Принцип неопределенности

Основополагающий принцип квантовой физики

Каноническое правило коммутации для переменных положения q и импульса p частицы, 1927 г. pq − qp = h /2 πi . Принцип неопределенности Гейзенберга, 1927 г.

Принцип неопределенности , также известный как принцип неопределенности Гейзенберга , является фундаментальным понятием квантовой механики . В нем говорится, что существует предел точности, с которой могут быть одновременно известны определенные пары физических свойств, таких как положение и импульс. Другими словами, чем точнее измерено одно свойство, тем менее точно можно узнать другое свойство.

Более формально, принцип неопределенности — это любое из множества математических неравенств , устанавливающих фундаментальный предел произведения точности определенных связанных пар измерений в квантовой системе, таких как положение x и импульс p . ^[1] Такие парные переменные известны как дополнительные переменные или канонически сопряженные переменные .

Впервые введенное в 1927 году немецким физиком Вернером Гейзенбергом ^{[2] [3] [4] [5]} формальное неравенство, связывающее стандартное отклонение положения σ _x и стандартное отклонение импульса σ _p , было получено Эрлом Гессе Кеннардом ^[6 ] позже в том же году и Германом Вейлем ^[7] в 1928 году:

${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}~~}$

где ħ – приведенная постоянная Планка , . ${\displaystyle {\frac {h}{2\pi }}~~}$

Квинтэссенция квантовомеханического принципа неопределенности проявляется во многих формах, помимо положения-импульса. Соотношение энергия-время широко используется для связи времени жизни квантового состояния с измеренной шириной энергии, но его формальный вывод чреват запутанными вопросами о природе времени. Основной принцип был расширен во многих направлениях; его необходимо учитывать во многих видах фундаментальных физических измерений.

Позиция-импульс

Суперпозиция нескольких плоских волн с образованием волнового пакета. Этот волновой пакет становится все более локализованным с добавлением множества волн. Преобразование Фурье — это математическая операция, которая разделяет волновой пакет на отдельные плоские волны. Показанные здесь волны реальны только для иллюстративных целей; В квантовой механике волновая функция обычно сложна .

Крайне важно проиллюстрировать, как этот принцип применим к относительно понятным физическим ситуациям, поскольку он неразличим в макроскопических ^[8] масштабах, с которыми сталкиваются люди. Две альтернативные концепции квантовой физики предлагают разные объяснения принципа неопределенности. Картина принципа неопределенности в волновой механике более визуально интуитивна, но более абстрактная картина матричной механики формулирует его таким образом, что его легче обобщать.

Математически в волновой механике соотношение неопределенности между положением и импульсом возникает потому, что выражения волновой функции в двух соответствующих ортонормированных базисах в гильбертовом пространстве являются преобразованиями Фурье друг друга (т. е. положение и импульс являются сопряженными переменными ). Ненулевая функция и ее преобразование Фурье не могут быть одновременно четко локализованы. ^[9] Аналогичный компромисс между дисперсиями сопряженных Фурье возникает во всех системах, лежащих в основе анализа Фурье, например, в звуковых волнах: чистый тон представляет собой резкий выброс на одной частоте, в то время как его преобразование Фурье дает форму звуковой волны. во временной области, которая представляет собой полностью делокализованную синусоидальную волну. В квантовой механике два ключевых момента заключаются в том, что положение частицы принимает форму волны материи, а импульс является ее сопряженной Фурье, что обеспечивается соотношением де Бройля p = ħk , где k — волновое число .

В матричной механике , математической формулировке квантовой механики , любая пара некоммутирующих самосопряженных операторов, представляющих наблюдаемые , подчиняется аналогичным пределам неопределенности. Собственное состояние наблюдаемой представляет собой состояние волновой функции для определенного значения измерения (собственного значения). Например, если выполняется измерение наблюдаемой A , то система находится в определенном собственном состоянии Ψ этой наблюдаемой. Однако конкретное собственное состояние наблюдаемой A не обязательно должно быть собственным состоянием другой наблюдаемой B : если это так, то оно не имеет для него уникального связанного измерения, поскольку система не находится в собственном состоянии этой наблюдаемой. ^[10]

Визуализация

Принцип неопределенности можно визуализировать с помощью волновых функций в пространстве положения и импульса для одной бесспиновой частицы с массой в одном измерении.

Чем более локализована волновая функция в позиционном пространстве, тем больше вероятность того, что частица будет найдена с координатами положения в этой области, и, соответственно, волновая функция в импульсном пространстве менее локализована, поэтому возможные компоненты импульса, которые могла бы иметь частица, более широко распространены. И наоборот, чем более локализована волновая функция в пространстве импульса, тем больше вероятность того, что частица будет найдена с такими значениями компонентов импульса в этой области и, соответственно, тем менее локализована волновая функция в пространстве положения, поэтому координаты положения, которые может занять частица, равны более распространено. Эти волновые функции являются преобразованиями Фурье друг друга: математически принцип неопределенности выражает взаимосвязь между сопряженными переменными в преобразовании.

Волновые функции положения x и импульса p , соответствующие квантовым частицам. Непрозрачность цвета частиц соответствует плотности вероятности обнаружения частицы с положением x или компонентой импульса p .
Вверху: если длина волны λ неизвестна, то неизвестны также импульс p , волновой вектор k и энергия E (соотношения де Бройля). Поскольку частица более локализована в позиционном пространстве, Δ x меньше, чем для Δ p _x .
Внизу: если известно λ , то же самое известно и о p , k и E. Поскольку частица более локализована в пространстве импульсов, Δp меньше , чем для Δx .

Интерпретация волновой механики

Распространение волн де Бройля в 1d — действительная часть комплексной амплитуды выделена синим цветом, мнимая часть — зеленым. Вероятность (показанная как непрозрачность цвета ) обнаружения частицы в данной точке x распределена как форма волны, определенного положения частицы не существует. Когда амплитуда увеличивается выше нуля, кривизна меняет знак, поэтому амплитуда снова начинает уменьшаться, и наоборот - в результате получается переменная амплитуда: волна.

Согласно гипотезе де Бройля , каждый объект во Вселенной связан с волной . Таким образом, каждый объект, от элементарной частицы до атомов, молекул и далее, вплоть до планет и за его пределами, подчиняется принципу неопределенности.

Независимая от времени волновая функция одномодовой плоской волны с волновым числом k ₀ или импульсом p ₀ равна

$${\displaystyle \psi (x)\propto e^{ik_{0}x}=e^{ip_{0}x/\hbar }~.}$$

Правило Борна гласит, что это следует интерпретировать как функцию амплитуды плотности вероятности в том смысле, что вероятность найти частицу между a и b равна

$${\displaystyle \operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} x~.}$$

В случае одномодовой плоской волны это 1 , если и 0 в противном случае. Другими словами, положение частицы крайне неопределенно в том смысле, что она может находиться практически в любом месте волнового пакета. ${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$ ${\displaystyle X=x}$

С другой стороны, рассмотрим волновую функцию, которая представляет собой сумму многих волн , которую мы можем записать как

$${\displaystyle \psi (x)\propto \sum _{n}A_{n}e^{ip_{n}x/\hbar }~,}$$

An _{представляет}p _nпределу континуумаинтегралом

$${\displaystyle \psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp~,}$$

импульсном пространствеФурьеxpсопряженными переменными^[11] ${\displaystyle \varphi (p)}$ ${\displaystyle \varphi (p)}$ ${\displaystyle \psi (x)}$

Одним из способов количественной оценки точности положения и импульса является стандартное отклонение  σ . Поскольку это функция плотности вероятности позиции, мы вычисляем ее стандартное отклонение. ${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$

Точность положения улучшается, т.е. уменьшается σ _x , за счет использования множества плоских волн, тем самым ослабляя точность определения импульса, т.е. увеличивая σ _p . Другой способ выразить это состоит в том, что σ _x и σ _p находятся в обратной зависимости или, по крайней мере, ограничены снизу. Это принцип неопределенности, точным пределом которого является граница Кеннарда.

Доказательство неравенства Кеннарда с помощью волновой механики.

Нас интересуют дисперсии положения и импульса, определяемые как

$${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx-\left(\int _{-\infty }^{\infty }x\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx\right)^{2}}$$

$${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }p^{2}\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp-\left(\int _{-\infty }^{\infty }p\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp\right)^{2}~.}$$

Без ограничения общности будем считать, что средние исчезают, что равнозначно сдвигу начала наших координат. (Более общее доказательство, не делающее этого предположения, приведено ниже.) Это дает нам более простую форму

$${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx}$$

$${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }p^{2}\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp~.}$$

Функцию можно интерпретировать как вектор в функциональном пространстве . Мы можем определить скалярное произведение для пары функций u ( x ) и v ( x ) в этом векторном пространстве: ${\displaystyle f(x)=x\cdot \psi (x)}$

$${\displaystyle \langle u\mid v\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }u^{*}(x)\cdot v(x)\,dx,}$$

где звездочка обозначает комплексно-сопряженное число .

Определив этот внутренний продукт, отметим, что отклонение позиции можно записать как

$${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\langle f\mid f\rangle ~.}$$

Мы можем повторить это для импульса, интерпретируя функцию как вектор, но мы также можем воспользоваться тем фактом, что и являются преобразованиями Фурье друг друга. Оценим обратное преобразование Фурье путем интегрирования по частям : ${\displaystyle {\tilde {g}}(p)=p\cdot \varphi (p)}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \varphi (p)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}g(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {g}}(p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }p\cdot \varphi (p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {1}{2\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[p\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi (\chi )e^{-ip\chi /\hbar }\,d\chi \right]\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {i}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[{\cancel {\left.\psi (\chi )e^{-ip\chi /\hbar }\right|_{-\infty }^{\infty }}}-\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}e^{-ip\chi /\hbar }\,d\chi \right]\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {-i}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}e^{-ip\chi /\hbar }\,d\chi \,e^{ipx/\hbar }\,dp\\&=\left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\cdot \psi (x),\end{aligned}}}$$

где сокращенный член исчезает, поскольку волновая функция исчезает на бесконечности. Часто этот термин называют оператором импульса в позиционном пространстве. Применяя теорему Парсеваля , мы видим, что дисперсию импульса можно записать как ${\textstyle -i\hbar {\frac {d}{dx}}}$

$${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|{\tilde {g}}(p)|^{2}\,dp=\int _{-\infty }^{\infty }|g(x)|^{2}\,dx=\langle g\mid g\rangle .}$$

Неравенство Коши – Шварца утверждает, что

$${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}=\langle f\mid f\rangle \cdot \langle g\mid g\rangle \geq |\langle f\mid g\rangle |^{2}~.}$$

Квадрат модуля любого комплексного числа z можно выразить как

$${\displaystyle |z|^{2}={\Big (}{\text{Re}}(z){\Big )}^{2}+{\Big (}{\text{Im}}(z){\Big )}^{2}\geq {\Big (}{\text{Im}}(z){\Big )}^{2}=\left({\frac {z-z^{\ast }}{2i}}\right)^{2}.}$$

мы позволяем и подставляем их в приведенное выше уравнение, чтобы получить ${\displaystyle z=\langle f|g\rangle }$ ${\displaystyle z^{*}=\langle g\mid f\rangle }$

$${\displaystyle |\langle f\mid g\rangle |^{2}\geq \left({\frac {\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle }{2i}}\right)^{2}~.}$$

Остается только оценить эти внутренние продукты.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle ={}&\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\,x\cdot \left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\,\psi (x)\,dx\\&{}-\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\,\left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\cdot x\,\psi (x)\,dx\\={}&i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\left[\left(-x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)+{\frac {d(x\psi (x))}{dx}}\right]\,dx\\={}&i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\left[\left(-x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)+\psi (x)+\left(x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)\right]\,dx\\={}&i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\psi (x)\,dx\\={}&i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (x)|^{2}\,dx\\={}&i\hbar \end{aligned}}}$$

Подставляя это в приведенные выше неравенства, мы получаем

$${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}\geq |\langle f\mid g\rangle |^{2}\geq \left({\frac {\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle }{2i}}\right)^{2}=\left({\frac {i\hbar }{2i}}\right)^{2}={\frac {\hbar ^{2}}{4}}}$$

или извлечь квадратный корень

$${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}~.}$$

с равенством тогда и только тогда, когда p и x линейно зависимы. Обратите внимание, что единственная физика, задействованная в этом доказательстве, заключалась в том, что и являются волновыми функциями положения и импульса, которые являются преобразованиями Фурье друг друга. Аналогичный результат справедлив для любой пары сопряженных переменных. ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \varphi (p)}$

Интерпретация матричной механики

(Ссылка ^[11] )

В матричной механике такие наблюдаемые величины, как положение и импульс, представлены самосопряженными операторами. При рассмотрении пар наблюдаемых важной величиной является коммутатор . Для пары операторов Â и их коммутатор определяется как ${\displaystyle {\hat {B}}}$

$${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}.}$$

каноническое коммутационное соотношение

$${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar .}$$

Физический смысл некоммутативности можно понять, рассмотрев влияние коммутатора на собственные состояния положения и импульса . Пусть – правое собственное состояние положения с постоянным собственным значением x ₀ . По определению это означает, что применение коммутатора к дает ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {x}}|\psi \rangle =x_{0}|\psi \rangle .}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

$${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =({\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}})|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle ,}$$

Îтождественный оператор

Предположим, ради доказательства от противного , что это также правое собственное состояние импульса с постоянным собственным значением p ₀ . Если бы это было правдой, то можно было бы написать ${\displaystyle |\psi \rangle }$

$${\displaystyle ({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =(x_{0}{\hat {I}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =0.}$$

$${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle \neq 0.}$$

Когда состояние измеряется, оно проецируется на собственное состояние на основе соответствующей наблюдаемой. Например, если измеряется положение частицы, то состояние представляет собой собственное состояние положения. Однако это означает, что состояние не является собственным состоянием импульса, а скорее может быть представлено как сумма нескольких собственных состояний базиса импульса. Другими словами, импульс должен быть менее точным. Эту точность можно количественно оценить с помощью стандартных отклонений,

$${\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\langle {\hat {x}}^{2}\rangle -\langle {\hat {x}}\rangle ^{2}}}}$$

$${\displaystyle \sigma _{p}={\sqrt {\langle {\hat {p}}^{2}\rangle -\langle {\hat {p}}\rangle ^{2}}}.}$$

Как и в приведенной выше интерпретации волновой механики, можно увидеть компромисс между соответствующими точностью этих двух методов, количественно определяемый принципом неопределенности.

Примеры

(Ссылки ^[11] )

Стационарные состояния квантового гармонического осциллятора

Рассмотрим одномерный квантовый гармонический осциллятор. Операторы положения и импульса можно выразить через операторы рождения и уничтожения :

$${\displaystyle {\hat {x}}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}(a+a^{\dagger })}$$

$${\displaystyle {\hat {p}}=i{\sqrt {\frac {m\omega \hbar }{2}}}(a^{\dagger }-a).}$$

Используя стандартные правила для операторов рождения и уничтожения собственных состояний энергии,

$${\displaystyle a^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle }$$

$${\displaystyle a|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle ,}$$

$${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {\hbar }{m\omega }}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}$$

$${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\hbar m\omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\,.}$$

$${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}=\hbar \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\geq {\frac {\hbar }{2}}.~}$$

В частности, приведенная выше граница Кеннарда ^[6] является насыщенной для основного состояния n =0 , для которого плотность вероятности представляет собой просто нормальное распределение .

Квантовые гармонические осцилляторы с гауссовским начальным условием

Плотности вероятности положения (синий) и импульса (красный) для исходного гауссова распределения. Сверху вниз на анимации показаны случаи Ω = ω , Ω = 2 ω и Ω = ω /2 . Обратите внимание на компромисс между шириной распределений.

В квантовом гармоническом генераторе с характеристической угловой частотой ω поместите состояние, которое смещено от дна потенциала на некоторое смещение x ₀ как

$${\displaystyle \psi (x)=\left({\frac {m\Omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\exp {\left(-{\frac {m\Omega (x-x_{0})^{2}}{2\hbar }}\right)},}$$

ωраспространителем

$${\displaystyle |\Psi (x,t)|^{2}\sim {\mathcal {N}}\left(x_{0}\cos {(\omega t)},{\frac {\hbar }{2m\Omega }}\left(\cos ^{2}(\omega t)+{\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\right)}$$

$${\displaystyle |\Phi (p,t)|^{2}\sim {\mathcal {N}}\left(-mx_{0}\omega \sin(\omega t),{\frac {\hbar m\Omega }{2}}\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\right),}$$

µσ ²тригонометрические тождества ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{x}\sigma _{p}&={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)}}\\&={\frac {\hbar }{4}}{\sqrt {3+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-1\right)\cos {(4\omega t)}}}\end{aligned}}}$$

Из отношений

$${\displaystyle {\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\geq 2,\quad |\cos(4\omega t)|\leq 1,}$$

Ω = ω

$${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{4}}{\sqrt {3+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-1\right)}}={\frac {\hbar }{2}}.}$$

Когерентные состояния

Когерентное состояние — это правое собственное состояние оператора уничтожения .

$${\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle ,}$$

состояний Фока

$${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha ^{n} \over {\sqrt {n!}}}|n\rangle }$$

В картине, где когерентное состояние представляет собой массивную частицу в квантовом гармоническом осцилляторе, операторы положения и импульса могут быть выражены через операторы аннигиляции в тех же формулах, приведенных выше, и использоваться для расчета дисперсий:

$${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {\hbar }{2m\omega }},}$$

$${\displaystyle \sigma _{p}^{2}={\frac {\hbar m\omega }{2}}.}$$

$${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}\,{\sqrt {\frac {\hbar m\omega }{2}}}={\frac {\hbar }{2}}.}$$

сжатое когерентное состояние ${\textstyle {\sqrt {\hbar /2}}}$

Частица в коробке

Рассмотрим частицу в одномерном ящике длины . Собственные функции в пространстве положений и импульсов равны ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle \psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin(k_{n}x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{n}t},&0<x<L,\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$$

$${\displaystyle \varphi _{n}(p,t)={\sqrt {\frac {\pi L}{\hbar }}}\,\,{\frac {n\left(1-(-1)^{n}e^{-ikL}\right)e^{-i\omega _{n}t}}{\pi ^{2}n^{2}-k^{2}L^{2}}},}$$

соотношение де Бройля ${\textstyle \omega _{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar n^{2}}{8L^{2}m}}}$ ${\displaystyle p=\hbar k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {L^{2}}{12}}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}$$

$${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}.}$$

Следовательно, произведение стандартных отклонений равно

$${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}.}$$

${\displaystyle n=1,\,2,\,3,\,\ldots }$ ${\textstyle {\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}}$ ${\displaystyle n=1}$

$${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{3}}-2}}\approx 0.568\hbar >{\frac {\hbar }{2}}.}$$

Постоянный импульс

Плотность вероятности в пространстве положений первоначально гауссовского состояния, движущегося с минимально неопределенным постоянным импульсом в свободном пространстве

Предположим, что частица изначально имеет пространственную волновую функцию импульса, описываемую нормальным распределением вокруг некоторого постоянного импульса p ₀ в соответствии с

$${\displaystyle \varphi (p)=\left({\frac {x_{0}}{\hbar {\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}\exp \left({\frac {-x_{0}^{2}(p-p_{0})^{2}}{2\hbar ^{2}}}\right),}$$

безразмерность ${\textstyle x_{0}={\sqrt {\hbar /m\omega _{0}}}}$ ${\displaystyle \omega _{0}>0}$

$${\displaystyle \Phi (p,t)=\left({\frac {x_{0}}{\hbar {\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}\exp \left({\frac {-x_{0}^{2}(p-p_{0})^{2}}{2\hbar ^{2}}}-{\frac {ip^{2}t}{2m\hbar }}\right),}$$

$${\displaystyle \Psi (x,t)=\left({\frac {1}{x_{0}{\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}{\frac {e^{-x_{0}^{2}p_{0}^{2}/2\hbar ^{2}}}{\sqrt {1+i\omega _{0}t}}}\,\exp \left(-{\frac {(x-ix_{0}^{2}p_{0}/\hbar )^{2}}{2x_{0}^{2}(1+i\omega _{0}t)}}\right).}$$

Поскольку и , это можно интерпретировать как движение частицы с постоянным импульсом со сколь угодно высокой точностью. С другой стороны, стандартное отклонение позиции равно ${\displaystyle \langle p(t)\rangle =p_{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{p}(t)=\hbar /({\sqrt {2}}x_{0})}$

$${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {x_{0}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+\omega _{0}^{2}t^{2}}}}$$

$${\displaystyle \sigma _{x}(t)\sigma _{p}(t)={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {1+\omega _{0}^{2}t^{2}}}}$$

Принцип неопределенности энергии и времени

Ширина линии энергетического спектра в зависимости от времени жизни

Соотношение неопределенности энергии и времени, например

$${\displaystyle \Delta E\Delta t\gtrsim \hbar /2,}$$

^{[12][13] [14][15] [16]} ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta E}$ ${\displaystyle \tau _{\sqrt {1/2}}}$ ${\displaystyle \Delta E}$

$${\displaystyle \tau _{\sqrt {1/2}}\Delta E=\pi \hbar /4.}$$

распределению энергии Брита-Вигнера,^[17]

Неформальный, эвристический смысл этого принципа следующий: ^{[18] : 68} Состояние, существующее лишь короткое время, не может иметь определенную энергию. Чтобы иметь определенную энергию, частота состояния должна быть точно определена, а это требует, чтобы состояние зависало в течение многих циклов, что является обратной величиной требуемой точности. Например, в спектроскопии возбужденные состояния имеют конечное время жизни. По принципу неопределенности время-энергия они не имеют определенной энергии, и каждый раз при распаде выделяемая ими энергия немного отличается. Средняя энергия вылетающего фотона имеет пик на уровне теоретической энергии состояния, но распределение имеет конечную ширину, называемую естественной шириной линии . Быстро затухающие состояния имеют широкую ширину линии, а медленно затухающие состояния имеют узкую ширину. ^[19] Тот же эффект ширины линии также затрудняет определение массы покоя нестабильных, быстро распадающихся частиц в физике элементарных частиц . Чем быстрее распадается частица (чем короче ее время жизни), тем менее определенна ее масса (чем больше ширина частицы ).

Время в квантовой механике

Концепция «времени» в квантовой механике ставит множество проблем. ^[20] Квантовой теории измерения времени не существует; теория относительности фундаментальна для времени, и ее трудно включить в квантовую механику. ^[12] Хотя положение и импульс связаны с одной частицей, время является свойством системы: у него нет оператора, необходимого для соотношения Робертсона-Шредингера. ^[1] Математическая трактовка стабильных и нестабильных квантовых систем различается. ^[21] Эти факторы в совокупности делают принципы неопределенности энергии и времени спорными.

Можно выделить три понятия «времени»: ^[12] внешнее, внутреннее и наблюдаемое. Внешнее или лабораторное время видит экспериментатор; внутреннее время определяется изменениями динамических переменных, таких как стрелки часов или движение свободной частицы; наблюдаемое время касается времени как наблюдаемого, измерения событий, разделенных во времени.

Принцип внешней энергии-времени-неопределённости мог бы сказать, что для точного измерения энергии квантовой системы требуется интервал времени . ^[14] Однако Якир Ахаронов и Дэвид Бом ^{[22] [12]} показали, что в некоторых квантовых системах энергия может быть точно измерена за сколь угодно короткое время: принципы неопределенности внешнего времени не являются универсальными. ${\displaystyle \Delta E}$ ${\displaystyle \Delta t>h/\Delta E}$

Внутреннее время является основой для нескольких формулировок отношений неопределенности энергии и времени, включая соотношение Мандельштама-Тамма, обсуждаемое в следующем разделе. Физическая система, внутреннее время которой точно соответствует внешнему лабораторному времени, называется «часами». ^{[20] : 31}

Наблюдаемое время, измеряющее время между двумя событиями, остается проблемой для квантовых теорий; некоторый прогресс был достигнут в использовании концепций позитивных операторных мер . ^[12]

Мандельштам-Тамм

В 1945 году Леонид Мандельштам и Игорь Тамм вывели нерелятивистское соотношение неопределенности время-энергия следующим образом. ^{[23] [12]} Из механики Гейзенберга обобщенная теорема Эренфеста для наблюдаемой B без явной зависимости от времени, представленной самосопряженным оператором, связывает временную зависимость среднего значения со средним значением ее коммутатора с гамильтонианом: ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

$${\displaystyle {\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}={\frac {i}{\hbar }}\langle [{\hat {H}},{\hat {B}}]\rangle }$$

Затем значение подставляется в соотношение неопределенности Роберстона для оператора энергии и : ${\displaystyle \langle [{\hat {H}},{\hat {B}}]\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

$${\displaystyle \sigma _{H}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {H}},{\hat {B}}]\rangle \right|}$$

$${\displaystyle \sigma _{H}{\frac {\sigma _{B}}{\left|{\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}\right|}}\geq {\frac {\hbar }{2}},}$$

${\displaystyle \sigma _{H}}$ ${\displaystyle \sigma _{B}}$ ${\displaystyle \Delta E\equiv \sigma _{E}}$

$${\displaystyle \tau _{B}\equiv {\frac {\sigma _{B}}{\left|{\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}\right|}},}$$

tуравнение Шредингера^{[24] : 230} ${\displaystyle \Delta E\ \tau _{B}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$ ${\displaystyle \tau _{B}}$ ${\displaystyle \tau _{B}}$ ${\displaystyle \langle {\hat {B}}\rangle ,}$

• Время, в течение которого свободная квантовая частица проходит точку в пространстве, является более неопределенным, поскольку энергия состояния контролируется более точно: поскольку разброс во времени связан с разбросом положения частицы, а разброс энергии связан с разбросом по импульсу, это соотношение напрямую связано с неопределенностью положения и импульса. ^{[25] : 144} ${\displaystyle \Delta T=\hbar /2\Delta E.}$
• Дельта - частица , квазистабильная смесь кварков, связанных с протонами и нейтронами, имеет время жизни 10 ^-23 с, поэтому ее измеренная масса, эквивалентная энергии , 1232 МэВ/с ² , варьируется на плюс-минус 120 МэВ/с ² ; это изменение является внутренним и не вызвано ошибками измерения. ^{[25] : 144}
• Два энергетических состояния, энергии которых накладываются для создания составного состояния: ${\displaystyle \psi _{1},_{2}}$ ${\displaystyle E_{1},_{2},}$

$${\displaystyle \Psi (x,t)=a\psi _{1}(x)e^{-iE_{1}t/h}+b\psi _{2}(x)e^{-iE_{2}t/h}.}$$

Амплитуда вероятности этого состояния имеет зависящий от времени интерференционный член:

$${\displaystyle |\Psi (x,t)|^{2}=a^{2}|\psi _{1}(x)|^{2}+b^{2}|\psi _{2}(x)|^{2}+2ab\cos({\frac {E_{2}-E_{1}}{\hbar }}t).}$$

Период колебаний изменяется обратно пропорционально разности энергий . ^{[25] : 144} ${\displaystyle \tau =2\pi \hbar /(E_{2}-E_{1})}$

Каждый пример имеет различное значение неопределенности времени в зависимости от используемой наблюдаемой и состояния.

Квантовая теория поля

Некоторые формулировки квантовой теории поля используют в своих расчетах временные пары электрон-позитрон, называемые виртуальными частицами . Масса-энергия и время жизни этих частиц связаны соотношением неопределенности энергия-время. Энергия квантовых систем не известна с достаточной точностью, чтобы ограничить их поведение одной простой историей. Таким образом, влияние всех историй должно быть включено в квантовые расчеты, включая те, энергия которых намного больше или меньше, чем среднее значение измеренного/расчетного распределения энергии.

Принцип неопределенности энергии и времени не нарушает временно закона сохранения энергии ; это не означает, что энергию можно «заимствовать» у Вселенной, если она «возвращается» в течение короткого промежутка времени. ^{[25] : 145} Энергия Вселенной не всегда является точно известным параметром. ^[1] Когда события происходят через очень короткие промежутки времени, существует неопределенность в энергии этих событий.

Внутренняя квантовая неопределенность

Исторически принцип неопределенности путали ^{[26] [27]} с родственным эффектом в физике , называемым эффектом наблюдателя , который отмечает, что измерения определенных систем не могут быть выполнены, не затрагивая систему, ^{[28] [29]} , то есть не меняя ничего в системе. Гейзенберг использовал такой эффект наблюдателя на квантовом уровне (см. ниже) как физическое «объяснение» квантовой неопределенности. ^[30] Однако с тех пор стало яснее, что принцип неопределенности присущ свойствам всех волновых систем , ^[31] и что он возникает в квантовой механике просто из-за волновой природы материи всех квантовых объектов. ^[32] Таким образом, принцип неопределенности на самом деле утверждает фундаментальное свойство квантовых систем, а не является утверждением об успехе наблюдений современной технологии. ^[33]

Математический формализм

Начав с вывода Кеннарда неопределенности положения-импульса, Говард Перси Робертсон разработал ^{[34] [1]} формулировку для произвольных эрмитовых операторов -операторов , выраженных через их стандартное отклонение ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}}$

$${\displaystyle \sigma _{\mathcal {O}}={\sqrt {\langle {\hat {\mathcal {O}}}^{2}\rangle -\langle {\hat {\mathcal {O}}}\rangle ^{2}}},}$$

математическое ожиданиекоммутатор ${\displaystyle \langle {\mathcal {O}}\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

$${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}},}$$

а соотношение неопределенности Робертсона имеет вид

$${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|={\frac {1}{2}}\left|\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|,}$$

Эдвин Шрёдингер. ^[35] показали, как учесть корреляцию между операторами, что дает более сильное неравенство, известное как соотношение неопределенностей Робертсона-Шредингера , ^{[36] [1]}

${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left|{\frac {1}{2}}\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle \right|^{2}+\left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|^{2},}$

где используется антикоммутатор . ${\displaystyle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}={\hat {A}}{\hat {B}}+{\hat {B}}{\hat {A}}}$

Доказательство соотношения неопределенностей Шрёдингера.

Показанный здесь вывод включает и основывается на выводах, показанных Робертсоном, ^[34], Шрёдингером ^[36] и стандартными учебниками, такими как Гриффитс. ^{[25] : 138} Для любого эрмитова оператора , исходя из определения дисперсии , мы имеем ${\displaystyle {\hat {A}}}$

$${\displaystyle \sigma _{A}^{2}=\langle ({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi |({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi \rangle .}$$

мы позволяем и таким образом ${\displaystyle |f\rangle =|({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi \rangle }$

$${\displaystyle \sigma _{A}^{2}=\langle f\mid f\rangle \,.}$$

Аналогично для любого другого эрмитова оператора в том же состоянии ${\displaystyle {\hat {B}}}$

$${\displaystyle \sigma _{B}^{2}=\langle ({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle =\langle g\mid g\rangle }$$

для ${\displaystyle |g\rangle =|({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle .}$

Таким образом, произведение двух отклонений можно выразить как

Чтобы связать два вектора и , мы используем неравенство Коши–Шварца ^[37] , которое определяется как ${\displaystyle |f\rangle }$ ${\displaystyle |g\rangle }$

$${\displaystyle \langle f\mid f\rangle \langle g\mid g\rangle \geq |\langle f\mid g\rangle |^{2},}$$

и, таким образом, уравнение ( 1 ) можно записать как

Поскольку это вообще комплексное число, мы используем тот факт, что квадрат модуля любого комплексного числа определяется как , где – комплексно-сопряженное число . Квадрат модуля также можно выразить как ${\displaystyle \langle f\mid g\rangle }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|^{2}=zz^{*}}$ ${\displaystyle z^{*}}$ ${\displaystyle z}$

мы позволяем и подставляем их в приведенное выше уравнение, чтобы получить ${\displaystyle z=\langle f\mid g\rangle }$ ${\displaystyle z^{*}=\langle g\mid f\rangle }$

Внутренний продукт явно записывается как ${\displaystyle \langle f\mid g\rangle }$

$${\displaystyle \langle f\mid g\rangle =\langle ({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle ,}$$

и используя тот факт, что и являются эрмитовыми операторами, находим ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle f\mid g\rangle &=\langle \Psi |({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle \\[4pt]&=\langle \Psi \mid ({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {A}}\langle {\hat {B}}\rangle -{\hat {B}}\langle {\hat {A}}\rangle +\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle \\[4pt]&=\langle \Psi \mid {\hat {A}}{\hat {B}}\Psi \rangle -\langle \Psi \mid {\hat {A}}\langle {\hat {B}}\rangle \Psi \rangle -\langle \Psi \mid {\hat {B}}\langle {\hat {A}}\rangle \Psi \rangle +\langle \Psi \mid \langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle \Psi \rangle \\[4pt]&=\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle +\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle \\[4pt]&=\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle .\end{aligned}}}$$

Аналогично можно показать, что ${\displaystyle \langle g\mid f\rangle =\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle .}$

Таким образом, мы имеем

$${\displaystyle \langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle =\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\rangle +\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle =\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle }$$

и

$${\displaystyle \langle f\mid g\rangle +\langle g\mid f\rangle =\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle +\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle =\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -2\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle .}$$

Теперь мы подставим два приведенных выше уравнения обратно в уравнение. ( 4 ) и получим

$${\displaystyle |\langle f\mid g\rangle |^{2}={\Big (}{\frac {1}{2}}\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle {\Big )}^{2}+{\Big (}{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle {\Big )}^{2}\,.}$$

Подставив приведенное выше в уравнение ( 2 ), мы получаем соотношение неопределенностей Шредингера

$${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq {\sqrt {{\Big (}{\frac {1}{2}}\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle {\Big )}^{2}+{\Big (}{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle {\Big )}^{2}}}.}$$

В этом доказательстве есть проблема ^[38] , связанная с областью определения задействованных операторов. Чтобы доказательство имело смысл, вектор должен находиться в области определения неограниченного оператора , что не всегда так. Фактически соотношение неопределенности Робертсона неверно, если является угловой переменной и является производной по этой переменной. В этом примере коммутатор представляет собой ненулевую константу — точно так же, как в соотношении неопределенностей Гейзенберга — и все же существуют состояния, в которых произведение неопределенностей равно нулю. ^[39] (См. раздел контрпримеров ниже.) Эту проблему можно решить, используя вариационный метод доказательства, ^{[40] [41]} или работая с возведенной в степень версией канонических коммутационных соотношений. ^[39] ${\displaystyle {\hat {B}}|\Psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

Заметим, что в общей форме соотношения неопределенностей Робертсона–Шредингера нет необходимости предполагать, что операторы и являются самосопряженными операторами . Достаточно предположить, что это просто симметричные операторы . (Различие между этими двумя понятиями обычно замалчивается в физической литературе, где термин « эрмитиан» используется для одного или обоих классов операторов. См. главу 9 книги Холла ^[42] для подробного обсуждения этого важного, но технического различия. ) ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

Смешанные состояния

Соотношение неопределенностей Робертсона-Шредингера можно легко обобщить для описания смешанных состояний .

$${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left|{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (\rho \{A,B\})-\operatorname {tr} (\rho A)\operatorname {tr} (\rho B)\right|^{2}+\left|{\frac {1}{2i}}\operatorname {tr} (\rho [A,B])\right|^{2}.}$$

Соотношения неопределенности Макконе – Пати.

Соотношение неопределенностей Робертсона-Шредингера может быть тривиальным, если состояние системы выбрано как собственное состояние одной из наблюдаемых. Более сильные соотношения неопределенности, доказанные Лоренцо Макконе и Аруном К. Пати, дают нетривиальные оценки суммы дисперсий для двух несовместимых наблюдаемых. ^[43] (Более ранние работы по соотношениям неопределенностей, сформулированным как сумма дисперсий, включают, например, работу ^[44] Ичена Хуана.) Для двух некоммутирующих наблюдаемых и первого более сильного соотношения неопределенностей задается выражением ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

$${\displaystyle \sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}\geq \pm i\langle \Psi \mid [A,B]|\Psi \rangle +\mid \langle \Psi \mid (A\pm iB)\mid {\bar {\Psi }}\rangle |^{2},}$$

${\displaystyle \sigma _{A}^{2}=\langle \Psi |A^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi \mid A\mid \Psi \rangle ^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{B}^{2}=\langle \Psi |B^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi \mid B\mid \Psi \rangle ^{2}}$ ${\displaystyle |{\bar {\Psi }}\rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle \pm i\langle \Psi \mid [A,B]\mid \Psi \rangle }$

Второе более сильное соотношение неопределенностей имеет вид

$${\displaystyle \sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}\geq {\frac {1}{2}}|\langle {\bar {\Psi }}_{A+B}\mid (A+B)\mid \Psi \rangle |^{2}}$$

${\displaystyle |{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle |{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle (A+B)}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle (A+B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$

Улучшение соотношения неопределенностей Робертсона–Шредингера на основе разложения матрицы плотности

Неопределенность Робертсона-Шредингера можно улучшить, отметив, что она должна соблюдаться для всех компонентов в любом разложении матрицы плотности, заданной как ${\displaystyle \varrho _{k}}$

$${\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}\varrho _{k}.}$$

${\displaystyle p_{k}\geq 0}$ ${\displaystyle \sum _{k}p_{k}=1}$

$${\displaystyle \sum _{k}a_{k}\sum _{k}b_{k}\geq \left(\sum _{k}{\sqrt {a_{k}b_{k}}}\right)^{2}}$$

^[45] ${\displaystyle a_{k},b_{k}\geq 0}$

$${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left[\sum _{k}p_{k}L(\varrho _{k})\right]^{2},}$$

$${\displaystyle L(\varrho )={\sqrt {\left|{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (\rho \{A,B\})-\operatorname {tr} (\rho A)\operatorname {tr} (\rho B)\right|^{2}+\left|{\frac {1}{2i}}\operatorname {tr} (\rho [A,B])\right|^{2}}}.}$$

$${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left[\max _{p_{k},\varrho _{k}}\sum _{k}p_{k}L(\varrho _{k})\right]^{2},}$$

^[45]

Аналогичными рассуждениями можно вывести соотношение с выпуклой крышей в правой части ^[45]

$${\displaystyle \sigma _{A}^{2}F_{Q}[\varrho ,B]\geq 4\left[\min _{p_{k},\Psi _{k}}\sum _{k}p_{k}L(\vert \Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}\vert )\right]^{2}}$$

квантовую информацию Фишера ${\displaystyle F_{Q}[\varrho ,B]}$

$${\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}\vert \Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}\vert .}$$

квантовая информация Фишера^{[46] [47]}

Без выпуклой крыши следует более простое неравенство ^[48]

$${\displaystyle \sigma _{A}^{2}F_{Q}[\varrho ,B]\geq \vert \langle i[A,B]\rangle \vert ^{2},}$$

$${\displaystyle F_{Q}[\varrho ,B]\leq 4\sigma _{B},}$$

Фазовое пространство

В формулировке квантовой механики в фазовом пространстве соотношение Робертсона-Шредингера следует из условия положительности действительной функции «звезда-квадрат». Учитывая функцию Вигнера со звездным произведением ★ и функцию f , обычно верно следующее: ^[49] ${\displaystyle W(x,p)}$

$${\displaystyle \langle f^{*}\star f\rangle =\int (f^{*}\star f)\,W(x,p)\,dx\,dp\geq 0~.}$$

Выбирая , мы приходим к ${\displaystyle f=a+bx+cp}$

$${\displaystyle \langle f^{*}\star f\rangle ={\begin{bmatrix}a^{*}&b^{*}&c^{*}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x\star x\rangle &\langle x\star p\rangle \\\langle p\rangle &\langle p\star x\rangle &\langle p\star p\rangle \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}\geq 0~.}$$

Поскольку это условие положительности верно для всех a , b и c , отсюда следует, что все собственные значения матрицы неотрицательны.

Тогда неотрицательные собственные значения влекут за собой соответствующее условие неотрицательности определителя ,

$${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x\star x\rangle &\langle x\star p\rangle \\\langle p\rangle &\langle p\star x\rangle &\langle p\star p\rangle \end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x^{2}\rangle &\left\langle xp+{\frac {i\hbar }{2}}\right\rangle \\\langle p\rangle &\left\langle xp-{\frac {i\hbar }{2}}\right\rangle &\langle p^{2}\rangle \end{bmatrix}}\geq 0~,}$$

$${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}=\left(\langle x^{2}\rangle -\langle x\rangle ^{2}\right)\left(\langle p^{2}\rangle -\langle p\rangle ^{2}\right)\geq \left(\langle xp\rangle -\langle x\rangle \langle p\rangle \right)^{2}+{\frac {\hbar ^{2}}{4}}~.}$$

Примеры

Поскольку соотношения Робертсона и Шредингера предназначены для общих операторов, эти соотношения можно применять к любым двум наблюдаемым для получения конкретных соотношений неопределенности. Ниже приведены некоторые из наиболее распространенных отношений, встречающихся в литературе.

• Отношение неопределенности положения и линейного импульса : для операторов положения и линейного импульса каноническое коммутационное соотношение подразумевает неравенство Кеннарда сверху: ${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }$
  $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$$
• Соотношение неопределенности углового момента : для двух ортогональных компонентов оператора полного углового момента объекта:
  $${\displaystyle \sigma _{J_{i}}\sigma _{J_{j}}\geq {\frac {\hbar }{2}}{\big |}\langle J_{k}\rangle {\big |},}$$
  где i , j , k различны, а J _i обозначает угловой момент вдоль оси x _i . Это соотношение подразумевает, что, если все три компонента не исчезают вместе, только один компонент углового момента системы может быть определен с произвольной точностью, обычно компонент, параллельный внешнему (магнитному или электрическому) полю. Более того, при выборе , , в мультиплетах углового момента ψ = | j , m ⟩, ограничивает инвариант Казимира (квадрат углового момента, ) снизу и, таким образом, дает полезные ограничения, такие как j ( j + 1) ≥ m ( m + 1) и, следовательно, j ≥ m , среди других. ${\displaystyle [J_{x},J_{y}]=i\hbar \varepsilon _{xyz}J_{z}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}=J_{x}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}=J_{y}}$ ${\displaystyle \langle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}\rangle }$

• Для числа электронов в сверхпроводнике и фазы его параметра порядка Гинзбурга–Ландау ^{[50] [51]}
  $${\displaystyle \Delta N\,\Delta \varphi \geq 1.}$$

Ограничения

Вывод неравенства Робертсона для операторов и требует определения и . Существуют квантовые системы, где эти условия не выполняются. ^[52] Одним из примеров является квантовая частица на кольце , где волновая функция зависит от угловой переменной в интервале . Определите операторы «положения» и «импульса» и ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi }$ ${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

$${\displaystyle {\hat {A}}\psi (\theta )=\theta \psi (\theta ),\quad \theta \in [0,2\pi ],}$$

$${\displaystyle {\hat {B}}\psi =-i\hbar {\frac {d\psi }{d\theta }},}$$

^[53] ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=i\hbar }$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi =i\hbar \psi }$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi }$ ${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi }$ ${\displaystyle \psi }$

Теперь позвольте быть любым из собственных состояний , которые задаются . Эти состояния нормируемы, в отличие от собственных состояний оператора импульса на прямой. Кроме того, оператор ограничен, поскольку действует в ограниченном интервале. Таким образом, в состоянии неопределенность равна нулю, а неопределенность конечна, так что ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle \psi (\theta )=e^{2\pi in\theta }}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}=0.}$$

^[39] ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

Для обычных операторов положения и импульса и на действительной прямой таких контрпримеров возникнуть не может. Пока и определены в состоянии , принцип неопределенности Гейзенберга сохраняется, даже если он не находится в области или . ^[54] ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle {\hat {P}}}$ ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ${\displaystyle \sigma _{p}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\hat {X}}{\hat {P}}}$ ${\displaystyle {\hat {P}}{\hat {X}}}$

Дополнительные соотношения неопределенности

Предел Гейзенберга

В квантовой метрологии , и особенно в интерферометрии , предел Гейзенберга — это оптимальная скорость, при которой точность измерения может масштабироваться в зависимости от энергии, используемой в измерении. Обычно это измерение фазы (применительно к одному плечу светоделителя ) , а энергия определяется количеством фотонов, используемых в интерферометре . Хотя некоторые утверждают, что преодолели предел Гейзенберга, это отражает разногласия по поводу определения ресурса масштабирования. ^[55] При правильном определении предел Гейзенберга является следствием основных принципов квантовой механики и не может быть превзойден, хотя слабый предел Гейзенберга можно превзойти. ^[56]

Систематические и статистические ошибки

Вышеупомянутые неравенства сосредоточены на статистической неточности наблюдаемых величин, количественно выраженной стандартным отклонением . Однако первоначальная версия Гейзенберга имела дело с систематической ошибкой , возмущением квантовой системы, производимым измерительным прибором, то есть эффектом наблюдателя. ${\displaystyle \sigma }$

Если мы представим ошибку (т. е. неточность ) измерения наблюдаемой A и возмущение, возникающее при последующем измерении сопряженной переменной B , посредством предыдущего измерения A , то неравенство, предложенное Одзавой ^[27] — охватывающее оба систематические и статистические ошибки — имеют место: ${\displaystyle \varepsilon _{A}}$ ${\displaystyle \eta _{B}}$

${\displaystyle \varepsilon _{A}\,\eta _{B}+\varepsilon _{A}\,\sigma _{B}+\sigma _{A}\,\eta _{B}\,\geq \,{\frac {1}{2}}\,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

Принцип неопределенности Гейзенберга, первоначально описанный в формулировке 1927 года, упоминает только первый член неравенства Одзавы, касающийся систематической ошибки . Используя приведенные выше обозначения для описания эффекта ошибки/помехи последовательных измерений (сначала A , затем B ), это можно записать как

${\displaystyle \varepsilon _{A}\,\eta _{B}\,\geq \,{\frac {1}{2}}\,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

Формальный вывод соотношения Гейзенберга возможен, но далеко не интуитивен. Она не была предложена Гейзенбергом, но математически последовательно сформулирована лишь в последние годы. ^{[57] [58]} Также следует подчеркнуть, что формулировка Гейзенберга не учитывает внутренние статистические ошибки и . Появляется все больше экспериментальных доказательств ^{[31] [59] [60] [61]} того, что полная квантовая неопределенность не может быть описана одним членом Гейзенберга, а требует присутствия всех трех членов неравенства Одзавы. ${\displaystyle \sigma _{A}}$ ${\displaystyle \sigma _{B}}$

Используя тот же формализм, ^[1] можно ввести и другой вид физической ситуации, которую часто путают с предыдущей, а именно случай одновременных измерений ( A и B одновременно):

${\displaystyle \varepsilon _{A}\,\varepsilon _{B}\,\geq \,{\frac {1}{2}}\,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

Два одновременных измерения A и B обязательно ^[62] нерезкие или слабые .

Также возможно вывести соотношение неопределенности, которое, как и соотношение Одзавы, сочетает в себе как статистическую, так и систематическую составляющие ошибки, но сохраняет форму, очень близкую к исходному неравенству Гейзенберга. Добавив Робертсона ^[1]

${\displaystyle \sigma _{A}\,\sigma _{B}\,\geq \,{\frac {1}{2}}\,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

и отношения Одзавы, мы получаем

$${\displaystyle \varepsilon _{A}\eta _{B}+\varepsilon _{A}\,\sigma _{B}+\sigma _{A}\,\eta _{B}+\sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|.}$$

$${\displaystyle (\varepsilon _{A}+\sigma _{A})\,(\eta _{B}+\sigma _{B})\,\geq \,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|.}$$

$${\displaystyle {\bar {\varepsilon }}_{A}\,\equiv \,(\varepsilon _{A}+\sigma _{A})}$$

погрешностьА

$${\displaystyle {\bar {\eta }}_{B}\,\equiv \,(\eta _{B}+\sigma _{B})}$$

результирующего колебанияB^[63]систематических, так и для статистических ошибок

${\displaystyle {\bar {\varepsilon }}_{A}\,{\bar {\eta }}_{B}\,\geq \,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

Принцип квантовой энтропийной неопределенности

Для многих распределений стандартное отклонение не является особенно естественным способом количественной оценки структуры. Например, соотношения неопределенностей, в которых одной из наблюдаемых является угол, имеют мало физического смысла для флуктуаций, превышающих один период. ^{[41] [64] [65] [66]} Другие примеры включают сильно бимодальные распределения или унимодальные распределения с расходящейся дисперсией.

Решением, позволяющим преодолеть эти проблемы, является неопределенность, основанная на энтропийной неопределенности, а не на продукте дисперсий. Формулируя многомировую интерпретацию квантовой механики в 1957 году, Хью Эверетт III предположил более сильное расширение принципа неопределенности, основанное на энтропийной уверенности. ^[67] Эта гипотеза, также изученная И.И. Хиршманом ^[68] и доказанная в 1975 году В. Бекнером ^[69] и Иво Бялиницки-Бирулой и Ежи Мицельским ^[70] , состоит в том, что для двух нормализованных безразмерных пар преобразований Фурье f ( а ) и г ( б ) где

${\displaystyle f(a)=\int _{-\infty }^{\infty }g(b)\ e^{2\pi iab}\,db}$   и    ${\displaystyle \,\,\,g(b)=\int _{-\infty }^{\infty }f(a)\ e^{-2\pi iab}\,da}$

информационная энтропия Шеннона

$${\displaystyle H_{a}=\int _{-\infty }^{\infty }f(a)\log(f(a))\,da,}$$

$${\displaystyle H_{b}=\int _{-\infty }^{\infty }g(b)\log(g(b))\,db}$$

${\displaystyle H_{a}+H_{b}\geq \log(e/2)}$

где логарифмы могут быть в любом основании.

Функции распределения вероятностей, связанные с волновой функцией положения ψ ( x ) и волновой функцией импульса φ ( x ), имеют размеры, обратные длине и импульсу соответственно, но энтропию можно сделать безразмерной с помощью

$${\displaystyle H_{x}=-\int |\psi (x)|^{2}\ln \left(x_{0}\,|\psi (x)|^{2}\right)dx=-\left\langle \ln \left(x_{0}\,\left|\psi (x)\right|^{2}\right)\right\rangle }$$

$${\displaystyle H_{p}=-\int |\varphi (p)|^{2}\ln(p_{0}\,|\varphi (p)|^{2})\,dp=-\left\langle \ln(p_{0}\left|\varphi (p)\right|^{2})\right\rangle }$$

x ₀p ₀соотношения преобразования Фурьеψ ( x )φ ( p )

${\displaystyle H_{x}+H_{p}\geq \log \left({\frac {e\,h}{2\,x_{0}\,p_{0}}}\right)}$

где h — постоянная Планка .

В зависимости от выбора произведения x ₀ p ₀ выражение можно записать разными способами. Если x ₀ p ₀ выбрано равным h , то

$${\displaystyle H_{x}+H_{p}\geq \log \left({\frac {e}{2}}\right)}$$

Если вместо этого x ₀ p ₀ выбрано равным ħ , то

$${\displaystyle H_{x}+H_{p}\geq \log(e\,\pi )}$$

Если x ₀ и p ₀ выбраны равными единице в любой используемой системе единиц, то

$${\displaystyle H_{x}+H_{p}\geq \log \left({\frac {e\,h}{2}}\right)}$$

h^[71]

Квантово-энтропийный принцип неопределенности является более ограничительным, чем принцип неопределенности Гейзенберга. Из обратных логарифмических неравенств Соболева ^[72]

$${\displaystyle H_{x}\leq {\frac {1}{2}}\log(2e\pi \sigma _{x}^{2}/x_{0}^{2})~,}$$

$${\displaystyle H_{p}\leq {\frac {1}{2}}\log(2e\pi \sigma _{p}^{2}/p_{0}^{2})~,}$$

чем принцип, основанный на стандартных отклонениях

$${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}\exp \left(H_{x}+H_{p}-\log \left({\frac {e\,h}{2\,x_{0}\,p_{0}}}\right)\right)\geq {\frac {\hbar }{2}}~.}$$

Другими словами, принцип неопределенности Гейзенберга является следствием квантово-энтропийного принципа неопределенности, а не наоборот. Несколько замечаний по поводу этих неравенств. Во-первых, выбор основания e является общепринятым в физике. Альтернативно логарифм может быть в любом основании, при условии, что он непротиворечив с обеих сторон неравенства. Во-вторых, вспомните, что использовалась энтропия Шеннона , а не квантовая энтропия фон Неймана . Наконец, нормальное распределение насыщает неравенство, и это единственное распределение с этим свойством, поскольку это распределение вероятностей с максимальной энтропией среди распределений с фиксированной дисперсией ( доказательство см. здесь ).

Измерительное устройство будет иметь конечное разрешение, устанавливаемое путем дискретизации его возможных выходных сигналов по элементам разрешения с вероятностью попадания в один из элементов разрешения, заданной правилом Борна. Мы рассмотрим наиболее распространенную экспериментальную ситуацию, в которой контейнеры имеют одинаковый размер. Пусть δx — мера пространственного разрешения. Мы принимаем нулевой интервал по центру вблизи начала координат, возможно, с небольшим постоянным смещением c . Вероятность попадания в j-й интервал ширины δx равна

$${\displaystyle \operatorname {P} [x_{j}]=\int _{(j-1/2)\delta x-c}^{(j+1/2)\delta x-c}|\psi (x)|^{2}\,dx}$$

Чтобы учесть эту дискретизацию, мы можем определить энтропию Шеннона волновой функции для данного измерительного устройства как

$${\displaystyle H_{x}=-\sum _{j=-\infty }^{\infty }\operatorname {P} [x_{j}]\ln \operatorname {P} [x_{j}].}$$

Согласно приведенному выше определению, энтропийное соотношение неопределенности имеет вид

$${\displaystyle H_{x}+H_{p}>\ln \left({\frac {e}{2}}\right)-\ln \left({\frac {\delta x\delta p}{h}}\right).}$$

Здесь отметим, что δx δp / h — типичный бесконечно малый объем фазового пространства, используемый при вычислении статистической суммы . Неравенство также является строгим и ненасыщенным. Попытки улучшить эту границу являются активной областью исследований.

Соотношение неопределенности с тремя компонентами углового момента

Для частицы со спином имеет место следующее соотношение неопределенностей ${\displaystyle j}$

$${\displaystyle \sigma _{J_{x}}^{2}+\sigma _{J_{y}}^{2}+\sigma _{J_{z}}^{2}\geq j,}$$

${\displaystyle J_{l}}$

$${\displaystyle \langle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}\rangle =j(j+1),}$$

$${\displaystyle \langle J_{x}\rangle ^{2}+\langle J_{y}\rangle ^{2}+\langle J_{z}\rangle ^{2}\leq j.}$$

^{[45] [73]}

$${\displaystyle \sigma _{J_{x}}^{2}+\sigma _{J_{y}}^{2}+F_{Q}[\varrho ,J_{z}]/4\geq j,}$$

${\displaystyle F_{Q}[\varrho ,J_{z}]}$

Гармонический анализ

В контексте гармонического анализа , раздела математики, принцип неопределенности подразумевает, что нельзя одновременно локализовать значение функции и ее преобразование Фурье. А именно, имеет место неравенство

$${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }\xi ^{2}|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi \right)\geq {\frac {\|f\|_{2}^{4}}{16\pi ^{2}}}.}$$

Дальнейшие математические неравенства неопределенности, включая вышеуказанную энтропийную неопределенность , справедливы между функцией f и ее преобразованием Фурье ƒ̂ : ^{[74] [75] [76]}

$${\displaystyle H_{x}+H_{\xi }\geq \log(e/2)}$$

Обработка сигнала

В контексте обработки сигналов и, в частности, частотно-временного анализа , принципы неопределенности называются пределом Габора , в честь Денниса Габора , или иногда пределом Гейзенберга-Габора . Основной результат, который следует из приведенной ниже «теоремы Бенедикса», заключается в том, что функция не может быть одновременно ограниченной по времени и по диапазону (функция и ее преобразование Фурье не могут одновременно иметь ограниченную область определения) - см. « Ограниченная полоса» и «Ограниченная по времени» . Точнее, произведение временной полосы или продолжительности полосы пропускания удовлетворяет

$${\displaystyle \sigma _{{\text{energy}},t}\cdot \sigma _{{\text{energy}},f}\geq {\frac {1}{4\pi }}\approx 0.08{\text{ cycles}},}$$

^[77]Гауссавейвлет Габораполной ширины времени и частоты на половине максимума. импульс с ограниченной полосой пропускания ${\displaystyle \sigma _{{\text{energy}},t}}$ ${\displaystyle \sigma _{{\text{energy}},f}}$ ${\displaystyle \sigma _{t}\sigma _{f}=1/2\pi }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 2\ln 2/\pi \approx 0.44}$

Альтернативно можно сказать: «Нельзя одновременно точно локализовать сигнал (функцию f ) как во временной , так и в частотной области ( ƒ̂ , его преобразование Фурье)».

Применительно к фильтрам результат означает, что невозможно одновременно достичь высокого временного и частотного разрешения; Конкретным примером являются проблемы разрешения кратковременного преобразования Фурье : если использовать широкое окно, можно достичь хорошего разрешения по частоте за счет временного разрешения, в то время как узкое окно имеет противоположный компромисс.

Альтернативные теоремы дают более точные количественные результаты, и в частотно-временном анализе вместо того, чтобы интерпретировать (1-мерную) временную и частотную области отдельно, вместо этого предел интерпретируется как нижний предел носителя функции в (2 -мерная) плоскость время-частота. На практике предел Габора ограничивает одновременное частотно-временное разрешение, которого можно достичь без помех; можно добиться более высокого разрешения, но за счет того, что разные компоненты сигнала мешают друг другу.

В результате для анализа сигналов, в которых важны переходные процессы , вместо Фурье часто используется вейвлет-преобразование .

Дискретное преобразование Фурье

Пусть – последовательность N комплексных чисел и ее дискретное преобразование Фурье . ${\displaystyle \left\{\mathbf {x_{n}} \right\}:=x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N-1}}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {X_{k}} \right\}:=X_{0},X_{1},\ldots ,X_{N-1},}$

Обозначим через количество ненулевых элементов во временной последовательности и через количество ненулевых элементов в частотной последовательности . Затем, ${\displaystyle \|x\|_{0}}$ ${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N-1}}$ ${\displaystyle \|X\|_{0}}$ ${\displaystyle X_{0},X_{1},\ldots ,X_{N-1}}$

$${\displaystyle \|x\|_{0}\cdot \|X\|_{0}\geq N.}$$

Это неравенство является точным : равенство достигается, когда x или X является массой Дирака или, в более общем смысле, когда x является ненулевым кратным гребенки Дирака, поддерживаемой подгруппой целых чисел по модулю N (в этом случае X также является гребенкой Дирака, поддерживаемой на дополнительную подгруппу и наоборот).

В более общем смысле, если T и W являются подмножествами целых чисел по модулю N , пусть обозначают оператор ограничения времени и операторы ограничения полосы соответственно. Затем ${\displaystyle L_{T},R_{W}:\ell ^{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )\to \ell ^{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )}$

$${\displaystyle \|L_{T}R_{W}\|^{2}\leq {\frac {|T||W|}{|G|}}}$$

операторная нормаN.восстановления сигнала^[78] ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )}$

Когда N — простое число , справедливо более сильное неравенство:

$${\displaystyle \|x\|_{0}+\|X\|_{0}\geq N+1.}$$

Теренсом Тао^[79]

Теорема Бенедикса

Теорема Амрейна-Бертье ^[80] и Бенедикса ^[81] интуитивно говорит, что множество точек, где f не равно нулю, и множество точек, где ƒ̂ не равно нулю, не могут одновременно быть малыми.

В частности, невозможно, чтобы функция f из L ² ( R ) и ее преобразование Фурье ƒ̂ одновременно поддерживались на множествах конечной меры Лебега . Более количественная версия: ^{[82] [83]}

$${\displaystyle \|f\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{d})}\leq Ce^{C|S||\Sigma |}{\bigl (}\|f\|_{L^{2}(S^{c})}+\|{\hat {f}}\|_{L^{2}(\Sigma ^{c})}{\bigr )}~.}$$

Ожидается, что фактор Ce ^{C | С || Σ |} можно заменить на Ce ^{C (| S || Σ |) 1/ d} , что известно только в том случае, если либо S , либо Σ выпуклы.

Принцип неопределенности Харди

Математик Г.Х. Харди сформулировал следующий принцип неопределенности: ^[84] невозможно, чтобы f и ƒ̂ были «очень быстро убывающими». В частности, если f in таков, что ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle |f(x)|\leq C(1+|x|)^{N}e^{-a\pi x^{2}}}$$

$${\displaystyle |{\hat {f}}(\xi )|\leq C(1+|\xi |)^{N}e^{-b\pi \xi ^{2}}}$$

ab > 1, f = 0ab = 1P≤ N ${\displaystyle C>0,N}$

$${\displaystyle f(x)=P(x)e^{-a\pi x^{2}}.}$$

Позже это было улучшено следующим образом: если таково, что ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{d})}$

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)||{\hat {f}}(\xi )|{\frac {e^{\pi |\langle x,\xi \rangle |}}{(1+|x|+|\xi |)^{N}}}\,dx\,d\xi <+\infty ~,}$$

$${\displaystyle f(x)=P(x)e^{-\pi \langle Ax,x\rangle }~,}$$

P( N − d )/2Ad × d

Этот результат был сформулирован в полном собрании сочинений Бёрлинга без доказательства и доказан в Хёрмандере ^[85] (случай ) и Бонами, Деманже и Джеминге ^[86] для общего случая. Обратите внимание, что версия Хёрмандера-Берлинга подразумевает случай ab > 1 в теореме Харди, в то время как версия Бонами-Деманжа-Джейминга охватывает всю силу теоремы Харди. Другое доказательство теоремы Берлинга, основанное на теореме Лиувилля, появилось в работе. ^[87] ${\displaystyle d=1,N=0}$

Полное описание случая ab <1 , а также следующее расширение распределений классов Шварца можно найти в ссылке. ^[88]

Теорема  .  Если умеренное распределение таково, что ${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})}$

$${\displaystyle e^{\pi |x|^{2}}f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})}$$

и

$${\displaystyle e^{\pi |\xi |^{2}}{\hat {f}}\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})~,}$$

затем

$${\displaystyle f(x)=P(x)e^{-\pi \langle Ax,x\rangle }~,}$$

для некоторого удобного полинома P и вещественной положительно определенной матрицы A типа d × d .

История

В 1925 году Гейзенберг опубликовал первую теорию квантовой механики, ныне известную как матричная механика. Работая с Максом Борном и Паскуалем Джорданом , он продолжал развивать все более успешную теорию. ^{[89] : II:267} Центральным аспектом этой теории была некоммутативность : теория подразумевала, что относительный порядок измерения положения и импульса важен.

Вернер Гейзенберг и Нильс Бор

В марте 1926 года, работая в институте Бора, Гейзенберг понял, что из некоммутативности следует принцип неопределенности. В письме Вольфгангу Паули в феврале 1927 года он разработал основные концепции. ^[90]

В своей знаменитой статье 1927 года « Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik » («О перцептивном содержании квантовой теоретической кинематики и механики») Гейзенберг установил это выражение как минимальную величину неизбежного возмущения импульса, вызванного любым измерением положения ^{: 2]} , но он не дал точного определения неопределенностей Δx и Δp . Вместо этого он дал некоторые правдоподобные оценки для каждого случая отдельно. В его статье был дан анализ с использованием микроскопа, который, как показал Бор, был неверным; Гейзенберг включил в публикацию дополнение.

В своей лекции в Чикаго в 1930 году ^[91] он уточнил свой принцип:

Более поздние работы расширили эту концепцию. Любые две переменные, которые не коммутируют, не могут быть измерены одновременно: чем точнее известна одна, тем менее точно может быть известна другая. Гейзенберг писал:

В простейшей форме это можно выразить следующим образом: никогда нельзя знать с совершенной точностью оба этих важных фактора, определяющих движение одной из мельчайших частиц, — ее положение и ее скорость. Невозможно точно определить одновременно положение , направление и скорость частицы . ^[92]

Кеннард ^{[6] [1] : 204} в 1927 году впервые доказал современное неравенство:

где ħ =час/2 π, а σ _x , σ _p — стандартные отклонения положения и импульса. (Гейзенберг доказал соотношение ( A2 ) только для частного случая гауссовских состояний. ^[91] ) В 1929 году Робертсон обобщил неравенство на все наблюдаемые, а в 1930 году Шредингер расширил форму, чтобы допустить ненулевую ковариацию операторов; этот результат называется неравенством Робертсона-Шредингера. ^{[1] : 204}

Терминология и перевод

В основной части своей оригинальной статьи 1927 года, написанной на немецком языке, Гейзенберг использовал слово «Ungenauigkeit» ^[2] для описания основного теоретического принципа. Лишь в примечании он перешел на слово «Unsicherheit». Позже он всегда использовал «Unbestimmtheit». Однако, когда в 1930 году была опубликована англоязычная версия учебника Гейзенберга « Физические принципы квантовой теории» , использовалось только английское слово «неопределенность», и оно стало термином в английском языке. ^[93]

Микроскоп Гейзенберга

Гамма-микроскоп Гейзенберга для обнаружения электрона (показан синим цветом). Входящий гамма-луч (показан зеленым) рассеивается электроном вверх под углом апертуры микроскопа θ . Рассеянное гамма-излучение показано красным. Классическая оптика показывает, что положение электрона можно определить только с точностью до неопределенности Δ x , которая зависит от θ и длины волны λ падающего света.

Этот принцип совершенно нелогичен, поэтому первых исследователей квантовой теории нужно было убедить в том, что наивные измерения, нарушающие этот принцип, всегда будут неработоспособными. Один из способов, с помощью которого Гейзенберг первоначально проиллюстрировал внутреннюю невозможность нарушения принципа неопределенности, — это использование эффекта наблюдателя воображаемого микроскопа в качестве измерительного устройства. ^[91]

Он представляет себе экспериментатора, пытающегося измерить положение и импульс электрона , стреляя в него фотоном . ^{[94] : 49–50}

• Проблема 1. Если у фотона короткая длина волны и, следовательно, большой импульс, положение можно точно измерить. Но фотон рассеивается в случайном направлении, передавая электрону большое и неопределенное количество импульса. Если фотон имеет большую длину волны и малый импульс, столкновение не сильно нарушит импульс электрона, но рассеяние лишь смутно выявит его положение.
• Проблема 2. Если в микроскопе используется большая апертура , местоположение электрона можно хорошо определить (см. критерий Рэлея ); но согласно принципу сохранения импульса поперечный импульс падающего фотона влияет на импульс линии луча электрона, и, следовательно, новый импульс электрона плохо разрешается. Если используется маленькая апертура, точность обоих разрешений обратная.

Сочетание этих компромиссов означает, что независимо от того, какая длина волны фотона и размер апертуры используются, произведение неопределенности в измеренном положении и измеренном импульсе больше или равно нижнему пределу, который (с точностью до небольшого числового коэффициента) ) равна постоянной Планка . ^[95] Гейзенберг не позаботился о том, чтобы сформулировать принцип неопределенности как точный предел, и предпочел вместо этого использовать его как эвристическое количественное утверждение с поправкой до малых числовых коэффициентов, что делает неизбежной радикально новую некоммутативность квантовой механики.

Критические реакции

Копенгагенская интерпретация квантовой механики и принцип неопределенности Гейзенберга изначально рассматривались недоброжелателями как две мишени. Согласно копенгагенской интерпретации квантовой механики, не существует фундаментальной реальности, которую описывает квантовое состояние , а есть лишь предписание для расчета экспериментальных результатов. Невозможно сказать, каково фундаментальное состояние системы, можно только сказать, каким может быть результат наблюдений.

Альберт Эйнштейн считал, что случайность — это отражение нашего незнания некоторых фундаментальных свойств реальности, а Нильс Бор считал, что распределения вероятностей фундаментальны и неприводимы и зависят от того, какие измерения мы решаем выполнить. Эйнштейн и Бор обсуждали принцип неопределенности на протяжении многих лет.

Идеальный сторонний наблюдатель

Вольфганг Паули назвал фундаментальное возражение Эйнштейна против принципа неопределенности «идеалом стороннего наблюдателя» (фраза в переводе с немецкого):

«Подобно тому, как Луна имеет определенное положение, — сказал мне прошлой зимой Эйнштейн, — независимо от того, смотрим мы на Луну или нет, то же самое должно справедливо и для атомных объектов, поскольку не существует резкого различия между ними и макроскопическими объектами. Наблюдение не может создать такой элемент реальности, как позиция, в полном описании физической реальности должно содержаться что-то, что соответствует возможности наблюдения позиции, еще до того, как наблюдение действительно было произведено». Надеюсь, я правильно процитировал Эйнштейна; всегда трудно процитировать по памяти кого-то, с кем не согласен. Именно такой постулат я называю идеалом стороннего наблюдателя.

-  Письмо Паули Нильсу Бору, 15 февраля 1955 г. ^[96]

щель Эйнштейна

Первый из мысленных экспериментов Эйнштейна, бросающих вызов принципу неопределенности, заключался в следующем:

Рассмотрим частицу, проходящую через щель шириной d . Щель вносит неопределенность в импульс примерночас/дпотому что частица проходит сквозь стенку. Но давайте определим импульс частицы, измерив отдачу стенки. При этом мы находим импульс частицы с произвольной точностью по закону сохранения импульса.

Ответ Бора заключался в том, что стена также является квантовомеханической и что для измерения отдачи с точностью Δ p необходимо знать импульс стены с этой точностью до того, как частица пройдет через нее. Это вносит неопределенность в положение стенки и, следовательно, положение щели, равнуючас/Δ р, и если импульс стены известен достаточно точно, чтобы измерить отдачу, положение щели достаточно неопределенно, чтобы исключить измерение положения.

Похожий анализ частиц, дифрагирующих через несколько щелей, дан Ричардом Фейнманом . ^[97]

ящик Эйнштейна

Бор присутствовал, когда Эйнштейн предложил мысленный эксперимент, который стал известен как ящик Эйнштейна . Эйнштейн утверждал, что «уравнение неопределенности Гейзенберга подразумевало, что неопределенность во времени связана с неопределенностью в энергии, а произведение этих двух величин связано с постоянной Планка». ^[98] Рассмотрим, сказал он, идеальную коробку, облицованную зеркалами, так что она может содержать свет бесконечно. Коробку можно было взвесить, прежде чем часовой механизм в выбранный момент открыл идеальный затвор, позволяющий вылететь одному-единственному фотону. «Теперь мы знаем, — объяснил Эйнштейн, — точное время, когда фотон покинул ящик». ^[99] «Теперь взвесьте ящик еще раз. Изменение массы отражает энергию излучаемого света. Таким образом, — говорил Эйнштейн, — можно измерить излучаемую энергию и время, когда она была высвобождена, с любой желаемой точностью, что противоречит принцип неопределенности». ^[98]

Бор провел бессонную ночь, обдумывая этот аргумент, и в конце концов понял, что он ошибочен. Он указывал, что если бы ящик взвешивался, скажем, с помощью пружины и указки на весах, «поскольку ящик должен двигаться вертикально с изменением его веса, возникнет неопределенность в его вертикальной скорости и, следовательно, неопределенность в его высота над столом... Кроме того, неопределенность относительно высоты над поверхностью Земли приведет к неопределенности хода часов» ^{[100] из-за} влияния собственной теории гравитации Эйнштейна на время . «С помощью этой цепочки неопределенностей Бор показал, что эксперимент Эйнштейна со световым ящиком не может одновременно точно измерить как энергию фотона, так и время его выхода». ^[101]

Парадокс ЭПР для запутанных частиц

В 1935 году Эйнштейн, Борис Подольский и Натан Розен опубликовали анализ пространственно разделенных запутанных частиц (парадокс ЭПР). ^[102] Согласно ЭПР, можно измерить положение одной из запутанных частиц и импульс второй частицы и на основе этих измерений вывести положение и импульс обеих частиц с любой точностью, нарушая принцип неопределенности. Чтобы избежать такой возможности, измерение одной частицы должно мгновенно изменить распределение вероятностей другой частицы, что может привести к нарушению принципа локальности . ^[103]

В 1964 году Джон Стюарт Белл показал, что это предположение можно опровергнуть, поскольку оно подразумевало бы определенное неравенство между вероятностями различных экспериментов. Экспериментальные результаты подтверждают предсказания квантовой механики, исключая основное предположение ЭПР о локальных скрытых переменных .

Критика Поппера

Философ науки Карл Поппер подошел к проблеме неопределенности как логик и метафизический реалист . ^[104] Он не согласился с применением соотношений неопределенности к отдельным частицам, а не к ансамблям одинаково приготовленных частиц, называя их «статистическими соотношениями рассеяния». ^{[104] [105]} В этой статистической интерпретации конкретное измерение может быть произведено с произвольной точностью, не лишая законной силы квантовую теорию.

В 1934 году Поппер опубликовал Zur Kritik der Ungenauigkeitsrelationen ( «Критика отношений неопределенности ») в журнале Naturwissenschaften , ^[106] и в том же году Logik der Forschung (переведенную и обновленную автором как «Логика научного открытия» в 1959 году), изложив свои аргументы. для статистической интерпретации. В 1982 году он развил свою теорию квантовой теории и раскола в физике , написав:

Формулы [Гейзенберга], вне всякого сомнения, являются выводными статистическими формулами квантовой теории. Но они обычно неверно интерпретировались теми квантовыми теоретиками, которые говорили, что эти формулы можно интерпретировать как определяющие некий верхний предел точности наших измерений . [исходный акцент] ^[107]

Поппер предложил эксперимент по фальсификации соотношений неопределенности, хотя позже он отказался от своей первоначальной версии после обсуждений с Карлом Фридрихом фон Вайцзеккером , Гейзенбергом и Эйнштейном; этот эксперимент повлиял на формулировку парадокса ЭПР. ^{[104] [108]}

Свободная воля

Некоторые ученые, в том числе Артур Комптон ^[109] и Мартин Гейзенберг ^[110], предположили, что принцип неопределенности или, по крайней мере, общая вероятностная природа квантовой механики может служить доказательством существования двухступенчатой ​​модели свободной воли. Однако одна критика заключается в том, что, помимо основной роли квантовой механики как основы химии, нетривиальные биологические механизмы, требующие квантовой механики , маловероятны из-за быстрого времени декогеренции квантовых систем при комнатной температуре. ^[111] Сторонники этой теории обычно говорят, что эта декогеренция преодолевается как экранирующими, так и свободными от декогеренции подпространствами, обнаруженными в биологических клетках. ^[111]

Термодинамика

Есть основания полагать, что нарушение принципа неопределенности также в значительной степени влечет за собой нарушение второго закона термодинамики . ^[112] См. парадокс Гиббса .

Отказ от принципа

Принципы неопределенности связывают квантовые частицы — например, электроны — с классическими понятиями — положением и импульсом. Это предполагает, что квантовые частицы имеют положение и импульс. Эдвин К. Кембл указал ^{[113] :244} в 1937 г., что такие свойства не могут быть проверены экспериментально, и предположение о их существовании порождает множество противоречий; аналогичным образом Рудольф Хааг отмечает, что положение в квантовой механике является атрибутом взаимодействия, скажем, между электроном и детектором, а не внутренним свойством. ^{[114] [115] : 111} С этой точки зрения принцип неопределенности — это не фундаментальное квантовое свойство, а концепция, «перенесенная из языка наших предков», как говорит Кембл.

Приложения

Поскольку принцип неопределенности является фундаментальным результатом квантовой механики, его аспекты обычно наблюдаются в типичных экспериментах по квантовой механике. Все формы спектроскопии , включая физику элементарных частиц , используют это соотношение, чтобы связать измеренную ширину линии энергии со временем жизни квантовых состояний. Однако некоторые эксперименты могут намеренно проверять определенную форму принципа неопределенности в рамках своей основной исследовательской программы. К ним относятся, например, испытания соотношений неопределенности число-фаза в сверхпроводящих ^[116] или квантово-оптических ^[117] системах. Приложения, работа которых зависит от принципа неопределенности, включают технологии с чрезвычайно низким уровнем шума, например, необходимые в интерферометрах гравитационных волн . ^[118]

Смотрите также

• Каноническое коммутационное соотношение
• Принцип соответствия
• Дискретное преобразование Фурье # Принципы неопределенности
• Введение в квантовую механику
• Принцип неопределенности Купфмюллера.
• Эффект наблюдателя (физика)
• Квантовая неопределенность
• Квантовое туннелирование
• Физика и не только (воспоминания Гейзенберга)
• Более сильные отношения неопределенности
• Слабое измерение

Рекомендации

1. Сен, Д. (2014). «Отношения неопределенности в квантовой механике» (PDF) . Современная наука . 107 (2): 203–218.
2. Гейзенберг, В. (1927) [1927-03-01]. «Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik». Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 43 (3): 172–198. Бибкод : 1927ZPhy...43..172H. дои : 10.1007/BF01397280. ISSN  0044-3328. S2CID  122763326.Гейзенберг, В. (1983) [1927]. «Актуальное содержание квантовой теоретической кинематики и механики». № НАН 1.15: 77379. 1983 г. . 43 (3–4): 172. Бибкод : 1983ЖФиз..43..172Х. Английский перевод Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik
3. Вернер Гейзенберг, «Встречи с Эйнштейном и другие эссе о людях, местах и ​​частицах», опубликовано 21 октября 1989 г. издательством Princeton University Press , стр.53.
4. Доллинг, Лиза М.; Джанелли, Артур Ф.; Статиле, Гленн Н., ред. (2003). Испытания времени . дои : 10.1515/9781400889167. ISBN 9781400889167.
5. Кумар, Манджит. Квант: Эйнштейн, Бор и великие дебаты о природе реальности / Манджит Кумар.—1-е американское изд., 2008. Глава 10, примечание 37.
6. Kennard, EH (1927), "Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen", Zeitschrift für Physik (на немецком языке), 44 (4–5): 326–352, Бибкод : 1927ZPhy... 44..326K, doi : 10.1007/ БФ01391200, S2CID  121626384.
7. Вейль, Х. (1928), Gruppentheorie und Quantenmechanik , Лейпциг: Хирцель
8. Джагер, Грегг (сентябрь 2014 г.). «Что в (квантовом) мире является макроскопическим?». Американский журнал физики . 82 (9): 896–905. Бибкод : 2014AmJPh..82..896J. дои : 10.1119/1.4878358.
9. См. Приложение B в Бялыницки-Бирула, Иво; Бялыницка-Бирула, Зофия (2009), «Почему фотоны не могут быть четко локализованы», Physical Review A , 79 (3): 7–8, arXiv : 0903.3712 , Bibcode : 2009PhRvA..79c2112B, doi : 10.1103/PhysRevA.79.032112, S2CID  55632217
10. Клод Коэн-Таннуджи; Бернар Диу; Франк Лалоэ (1996), Квантовая механика , Wiley-Interscience: Wiley, стр. 231–233, ISBN 978-0-471-56952-7
11. Ландау, Лев Давидович ; Лифшиц, Евгений Михайлович (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория. Том. 3 (3-е изд.). Пергамон Пресс . ISBN 978-0-08-020940-1.
12. Буш, Пол (2002). «Соотношение неопределенности времени и энергии». В Муге, JG; Маято, Р. Сала; Эгускиса, Иллинойс (ред.). Время в квантовой механике. Конспект лекций по физике, т. 72. Том. 72. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. стр. 69–98. дои : 10.1007/3-540-45846-8_3. ISBN 978-3-540-43294-4.
13. Вигнер, EP (1997). «Время — соотношение неопределенности в энергетике». В Вайтмане, Артур С. (ред.). Часть I: Частицы и поля. Часть II: Основы квантовой механики . Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. стр. 538–548. дои : 10.1007/978-3-662-09203-3_58. ISBN 978-3-642-08179-8.
14. Хильгеворд, январь (1 декабря 1996 г.). «Принцип неопределенности энергии и времени». Американский журнал физики . 64 (12): 1451–1456. Бибкод : 1996AmJPh..64.1451H. дои : 10.1119/1.18410. ISSN  0002-9505.
15. Линч, Ф.Дж.; Голландия, RE; Хамермеш, М. (15 октября 1960 г.). «Зависимость от времени резонансно фильтрованных гамма-лучей от Fe 57». Физический обзор . 120 (2): 513–520. дои : 10.1103/PhysRev.120.513. ISSN  0031-899X.
16. Фрауэнфельдер, Х. (1962). Эффект Мёссбауэра. В. А. Бенджамин . LCCN  61018181.^{: 66}
17. Бом, Арно Р.; Сато, Ёсихиро (28 апреля 2005 г.). «Релятивистские резонансы: их массы, ширины, время жизни, суперпозиция и причинная эволюция». Физический обзор D . 71 (8): 085018. arXiv : hep-ph/0412106 . Бибкод : 2005PhRvD..71h5018B. doi : 10.1103/PhysRevD.71.085018. ISSN  1550-7998. S2CID  119417992.
18. Карплюс, Мартин и Портер, Ричард Нидхэм. «Атомы и молекулы». США, Вашингтон, Бенджамин, 1970 г.
19. Широкая ширина линии быстро затухающих состояний затрудняет точное измерение энергии состояния, и исследователи даже использовали расстроенные микроволновые резонаторы, чтобы замедлить скорость распада и получить более острые пики. Габриэль, Джеральд; Х. Демельт (1985), «Наблюдение за подавленной спонтанной эмиссией», Physical Review Letters , 55 (1): 67–70, Bibcode : 1985PhRvL..55...67G, doi : 10.1103/PhysRevLett.55.67, PMID  10031682
20. Хильгеворд, январь (март 2005 г.). «Время в квантовой механике: история путаницы». Исследования по истории и философии науки. Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 36 (1): 29–60. дои :10.1016/j.shpsb.2004.10.002.
21. Бом, Арно (январь 2011 г.). «Резонансы/распадающиеся состояния и математика квантовой физики». Доклады по математической физике . 67 (3): 279–303. Бибкод : 2011РпМП...67..279Б. дои : 10.1016/S0034-4877(11)60018-9.
22. Ааронов, Ю.; Бом, Д. (1 июня 1961 г.). «Время в квантовой теории и соотношение неопределенности для времени и энергии» (PDF) . Физический обзор . 122 (5): 1649–1658. Бибкод : 1961PhRv..122.1649A. дои : 10.1103/PhysRev.122.1649. Архивировано из оригинала (PDF) 9 января 2014 г. Проверено 21 января 2012 г.
23. Л. И. Мандельштам, И. Е. Тамм, Соотношение неопределенности между энергией и временем в нерелятивистской квантовой механике, 1945.
24. Набер, Грегори Л. (20 сентября 2021 г.). Квантовая механика: введение в физическую основу и математическую структуру. Вальтер де Грюйтер ГмбХ & Ко КГ. п. 230. ИСБН 978-3-11-075194-9.
25. Гриффитс, Дэвид Дж.; Шретер, Даррелл Ф. (16 августа 2018 г.). Введение в квантовую механику (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/9781316995433. ISBN 978-1-316-99543-3.
26. Фурута, Ая (2012), «Одно можно сказать наверняка: принцип неопределенности Гейзенберга не умер», Scientific American
27. Озава, Масанао (2003), «Универсально действующая переформулировка принципа неопределенности Гейзенберга в отношении шума и помех при измерении», Physical Review A , 67 (4): 42105, arXiv : quant-ph/0207121 , Bibcode : 2003PhRvA.. 67d2105O, doi : 10.1103/PhysRevA.67.042105, S2CID  42012188
28. Уиллер, Джон Арчибальд (1978-01-01), Марлоу, А.Р. (редактор), «Прошлое» и эксперимент с двумя щелями «отложенного выбора», Математические основы квантовой теории , Academic Press, стр. 9–48, номер домена : 10.1016/b978-0-12-473250-6.50006-6, ISBN 978-0-12-473250-6, получено 19 июля 2023 г.
29. Уиллер, Джон Арчибальд (1977), Лопес, Хосе Лейте; Пати, Мишель (ред.), «Включить наблюдателя в волновую функцию?», Квантовая механика, полвека спустя: материалы коллоквиума по пятидесяти годам квантовой механики, состоявшегося в Университете Луи Пастера, Страсбург, 2 мая – 4, 1974 , Episteme, Дордрехт: Springer Нидерланды, стр. 1–18, doi : 10.1007/978-94-010-1196-9_1, ISBN 978-94-010-1196-9, получено 19 июля 2023 г.
30. Вернер Гейзенберг, Физические принципы квантовой теории , с. 20
31. Розема, Луизиана; Дараби, А.; Малер, Д.Х.; Хаят, А.; Судагар, Ю.; Стейнберг, AM (2012). «Нарушение соотношения измерения и возмущения Гейзенберга из-за слабых измерений». Письма о физических отзывах . 109 (10): 100404. arXiv : 1208.0034v2 . Бибкод : 2012PhRvL.109j0404R. doi : 10.1103/PhysRevLett.109.100404. PMID  23005268. S2CID  37576344.
32. Де Бройль, Луи (октябрь 1923 г.). «Волны и кванты». Природа . 112 (2815): 540. Бибкод : 1923Natur.112..540D. дои : 10.1038/112540a0 . ISSN  1476-4687. S2CID  186242764.
33. Индийский технологический институт Мадраса, профессор В. Балакришнан, Лекция 1 - Введение в квантовую физику; Принцип неопределенности Гейзенберга, Национальная программа технологического обучения на YouTube
34. Робертсон, HP (1929), «Принцип неопределенности», Phys. Rev. , 34 (1): 163–64, Бибкод : 1929PhRv...34..163R, doi : 10.1103/PhysRev.34.163
35. Шрёдингер, Э., Zum Heisenbergschen Unschärfeprinzip, Berliner Berichte, 1930, стр. 296–303.
36. Шрёдингер, Э. (1930), "Zum Heisenbergschen Unschärfeprinzip", Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse , 14 : 296–303
37. Райли, К.Ф.; М. П. Хобсон и С. Дж. Бенс (2006), Математические методы в физике и технике , Кембридж, с. 246
38. Дэвидсон, ER (1965), «О выводах принципа неопределенности», J. Chem. Физ. , 42 (4): 1461–1462, Бибкод : 1965JChPh..42.1461D, doi : 10.1063/1.1696139
39. Hall, Британская Колумбия (2013), Квантовая теория для математиков , Springer, стр. 245, Бибкод : 2013qtm..книга.....H
40. Джекив, Роман (1968), «Минимальный продукт неопределенности, продукт числовой фазы неопределенности и когерентные состояния», J. Math. Физ. , 9 (3): 339–346, Бибкод : 1968JMP.....9..339J, doi : 10.1063/1.1664585
41. Каррутерс, П.; Ньето, М.М. (1968), «Фазовые и угловые переменные в квантовой механике», Rev. Mod. Физ. , 40 (2): 411–440, Бибкод : 1968RvMP...40..411C, doi : 10.1103/RevModPhys.40.411
42. Холл, Британская Колумбия (2013), Квантовая теория для математиков , Springer, Bibcode : 2013qtm..book.....H
43. Макконе, Лоренцо; Пати, Арун К. (31 декабря 2014 г.). «Более строгие отношения неопределенности для всех несовместимых наблюдаемых». Письма о физических отзывах . 113 (26): 260401. arXiv : 1407.0338 . Бибкод : 2014PhRvL.113z0401M. doi : 10.1103/PhysRevLett.113.260401. PMID  25615288. S2CID  21334130.
44. Хуан, Ичэнь (10 августа 2012 г.). «Соотношения неопределенностей, основанные на дисперсии». Физический обзор А. 86 (2): 024101. arXiv : 1012.3105 . Бибкод : 2012PhRvA..86b4101H. doi :10.1103/PhysRevA.86.024101. S2CID  118507388.
45. Тот, Геза; Фрёвис, Флориан (31 января 2022 г.). «Отношения неопределенности с дисперсией и квантовой информацией Фишера на основе выпуклых разложений матриц плотности». Обзор физических исследований . 4 (1): 013075. arXiv : 2109.06893 . Бибкод : 2022PhRvR...4a3075T. doi : 10.1103/PhysRevResearch.4.013075. S2CID  237513549.
46. Тот, Геза; Петц, Ден (20 марта 2013 г.). «Экстремальные свойства дисперсии и квантовая информация Фишера». Физический обзор А. 87 (3): 032324. arXiv : 1109.2831 . Бибкод : 2013PhRvA..87c2324T. doi : 10.1103/PhysRevA.87.032324. S2CID  55088553.
47. Ю, Сиксия (2013). «Квантовая информация Фишера как выпуклая крыша дисперсии». arXiv : 1302.5311 [квант-ph].
48. Фрёвис, Флориан; Шмид, Роман; Гизин, Николя (2 июля 2015 г.). «Более строгие соотношения квантовой неопределенности, вытекающие из общей вероятностной границы». Физический обзор А. 92 (1): 012102. arXiv : 1409.4440 . Бибкод : 2015PhRvA..92a2102F. doi :10.1103/PhysRevA.92.012102. S2CID  58912643.
49. Куртрайт, Т.; Зачос, К. (2001). «Отрицательная вероятность и отношения неопределенности». Буквы по современной физике А. 16 (37): 2381–2385. arXiv : hep-th/0105226 . Бибкод : 2001MPLA...16.2381C. дои : 10.1142/S021773230100576X. S2CID  119669313.
50. Лихарев, К.К.; А.Б. Зорин (1985), "Теория блоховских колебаний в малых джозефсоновских переходах", J. Low Temp. Физ. , 59 (3/4): 347–382, Bibcode : 1985JLTP...59..347L, doi : 10.1007/BF00683782, S2CID  120813342
51. Андерсон, П.В. (1964), «Специальные эффекты в сверхпроводимости», в Кайаниелло, Э.Р. (ред.), Лекции по проблеме многих тел, Vol. 2 , Нью-Йорк: Академик Пресс.
52. Дэвидсон, Эрнест Р. (15 февраля 1965). «О выводах принципа неопределенности». Журнал химической физики . 42 (4): 1461–1462. Бибкод : 1965JChPh..42.1461D. дои : 10.1063/1.1696139. ISSN  0021-9606.
53. Холл, Британская Колумбия (2013), Квантовая теория для математиков , Springer, стр. 245, Бибкод : 2013qtm..книга.....H
54. Холл, Британская Колумбия (2013), Квантовая теория для математиков , Springer, стр. 246, Бибкод : 2013qtm..книга.....H
55. Джованнетти, В.; Ллойд, С.; Макконе, Л. (2011). «Достижения квантовой метрологии». Природная фотоника . 5 (4): 222. arXiv : 1102.2318 . Бибкод : 2011NaPho...5..222G. дои : 10.1038/nphoton.2011.35. S2CID  12591819.; arXiv
56. Луис, Альфредо (13 марта 2017 г.). «Преодоление слабого предела Гейзенберга». Физический обзор А. 95 (3): 032113.arXiv : 1607.07668 . Бибкод : 2017PhRvA..95c2113L. doi : 10.1103/PhysRevA.95.032113. ISSN  2469-9926. S2CID  55838380.
57. Буш, П.; Лахти, П.; Вернер, РФ (2013). «Доказательство соотношения ошибки и возмущения Гейзенберга». Письма о физических отзывах . 111 (16): 160405. arXiv : 1306.1565 . Бибкод : 2013PhRvL.111p0405B. doi : 10.1103/PhysRevLett.111.160405. PMID  24182239. S2CID  24507489.
58. Буш, П.; Лахти, П.; Вернер, РФ (2014). «Неопределенность Гейзенберга для измерений кубитов». Физический обзор А. 89 (1): 012129. arXiv : 1311.0837 . Бибкод : 2014PhRvA..89a2129B. doi :10.1103/PhysRevA.89.012129. S2CID  118383022.
59. Эрхарт, Дж.; Спонар, С.; Сулёк, Г.; Бадурек, Г.; Одзава, М.; Хасэгава, Ю. (2012). «Экспериментальная демонстрация универсально действующего соотношения неопределенности ошибка-возмущение в измерениях вращения». Физика природы . 8 (3): 185–189. arXiv : 1201.1833 . Бибкод : 2012NatPh...8..185E. дои : 10.1038/nphys2194. S2CID  117270618.
60. Бэк, С.-Ю.; Канеда, Ф.; Одзава, М.; Эдаматсу, К. (2013). «Экспериментальное нарушение и переформулировка соотношения неопределенностей Гейзенберга ошибка-возмущение». Научные отчеты . 3 : 2221. Бибкод : 2013NatSR...3E2221B. дои : 10.1038/srep02221. ПМЦ 3713528 . ПМИД  23860715. 
61. Рингбауэр, М.; Биггерстафф, DN; Брум, Массачусетс; Федрицци, А.; Браншар, К.; Уайт, АГ (2014). «Экспериментальные совместные квантовые измерения с минимальной неопределенностью». Письма о физических отзывах . 112 (2): 020401. arXiv : 1308.5688 . Бибкод : 2014PhRvL.112b0401R. doi :10.1103/PhysRevLett.112.020401. PMID  24483993. S2CID  18730255.
62. Бьорк, Г.; Седерхольм, Дж.; Трифонов А.; Цегайе, Т.; Карлссон, А. (1999). «Дополнительность и отношения неопределенностей». Физический обзор . A60 (3): 1878. arXiv : quant-ph/9904069 . Бибкод : 1999PhRvA..60.1874B. doi :10.1103/PhysRevA.60.1874. S2CID  27371899.
63. Фудзикава, Кадзуо (2012). «Универсально допустимое соотношение неопределенностей Гейзенберга». Физический обзор А. 85 (6): 062117.arXiv : 1205.1360 . Бибкод : 2012PhRvA..85f2117F. doi :10.1103/PhysRevA.85.062117. S2CID  119640759.
64. Джадж, Д. (1964), «Об отношении неопределенности для угловых переменных», Il Nuovo Cimento , 31 (2): 332–340, Bibcode : 1964NCim...31..332J, doi : 10.1007/BF02733639, S2CID  120553526
65. Бутен, М.; Мене, Н.; Ван Левен, П. (1965), «Об отношении неопределенности для угловых переменных», Il Nuovo Cimento , 37 (3): 1119–1125, Bibcode : 1965NCim...37.1119B, doi : 10.1007/BF02773197, S2CID  122838645
66. Луиселл, WH (1963), «Соотношения неопределенности амплитуды и фазы», ​​Physics Letters , 7 (1): 60–61, Бибкод : 1963PhL.....7...60L, doi : 10.1016/0031-9163( 63)90442-6
67. ДеВитт, Б.С.; Грэм, Н. (1973), Многомировая интерпретация квантовой механики , Принстон: Princeton University Press , стр. 52–53, ISBN 0-691-08126-3
68. Хиршман II младший (1957), «Заметка об энтропии», American Journal of Mathematics , 79 (1): 152–156, doi : 10.2307/2372390, JSTOR  2372390.
69. Бекнер, В. (1975), «Неравенства в анализе Фурье», Annals of Mathematics , 102 (6): 159–182, doi : 10.2307/1970980, JSTOR  1970980, PMC 432369 , PMID  16592223. 
70. Бялыницкий-Бирула, И.; Мисельски, Дж. (1975), «Соотношения неопределенности для информационной энтропии в волновой механике», Communications in Mathematical Physics , 44 (2): 129–132, Bibcode : 1975CMaPh..44..129B, doi : 10.1007/BF01608825, S2CID  122277352
71. Хуан, Ичен (24 мая 2011 г.). «Энтропийные соотношения неопределенностей в многомерных пространствах положения и импульса». Физический обзор А. 83 (5): 052124. arXiv : 1101.2944 . Бибкод : 2011PhRvA..83e2124H. doi :10.1103/PhysRevA.83.052124. S2CID  119243096.
72. Шафаи, Д. (2003), «Гауссов максимум энтропии и обратное лог-неравенство Соболева», Séminaire de Probabilités XXXVI , Конспекты лекций по математике, том. 1801, стр. 194–200, arXiv : math/0102227 , doi : 10.1007/978-3-540-36107-7_5, ISBN 978-3-540-00072-3, S2CID  17795603
73. Чиу, Шао-Хен; Гесснер, Мануэль (31 января 2022 г.). «Улучшение отношений неопределенности суммы с помощью квантовой информации Фишера». Обзор физических исследований . 4 (1): 013076. arXiv : 2109.06900 . Бибкод : 2022PhRvR...4a3076C. doi : 10.1103/PhysRevResearch.4.013076. S2CID  237513883.
74. Хавин, В.; Йорике, Б. (1994), Принцип неопределенности в гармоническом анализе , Springer-Verlag
75. Фолланд, Джеральд; Ситарам, Аллади (май 1997 г.), «Принцип неопределенности: математический обзор», Журнал анализа и приложений Фурье , 3 (3): 207–238, doi : 10.1007/BF02649110, MR  1448337, S2CID  121355943
76. Ситарам, А. (2001) [1994], «Принцип неопределенности, математический», Энциклопедия математики , EMS Press
77. Мэтт Холл, «Что такое принцип неопределенности Габора?»
78. Донохо, DL; Старк, П.Б. (1989). «Принципы неопределенности и восстановление сигнала». SIAM Journal по прикладной математике . 49 (3): 906–931. дои : 10.1137/0149053.
79. Теренс Тао (2005), «Принцип неопределенности для циклических групп простого порядка», Mathematical Research Letters , 12 (1): 121–127, arXiv : math/0308286 , doi : 10.4310/MRL.2005.v12.n1. а11, S2CID  8548232
80. Амрейн, Вашингтон; Бертье, AM (1977), «О свойствах носителя L ^p -функций и их преобразований Фурье», Journal of Functional Analysis , 24 (3): 258–267, doi : 10.1016/0022-1236(77)90056-8 .
81. Бенедикс, М. (1985), «О преобразованиях Фурье функций, поддерживаемых на множествах конечной меры Лебега», J. Math. Анальный. Прил. , 106 (1): 180–183, doi : 10.1016/0022-247X(85)90140-4
82. Назаров, Ф. (1994), "Локальные оценки экспоненциальных полиномов и их приложения к неравенствам типа принципа неопределенности", Санкт-Петербургская математика. Дж. , 5 : 663–717
83. Джеминг, доктор философии (2007), «Принципы неопределенности Назарова в более высоких измерениях», J. Approx. Theory , 149 (1): 30–41, arXiv : math/0612367 , doi : 10.1016/j.jat.2007.04.005, S2CID  9794547
84. Харди, GH (1933), «Теорема о преобразованиях Фурье», Журнал Лондонского математического общества , 8 (3): 227–231, doi : 10.1112/jlms/s1-8.3.227
85. Хёрмандер, Л. (1991), "Теорема единственности Берлинга для пар преобразований Фурье", Ark. Mat. , 29 (1–2): 231–240, Бибкод : 1991ArM....29..237H, номер doi : 10.1007/BF02384339 , S2CID  121375111.
86. Бонами, А .; Деманж, Б.; Джеминг, доктор философии (2003), «Функции Эрмита и принципы неопределенности для Фурье и оконных преобразований Фурье», Rev. Mat. Iberoamericana , 19 : 23–55, arXiv : math/0102111 , Bibcode : 2001math......2111B, doi : 10.4171/RMI/337, S2CID  1211391
87. Хеденмальм, Хаакан (2012), «Принцип неопределенности Гейзенберга в смысле Берлинга», Journal d'Analyse Mathématique , 118 (2): 691–702, arXiv : 1203.5222 , Bibcode : 2012arXiv1203.5222H, doi : 10.1007/s11854- 012-0048-9 , S2CID  54533890
88. Деманж, Бруно (2009), Принципы неопределенности, связанные с невырожденными квадратичными формами , Société Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-297-6
89. Уиттакер, Эдмунд Т. (1989). История теорий эфира и электричества. 2: Современные теории, 1900–1926 гг. (Ред.). Нью-Йорк: Dover Publ. ISBN 978-0-486-26126-3.
90. «Этот месяц в истории физики». www.aps.org . Проверено 4 ноября 2023 г.
91. Гейзенберг, В. (1930), Physikalische Prinzipien der Quantentheorie (на немецком языке), Лейпциг: ХирзельАнглийский перевод Физические принципы квантовой теории . Чикаго: Издательство Чикагского университета, 1930.
92. Гейзенберг, В., Die Physik der Atomkerne , Тейлор и Фрэнсис, 1952, стр. 30.
93. Кэссиди, Дэвид; Саперштейн, Элвин М. (2009), «За пределами неопределенности: Гейзенберг, квантовая физика и бомба», Physics Today , Нью-Йорк: Bellevue Literary Press, 63 (1): 185, Bibcode : 2010PhT....63a.. 49C , doi : 10.1063/1.3293416 , заархивировано из оригинала 4 января 2024 г.
94. Гринштейн, Джордж; Зайонц, Артур (2006). Квантовый вызов: современные исследования основ квантовой механики . Джонс и Бартлетт Обучение. ISBN 978-0-7637-2470-2.
95. Типлер, Пол А.; Ллевелин, Ральф А. (1999), «5–5», Современная физика (3-е изд.), WH Freeman and Co., ISBN 1-57259-164-1
96. Энц, Чарльз Пол; фон Мейенн, Карл (1994). Сочинения по физике и философии Вольфганга Паули. Перевод Роберта Шлаппа. Спрингер-Верлаг. п. 43. ИСБН 3-540-56859-Х.
97. Фейнмановские лекции по физике, том 3, 2–2.
98. Гамов, Г., Великие физики от Галилея до Эйнштейна , Courier Dover, 1988, стр.260.
99. Кумар, М., Квант: Эйнштейн, Бор и великие дебаты о природе реальности , Icon, 2009, с. 282.
100. Гамов, Г., Великие физики от Галилея до Эйнштейна , Courier Dover, 1988, с. 260–261.
101. Кумар, М., Квант: Эйнштейн, Бор и великие дебаты о природе реальности , Icon, 2009, с. 287.
102. Эйнштейн, А.; Подольский, Б.; Розен, Н. (15 мая 1935 г.). «Можно ли квантово-механическое описание физической реальности считать полным?». Физический обзор . 47 (10): 777–780. Бибкод : 1935PhRv...47..777E. дои : 10.1103/PhysRev.47.777 .
103. Кумар, Манджит (2011). Квант: Эйнштейн, Бор и великие дебаты о природе реальности (1. Опубликовано под ред. Нортона в мягкой обложке). Нью-Йорк: Нортон. ISBN 978-0-393-33988-8.
104. Поппер, Карл (1959), Логика научных открытий , Hutchinson & Co.
105. Джарви, Ян Чарльз; Милфорд, Карл; Миллер, Дэвид В. (2006), Карл Поппер: оценка столетия , том. 3, издательство Ashgate, ISBN 978-0-7546-5712-5
106. Поппер, Карл; Карл Фридрих фон Вайцзеккер (1934), «Zur Kritik der Ungenauigkeitsrelationen (Критика отношений неопределенности)», Naturwissenschaften , 22 (48): 807–808, Бибкод : 1934NW.....22..807P, doi : 10.1007/ BF01496543, S2CID  40843068.
107. Поппер, К. Квантовая теория и раскол в физике , Unwin Hyman Ltd, 1982, стр. 53–54.
108. Мехра, Джагдиш ; Рехенберг, Хельмут (2001), Историческое развитие квантовой теории , Springer, ISBN 978-0-387-95086-0
109. Комптон, AH (1931). «Принцип неопределенности и свобода воли». Наука . 74 (1911): 172. Бибкод : 1931Sci....74..172C. дои : 10.1126/science.74.1911.172. PMID  17808216. S2CID  29126625.
110. Гейзенберг, М. (2009). «Свободная воля — иллюзия?». Природа . 459 (7244): 164–165. Бибкод : 2009Natur.459..164H. дои : 10.1038/459164a . PMID  19444190. S2CID  4420023.
111. Дэвис, PCW (2004). «Играет ли квантовая механика нетривиальную роль в жизни?». Биосистемы . 78 (1–3): 69–79. Бибкод : 2004BiSys..78...69D. doi :10.1016/j.biosystems.2004.07.001. ПМИД  15555759.
112. Хангги, Эстер; Венер, Стефани (2013). «Нарушение принципа неопределенности влечет за собой нарушение второго закона термодинамики». Природные коммуникации . 4 : 1670. arXiv : 1205.6894 . Бибкод : 2013NatCo...4.1670H. doi : 10.1038/ncomms2665. PMID  23575674. S2CID  205316392.
113. Кембл, ЕС, 1937, «Фундаментальные принципы квантовой механики» (МакГроу-Хилл, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк; переиздано Dover)
114. Хааг, Р., 1996, «Локальная квантовая физика: поля, частицы, алгебры» (Шпрингер, Берлин).
115. Перес, Ашер; Терно, Дэниел Р. (6 января 2004 г.). Квантовая информация и теория относительности. Том. 76. стр. 93–123. doi : 10.1103/RevModPhys.76.93. ISSN  0034-6861.
116. Элион, WJ; Материя, М.; Гейгенмюллер, У.; Mooij, JE (1994), «Прямая демонстрация принципа неопределенности Гейзенберга в сверхпроводнике», Nature , 371 (6498): 594–595, Bibcode : 1994Natur.371..594E, doi : 10.1038/371594a0, S2CID  4240085
117. Смити, DT; М. Бек, Дж. Купер, М. Г. Реймер; Купер, Дж.; Раймер, М.Г. (1993), "Измерение отношений неопределенностей число-фаза оптических полей", Phys. Rev. A , 48 (4): 3159–3167, Bibcode : 1993PhRvA..48.3159S, doi : 10.1103/PhysRevA.48.3159, PMID  9909968{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
118. Кейвс, Карлтон (1981), «Квантово-механический шум в интерферометре», Phys. Rev. D , 23 (8): 1693–1708, Бибкод : 1981PhRvD..23.1693C, doi : 10.1103/PhysRevD.23.1693.

Внешние ссылки

• «Принцип неопределенности», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Статья в Стэнфордской энциклопедии философии