Релятивистское распределение Брейта – Вигнера

Резонанс релятивистских частиц и уширение линии распада.

Релятивистское распределение Брейта-Вигнера (после формулы ядерного резонанса 1936 года ^{[ 1]} Грегори Брейта и Юджина Вигнера ) представляет собой непрерывное распределение вероятностей со следующей функцией плотности вероятности :

${\displaystyle f(E)={\frac {k}{\left(E^{2}-M^{2}\right)^{2}+M^{2}\Gamma ^{2}}}~,}$

где k – константа пропорциональности, равная

${\displaystyle k={\frac {2{\sqrt {2}}M\Gamma \gamma }{\pi {\sqrt {M^{2}+\gamma }}}}~~~~}$   с   ${\displaystyle ~~~~\gamma ={\sqrt {M^{2}\left(M^{2}+\Gamma ^{2}\right)}}~.}$

(Это уравнение записано с использованием натуральных единиц , ħ = c = 1. )

Чаще всего его используют для моделирования резонансов (нестабильных частиц) в физике высоких энергий . В этом случае E — это энергия центра масс , вызывающая резонанс, M — масса резонанса, а Γ — ширина резонанса (или ширина распада ), связанная с его средним временем жизни согласно τ = 1/Γ. . (С учетом единиц формула имеет вид τ = ħ /Γ .)

Применение

Вероятность возникновения резонанса при заданной энергии E пропорциональна f ( E ) , так что график зависимости скорости образования нестабильной частицы от энергии отражает форму релятивистского распределения Брейта – Вигнера. Обратите внимание, что для значений E от максимума в M таких, что | Е ²  -  М ² | = M Γ (следовательно, | E  −  M | = Γ/2 для M  ≫ Γ ), распределение f уменьшилось до половины своего максимального значения, что оправдывает название Γ, ширина на полувысоте .

В пределе исчезающей ширины Γ → 0 частица становится устойчивой, поскольку лоренцево распределение f бесконечно обостряется до 2 Mδ ( E ²  −  M ² ) .

Вообще говоря, Γ также может быть функцией E ; эта зависимость обычно важна только тогда, когда Γ не мало по сравнению с M и необходимо учитывать зависимость ширины от фазового пространства . (Например, при распаде ро-мезона на пару пионов .) Множитель М2 , умножающий Г2, ^{следует также} заменить на ^Е2 ( или Е4 / М2 и т. д ^. ), когда резонанс широкий ^. . ^[3]

Форма релятивистского распределения Брейта–Вигнера возникает из-за пропагатора нестабильной частицы ^[4] , который имеет знаменатель вида p ² − M ² + iM Γ . (Здесь p ² — это квадрат четырехимпульса, переносимого этой частицей в используемой древовидной диаграмме Фейнмана.) Пропагатор в ее системе покоя тогда пропорционален квантово -механической амплитуде распада, используемого для восстановления этого резонанса,

${\displaystyle {\frac {\sqrt {k}}{\left(E^{2}-M^{2}\right)+iM\Gamma }}~.}$

Результирующее распределение вероятностей пропорционально абсолютному квадрату амплитуды, то есть приведенное выше релятивистское распределение Брейта – Вигнера для функции плотности вероятности.

Форма этого распределения аналогична амплитуде решения классического уравнения движения ведомого гармонического осциллятора, демпфируемого и возбуждаемого внешней синусоидальной силой. Оно имеет стандартную резонансную форму распределения Лоренца или Коши , но включает релятивистские переменные s  =  p ² , здесь =  E ² . Распределение представляет собой решение дифференциального уравнения для квадрата амплитуды относительно энергии (частоты) в таком классическом вынужденном генераторе:

${\displaystyle f'({\text{E}})\left(\left({\text{E}}^{2}-M^{2}\right)^{2}+\Gamma ^{2}M^{2}\right)-4{\text{E}}f({\text{E}})(M-{\text{E}})({\text{E}}+M)=0,}$

с

${\displaystyle f(M)={\frac {k}{\Gamma ^{2}M^{2}}}.~}$

Гауссово уширение

В эксперименте падающий луч, вызывающий резонанс, всегда имеет некоторый разброс энергии вокруг центрального значения. Обычно это гауссово/нормальное распределение . Результирующая форма резонанса в этом случае определяется сверткой распределения Брейта – Вигнера и распределения Гаусса:

${\displaystyle V_{2}(E;M,\Gamma ,k,\sigma )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {k}{(E'^{2}-M^{2})^{2}+(M\Gamma )^{2}}}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(E'-E)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}dE'.}$

Эту функцию можно упростить ^[5] введением новых переменных:

${\displaystyle t={\frac {E-E'}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad u_{1}={\frac {E-M}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad u_{2}={\frac {E+M}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad a={\frac {k\pi }{2\sigma ^{2}}},}$

чтобы получить

${\displaystyle V_{2}(E;M,\Gamma ,k,\sigma )={\frac {H_{2}(a,u_{1},u_{2})}{\sigma ^{2}2{\sqrt {\pi }}}},}$

где релятивистская функция уширения линий ^[5] имеет следующее определение:

${\displaystyle H_{2}(a,u_{1},u_{2})={\frac {a}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{(u_{1}-t)^{2}(u_{2}-t)^{2}+a^{2}}}dt.}$

${\displaystyle H_{2}}$является релятивистским аналогом аналогичной функции уширения линии ^[6] для профиля Фойгта, используемого в спектроскопии (см. также раздел 7.19 в ^[7] ).

Рекомендации

1. Брейт, Г.; Вигнер, Э. (1936). «Захват медленных нейтронов». Физический обзор . 49 (7): 519. Бибкод : 1936PhRv...49..519B. doi : 10.1103/PhysRev.49.519.
2. См. Pythia 6.4 «Физика и руководство» (стр. 98 и далее) для обсуждения ширины частиц в руководстве PYTHIA . Обратите внимание, что это распределение обычно представляется как функция квадрата энергии.
3. Бом, А.; Сато, Ю. (2005). «Релятивистские резонансы: их массы, ширины, время жизни, суперпозиция и причинная эволюция». Физический обзор D . 71 (8): 085018. arXiv : hep-ph/0412106 . Бибкод : 2005PhRvD..71h5018B. doi : 10.1103/PhysRevD.71.085018. S2CID  119417992.
4. Браун, Л.С. (1994). Квантовая теория поля , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0521469463 , глава 6.3. 
5. Kycia, Радослав А.; Ядах, Станислав (15 июля 2018 г.). «Релятивистский профиль Фойгта для нестабильных частиц в физике высоких энергий». Журнал математического анализа и приложений . 463 (2): 1040–1051. arXiv : 1711.09304 . дои : 10.1016/j.jmaa.2018.03.065. ISSN  0022-247X. S2CID  78086748.
6. Финн, Грузия; Магглстоун, Д. (1 февраля 1965 г.). «Таблицы функции уширения линии H(a,v)». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 129 (2): 221–235. дои : 10.1093/mnras/129.2.221 . ISSN  0035-8711.
7. Справочник NIST по математическим функциям. Олвер, Фрэнк У.Дж., 1924 г., Национальный институт стандартов и технологий (США). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. 2010. ISBN 978-0-521-19225-5. OCLC  502037224.{{cite book}}: CS1 maint: другие ( ссылка )