Неравенство Коши – Шварца

Математическое неравенство, связывающее внутренние продукты и нормы

Неравенство Коши–Шварца (также называемое неравенством Коши–Буняковского–Шварца ) ^{[1] [2] [3] [4]} представляет собой верхнюю границу скалярного произведения между двумя векторами в пространстве внутреннего произведения в терминах произведения векторные нормы . Оно считается одним из самых важных и широко используемых неравенств в математике. ^[5]

Неравенство для сумм было опубликовано Огюстеном-Луи Коши  (1821 г.). Соответствующее неравенство для интегралов опубликовали Виктор Буняковский  (1859 г.) ^[2] и Герман Шварц  (1888 г.). Шварц дал современное доказательство интегральной версии. ^[5]

Формулировка неравенства

Неравенство Коши – Шварца утверждает, что для всех векторов и пространства внутреннего продукта ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

где внутренний продукт . Примеры внутренних продуктов включают реальное и сложное скалярное произведение ; см. примеры во внутреннем продукте . Каждое скалярное произведение порождает евклидову норму , называемую канонической или индуцированной нормой , где норма вектора обозначается и определяется как ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle l_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$

$${\displaystyle \|\mathbf {u} \|:={\sqrt {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }},}$$

^{[6] [7]} ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }$

Более того, обе стороны равны тогда и только тогда, когда и линейно зависимы . ^{[8] [9] [10]} ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Особые случаи

Лемма Седракяна - Положительные действительные числа

Неравенство Седракяна , также называемое неравенством Бергстрема, формой Энгеля , леммой Т2 или леммой Титу , утверждает, что для действительных чисел и положительных действительных чисел : ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}}$ ${\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}}$

$${\displaystyle {\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{n}v_{i}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{i}^{2}}{v_{i}}}\quad {\text{ or equivalently, }}\quad {\frac {\left(u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}\right)^{2}}{v_{1}+v_{2}+\cdots +v_{n}}}\leq {\frac {u_{1}^{2}}{v_{1}}}+{\frac {u_{2}^{2}}{v_{2}}}+\cdots +{\frac {u_{n}^{2}}{v_{n}}}.}$$

Это прямое следствие неравенства Коши – Шварца, полученного с помощью скалярного произведения при замене и . Эта форма особенно полезна, когда неравенство включает в себя дроби, в которых числитель представляет собой полный квадрат . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle u_{i}'=u_{i}/{\sqrt {v_{i}}}}$ ${\displaystyle v_{i}'={\sqrt {v_{i}}}}$

Р 2 — Самолет

Неравенство Коши-Шварца в единичной окружности евклидовой плоскости

Действительное векторное пространство обозначает двумерную плоскость. Это также двумерное евклидово пространство , где скалярным произведением является скалярное произведение . Если и то неравенство Коши – Шварца принимает вид: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =\left(u_{1},u_{2}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{1},v_{2}\right)}$

$${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ^{2}=(\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|\cos \theta )^{2}\leq \|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2},}$$

_ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Приведенная выше форма, пожалуй, самая простая для понимания неравенства, поскольку квадрат косинуса может быть не более 1, что происходит, когда векторы направлены в одном или противоположном направлении. Его также можно переформулировать в терминах векторных координат , , , и как ${\displaystyle u_{1}}$ ${\displaystyle u_{2}}$ ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$

$${\displaystyle \left(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}\right)^{2}\leq \left(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}\right)\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right),}$$

${\displaystyle \left(u_{1},u_{2}\right)}$ ${\displaystyle \left(v_{1},v_{2}\right)}$

R n - n -мерное евклидово пространство

В евклидовом пространстве со стандартным скалярным произведением, которое представляет собой скалярное произведение , неравенство Коши – Шварца принимает вид: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right).}$$

Неравенство Коши – Шварца в этом случае можно доказать, используя только элементарную алгебру, заметив, что разность правой и левой частей равна ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1,\ldots ,n}(u_{i}v_{j}-u_{j}v_{i})^{2}\geq 0}$

или рассмотрев следующий квадратичный полином в ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \left(u_{1}x+v_{1}\right)^{2}+\cdots +\left(u_{n}x+v_{n}\right)^{2}=\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)x^{2}+2\left(\sum _{i}u_{i}v_{i}\right)x+\sum _{i}v_{i}^{2}.}$$

Поскольку последний многочлен неотрицательен, он имеет не более одного вещественного корня, следовательно, его дискриминант меньше или равен нулю. То есть,

$${\displaystyle \left(\sum _{i}u_{i}v_{i}\right)^{2}-\left(\sum _{i}{u_{i}^{2}}\right)\left(\sum _{i}{v_{i}^{2}}\right)\leq 0.}$$

C n - n -мерное комплексное пространство

Если с и (где и ) и если внутренний продукт в векторном пространстве является каноническим комплексным внутренним продуктом (определяемым тем, где для комплексного сопряжения используется обозначение столбца ), то неравенство можно переформулировать более явно следующим образом: ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =\left(u_{1},\ldots ,u_{n}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)}$ ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle :=u_{1}{\overline {v_{1}}}+\cdots +u_{n}{\overline {v_{n}}},}$

$${\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}=\left|\sum _{k=1}^{n}u_{k}{\bar {v}}_{k}\right|^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle =\left(\sum _{k=1}^{n}u_{k}{\bar {u}}_{k}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}v_{k}{\bar {v}}_{k}\right)=\sum _{j=1}^{n}\left|u_{j}\right|^{2}\sum _{k=1}^{n}\left|v_{k}\right|^{2}.}$$

То есть,

$${\displaystyle \left|u_{1}{\bar {v}}_{1}+\cdots +u_{n}{\bar {v}}_{n}\right|^{2}\leq \left(\left|u_{1}\right|^{2}+\cdots +\left|u_{n}\right|^{2}\right)\left(\left|v_{1}\right|^{2}+\cdots +\left|v_{n}\right|^{2}\right).}$$

Л 2

Для пространства внутреннего произведения комплекснозначных функций, интегрируемых с квадратом , справедливо следующее неравенство:

$${\displaystyle \left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\overline {g(x)}}\,dx\right|^{2}\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x)|^{2}\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}|g(x)|^{2}\,dx.}$$

Неравенство Гёльдера является его обобщением.

Приложения

Анализ

В любом пространстве внутреннего продукта неравенство треугольника является следствием неравенства Коши – Шварца, как теперь показано:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}&=\langle \mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle &&\\&=\|\mathbf {u} \|^{2}+\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle +\|\mathbf {v} \|^{2}~&&~{\text{ where }}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }}\\&=\|\mathbf {u} \|^{2}+2\operatorname {Re} \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\|\mathbf {v} \|^{2}&&\\&\leq \|\mathbf {u} \|^{2}+2|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |+\|\mathbf {v} \|^{2}&&\\&\leq \|\mathbf {u} \|^{2}+2\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|+\|\mathbf {v} \|^{2}~&&~{\text{ using CS}}\\&=(\|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|)^{2}.&&\end{alignedat}}}$$

Извлечение квадратных корней дает неравенство треугольника:

$${\displaystyle \|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|\leq \|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|.}$$

Неравенство Коши – Шварца используется для доказательства того, что скалярное произведение является непрерывной функцией относительно топологии , индуцированной самим скалярным произведением. ^{[11] [12]}

Геометрия

Неравенство Коши – Шварца позволяет распространить понятие «угол между двумя векторами» на любое реальное пространство внутреннего продукта, определив: ^{[13] [14]}

$${\displaystyle \cos \theta _{\mathbf {u} \mathbf {v} }={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}}.}$$

Неравенство Коши-Шварца доказывает разумность этого определения, показывая, что правая часть лежит в интервале [−1, 1] , и подтверждает представление о том, что (реальные) гильбертовы пространства являются просто обобщениями евклидова пространства . Его также можно использовать для определения угла в комплексных пространствах внутреннего продукта , принимая абсолютное значение или действительную часть правой части, ^{[15] [16]} , как это делается при извлечении метрики из квантовой точности .

Теория вероятности

Пусть и — случайные величины , тогда ковариационное неравенство ^{[17] [18]} имеет вид: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle \operatorname {Var} (X)\geq {\frac {\operatorname {Cov} (X,Y)^{2}}{\operatorname {Var} (Y)}}.}$$

После определения внутреннего продукта на наборе случайных величин, используя математическое ожидание их продукта,

$${\displaystyle \langle X,Y\rangle :=\operatorname {E} (XY),}$$

$${\displaystyle |\operatorname {E} (XY)|^{2}\leq \operatorname {E} (X^{2})\operatorname {E} (Y^{2}).}$$

Чтобы доказать ковариационное неравенство с помощью неравенства Коши – Шварца, пусть и тогда ${\displaystyle \mu =\operatorname {E} (X)}$ ${\displaystyle \nu =\operatorname {E} (Y),}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}|\operatorname {Cov} (X,Y)|^{2}&=|\operatorname {E} ((X-\mu )(Y-\nu ))|^{2}\\&=|\langle X-\mu ,Y-\nu \rangle |^{2}\\&\leq \langle X-\mu ,X-\mu \rangle \langle Y-\nu ,Y-\nu \rangle \\&=\operatorname {E} \left((X-\mu )^{2}\right)\operatorname {E} \left((Y-\nu )^{2}\right)\\&=\operatorname {Var} (X)\operatorname {Var} (Y),\end{aligned}}}$$

дисперсиюковариацию ${\displaystyle \operatorname {Var} }$ ${\displaystyle \operatorname {Cov} }$

Доказательства

Существует множество различных доказательств ^[19] неравенства Коши–Шварца, помимо приведенных ниже. ^{[5] [7]} При обращении к другим источникам часто возникают два источника путаницы. Во-первых, некоторые авторы определяют ⟨⋅,⋅⟩ как линейные по второму аргументу , а не по первому. Во-вторых, некоторые доказательства действительны только тогда, когда поле есть , а не ^[20] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

В этом разделе приведены доказательства следующей теоремы:

Неравенство Коши – Шварца.  Пусть  и – произвольные векторы в пространстве внутреннего произведения над скалярным полем, где – поле действительных или комплексных чисел. Тогда ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

сравенство выполняется в неравенстве Коши – Шварца тогда и только тогда, когда и линейно зависимы. ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Более того, если и тогда ${\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\|\mathbf {v} \|^{2}}}\mathbf {v} .}$

Во всех доказательствах, приведенных ниже, доказательство в тривиальном случае, когда хотя бы один из векторов равен нулю (или, что то же самое, в случае, когда ) одинаково. Оно представлено непосредственно ниже только один раз, чтобы уменьшить повторение. Он также включает в себя простую часть доказательства характеристики равенства, приведенную выше; то есть доказывает, что если и линейно зависимы, то ${\displaystyle \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|=0}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|.}$

Следовательно, неравенство Коши – Шварца необходимо доказывать только для ненулевых векторов, а также необходимо показать только нетривиальное направление характеризации равенства.

Доказательство 1

Особый случай был доказан выше, поэтому в дальнейшем предполагается, что равенство Коши – Шварца (и остальная часть теоремы) является почти непосредственным следствием следующего равенства : ^[21] ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} .}$

Вывод Коши – Шварца из уравнения. 1

Поскольку левая часть уравнения. 1 неотрицательна, как и правая часть, которая доказывает то, из чего следует неравенство Коши-Шварца (путем извлечения квадратного корня из обеих частей). ${\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\leq \|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2},}$

Если тогда правая часть (а значит, и левая часть) уравнения. 1 , что возможно только в том случае, если ^{[примечание 1]} Таким образом , это показывает, что и линейно зависимы. ^[21] ${\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \|\mathbf {v} \|^{2}\mathbf {u} -\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \mathbf {v} =\mathbf {0} .}$ ${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\|\mathbf {v} \|^{2}}}\mathbf {v} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Равенство _ 1 легко проверяется путем элементарного расширения (через определение нормы), а затем упрощения: ${\displaystyle \left\|\|\mathbf {v} \|^{2}\mathbf {u} -\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \mathbf {v} \right\|^{2}}$

Доказательство уравнения. 1

Пусть и так то и Тогда ${\displaystyle V=\|\mathbf {v} \|^{2}}$ ${\displaystyle c=\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }$ ${\displaystyle {\bar {c}}c=|c|^{2}=|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}}$ ${\displaystyle {\bar {c}}={\overline {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }}=\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle .}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\left\|\|\mathbf {v} \|^{2}\mathbf {u} -\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \mathbf {v} \right\|^{2}&=\|V\mathbf {u} -c\mathbf {v} \|^{2}=\langle V\mathbf {u} -c\mathbf {v} ,V\mathbf {u} -c\mathbf {v} \rangle &&~\quad {\text{ By definition of the norm }}\\[0.5ex]&=\langle V\mathbf {u} ,V\mathbf {u} \rangle -\langle V\mathbf {u} ,c\mathbf {v} \rangle -\langle c\mathbf {v} ,V\mathbf {u} \rangle +\langle c\mathbf {v} ,c\mathbf {v} \rangle &&~\quad {\text{ Expand }}\\[0.5ex]&=V^{2}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle -V{\bar {c}}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle -cV\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle \,+c{\bar {c}}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle &&~\quad {\text{ Pull out scalars (note that }}V:=\|\mathbf {v} \|^{2}{\text{ is real) }}\\[0.5ex]&=V^{2}\|\mathbf {u} \|^{2}~~-V{\bar {c}}c~~~~~~~~-cV{\bar {c}}~~~~~~~~+c{\bar {c}}V&&~\quad {\text{ Use definitions of }}c:=\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle {\text{ and }}V\\[0.5ex]&=V^{2}\|\mathbf {u} \|^{2}~~-V{\bar {c}}c~=~V\left[V\|\mathbf {u} \|^{2}-{\bar {c}}c\right]&&~\quad {\text{ Simplify }}\\[0.5ex]&=\|\mathbf {v} \|^{2}\left[\|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}-|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\right]&&~\quad {\text{ Rewrite in terms of }}\mathbf {u} {\text{ and }}\mathbf {v} .\\\end{alignedat}}}$$

Деление на завершает доказательство. ${\displaystyle \|\mathbf {v} \|^{2}\neq 0}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Это расширение не обязательно должно быть ненулевым; однако оно должно быть ненулевым, чтобы можно было разделить на него обе части и вывести из него неравенство Коши – Шварца. Обмен и приводит к: ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \|\mathbf {v} \|^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

$${\displaystyle \left\|\|\mathbf {u} \|^{2}\mathbf {v} -{\overline {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {u} \right\|^{2}~=~\|\mathbf {u} \|^{2}\left[\|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}-|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\right]}$$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}\left[\|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}-|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\right]~&=~\|\mathbf {u} \|^{2}\left\|\|\mathbf {v} \|^{2}\mathbf {u} -\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \mathbf {v} \right\|^{2}\\~&=~\|\mathbf {v} \|^{2}\left\|\|\mathbf {u} \|^{2}\mathbf {v} -{\overline {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {u} \right\|^{2}.\\\end{alignedat}}}$$

Доказательство 2

Частный случай был доказан выше, поэтому в дальнейшем предполагается, что Пусть ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} .}$

$${\displaystyle \mathbf {z} :=\mathbf {u} -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {v} .}$$

Из линейности скалярного произведения в его первом аргументе следует, что:

$${\displaystyle \langle \mathbf {z} ,\mathbf {v} \rangle =\left\langle \mathbf {u} -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {v} ,\mathbf {v} \right\rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle =0.}$$

Таким образом , мы можем применить теорему Пифагора к _ ${\displaystyle \mathbf {z} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {z} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} .}$

$${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {v} +\mathbf {z} }$$

$${\displaystyle \|\mathbf {u} \|^{2}=\left|{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\right|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}+\|\mathbf {z} \|^{2}={\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}}{(\|\mathbf {v} \|^{2})^{2}}}\,\|\mathbf {v} \|^{2}+\|\mathbf {z} \|^{2}={\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}}{\|\mathbf {v} \|^{2}}}+\|\mathbf {z} \|^{2}\geq {\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}}{\|\mathbf {v} \|^{2}}}.}$$

Неравенство Коши – Шварца получается путем умножения на и последующего извлечения квадратного корня. Более того, если отношение в приведенном выше выражении на самом деле является равенством, то и, следовательно, определение then устанавливает отношение линейной зависимости между и. Обратное утверждение было доказано в начале этого раздела, поэтому доказательство завершено. ${\displaystyle \|\mathbf {v} \|^{2}}$ ${\displaystyle \geq }$ ${\displaystyle \|\mathbf {z} \|^{2}=0}$ ${\displaystyle \mathbf {z} =\mathbf {0} ;}$ ${\displaystyle \mathbf {z} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} .}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Доказательство реальных внутренних продуктов

Пусть это настоящее пространство внутреннего продукта. Рассмотрим произвольную пару и функцию , определенную Так как скалярный продукт положительно определен, принимает только неотрицательные значения. С другой стороны, его можно расширить, используя билинейность внутреннего продукта и тот факт, что для реальных внутренних продуктов: ${\displaystyle (V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$ ${\displaystyle p:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(t)=\langle t\mathbf {u} +\mathbf {v} ,t\mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle .}$ ${\displaystyle p(t)}$ ${\displaystyle p(t)}$ ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }$

$${\displaystyle p(t)=\Vert \mathbf {u} \Vert ^{2}t^{2}+t\left[\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle \right]+\Vert \mathbf {v} \Vert ^{2}=\Vert \mathbf {u} \Vert ^{2}t^{2}+2t\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\Vert \mathbf {v} \Vert ^{2}.}$$

${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle u=0,}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle \Delta =4\left(\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ^{2}-\Vert \mathbf {u} \Vert ^{2}\Vert \mathbf {v} \Vert ^{2}\right)\leqslant 0.}$$

В случае равенства обратите внимание, что это происходит тогда и только тогда, когда If then и, следовательно, ${\displaystyle \Delta =0}$ ${\displaystyle p(t)=(t\Vert \mathbf {u} \Vert +\Vert \mathbf {v} \Vert )^{2}.}$ ${\displaystyle t_{0}=-\Vert \mathbf {v} \Vert /\Vert \mathbf {u} \Vert ,}$ ${\displaystyle p(t_{0})=\langle t_{0}\mathbf {u} +\mathbf {v} ,t_{0}\mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle =0,}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =-t_{0}\mathbf {u} .}$

Доказательство скалярного произведения

Неравенство Коши – Шварца в случае, когда скалярное произведение представляет собой скалярное произведение , теперь доказано. Неравенство Коши – Шварца можно переписать как или эквивалентно, что расширяется до: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \left|\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right|^{2}\leq \left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\,\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right)^{2}\leq \left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} \right)\,\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} \right)}$ ${\displaystyle \mathbf {a} :=\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right),\mathbf {b} :=\left(b_{1},\ldots ,b_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n},}$

$${\displaystyle \left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots +b_{n}^{2}\right)\geq \left(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}\right)^{2}.}$$

Для упрощения пусть

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2},\\B&=b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots +b_{n}^{2}\\D&=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}\\\end{aligned}}}$$

так что утверждение ,уравнения ${\displaystyle AB\geq D^{2},}$ ${\displaystyle D^{2}-AB\leq 0.}$ ${\displaystyle Ax^{2}+2Dx+B}$ ${\displaystyle 4D^{2}-4AB.}$

Следовательно, для завершения доказательства достаточно доказать, что это квадратное уравнение либо не имеет действительных корней, либо имеет ровно один действительный корень, потому что это будет означать:

$${\displaystyle 4\left(D^{2}-AB\right)\leq 0.}$$

Подстановка значений в дает: ${\displaystyle A,B,D}$ ${\displaystyle Ax^{2}+2Dx+B}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}Ax^{2}+2Dx+B&=\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}\right)x^{2}+2\left(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}\right)x+\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots +b_{n}^{2}\right)\\&=\left(a_{1}^{2}x^{2}+2a_{1}b_{1}x+b_{1}^{2}\right)+\left(a_{2}^{2}x^{2}+2a_{2}b_{2}x+b_{2}^{2}\right)+\cdots +\left(a_{n}^{2}x^{2}+2a_{n}b_{n}x+b_{n}^{2}\right)\\&=\left(a_{1}x+b_{1}\right)^{2}+\left(a_{2}x+b_{2}\right)^{2}+\cdots +\left(a_{n}x+b_{n}\right)^{2}\\&\geq 0\end{alignedat}}}$$

${\displaystyle \,\geq 0\,}$ ${\displaystyle r^{2}\geq 0}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle a_{i}x=-b_{i}}$

$${\displaystyle \left(a_{1}x+b_{1}\right)^{2}+\left(a_{2}x+b_{2}\right)^{2}+\cdots +\left(a_{n}x+b_{n}\right)^{2}\geq 0,}$$

${\displaystyle \blacksquare }$

Обобщения

Существуют различные обобщения неравенства Коши – Шварца. Неравенство Гёльдера обобщает его на нормы. В более общем смысле его можно интерпретировать как частный случай определения нормы линейного оператора в банаховом пространстве (а именно, когда это пространство является гильбертовым ). Дальнейшие обобщения находятся в контексте теории операторов , например, для операторно-выпуклых функций и операторных алгебр , где область определения и/или диапазон заменяются C*-алгеброй или W*-алгеброй . ${\displaystyle L^{p}}$

Внутренний продукт можно использовать для определения положительного линейного функционала . Например, учитывая, что гильбертово пространство является конечной мерой, стандартный внутренний продукт порождает положительный функционал. И наоборот, каждый положительный линейный функционал на может использоваться для определения внутреннего продукта , где является поточечным комплексно сопряженным Неравенство Коши–Шварца принимает вид ^[22] ${\displaystyle L^{2}(m),m}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (g)=\langle g,1\rangle .}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle L^{2}(m)}$ ${\displaystyle \langle f,g\rangle _{\varphi }:=\varphi \left(g^{*}f\right),}$ ${\displaystyle g^{*}}$ ${\displaystyle g.}$

$${\displaystyle \left|\varphi \left(g^{*}f\right)\right|^{2}\leq \varphi \left(f^{*}f\right)\varphi \left(g^{*}g\right),}$$

которое дословно расширяется до положительных функционалов на C*-алгебрах:

Неравенство Коши–Шварца для положительных функционалов на C*-алгебрах ^{[23] [24]}  —  Если — положительный линейный функционал на C*-алгебре, то для всех ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle a,b\in A,}$ ${\displaystyle \left|\varphi \left(b^{*}a\right)\right|^{2}\leq \varphi \left(b^{*}b\right)\varphi \left(a^{*}a\right).}$

Следующие две теоремы являются дальнейшими примерами операторной алгебры.

Неравенство Кадисона – Шварца ^{[25] [26]}  (названо в честь Ричарда Кадисона )  —  если это положительное отображение с единицей, то для каждого нормального элемента в его области определения мы имеем и ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \varphi (a^{*}a)\geq \varphi \left(a^{*}\right)\varphi (a)}$ ${\displaystyle \varphi \left(a^{*}a\right)\geq \varphi (a)\varphi \left(a^{*}\right).}$

Это расширяет тот факт, когда – линейный функционал. Случай, когда является самосопряженным, то есть иногда называют неравенством Кадисона . ${\displaystyle \varphi \left(a^{*}a\right)\cdot 1\geq \varphi (a)^{*}\varphi (a)=|\varphi (a)|^{2},}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=a^{*},}$

Неравенство Коши – Шварца  (Модифицированное неравенство Шварца для 2-положительных отображений ^[27] )  —  для 2-положительного отображения между C*-алгебрами для всех в его области определения, ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle a,b}$

$${\displaystyle \varphi (a)^{*}\varphi (a)\leq \Vert \varphi (1)\Vert \varphi \left(a^{*}a\right),{\text{ and }}}$$

$${\displaystyle \Vert \varphi \left(a^{*}b\right)\Vert ^{2}\leq \Vert \varphi \left(a^{*}a\right)\Vert \cdot \Vert \varphi \left(b^{*}b\right)\Vert .}$$

Другое обобщение представляет собой уточнение, полученное путем интерполяции между обеими частями неравенства Коши – Шварца:

Неравенство Каллебо ^[28]  —  Для реальных чисел ${\displaystyle 0\leqslant s\leqslant t\leqslant 1,}$

$${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}~\leqslant ~\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1+s}b_{i}^{1-s}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1-s}b_{i}^{1+s}\right)~\leqslant ~\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1+t}b_{i}^{1-t}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1-t}b_{i}^{1+t}\right)~\leqslant ~\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right).}$$

Эту теорему можно вывести из неравенства Гёльдера . ^[29] Существуют также некоммутативные версии операторов и тензорных произведений матриц. ^[30]

Несколько матричных версий неравенства Коши – Шварца и неравенства Канторовича применяются к моделям линейной регрессии. ^{[31] [32]}

Смотрите также

• Неравенство Бесселя  - теоремаPages displaying wikidata descriptions as a fallbackPages displaying short descriptions with no spaces
• Неравенство Гельдера  - Неравенство между интегралами в пространствах Lp
• Неравенство Йенсена  - Теорема о выпуклых функциях
• Неравенство Канторовича
• Неравенство Куниты – Ватанабэ
• Неравенство Минковского  - неравенство, согласно которому установленные пространства L ^p являются нормированными векторными пространствами.
• Неравенство Пэли – Зигмунда  - неравенство, применимое к случайным величинам с конечной дисперсиейPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Примечания

1. Фактически, это сразу следует из уравнения. 1 что когда тогда тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} ,}$ ${\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}$ ${\displaystyle \|\mathbf {v} \|^{2}\mathbf {u} =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \mathbf {v} .}$

Цитаты

1. О'Коннор, Джей-Джей; Робертсон, EF «Герман Амандус Шварц». Университет Сент-Эндрюс , Шотландия .
2. Битюцков, В.И. (2001) [1994], «Неравенство Буняковского», Энциклопедия математики , EMS Press
3. Джургус, Бранко. «Неравенство Коши-Буняковского-Шварца». Кафедра математики. Университет Западного Вашингтона .
4. Джойс, Дэвид Э. «Неравенство Коши» (PDF) . Кафедра математики и информатики. Университет Кларка . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
5. Steele, Дж. Майкл (2004). Мастер-класс Коши – Шварца: введение в искусство математических неравенств. Математическая ассоциация Америки. п. 1. ISBN 978-0521546775. ...нет сомнения, что это одно из наиболее широко используемых и важнейших неравенств во всей математике.
6. Стрэнг, Гилберт (19 июля 2005 г.). «3,2». Линейная алгебра и ее приложения (4-е изд.). Стэмфорд, Коннектикут: Cengage Learning. стр. 154–155. ISBN 978-0030105678.
7. Хантер, Джон К.; Нахтергаэле, Бруно (2001). Прикладной анализ. Всемирная научная. ISBN 981-02-4191-7.
8. Бахманн, Джордж; Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (6 декабря 2012 г.). Фурье и вейвлет-анализ. Springer Science & Business Media. п. 14. ISBN 9781461205050.
9. Хасани, Садри (1999). Математическая физика: современное введение в ее основы . Спрингер. п. 29. ISBN 0-387-98579-4. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда <c|c>=0 или |c>=0. Из определения |c> заключаем, что |a> и |b> должны быть пропорциональны.
10. Экслер, Шелдон (2015). Линейная алгебра сделана правильно, 3-е изд. Международное издательство Спрингер. п. 172. ИСБН 978-3-319-11079-0. Это неравенство является равенством тогда и только тогда, когда одно из u, v скалярно кратно другому.
11. Бахман, Джордж; Наричи, Лоуренс (26 сентября 2012 г.). Функциональный анализ. Курьерская корпорация. п. 141. ИСБН 9780486136554.
12. Шварц, Чарльз (21 февраля 1994 г.). Мера, интегрирование и функциональные пространства. Всемирная научная. п. 236. ИСБН 9789814502511.
13. Рикардо, Генри (21 октября 2009 г.). Современное введение в линейную алгебру. ЦРК Пресс. п. 18. ISBN 9781439894613.
14. Банерджи, Судипто; Рой, Аниндья (6 июня 2014 г.). Линейная алгебра и матричный анализ для статистики. ЦРК Пресс. п. 181. ИСБН 9781482248241.
15. Валенца, Роберт Дж. (6 декабря 2012 г.). Линейная алгебра: введение в абстрактную математику. Springer Science & Business Media. п. 146. ИСБН 9781461209010.
16. Константин, Адриан (21 мая 2016 г.). Анализ Фурье с приложениями. Издательство Кембриджского университета. п. 74. ИСБН 9781107044104.
17. Мухопадьяй, Нитис (22 марта 2000 г.). Вероятность и статистический вывод. ЦРК Пресс. п. 150. ИСБН 9780824703790.
18. Кинер, Роберт В. (08 сентября 2010 г.). Теоретическая статистика: темы основного курса. Springer Science & Business Media. п. 71. ИСБН 9780387938394.
19. Ву, Хуэй-Хуа; Ву, Шанхэ (апрель 2009 г.). «Различные доказательства неравенства Коши-Шварца» (PDF) . Математический журнал Octogon . 17 (1): 221–229. ISBN 978-973-88255-5-0. ISSN  1222-5657. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г. Проверено 18 мая 2016 г.
20. Алипрантис, Хараламбос Д.; Бордер, Ким К. (02 мая 2007 г.). Бесконечномерный анализ: Путеводитель для автостопа. Springer Science & Business Media. ISBN 9783540326960.
21. Халмос 1982, стр. 2, 167.
22. Фариа, Эдсон де; Мело, Веллингтон де (12 августа 2010 г.). Математические аспекты квантовой теории поля. Издательство Кембриджского университета. п. 273. ИСБН 9781139489805.
23. Линь, Хуасинь (1 января 2001 г.). Введение в классификацию аменабельных C*-алгебр. Всемирная научная. п. 27. ISBN 9789812799883.
24. Арвесон, В. (6 декабря 2012 г.). Приглашение к C*-алгебрам. Springer Science & Business Media. п. 28. ISBN 9781461263715.
25. Стёрмер, Эрлинг (13 декабря 2012 г.). Положительные линейные отображения операторных алгебр. Монографии Спрингера по математике. Springer Science & Business Media. ISBN 9783642343698.
26. Кэдисон, Ричард В. (1 января 1952 г.). «Обобщенное неравенство Шварца и алгебраические инварианты операторных алгебр». Анналы математики . 56 (3): 494–503. дои : 10.2307/1969657. JSTOR  1969657.
27. Полсен, Верн (2002). Вполне ограниченные отображения и операторные алгебры. Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 78. Издательство Кембриджского университета. п. 40. ISBN 9780521816694.
28. Каллебо, ДК (1965). «Обобщение неравенства Коши – Шварца». Дж. Математика. Анальный. Приложение . 12 (3): 491–494. дои : 10.1016/0022-247X(65)90016-8 .
29. Неравенство Каллебо. Запись в AoPS Wiki.
30. Мослехян, М.С.; Матару, Дж.С.; Ауджла, Дж.С. (2011). «Некоммутативное неравенство Каллебо». Линейная алгебра и ее приложения . 436 (9): 3347–3353. arXiv : 1112.3003 . дои : 10.1016/j.laa.2011.11.024. S2CID  119592971.
31. Лю, Шуанчжэ; Нойдекер, Хайнц (1999). «Обзор матричных неравенств типа Коши-Шварца и Канторовича». Статистические документы . 40 : 55–73. дои : 10.1007/BF02927110. S2CID  122719088.
32. Лю, Шуанчжэ; Тренклер, Гетц; Колло, Тыну; фон Розен, Дитрих; Баксалари, Оскар Мария (2023). «Профессор Хайнц Нойдекер и матричное дифференциальное исчисление». Статистические документы . doi : 10.1007/s00362-023-01499-w. S2CID  263661094.

Рекомендации

• Алдас, Дж. М.; Барза, С.; Фуджи, М.; Мослехиан, М.С. (2015), «Достижения в области операторных неравенств Коши — Шварца и их обратные варианты», Annals of Functional Analysis , 6 (3): 275–295, doi : 10.15352/afa/06-3-20, S2CID  122631202
• Буняковский, Виктор (1859), «Sur quelques inegalités касается les intégrales aux différences Finies» (PDF) , Mem. акад. наук. Санкт-Петербургская , 7 (1):6, в архиве (PDF) с оригинала 09.10.2022.
• Коши, А.-Л. (1821), «Sur les formules qui résultent de l'emploie du Signe et sur > ou <, et sur les moyennes entre plusieurs quantités», Cours d'Analyse, 1er Partie: Analysis Algébrique 1821; OEuvres Сер.2 III 373-377
• Драгомир, С.С. (2003), «Обзор дискретных неравенств типа Коши – Буняковского – Шварца», Журнал «Неравенства в чистой и прикладной математике» , 4 (3): 142 стр., заархивировано из оригинала 20 июля 2008 г.
• Гриншпан, А.З. (2005), «Общие неравенства, последствия и приложения», Успехи в прикладной математике , 34 (1): 71–100, doi : 10.1016/j.aam.2004.05.001
• Халмос, Пол Р. (8 ноября 1982 г.). Книга задач о гильбертовом пространстве . Тексты для аспирантов по математике . Том. 19 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90685-0. ОСЛК  8169781.
• Кадисон, Р.В. (1952), «Обобщенное неравенство Шварца и алгебраические инварианты для операторных алгебр», Annals of Mathematics , 56 (3): 494–503, doi : 10.2307/1969657, JSTOR  1969657.
• Лоуотер, Артур (1982), Введение в неравенство , электронная онлайн-книга в формате PDF
• Полсен, В. (2003), Полностью ограниченные карты и операторные алгебры , издательство Кембриджского университета.
• Шварц, HA (1888), «Über ein Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes Issue der Variationsrechnung» (PDF) , Acta Societatis Scientiarum Fennicae , XV : 318, заархивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
• Соломенцев, Э.Д. (2001) [1994], «Неравенство Коши», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Стил, Дж. М. (2004), Мастер-класс Коши – Шварца, издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-54677-Х

Внешние ссылки

• Самое раннее использование: статья о неравенстве Коши – Шварца содержит некоторую историческую информацию.
• Пример применения неравенства Коши – Шварца для определения линейно независимых векторов. Учебное пособие и интерактивная программа.