Вырождение материи происходит, когда принцип запрета Паули существенно изменяет состояние материи при низкой температуре. Этот термин используется в астрофизике для обозначения плотных звездных объектов, таких как белые карлики и нейтронные звезды , где одного лишь теплового давления недостаточно, чтобы избежать гравитационного коллапса . Этот термин также применим к металлам в приближении ферми-газа .
Вырожденная материя обычно моделируется как идеальный ферми-газ , ансамбль невзаимодействующих фермионов. В квантовомеханическом описании частицы, ограниченные конечным объемом, могут принимать только дискретный набор энергий, называемый квантовыми состояниями . Принцип Паули не позволяет идентичным фермионам занимать одно и то же квантовое состояние. При самой низкой полной энергии (когда тепловая энергия частиц незначительна) все квантовые состояния с самой низкой энергией заполняются. Это состояние называется полным вырождением. Это давление вырождения остается отличным от нуля даже при абсолютной нулевой температуре. [1] [2] Добавление частиц или уменьшение объема переводит частицы в квантовые состояния с более высокой энергией. В этой ситуации требуется сила сжатия, которая проявляется в виде противодействующего давления. Ключевой особенностью является то, что это давление вырождения не зависит от температуры, а только от плотности фермионов. Давление вырождения удерживает плотные звезды в равновесии независимо от тепловой структуры звезды.
Вырожденная масса, фермионы которой имеют скорости, близкие к скорости света (кинетическая энергия частицы больше энергии ее массы покоя ), называется релятивистской вырожденной материей .
Концепция вырожденных звезд , звездных объектов, состоящих из выродившейся материи, изначально была разработана совместными усилиями Артура Эддингтона , Ральфа Фаулера и Артура Милна . Эддингтон предположил, что атомы Сириуса Б почти полностью ионизированы и плотно упакованы. Фаулер описал белые карлики как состоящие из газа частиц, которые разлагаются при низкой температуре; он также отметил, что обычные атомы во многом схожи с точки зрения заполнения энергетических уровней фермионами. [3] Милн предположил, что вырожденная материя обнаруживается в большинстве ядер звезд, а не только в компактных звездах . [4]
Вырожденная материя проявляет квантово-механические свойства, когда температура фермионной системы приближается к абсолютному нулю . [5] :30 Эти свойства являются результатом сочетания принципа Паули и квантового ограничения . Принцип Паули допускает только один фермион в каждом квантовом состоянии, а ограничение гарантирует, что энергия этих состояний увеличивается по мере их заполнения. Самые низкие состояния заполняются, и фермионы вынуждены занимать состояния с высокой энергией даже при низкой температуре.
Хотя принцип Паули и распределение Ферми-Дирака применимы ко всей материи, интересные случаи вырожденной материи связаны с системами многих фермионов. Эти случаи можно понять с помощью модели газа Ферми . Примеры включают электроны в металлах и звездах белых карликов, а также нейтроны в нейтронных звездах. [6] : 436 Электроны удерживаются кулоновским притяжением к ядрам положительных ионов; нейтроны удерживаются гравитационным притяжением. Фермионы, вытесненные на более высокие уровни в соответствии с принципом Паули, оказывают давление, предотвращая дальнейшее сжатие.
Распределение фермионов по квантовым состояниям, ранжированным по энергии, называется распределением Ферми-Дирака . [5] : 30 Вырожденная материя демонстрирует результаты распределения Ферми-Дирака.
В отличие от классического идеального газа , давление которого пропорционально его температуре , где P — давление, k B — постоянная Больцмана , N — количество частиц (обычно атомов или молекул), T — температура, а V — объём, давление оказываемое вырожденным веществом, слабо зависит от его температуры. В частности, давление остается отличным от нуля даже при абсолютной нулевой температуре. При относительно низких плотностях давление полностью вырожденного газа можно определить, рассматривая систему как идеальный ферми-газ, где m — масса отдельных частиц, составляющих газ. При очень высоких плотностях, когда большинство частиц вынуждены переходить в квантовые состояния с релятивистскими энергиями , давление определяется выражением где K — еще одна константа пропорциональности, зависящая от свойств частиц, составляющих газ. [7]
Вся материя испытывает как нормальное тепловое давление, так и давление вырождения, но в обычно встречающихся газах тепловое давление доминирует настолько, что давлением вырождения можно пренебречь. Точно так же вырожденная материя все еще имеет нормальное тепловое давление; давление вырождения доминирует до такой степени, что температура оказывает незначительное влияние на полное давление. На соседнем рисунке показано тепловое давление (красная линия) и полное давление (синяя линия) в ферми-газе, причем разница между ними представляет собой давление вырождения. При понижении температуры плотность и давление вырождения увеличиваются до тех пор, пока давление вырождения не составит большую часть общего давления.
Хотя давление вырождения обычно доминирует при чрезвычайно высоких плотностях, именно соотношение между давлением вырождения и тепловым давлением определяет вырождение. При достаточно резком повышении температуры (например, во время гелиевой вспышки красного гиганта ) материя может стать невырожденной без снижения своей плотности.
Давление вырождения вносит свой вклад в давление обычных твердых тел, но их обычно не считают вырожденным веществом, поскольку значительный вклад в их давление вносят электрическое отталкивание атомных ядер и экранирование ядер друг от друга электронами. Модель свободных электронов металлов выводит их физические свойства, рассматривая только электроны проводимости как вырожденный газ, в то время как большинство электронов считаются занимающими связанные квантовые состояния. Это твердое состояние контрастирует с вырожденной материей, образующей тело белого карлика, где большинство электронов можно рассматривать как занимающие состояния импульса свободных частиц.
Экзотические примеры вырожденной материи включают нейтронно-вырожденную материю, странную материю , металлический водород и материю белых карликов.
Вырожденные газы — это газы, состоящие из фермионов , таких как электроны, протоны и нейтроны, а не из молекул обычного вещества. Два примера — электронный газ в обычных металлах и внутри белых карликов. Согласно принципу Паули, в каждом квантовом состоянии может находиться только один фермион. В вырожденном газе все квантовые состояния заполнены до энергии Ферми. Большинство звезд противодействуют собственной гравитации за счет нормального давления теплового газа, в то время как в звездах белых карликов поддерживающая сила возникает из-за давления вырождения электронного газа внутри них. В нейтронных звездах вырожденными частицами являются нейтроны.
Фермионный газ, в котором все квантовые состояния ниже заданного уровня энергии заполнены, называется полностью вырожденным фермионным газом. Разница между этим энергетическим уровнем и самым низким энергетическим уровнем известна как энергия Ферми.
В обычном фермионном газе, в котором доминируют тепловые эффекты, большинство доступных энергетических уровней электронов незаполнены, и электроны могут свободно переходить в эти состояния. По мере увеличения плотности частиц электроны постепенно заполняют состояния с более низкой энергией, а дополнительные электроны вынуждены занимать состояния с более высокой энергией даже при низких температурах. Вырожденные газы сильно сопротивляются дальнейшему сжатию, поскольку электроны не могут перейти на уже заполненные более низкие энергетические уровни из-за принципа Паули. Поскольку электроны не могут отдавать энергию, переходя в состояния с более низкой энергией, никакая тепловая энергия не может быть извлечена. Тем не менее, импульс фермионов в фермионном газе создает давление, называемое «давлением вырождения».
При высоких плотностях материя становится вырожденным газом, когда все электроны отрываются от родительских атомов. Ядро звезды, как только прекращаются реакции ядерного синтеза водорода , становится совокупностью положительно заряженных ионов , в основном ядер гелия и углерода, плавающих в море электронов, оторванных от ядер. Вырожденный газ является почти идеальным проводником тепла и не подчиняется обычным газовым законам. Белые карлики светятся не потому, что они генерируют энергию, а потому, что они улавливают большое количество тепла, которое постепенно излучается. Обычный газ оказывает более высокое давление при нагревании и расширении, но давление в вырожденном газе не зависит от температуры. Когда газ становится сверхсжатым, частицы располагаются напротив друг друга, образуя вырожденный газ, который ведет себя больше как твердое тело. В вырожденных газах кинетическая энергия электронов довольно высока, а скорость столкновений между электронами и другими частицами довольно мала, поэтому вырожденные электроны могут перемещаться на большие расстояния со скоростями, приближающимися к скорости света. Вместо температуры давление в вырожденном газе зависит только от скорости вырожденных частиц; однако добавление тепла не увеличивает скорость большинства электронов, поскольку они застревают в полностью занятых квантовых состояниях. Давление увеличивается только за счет массы частиц, что увеличивает гравитационную силу, сближающую частицы. Следовательно, это явление противоположно тому, которое обычно наблюдается в материи: если масса материи увеличивается, объект становится больше. В вырожденном газе, когда масса увеличивается, частицы становятся ближе друг к другу из-за силы тяжести (и давление увеличивается), поэтому объект становится меньше. Вырожденный газ можно сжимать до очень высоких плотностей, типичные значения которых находятся в диапазоне 10 000 килограммов на кубический сантиметр.
Существует верхний предел массы электронно-вырожденного объекта, предел Чандрасекара , за пределами которого давление электронного вырождения не может поддерживать объект от коллапса. Предел составляет примерно 1,44 [8] солнечных масс для объектов с типичным составом, ожидаемым для звезд белых карликов (углерод и кислород с двумя барионами на электрон). Такое ограничение массы подходит только для звезды, поддерживаемой идеальным давлением вырождения электронов под действием ньютоновской гравитации; в общей теории относительности и с реалистичными поправками Кулона соответствующий предел массы составляет около 1,38 массы Солнца. [9] Предел также может меняться в зависимости от химического состава объекта, поскольку он влияет на соотношение массы к количеству присутствующих электронов. Вращение объекта, которое противодействует силе гравитации, также меняет предел для любого конкретного объекта. Небесные объекты ниже этого предела — это белые карлики , образовавшиеся в результате постепенного сжатия ядер звезд , у которых заканчивается топливо. Во время этого сжатия в ядре образуется электронно-вырожденный газ, обеспечивающий достаточное давление вырождения по мере его сжатия, чтобы противостоять дальнейшему коллапсу. Выше этого предела массы вместо этого может образоваться нейтронная звезда (в основном поддерживаемая давлением нейтронного вырождения) или черная дыра .
Нейтронное вырождение аналогично электронному вырождению и существует в нейтронных звездах , которые частично поддерживаются давлением вырожденного нейтронного газа. [10] Нейтронные звезды образуются либо непосредственно из сверхновых звезд с массами от 10 до 25 M ☉ ( солнечные массы ), либо белыми карликами , приобретающими массу, превышающую предел Чандрасекара 1,44 M ☉ , обычно либо в результате слияния или путем питания от близкого бинарного партнера. Выше предела Чандрасекара гравитационное давление в ядре превышает давление вырождения электронов, и электроны начинают объединяться с протонами с образованием нейтронов (посредством обратного бета-распада , также называемого захватом электронов ). В результате получается чрезвычайно компактная звезда, состоящая из «ядерной материи», которая представляет собой преимущественно вырожденный нейтронный газ с небольшой примесью вырожденного протонного и электронного газов.
Нейтроны в вырожденном нейтронном газе расположены гораздо ближе, чем электроны в электрон-вырожденном газе, потому что более массивный нейтрон имеет гораздо более короткую длину волны при данной энергии. Это явление усугубляется тем, что давление внутри нейтронных звезд намного выше, чем у белых карликов. Увеличение давления вызвано тем, что компактность нейтронной звезды приводит к тому, что гравитационные силы намного выше, чем в менее компактном теле с аналогичной массой. В результате получается звезда диаметром порядка тысячной диаметра белого карлика.
Свойства нейтронной материи устанавливают верхний предел массы нейтронной звезды , предел Толмана-Оппенгеймера-Волкова , который аналогичен пределу Чандрасекара для звезд белых карликов .
Достаточно плотная материя, содержащая протоны, испытывает давление вырождения протонов, аналогично давлению электронного вырождения в электронно-вырожденной материи: протоны, заключенные в достаточно малом объеме, имеют большую неопределенность в своем импульсе из-за принципа неопределенности Гейзенберга . Однако, поскольку протоны намного массивнее электронов, тот же импульс представляет собой гораздо меньшую скорость для протонов, чем для электронов. В результате в веществе с примерно равным числом протонов и электронов давление протонного вырождения значительно меньше давления электронного вырождения, и протонное вырождение обычно моделируется как поправка к уравнениям состояния электронно-вырожденного вещества.
Ожидается, что при плотностях, превышающих те, которые поддерживаются нейтронным вырождением, возникнет кварковая материя . [11] Было предложено несколько вариантов этой гипотезы, которые представляют кварково-вырожденные состояния. Странная материя — это вырожденный газ кварков, который, как часто предполагается, содержит странные кварки в дополнение к обычным верхним и нижним кваркам. Цветные сверхпроводники представляют собой вырожденные кварковые газы, в которых кварки образуют пары аналогично куперовскому спариванию в электрических сверхпроводниках . Уравнения состояния для различных предлагаемых форм кварково-вырожденной материи широко различаются и обычно плохо определены из-за сложности моделирования сильных силовых взаимодействий.
Кварково-вырожденная материя может возникнуть в ядрах нейтронных звезд в зависимости от уравнений состояния нейтронно-вырожденной материи. Это также может произойти в гипотетических кварковых звездах , образовавшихся в результате коллапса объектов, превышающих предел массы Толмана-Оппенгеймера-Волкова для нейтронно-вырожденных объектов. Формируется ли вообще кварк-вырожденная материя в этих ситуациях, зависит от уравнений состояния как нейтронно-вырожденной материи, так и кварк-вырожденной материи, оба из которых плохо известны. Кварковые звезды считаются промежуточной категорией между нейтронными звездами и черными дырами. [12]
Квантовая механика использует слово «вырожденный» в двух смыслах: вырожденные уровни энергии и как низкотемпературный предел основного состояния для состояний материи. [6] : 437 Давление вырождения электронов возникает в системах основного состояния, невырожденных по энергетическим уровням. Термин «вырождение» происходит от работ по удельной теплоемкости газов, которые предшествовали использованию этого термина в квантовой механике.
В 1914 году Вальтер Нернст назвал снижение удельной теплоемкости газов при очень низкой температуре «вырождением»; он объяснил это квантовыми эффектами. В последующих работах Альберта Эйнштейна, Макса Планка и Эрвина Шрёдингера по квантовой термодинамике эффект при низких температурах стал называться «вырождением газа». [13] Полностью вырожденный газ не имеет объемной зависимости от давления, когда температура приближается к абсолютному нулю .
В начале 1927 года Энрико Ферми и отдельно Ллевеллин Томас разработали полуклассическую модель электронов в металле. [14] [15] Модель рассматривала электроны как газ. Позже, в 1927 году, Арнольд Зоммерфельд применил принцип Паули с помощью статистики Ферми-Дирака к этой модели электронного газа, вычислив удельную теплоемкость металлов; Результатом стала модель ферми-газа для металлов. Зоммерфельд назвал область низких температур с квантовыми эффектами «полностью вырожденным газом». [16]
Также в 1927 году Ральф Х. Фаулер применил модель Ферми к загадке стабильности звезд белых карликов. Этот подход был распространен на релятивистские модели в более поздних исследованиях и с работой Субраманьяна Чандрасекара стал общепринятой моделью стабильности звезд . [17]
В этой статье дан английский перевод оригинальной работы Энрико Ферми по квантованию одноатомного идеального газа.
