Принцип исключения Паули

Правило квантовой механики: одинаковые фермионы не могут одновременно находиться в одном и том же квантовом состоянии.

Вольфганг Паули во время лекции в Копенгагене (1929 г.). ^[1] Вольфганг Паули сформулировал принцип исключения Паули.

В квантовой механике принцип исключения Паули гласит , что две или более идентичные частицы с полуцелыми спинами (то есть фермионы ) не могут одновременно занимать одно и то же квантовое состояние внутри системы, которая подчиняется законам квантовой механики . Этот принцип был сформулирован австрийским физиком Вольфгангом Паули в 1925 году для электронов , а затем распространен на все фермионы с помощью его теоремы о спин-статистике 1940 года.

В случае электронов в атомах принцип исключения можно сформулировать следующим образом: в многоэлектронном атоме невозможно, чтобы любые два электрона имели одинаковые два значения всех четырех их квантовых чисел , а именно: n , главное квантовое число ; ℓ — азимутальное квантовое число ; м _ℓ , магнитное квантовое число ; и m _s — спиновое квантовое число . Например, если два электрона находятся на одной и той же орбитали , то их значения n , ℓ и m _ℓ равны. В этом случае два значения пары m _s (спин) должны быть разными. Поскольку единственными двумя возможными значениями проекции спина m _s являются +1/2 и -1/2, отсюда следует, что один электрон должен иметь m _s = +1/2, а другой m _s = -1/2.

На частицы с целым спином ( бозоны ) не распространяется принцип Паули. Любое количество идентичных бозонов может занимать одно и то же квантовое состояние, например, фотоны, создаваемые лазером , или атомы, обнаруженные в конденсате Бозе-Эйнштейна .

Более строгое утверждение таково: при обмене двумя одинаковыми частицами полная ( многочастичная) волновая функция антисимметрична для фермионов и симметрична для бозонов. Это означает, что если поменять местами пространственную и спиновую координаты двух одинаковых частиц, то полная волновая функция меняет знак для фермионов, но не меняет знак для бозонов.

Итак, если бы гипотетически два фермиона находились в одном и том же состоянии — например, в одном и том же атоме на одной и той же орбитали с одинаковым спином — то их замена ничего бы не изменила и общая волновая функция не изменилась бы. Однако единственный способ, которым полная волновая функция может одновременно менять знак (что требуется для фермионов), а также оставаться неизменной, заключается в том, что такая функция должна быть равна нулю всюду, а значит, такое состояние не может существовать. Это рассуждение неприменимо к бозонам, поскольку знак не меняется.

Обзор

Принцип исключения Паули описывает поведение всех фермионов (частиц с полуцелым спином ), тогда как на бозонов (частиц с целым спином) распространяются другие принципы. Фермионы включают элементарные частицы, такие как кварки , электроны и нейтрино . Кроме того, барионы , такие как протоны и нейтроны ( субатомные частицы , состоящие из трех кварков) и некоторые атомы (например, гелий-3 ), являются фермионами и поэтому также описываются принципом исключения Паули. Атомы могут иметь разный общий спин, который определяет, являются ли они фермионами или бозонами: например, гелий-3 имеет спин 1/2 и, следовательно, является фермионом, тогда как гелий-4 имеет спин 0 и является бозоном. ^{[2] : 123–125} Принцип Паули лежит в основе многих свойств повседневной материи, от ее крупномасштабной стабильности до химического поведения атомов .

Полуцелое число спина означает, что значение собственного углового момента фермионов (приведенная постоянная Планка ) умножается на полуцелое число (1/2, 3/2, 5/2 и т. д.). В теории квантовой механики фермионы описываются антисимметричными состояниями . Напротив, частицы с целым спином (бозоны) имеют симметричные волновые функции и могут иметь одни и те же квантовые состояния. К бозонам относятся фотон , куперовские пары , отвечающие за сверхпроводимость , а также W- и Z-бозоны . Фермионы получили свое название от статистического распределения Ферми-Дирака , которому они подчиняются, а бозоны получили свое название от распределения Бозе-Эйнштейна . ${\displaystyle \hbar =h/2\pi }$

История

В начале 20 века стало очевидно, что атомы и молекулы с четным числом электронов химически более стабильны , чем атомы с нечетным числом электронов. Например, в статье Гилберта Н. Льюиса «Атом и молекула» 1916 года третий из шести постулатов химического поведения утверждает, что атом имеет тенденцию удерживать четное число электронов в любой данной оболочке, и особенно удерживать восемь электронов, которые, как он предполагал, обычно располагаются симметрично в восьми углах куба . ^[3] В 1919 году химик Ирвинг Ленгмюр предположил, что периодическую таблицу можно объяснить, если электроны в атоме каким-то образом связаны или сгруппированы. Считалось, что группы электронов занимают набор электронных оболочек вокруг ядра. ^[4] В 1922 году Нильс Бор обновил свою модель атома , предположив, что определенное количество электронов (например, 2, 8 и 18) соответствует стабильным «закрытым оболочкам». ^{[5] : 203}

Паули искал объяснение этим цифрам, которые поначалу были лишь эмпирическими . В то же время он пытался объяснить экспериментальные результаты эффекта Зеемана в атомной спектроскопии и ферромагнетизме . Он нашел существенную подсказку в статье Эдмунда К. Стоунера 1924 года , в которой указывалось, что для заданного значения главного квантового числа ( n ) число энергетических уровней одного электрона в спектрах щелочных металлов во внешнем Магнитное поле, в котором разделены все вырожденные энергетические уровни , равно числу электронов в замкнутой оболочке благородных газов при том же значении n . Это привело Паули к пониманию того, что сложное число электронов в закрытых оболочках можно свести к простому правилу: один электрон на состояние, если электронные состояния определяются с использованием четырех квантовых чисел. С этой целью он ввел новое двузначное квантовое число, идентифицированное Сэмюэлем Гаудсмитом и Джорджем Уленбеком как спин электрона . ^{[6] [7]}

Связь с симметрией квантового состояния

В своей Нобелевской лекции Паули разъяснил важность симметрии квантового состояния для принципа исключения: ^[8]

Среди различных классов симметрии наиболее важными (причем для двух частиц являются единственными) являются симметричный класс , в котором волновая функция не меняет своего значения при перестановке пространственных и спиновых координат двух частиц, и антисимметричный класс , в котором при такой перестановке волновая функция меняет знак... [Антисимметричный класс — это] правильная и общая волновая механическая формулировка принципа исключения.

Принцип исключения Паули с однозначной многочастичной волновой функцией эквивалентен требованию, чтобы волновая функция была антисимметричной относительно обмена . Если и пробегают базисные векторы гильбертова пространства , описывающего одночастичную систему, то тензорное произведение дает базисные векторы гильбертова пространства, описывающего систему из двух таких частиц. Любое двухчастичное состояние можно представить как суперпозицию (то есть сумму) этих базисных векторов: ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle |y\rangle }$ ${\displaystyle |x,y\rangle =|x\rangle \otimes |y\rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{x,y}A(x,y)|x,y\rangle ,}$

где каждый A ( x , y ) представляет собой (комплексный) скалярный коэффициент. Антисимметрия при обмене означает, что A ( x , y ) = − A ( y , x ) . Это подразумевает A ( x , y ) = 0, когда x = y , что является исключением Паули. Это верно для любого базиса, поскольку локальные изменения базиса сохраняют антисимметричные матрицы.

И наоборот, если диагональные величины A ( x , x ) равны нулю в каждом базисе , то компонент волновой функции

${\displaystyle A(x,y)=\langle \psi |x,y\rangle =\langle \psi |{\Big (}|x\rangle \otimes |y\rangle {\Big )}}$

обязательно антисимметричен. Для доказательства рассмотрим матричный элемент

${\displaystyle \langle \psi |{\Big (}(|x\rangle +|y\rangle )\otimes (|x\rangle +|y\rangle ){\Big )}.}$

Это ноль, потому что две частицы имеют нулевую вероятность находиться в состоянии суперпозиции . Но это равно ${\displaystyle |x\rangle +|y\rangle }$

${\displaystyle \langle \psi |x,x\rangle +\langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle +\langle \psi |y,y\rangle .}$

Первое и последнее члены являются диагональными элементами и равны нулю, а вся сумма равна нулю. Таким образом, элементы матрицы волновой функции подчиняются:

${\displaystyle \langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle =0,}$

или

${\displaystyle A(x,y)=-A(y,x).}$

Для системы с n > 2 частиц многочастичные базисные состояния становятся n -кратными тензорными произведениями одночастичных базисных состояний, а коэффициенты волновой функции отождествляются с n одночастичными состояниями. Условие антисимметрии гласит, что коэффициенты должны менять знак всякий раз, когда меняются местами любые два состояния: для любого . Принцип исключения является следствием того, что если для любого то Это показывает, что ни одна из n частиц не может находиться в одном и том же состоянии. ${\displaystyle A(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle A(\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{j},\ldots )=-A(\ldots ,x_{j},\ldots ,x_{i},\ldots )}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$ ${\displaystyle i\neq j,}$ ${\displaystyle A(\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{j},\ldots )=0.}$

Расширенная квантовая теория

Согласно теореме о спин-статистике , частицы с целым спином занимают симметричные квантовые состояния, а частицы с полуцелым спином - антисимметричные состояния; более того, принципы квантовой механики допускают только целые или полуцелые значения спина. В релятивистской квантовой теории поля принцип Паули следует из применения оператора вращения в мнимом времени к частицам с полуцелым спином.

В одном измерении бозоны, как и фермионы, могут подчиняться принципу исключения. Одномерный бозе-газ с отталкивающими взаимодействиями бесконечной силы с дельта-функцией эквивалентен газу свободных фермионов. Причина этого в том, что в одном измерении обмен частицами требует, чтобы они прошли друг через друга; при бесконечно сильном отталкивании этого не может быть. Эта модель описывается квантовым нелинейным уравнением Шрёдингера . В импульсном пространстве принцип исключения справедлив также для конечного отталкивания в бозе-газе с взаимодействиями с дельта-функцией ^[9] , а также для взаимодействующих спинов и модели Хаббарда в одном измерении, а также для других моделей, решаемых анзацем Бете . Основным состоянием в моделях, решаемых анзацем Бете, является ферми-сфера .

Приложения

Атомы

Принцип Паули помогает объяснить широкий спектр физических явлений. Одним из особенно важных последствий этого принципа является сложная структура электронной оболочки атомов и способ обмена атомами электронов, что объясняет разнообразие химических элементов и их химических комбинаций. Электрически нейтральный атом содержит связанные электроны, число которых равно количеству протонов в ядре . Электроны, будучи фермионами, не могут занимать то же квантовое состояние, что и другие электроны, поэтому электроны должны «складываться» внутри атома, т.е. иметь разные спины, находясь на одной и той же электронной орбитали, как описано ниже.

Примером может служить нейтральный атом гелия (He), который имеет два связанных электрона, оба из которых могут занимать состояния с наименьшей энергией ( 1s ), приобретая противоположный спин; поскольку спин является частью квантового состояния электрона, два электрона находятся в разных квантовых состояниях и не нарушают принцип Паули. Однако спин может принимать только два разных значения ( собственные значения ). В атоме лития (Li) с тремя связанными электронами третий электрон не может находиться в состоянии 1s и вместо этого должен занимать состояние с более высокой энергией. Самое низкое доступное состояние — 2s , так что основное состояние Li — 1s ² 2s . Точно так же все более крупные элементы должны иметь оболочки с последовательно более высокой энергией. Химические свойства элемента во многом зависят от количества электронов во внешней оболочке; Атомы с разным числом занятых электронных оболочек, но одинаковым количеством электронов во внешней оболочке, обладают сходными свойствами, что приводит к возникновению периодической таблицы элементов . ^{[10] : 214–218.}

Чтобы проверить принцип исключения Паули для атома гелия, Гордон Дрейк ^[11] провел очень точные расчеты для гипотетических состояний атома He, нарушающих его, которые называются пароническими состояниями . Позже К. Дейламян с соавт. ^{В работе [12]} для поиска паронного состояния 1s2s ¹ S ₀ , рассчитанного Дрейком, использовался атомно-лучевой спектрометр. Поиск не увенчался успехом и показал, что статистический вес этого паронического состояния имеет верхний предел5 × 10 ^-6 . (Принцип исключения подразумевает нулевой вес.)

Свойства твердого тела

В проводниках и полупроводниках имеется очень большое количество молекулярных орбиталей , которые эффективно образуют непрерывную зонную структуру энергетических уровней . В сильных проводниках ( металлах ) электроны настолько вырождены , что не могут даже внести большой вклад в теплоемкость металла . ^{[13] : 133–147} Многие механические, электрические, магнитные, оптические и химические свойства твердых тел являются прямым следствием исключения Паули.

Стабильность материи

Стабильность каждого электронного состояния в атоме описывается квантовой теорией атома, которая показывает, что близкое приближение электрона к ядру обязательно увеличивает кинетическую энергию электрона, что является применением принципа неопределенности Гейзенберга. ^[14] Однако стабильность больших систем со многими электронами и многими нуклонами — это другой вопрос, и он требует принципа исключения Паули. ^[15]

Было показано, что принцип запрета Паули отвечает за то, что обычное объемное вещество стабильно и занимает объем. Это предположение было впервые сделано в 1931 году Полем Эренфестом , который указал, что электроны каждого атома не могут все попасть на орбиталь с самой низкой энергией и должны занимать все более крупные оболочки. Таким образом, атомы занимают объем и не могут быть сжаты слишком близко друг к другу. ^[16]

Первое строгое доказательство было представлено в 1967 году Фрименом Дайсоном и Эндрю Ленардом (де), которые рассмотрели баланс сил притяжения (электрон-ядерных) и отталкивания (электрон-электронные и ядерно-ядерные) и показали, что обычная материя коллапсирует и занимает гораздо меньший объем без принципа Паули. ^{[17] [18]} Гораздо более простое доказательство было найдено позже Эллиотом Х. Либом и Уолтером Тиррингом в 1975 году. Они предоставили нижнюю границу квантовой энергии в терминах модели Томаса-Ферми , которая устойчива благодаря теореме Теллер . В доказательстве использовалась нижняя граница кинетической энергии, которая теперь называется неравенством Либа-Тирринга .

Следствием принципа Паули здесь является то, что электроны одного и того же спина удерживаются друг от друга за счет отталкивающего обменного взаимодействия , которое представляет собой короткодействующий эффект, действующий одновременно с дальнодействующей электростатической или кулоновской силой . Этот эффект частично ответственен за повседневное наблюдение в макроскопическом мире, согласно которому два твердых объекта не могут находиться в одном и том же месте в одно и то же время.

Астрофизика

Дайсон и Ленард не учли экстремальные магнитные или гравитационные силы, возникающие в некоторых астрономических объектах. В 1995 году Эллиот Либ и его коллеги показали, что принцип Паули по-прежнему приводит к стабильности в интенсивных магнитных полях, таких как нейтронные звезды , хотя и при гораздо более высокой плотности, чем в обычной материи. ^[19] Следствием общей теории относительности является то, что в достаточно интенсивных гравитационных полях материя коллапсирует, образуя черную дыру .

Астрономия представляет собой впечатляющую демонстрацию эффекта принципа Паули в виде белых карликов и нейтронных звезд . В обоих телах атомная структура нарушается под действием экстремального давления, но звезды удерживаются в гидростатическом равновесии за счет давления вырождения , также известного как давление Ферми. Эта экзотическая форма материи известна как вырожденная материя . Огромная гравитационная сила массы звезды обычно удерживается в равновесии за счет теплового давления , вызванного теплом, выделяемым при термоядерном синтезе в ядре звезды. У белых карликов, которые не подвергаются ядерному синтезу, сила, противодействующая гравитации, обеспечивается давлением электронного вырождения . В нейтронных звездах , подверженных еще более сильным гравитационным силам, электроны сливаются с протонами, образуя нейтроны. Нейтроны способны создавать еще более высокое давление вырождения, давление вырождения нейтронов , хотя и в более коротком диапазоне. Это может стабилизировать нейтронные звезды от дальнейшего коллапса, но при меньшем размере и более высокой плотности , чем у белого карлика. Нейтронные звезды — самые «жесткие» из известных объектов; их модуль Юнга (точнее, модуль объемного сжатия ) на 20 порядков больше, чем у алмаза . Однако даже эту огромную жесткость можно преодолеть гравитационным полем нейтронной звезды, масса которого превышает предел Толмана-Оппенгеймера-Волкова , что приводит к образованию черной дыры . ^{[20] : 286–287.}

Смотрите также

• Теорема о спиновой статистике
• Биржевое взаимодействие
• Обменная симметрия
• Статистика Ферми – Дирака
• ферми-дырка
• правило Хунда
• эффект Паули

Рекомендации

1. "Вольфганг Паули во время лекции в Копенгагене" . Проверено 11 сентября 2023 г.
2. Кеннет С. Крейн (5 ноября 1987 г.). Введение в ядерную физику . Уайли. ISBN 978-0-471-80553-3.
3. «Лайнус Полинг и природа химической связи: документальная история». Исследовательский центр специальных коллекций и архивов — Университет штата Орегон — через Scarc.library.oregonstate.edu.
4. Ленгмюр, Ирвинг (1919). «Расположение электронов в атомах и молекулах» (PDF) . Журнал Американского химического общества . 41 (6): 868–934. дои : 10.1021/ja02227a002. Архивировано из оригинала (PDF) 30 марта 2012 г. Проверено 1 сентября 2008 г.
5. Шавив, Глора (2010). Жизнь звезд: противоречивое зарождение и появление теории звездной структуры . Спрингер. ISBN 978-3-642-02087-2.
6. Штрауманн, Норберт (2004). «Роль принципа исключения атомов для звезд: исторический отчет». Приглашенный доклад на 12-м семинаре по ядерной астрофизике : 184–196. arXiv : Quant-ph/0403199 . Бибкод : 2004quant.ph..3199S. CiteSeerX 10.1.1.251.9585 . 
7. Паули, В. (1925). «Über den Zusammenhang des Abschlusses der Elektronengruppen im Atom mit der Komplexstruktur der Spektren». Zeitschrift für Physik . 31 (1): 765–783. Бибкод : 1925ZPhy...31..765P. дои : 10.1007/BF02980631. S2CID  122941900.
8. «Вольфганг Паули, Нобелевская лекция (13 декабря 1946 г.)» (PDF) .
9. А.Г. Изергин; В.Е. Корепин (июль 1982 г.). «Принцип Паули для одномерных бозонов и алгебраический анзац Бете» (PDF) . Письма по математической физике . 6 (4): 283–288. Бибкод : 1982LMaPh...6..283I. дои : 10.1007/BF00400323. S2CID  121829553.
10. Гриффитс, Дэвид Дж. (2004), Введение в квантовую механику (2-е изд.) , Прентис Холл, ISBN 0-13-111892-7
11. Дрейк, GWF (1989). «Предсказанные сдвиги энергии для «паронического» гелия». Физ. Преподобный А. 39 (2): 897–899. Бибкод : 1989PhRvA..39..897D. doi : 10.1103/PhysRevA.39.897. PMID  9901315. S2CID  35775478.
12. Деиламиан, К.; и другие. (1995). «Поиск малых нарушений постулата симметризации в возбужденном состоянии гелия». Физ. Преподобный Летт . 74 (24): 4787–4790. Бибкод : 1995PhRvL..74.4787D. doi : 10.1103/PhysRevLett.74.4787. ПМИД  10058599.
13. Киттель, Чарльз (2005), Введение в физику твердого тела (8-е изд.), США: John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-41526-8
14. Либ, Эллиот Х. (2002). «Стабильность материи и квантовая электродинамика». arXiv : math-ph/0209034 .
15. Это осознание приписывается Либу, Эллиотту Х. (2002). «Стабильность материи и квантовая электродинамика». arXiv : math-ph/0209034 .и Г. Л. Сьюэлл (2002). Квантовая механика и ее новая макрофизика . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-05832-6.Ф. Дж. Дайсону и А. Ленарду: Стабильность материи, части I и II ( J. Math. Phys. , 8 , 423–434 (1967); J. Math. Phys. , 9 , 698–711 (1968)).
16. Как описано Ф. Дж. Дайсоном (J.Math.Phys. 8 , 1538–1545 (1967)), Эренфест сделал это предложение в своем обращении по случаю вручения Паули медали Лоренца .
17. Ф. Дж. Дайсон и А. Ленард: Стабильность материи, части I и II ( J. Math. Phys. , 8 , 423–434 (1967); J. Math. Phys. , 9 , 698–711 (1968)).
18. Дайсон, Фриман (1967). «Энергия основного состояния конечной системы заряженных частиц». Дж. Математика. Физ . 8 (8): 1538–1545. Бибкод : 1967JMP.....8.1538D. дои : 10.1063/1.1705389.
19. Либ, Э.Х.; Потеря, М.; Соловей, Дж. П. (1995). «Устойчивость материи в магнитных полях». Письма о физических отзывах . 75 (6): 985–9. arXiv : cond-mat/9506047 . Бибкод : 1995PhRvL..75..985L. doi : 10.1103/PhysRevLett.75.985. PMID  10060179. S2CID  2794188.
20. Мартин Бойовальд (5 ноября 2012 г.). Вселенная: взгляд с точки зрения классической и квантовой гравитации . Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-3-527-66769-7.

Общий

• Дилл, Дэн (2006). «Глава 3.5, Многоэлектронные атомы: ферми-дырки и ферми-кучи». Заметки по общей химии (2-е изд.) . У. Х. Фриман. ISBN 1-4292-0068-5.
• Либофф, Ричард Л. (2002). Введение в квантовую механику . Аддисон-Уэсли. ISBN 0-8053-8714-5.
• Массими, Микела (2005). Принцип исключения Паули . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-83911-4.
• Типлер, Пол; Ллевелин, Ральф (2002). Современная физика (4-е изд.). У. Х. Фриман. ISBN 0-7167-4345-0.
• Шерри, Эрик (2007). Таблица Менделеева: ее история и значение . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-530573-9.

Внешние ссылки

• Нобелевская лекция: Принцип исключения и квантовая механика. Отчет Паули о развитии принципа исключения.