовой теории информации». Обзоры современной физики . 74 (1): 197–234. arXiv : Quant-ph/0102094 . Бибкод : 2002РвМП...74..197В. doi : 10.1103/RevModPhys.74.197. S2CID  6370982.
80. Хилл, С; Вуттерс, В.К. (1997). «Запутывание пары квантовых битов». Физ. Преподобный Летт . 78 (26): 5022–5025. arXiv : Quant-ph/9703041 . Бибкод : 1997PhRvL..78.5022H. doi :10.1103/PhysRevLett.78.5022. S2CID  9173232.
81. Перес, Ашер (1993). Квантовая теория: концепции и методы . Клювер . стр. 260–270. ISBN 0-7923-2549-4. ОСЛК  28854083.
82. Волчовер, Натали (25 апреля 2014 г.). «Новая квантовая теория может объяснить течение времени». www.wired.com . Журнал Кванта . Проверено 27 апреля 2014 г.
83. Лами, Людовико; Регула, Бартош (23 января 2023 г.). «В конце концов, второго закона манипулирования запутанностью не существует». Физика природы . 19 (2): 184–189. arXiv : 2111.02438 . Бибкод : 2023NatPh..19..184L. дои : 10.1038/s41567-022-01873-9. S2CID  242757348 . Проверено 17 февраля 2023 г.
84. Хуан, Ичен (21 марта 2014 г.). «Вычисление квантового диссонанса является NP-полным». Новый журнал физики . 16 (3): 033027. arXiv : 1305.5941 . Бибкод : 2014NJPh...16c3027H. дои : 10.1088/1367-2630/16/3/033027. S2CID  118556793.
85. Баумистер, Дик; Пан, Цзянь-Вэй; Мэттл, Клаус; Эйбл, Манфред; Вайнфуртер, Харальд и Цайлингер, Антон (1997). «Экспериментальная квантовая телепортация» (PDF) . Природа . 390 (6660): 575–579. arXiv : 1901.11004 . Бибкод : 1997Natur.390..575B. дои : 10.1038/37539. S2CID  4422887.
86. Джожа, Ричард; Линден, Ной (2002). «О роли запутанности в ускорении квантовых вычислений». Труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 459 (2036): 2011–2032. arXiv : Quant-ph/0201143 . Бибкод : 2003RSPSA.459.2011J. CiteSeerX 10.1.1.251.7637 . дои : 10.1098/rspa.2002.1097. S2CID  15470259. 
87. Экерт, Артур К. (1991). «Квантовая криптография, основанная на теореме Белла». Письма о физических отзывах . 67 (6): 661–663. Бибкод : 1991PhRvL..67..661E. doi : 10.1103/PhysRevLett.67.661. PMID  10044956. S2CID  27683254.
88. Инь, Хуан; Ю-Хуай Ли; Шэн-Кай Ляо; Мэн Ян; Юань Цао; Лян Чжан; Джи-Ган Рен; Вэнь-Цай Цай; Вэй-Юэ Лю; Шуан-Лин Ли; Ронг Шу; Юн-Мэй Хуан; Лэй Дэн; Ли Ли; Цян Чжан; Най-Ле Лю; Ю-Ао Чен; Чао-Ян Лу; Сян-Бин Ван; Фейху Сюй; Цзянь-Ю Ван; Ченг-Чжи Пэн; Артур К. Экерт; Цзянь-Вэй Пан (2020). «Безопасная квантовая криптография на основе запутанности на расстоянии более 1120 километров». Природа . 582 (7813): 501–505. Бибкод : 2020Natur.582..501Y. дои : 10.1038/s41586-020-2401-y. PMID  32541968. S2CID  219692094.
89. Реннер, Р.; Гисин, Н.; Краус, Б. (2005). «Теоретико-информационное доказательство безопасности протоколов QKD». Физический обзор А. 72 : 012332. arXiv : quant-ph/0502064 . doi : 10.1103/PhysRevA.72.012332. S2CID  119052621.
90. Пирандола, С.; УЛ Андерсен; Л. Банки; М. Берта; Д. Бунандар; Р. Колбек; Д. Энглунд; Т. Геринг; К. Лупо; К. Оттавиани; Х.Л. Перейра; М. Разави; Дж. Шамсул Шаари; М. Томамичел; В.Ц. Усенко; Г. Валлоне; П. Виллорези; П. Уоллден (2020). «Достижения квантовой криптографии». Адв. Опция Фотон . 12 (4): 1012–1236. arXiv : 1906.01645 . Бибкод : 2020AdOP...12.1012P. дои : 10.1364/AOP.361502. S2CID  174799187.
91. Китагава, Масахиро; Уэда, Масахито (1993). «Сжатые спиновые состояния» (PDF) . Физический обзор А. 47 (6): 5138–5143. Бибкод : 1993PhRvA..47.5138K. doi :10.1103/physreva.47.5138. hdl : 11094/77656 . ПМИД  9909547.
92. Вайнленд, диджей; Боллинджер, Джей-Джей; Итано, ВМ; Мур, Флорида; Хейнцен, диджей (1992). «Спиновое сжатие и уменьшение квантового шума в спектроскопии». Физический обзор А. 46 (11): 6797–6800 рандов. Бибкод : 1992PhRvA..46.6797W. doi : 10.1103/PhysRevA.46.R6797. ПМИД  9908086.
93. Голландия, MJ; Бернетт, К. (1993). «Интерферометрическое обнаружение оптических фазовых сдвигов на пределе Гейзенберга». Письма о физических отзывах . 71 (9): 1355–1358. Бибкод : 1993PhRvL..71.1355H. doi :10.1103/PhysRevLett.71.1355. ПМИД  10055519.
94. Шедболт, П.Дж.; Верде, MR; Перуццо, А.; Полити, А.; Лэнг, А.; Лобино, М.; Мэтьюз, JCF; Томпсон, Миннесота; О'Брайен, JL (2012). «Генерация, управление и измерение запутанности и смеси с помощью реконфигурируемой фотонной схемы». Природная фотоника . 6 (1): 45–59. arXiv : 1108.3309 . Бибкод : 2012NaPho...6...45S. дои : 10.1038/nphoton.2011.283. S2CID  56206588.
95. Акопян, Н. (2006). «Запутанные пары фотонов из полупроводниковых квантовых точек». Письма о физических отзывах . 96 (2): 130501. arXiv : quant-ph/0509060 . Бибкод : 2006PhRvL..96b0501D. doi : 10.1103/PhysRevLett.96.020501. PMID  16486553. S2CID  22040546.
96. Харди, Люсьен (1992). «Квантовая механика, локальные реалистические теории и лоренц-инвариантные реалистические теории». Письма о физических отзывах . 68 (20): 2981–2984. Бибкод : 1992PhRvL..68.2981H. doi : 10.1103/PhysRevLett.68.2981. ПМИД  10045577.
97. Георгиев, Данко; Коэн, Элиаху (2022). «Меры запутанности для двухчастичных квантовых историй». Физический обзор А. 106 (6): 062437. arXiv : 2212.07502 . Бибкод : 2022PhRvA.106f2437G. doi :10.1103/PhysRevA.106.062437. S2CID  254685902.
98. Ло Франко, Росарио; Компаньо, Джузеппе (14 июня 2018 г.). «Неотличимость элементарных систем как ресурс обработки квантовой информации». Письма о физических отзывах . 120 (24): 240403. arXiv : 1712.00706 . Бибкод : 2018PhRvL.120x0403L. doi : 10.1103/PhysRevLett.120.240403. PMID  29957003. S2CID  49562954.
99. Гурвитс, Л., Классическая детерминистская сложность проблемы Эдмондса и квантовая запутанность, в Трудах 35-го симпозиума ACM по теории вычислений, ACM Press, Нью-Йорк, 2003.
100. Гарибян, Севаг (2010). «Сильная NP-трудность проблемы квантовой разделимости». Квантовая информация и вычисления . 10 (3 и 4): 343–360. arXiv : 0810.4507 . дои : 10.26421/QIC10.3-4-11. S2CID  621887.
101. Хофманн, Хольгер Ф.; Такеучи, Сигеки (22 сентября 2003 г.). «Нарушение локальных соотношений неопределенностей как признак запутанности». Физический обзор А. 68 (3): 032103. arXiv : quant-ph/0212090 . Бибкод : 2003PhRvA..68c2103H. doi :10.1103/PhysRevA.68.032103. S2CID  54893300.
102. Гюне, Отфрид (18 марта 2004 г.). «Характеристика запутанности через отношения неопределенности». Письма о физических отзывах . 92 (11): 117903. arXiv : quant-ph/0306194 . Бибкод : 2004PhRvL..92k7903G. doi : 10.1103/PhysRevLett.92.117903. PMID  15089173. S2CID  5696147.
103. Гюне, Отфрид; Левенштейн, Мацей (24 августа 2004 г.). «Энтропийные соотношения неопределенностей и запутанность». Физический обзор А. 70 (2): 022316. arXiv : quant-ph/0403219 . Бибкод : 2004PhRvA..70b2316G. doi :10.1103/PhysRevA.70.022316. S2CID  118952931.
104. Хуан, Ичэнь (29 июля 2010 г.). «Критерии запутанности через соотношения неопределенностей с вогнутой функцией». Физический обзор А. 82 (1): 012335. Бибкод : 2010PhRvA..82a2335H. doi :10.1103/PhysRevA.82.012335.
105. Гюне, Отфрид; Тот, Геза (2009). «Обнаружение запутывания». Отчеты по физике . 474 (1–6): 1–75. arXiv : 0811.2803 . Бибкод : 2009PhR...474....1G. doi :10.1016/j.physrep.2009.02.004. S2CID  119288569.
106. Фриис, Николай; Витальяно, Джузеппе; Малик, Мехул; Хубер, Маркус (2019). «Сертификация запутанности от теории к эксперименту». Обзоры природы Физика . 1 : 72–87. arXiv : 1906.10929 . дои : 10.1038/s42254-018-0003-5. ISSN  2522-5820. S2CID  125658647.
107. Лейнаас, Джон Магне; Мирхейм, Ян; Оврум, Эйрик (2006). «Геометрические аспекты запутанности». Физический обзор А. 74 (1): 012313. arXiv : quant-ph/0605079 . Бибкод : 2006PhRvA..74a2313L. doi :10.1103/PhysRevA.74.012313. S2CID  119443360.
108. Саймон, Р. (2000). «Критерий разделимости Переса-Городецкого для систем непрерывных переменных». Письма о физических отзывах . 84 (12): 2726–2729. arXiv : Quant-ph/9909044 . Бибкод : 2000PhRvL..84.2726S. doi : 10.1103/PhysRevLett.84.2726. PMID  11017310. S2CID  11664720.
109. Дуань, Лу-Мин; Гидке, Г.; Сирак, Дж.И.; Золлер, П. (2000). «Критерий неразделимости систем непрерывных переменных». Письма о физических отзывах . 84 (12): 2722–2725. arXiv : Quant-ph/9908056 . Бибкод : 2000PhRvL..84.2722D. doi : 10.1103/PhysRevLett.84.2722. PMID  11017309. S2CID  9948874.
110. Вернер, РФ; Вольф, ММ (2001). «Связанные запутанные гауссовы состояния». Письма о физических отзывах . 86 (16): 3658–3661. arXiv : Quant-ph/0009118 . Бибкод : 2001PhRvL..86.3658W. doi : 10.1103/PhysRevLett.86.3658. PMID  11328047. S2CID  20897950.
111. Щукин, Е.; Фогель, В. (2005). «Критерии неразделимости непрерывных двудольных квантовых состояний». Письма о физических отзывах . 95 (23): 230502. arXiv : quant-ph/0508132 . Бибкод : 2005PhRvL..95w0502S. doi : 10.1103/PhysRevLett.95.230502. PMID  16384285. S2CID  28595936.
112. Хиллери, Марк; Зубайри, М.Сухаил (2006). «Условия запутанности для двухрежимных состояний». Письма о физических отзывах . 96 (5): 050503. arXiv : quant-ph/0507168 . Бибкод : 2006PhRvL..96e0503H. doi : 10.1103/PhysRevLett.96.050503. PMID  16486912. S2CID  43756465.
113. Уолборн, С.; Такетани, Б.; Саллес, А.; Тоскано, Ф.; де Матос Фильо, Р. (2009). «Энтропийные критерии запутанности для непрерывных переменных». Письма о физических отзывах . 103 (16): 160505. arXiv : 0909.0147 . Бибкод : 2009PhRvL.103p0505W. doi : 10.1103/PhysRevLett.103.160505. PMID  19905682. S2CID  10523704.
114. Хуан, Ичен (октябрь 2013 г.). «Обнаружение запутанности: сложность и энтропийные критерии Шеннона». Транзакции IEEE по теории информации . 59 (10): 6774–6778. дои : 10.1109/TIT.2013.2257936. S2CID  7149863.
115. «Китай запускает первый в мире спутник квантовой науки» . Physicsworld.com . 16 августа 2016 г. Проверено 7 декабря 2021 г.
116. Инь, Хуан; Цао, Юань; Ли, Ю-Хуай; Ляо, Шэн-Кай; Чжан, Лян; Рен, Джи-Ганг; Цай, Вэнь-Ци; Лю, Вэй-Юэ; Ли, Бо; Дай, Хуэй; Ли, Гуан-Бин; Лу, Ци-Мин; Гонг, Юн-Хонг; Сюй, Ю; Ли, Шуан-Линь; Ли, Фэн-Чжи; Инь, Я-Юнь; Цзян, Цзы-Цин; Ли, Мин; Цзя, Цзянь-Цзюнь; Рен, Ге; Он, Донг; Чжоу, И-Линь; Чжан, Сяо-Сян; Ван, На; Чанг, Сян; Чжу, Чжэнь-Цай; Лю, Най-Ле; Чен, Ю-Ао; Лу, Чао-Ян; Шу, Ронг; Пэн, Ченг-Чжи; Ван, Цзянь-Ю; Пан, Цзянь-Вэй (2017). «Спутниковое распространение запутывания на расстоянии более 1200 километров». Наука . 356 (6343): 1140–1144. arXiv : 1707.01339 . дои : 10.1126/science.aan3211 . ПМИД  28619937.
117. «Китайский квантовый спутник совершает« жуткие действия »на рекордном расстоянии» . 14 июня 2017 г.
118. Фрэнк Дженсен: Введение в вычислительную химию. Уайли, 2007, ISBN 978-0-470-01187-4 . 
119. Ициаррис (10 мая 2010 г.). «Распутывание квантовой запутанности фотосинтеза: ученые Беркли проливают новый свет на секреты зеленых растений - Лаборатория Беркли». Информационный центр лаборатории Беркли . Проверено 23 августа 2023 г.
120. Мохан Саровар, Акихито Ишизаки, Грэм Р. Флеминг, К. Биргитта Уэйли: Квантовая запутанность в фотосинтетических светособирающих комплексах. arXiv : 0905.3787.
121. Темпелаар, Р.; Янсен, TLC; Кнестер, Дж. (2014). «Вибрационные биения скрывают доказательства электронной когерентности в светособирающем комплексе FMO». Журнал физической химии Б. 118 (45): 12865–12872. дои : 10.1021/jp510074q. ПМИД  25321492.
122. Кристенсон, Н.; Кауфманн, ХФ; Пуллеритс, Т.; Манкал, Т. (2012). «Происхождение долгоживущих когерентностей в светособирающих комплексах». Журнал физической химии Б. 116 (25): 7449–7454. arXiv : 1201.6325 . Бибкод : 2012arXiv1201.6325C. дои : 10.1021/jp304649c. ПМЦ 3789255 . ПМИД  22642682. 
123. Колли, А.; О'Рейли, Э.Дж.; Скоулз, Джорджия; Олайя-Кастро, А. (2012). «Фундаментальная роль квантованных вибраций в когерентном сборе света криптофитными водорослями». Журнал химической физики . 137 (17): 174109. arXiv : 1203.5056 . Бибкод : 2012JChPh.137q4109K. дои : 10.1063/1.4764100. PMID  23145719. S2CID  20156821.
124. Буткус, В.; Зигмантас, Д.; Валкунас, Л.; Абрамавичюс, Д. (2012). «Колебательная и электронная когерентности в 2D-спектре молекулярных систем». хим. Физ. Летт . 545 (30): 40–43. arXiv : 1201.2753 . Бибкод : 2012CPL...545...40B. дои : 10.1016/j.cplett.2012.07.014. S2CID  96663719.
125. Тивари, В.; Питерс, ВК; Йонас, DM (2013). «Электронный резонанс с антикоррелированными вибрациями пигмента управляет фотосинтетической передачей энергии за пределами адиабатической структуры». Труды Национальной академии наук США . 110 (4): 1203–1208. дои : 10.1073/pnas.1211157110 . ПМК 3557059 . ПМИД  23267114. 
126. Тирхауг, Э.; Зидек, К.; Достал, Дж.; Бина, Д.; Зигмантас, Д. (2016). «Экситонная структура и перенос энергии в комплексе Фенны-Мэтьюза-Олсона». Журнал писем по физической химии . 7 (9): 1653–1660. doi : 10.1021/acs.jpclett.6b00534. PMID  27082631. S2CID  26355154.
127. Фудзихаси, Ю.; Флеминг, Г. Р.; Ишизаки, А. (2015). «Влияние флуктуаций, вызванных окружающей средой, на квантово-механически смешанные электронные и колебательные пигментные состояния при фотосинтетической передаче энергии и двумерных электронных спектрах». Журнал химической физики . 142 (21): 212403. arXiv : 1505.05281 . Бибкод : 2015JChPh.142u2403F. дои : 10.1063/1.4914302. PMID  26049423. S2CID  1082742.
128. «Квантовая запутанность, реализованная между далекими большими объектами». физ.орг . Проверено 9 октября 2020 г.
129. Томас, Родриго А.; Парняк, Михал; Остфельдт, Кристоффер; Мёллер, Кристоффер Б.; Бэрентсен, Кристиан; Цатурян, Егише; Шлиссер, Альберт; Аппель, Юрген; Цойтен, Эмиль; Ползик, Евгений С. (21 сентября 2020 г.). «Запутывание между отдаленными макроскопическими механическими и спиновыми системами». Физика природы . 17 (2): 228–233. arXiv : 2003.11310 . дои : 10.1038/s41567-020-1031-5. ISSN  1745-2481. S2CID  214641162 . Проверено 9 октября 2020 г.
130. «Вибрирующие пластики барабанов запутаны квантовомеханически» . Мир физики . 17 мая 2021 г. Проверено 14 июня 2021 г.
131. Лепине, Лор Мерсье де; Окелоен-Корппи, Каспар Ф.; Вулли, Мэтью Дж.; Силланпяя, Мика А. (7 мая 2021 г.). «Подсистема, свободная от квантовой механики, с механическими генераторами». Наука . 372 (6542): 625–629. arXiv : 2009.12902 . Бибкод : 2021Sci...372..625M. doi : 10.1126/science.abf5389. ISSN  0036-8075. PMID  33958476. S2CID  221971015 . Проверено 14 июня 2021 г.
132. Котлер, Шломи; Петерсон, Габриэль А.; Шоджаи, Эзад; Лекок, Флоран; Чичак, Катарина; Квятковский, Алекс; Геллер, Шон; Глэнси, Скотт; Нилл, Эмануэль; Симмондс, Раймонд В.; Аументадо, Хосе; Тойфель, Джон Д. (7 мая 2021 г.). «Прямое наблюдение детерминированной макроскопической запутанности». Наука . 372 (6542): 622–625. arXiv : 2004.05515 . Бибкод : 2021Sci...372..622K. doi : 10.1126/science.abf2998. ISSN  0036-8075. PMID  33958475. S2CID  233872863 . Проверено 14 июня 2021 г.
133. Марлетто, К.; Коулз, DM; Фэрроу, Т.; Ведрал, В. (2018). «Запутывание между живыми бактериями и квантованным светом, о чем свидетельствует расщепление Раби». Журнал физических коммуникаций . 2 (10): 101001. arXiv : 1702.08075 . Бибкод : 2018JPhCo...2j1001M. дои : 10.1088/2399-6528/aae224 . S2CID  119236759.
134. О'Каллаган, Джонатан (29 октября 2018 г.). «Бактерия Шредингера может стать важной вехой в квантовой биологии - недавний эксперимент, возможно, поставил живые организмы в состояние квантовой запутанности». Научный американец . Проверено 29 октября 2018 г.
135. Кришнанда, Т.; Марлетто, К.; Ведрал, В.; Патерностро, М.; Патерек, Т. (2018). «Исследование квантовых особенностей фотосинтезирующих организмов». npj Квантовая информация . 4 : 60. arXiv : 1711.06485 . Бибкод : 2018npjQI...4...60K. дои : 10.1038/s41534-018-0110-2 .
136. Персонал (7 декабря 2023 г.). «Физики впервые «запутывают» отдельные молекулы, открывая возможности для квантовых вычислений». Физика.орг . Архивировано из оригинала 8 декабря 2023 года . Проверено 8 декабря 2023 г.

дальнейшее чтение

• Альберт, Дэвид З.; Галчен, Ривка (2009). «Был ли Эйнштейн не прав?: Квантовая угроза специальной теории относительности». Научный американец . 300 (3): 32–39. doi : 10.1038/scientificamerican0309-32. ПМИД  19253771.
• Бенгтссон И.; Жичковский К. (2006). «Геометрия квантовых состояний». Введение в квантовую запутанность . Кембридж: Издательство Кембриджского университета.второе, исправленное издание (2017 г.)
• Баб, Джеффри (2019). «Квантовая запутанность и информация». Стэнфордская энциклопедия философии . Стэнфорд, Калифорния: Стэнфордский университет.
• Крамер Дж.Г. (2015). Квантовое рукопожатие: запутанность, нелокальность и транзакции . Спрингер Верлаг. ISBN 978-3-319-24642-0.
• Дуарте Ф.Дж. (2019). Основы квантовой запутанности . Бристоль, Великобритания: Институт физики. ISBN 978-0-7503-2226-3.
• Гюне О, Тот Г (2009). «Обнаружение запутывания». Отчеты по физике . 474 (1–6): 1–75. arXiv : 0811.2803 . Бибкод : 2009PhR...474....1G. doi :10.1016/j.physrep.2009.02.004. S2CID  119288569.
• Бхаскара В.С., Паниграхи ПК (2017). «Обобщенная мера совпадения для точной количественной оценки многочастичной запутанности в чистом состоянии с использованием тождества Лагранжа и клинового произведения». Квантовая обработка информации . 16 (5): 118. arXiv : 1607.00164 . Бибкод : 2017QuIP...16..118B. дои : 10.1007/s11128-017-1568-0. S2CID  43754114.
• Суэйн С.Н., Бхаскара В.С., Паниграхи ПК (2022 г.). «Обобщенная мера запутанности для систем с непрерывными переменными». Физ. Преподобный А. 105 (5): 052441. arXiv : 1706.01448 . Бибкод : 2022PhRvA.105e2441S. doi : 10.1103/PhysRevA.105.052441. S2CID  239885759.
• Джагер Г (2009). Запутывание, информация и интерпретация квантовой механики . Гейдельберг: Спрингер. ISBN 978-3-540-92127-1.
• Стюард Э.Г. (2008). Квантовая механика: ее раннее развитие и путь к запутанности . Издательство Имперского колледжа. ISBN 978-1-86094-978-4.

Внешние ссылки

• Пояснительное видео от журнала Scientific American
• Эксперимент по запутанности пар фотонов – интерактивный
• Аудио – Каин/Гей (2009) Запутывание актеров астрономии
• «Жуткие действия на расстоянии?»: Лекция Оппенгеймера, профессор Дэвид Мермин (Корнельский университет), ун. Калифорния, Беркли, 2008 г. Нематематическая популярная лекция на YouTube, опубликована в марте 2008 г.
• «Квантовая запутанность против классической корреляции» (интерактивная демонстрация)