Теорема Эренфеста

Теорема Эренфеста , названная в честь австрийского физика-теоретика Пауля Эренфеста , связывает производную по времени средних значений операторов положения и импульса x и p со средним значением силы, действующей на массивную частицу, движущуюся в скалярном потенциале , ^[1] $F=-V'(x)$ $V(x)$

$m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle ,\;\;{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\left\langle V'(x)\right\rangle ~.$

Теорема Эренфеста представляет собой частный случай более общей связи между математическим ожиданием любого квантово-механического оператора и математическим ожиданием коммутатора этого оператора с гамильтонианом системы ^[2]^[3]

${\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle ~,$

где $A$ — некоторый квантовомеханический оператор, а $⟨ A ⟩$ — его математическое ожидание .

Это наиболее очевидно в представлении Гейзенберга о квантовой механике, где оно представляет собой всего лишь математическое ожидание уравнения движения Гейзенберга. Он обеспечивает математическую поддержку принципа соответствия .

Причина в том, что теорема Эренфеста тесно связана с теоремой Лиувилля о гамильтоновой механике , в которой вместо коммутатора используется скобка Пуассона . Эмпирическое правило Дирака предполагает, что утверждения в квантовой механике, содержащие коммутатор, соответствуют утверждениям в классической механике, где коммутатор заменяется скобкой Пуассона, умноженной на $iħ$ . Это приводит к тому, что средние значения оператора подчиняются соответствующим классическим уравнениям движения при условии, что гамильтониан не более чем квадратичен по координатам и импульсам. В противном случае эволюционные уравнения все еще могут выполняться приблизительно при условии, что флуктуации малы.

Отношение к классической физике

Хотя на первый взгляд может показаться, что теорема Эренфеста утверждает, что значения квантово-механического ожидания подчиняются классическим уравнениям движения Ньютона, на самом деле это не так. ^[4] Если бы пара удовлетворяла второму закону Ньютона, правая часть второго уравнения должна была бы быть равна $(\langle x\rangle ,\langle p\rangle )$

-V'\left(\left\langle x\right\rangle \right),

-\left\langle V'(x)\right\rangle .

V(x)

x^{3}

V'

x^{2}

\langle x\rangle ^{2}

\langle x^{2}\rangle

x

Исключение возникает в случае, когда классические уравнения движения линейны, то есть когда квадратичны и линейны. В этом частном случае и так согласен. Таким образом, в случае квантового гармонического осциллятора ожидаемое положение и ожидаемый импульс точно следуют классическим траекториям. $V$ $V'$ $V'\left(\left\langle x\right\rangle \right)$ $\left\langle V'(x)\right\rangle$

Для общих систем, если волновая функция сильно сконцентрирована вокруг точки , то и будут почти одинаковы, так как обе будут примерно равны . В этом случае ожидаемое положение и ожидаемый импульс будут примерно следовать классическим траекториям, по крайней мере, до тех пор, пока волновая функция остается локализованной в своем положении. ^[5] $x_{0}$ $V'\left(\left\langle x\right\rangle \right)$ $\left\langle V'(x)\right\rangle$ $V'(x_{0})$

Вывод в картине Шрёдингера

Предположим, некоторая система в настоящий момент находится в квантовом состоянии $Φ$ . Если мы хотим узнать мгновенную производную по времени математического ожидания $A$ , то есть по определению

{\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle A\rangle &={\frac {d}{dt}}\int \Phi ^{*}A\Phi \,d^{3}x\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi \,d^{3}x+\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)\Phi \,d^{3}x+\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)\,d^{3}x\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi \,d^{3}x+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle +\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)\,d^{3}x\end{aligned}}

уравнение Шредингера

{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}H\Phi

Взяв комплексно-сопряженное, находим ^[6]

{\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H^{*}=-{\frac {1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H.

Заметим, что $H = H *$ , поскольку гамильтониан эрмитов . Подставив это в приведенное выше уравнение, мы имеем

{\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\int \Phi ^{*}(AH-HA)\Phi ~d^{3}x+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle .

Часто (но не всегда) оператор $A$ не зависит от времени, поэтому его производная равна нулю, и мы можем игнорировать последний член.

Вывод в картине Гейзенберга

В картине Гейзенберга вывод прост. Картина Гейзенберга переносит временную зависимость системы на операторов, а не на векторы состояния. Начнем с уравнения движения Гейзенберга:

{\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {\partial A(t)}{\partial t}}+{\frac {1}{i\hbar }}[A(t),H],

|\Psi \rangle

\langle \Psi |

\left\langle \Psi \left|{\frac {d}{dt}}A(t)\right|\Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \left|{\frac {\partial A(t)}{\partial t}}\right|\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi \left|{\frac {1}{i\hbar }}[A(t),H]\right|\Psi \right\rangle ,

Можно потянуть $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}д/DT$ из первого члена, поскольку векторы состояния в картине Гейзенберга больше не зависят от времени. Поэтому,

{\frac {d}{dt}}\langle A(t)\rangle =\left\langle {\frac {\partial A(t)}{\partial t}}\right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle [A(t),H]\right\rangle .

Общий пример

Для самого общего примера массивной частицы, движущейся в потенциале , гамильтониан просто

H(x,p,t)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)

x

Предположим, мы хотим узнать мгновенное изменение ожидания импульса $p$ . Используя теорему Эренфеста, имеем

{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial p}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,V(x,t)]\rangle ,

поскольку оператор $p$ коммутирует сам с собой и не зависит от времени. ^[7] Разлагая правую часть и заменяя $p$ на $- iħ \nabla$ , получаем

{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}{\frac {\partial }{\partial x}}(V(x,t)\Phi )~dx~.

После применения правила произведения ко второму члену мы имеем

{\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle &=\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)\right)\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx\\&=-\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)\right)\Phi ~dx\\&=\left\langle -{\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)\right\rangle =\langle F\rangle .\end{aligned}}

Как объяснялось во введении, этот результат не говорит о том, что пара удовлетворяет второму закону Ньютона , потому что правая часть формулы вместо . Тем не менее, как объяснялось во введении, для состояний, которые сильно локализованы в пространстве, ожидаемое положение и импульс будут примерно следовать классическим траекториям, что можно понимать как пример принципа соответствия . $(\langle X\rangle ,\langle P\rangle )$ $\langle F(x,t)\rangle ,$ $F(\langle X\rangle ,t)$

Аналогичным образом мы можем получить мгновенное изменение математического ожидания позиции.

{\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle &={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial x}{\partial t}}\right\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[x,{\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)\right]\right\rangle +0\\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[x,{\frac {p^{2}}{2m}}\right]\right\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar 2m}}\left\langle [x,p]{\frac {d}{dp}}p^{2}\right\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar 2m}}\langle i\hbar 2p\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{m}}\langle p\rangle \end{aligned}}

Этот результат фактически находится в точном соответствии с классическим уравнением.

Вывод уравнения Шрёдингера из теорем Эренфеста

Выше было установлено, что теоремы Эренфеста являются следствиями уравнения Шрёдингера . Однако верно и обратное: уравнение Шредингера можно вывести из теорем Эренфеста. ^[8] Начнем с

{\begin{aligned}m{\frac {d}{dt}}\left\langle \Psi (t)\right|{\hat {x}}\left|\Psi (t)\right\rangle &=\left\langle \Psi (t)\right|{\hat {p}}\left|\Psi (t)\right\rangle ,\\[5pt]{\frac {d}{dt}}\left\langle \Psi (t)\right|{\hat {p}}\left|\Psi (t)\right\rangle &=\left\langle \Psi (t)\right|-V'({\hat {x}})\left|\Psi (t)\right\rangle .\end{aligned}}

Применение правила произведения приводит к

{\begin{aligned}\left\langle {\frac {d\Psi }{dt}}{\Big |}{\hat {x}}{\Big |}\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi {\Big |}{\hat {x}}{\Big |}{\frac {d\Psi }{dt}}\right\rangle &=\left\langle \Psi {\Big |}{\frac {\hat {p}}{m}}{\Big |}\Psi \right\rangle ,\\[5pt]\left\langle {\frac {d\Psi }{dt}}{\Big |}{\hat {p}}{\Big |}\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi {\Big |}{\hat {p}}{\Big |}{\frac {d\Psi }{dt}}\right\rangle &=\langle \Psi |-V'({\hat {x}})|\Psi \rangle ,\end{aligned}}

теорему Стоуна

Ĥ

i\hbar \left|{\frac {d\Psi }{dt}}\right\rangle ={\hat {H}}|\Psi (t)\rangle ~,

ħ

Ĥ :

im[{\hat {H}},{\hat {x}}]=\hbar {\hat {p}},\qquad i[{\hat {H}},{\hat {p}}]=-\hbar V'({\hat {x}}).

Предполагая, что наблюдаемые координаты и импульса подчиняются каноническому коммутационному соотношению $[x̂, p̂] = iħ$ . Положив , уравнения коммутатора можно преобразовать в дифференциальные уравнения ^[8]^[9] ${\hat {H}}=H({\hat {x}},{\hat {p}})$

m{\frac {\partial H(x,p)}{\partial p}}=p,\qquad {\frac {\partial H(x,p)}{\partial x}}=V'(x),

квантовый гамильтониан

{\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V({\hat {x}}).

Таким образом, уравнение Шредингера было получено из теорем Эренфеста путем предположения канонического коммутационного соотношения между координатой и импульсом. Если предположить, что координата и импульс коммутируют, тот же вычислительный метод приводит к классической механике Купмана – фон Неймана , которая представляет собой формулировку классической механики в гильбертовом пространстве . ^[8] Таким образом, этот вывод, а также вывод механики Купмана – фон Неймана , показывает, что существенное различие между квантовой и классической механикой сводится к значению коммутатора $[$ $x̂$ $,$ $p̂$ $]$ .

Последствия теоремы Эренфеста для систем с классической хаотической динамикой обсуждаются в статье Scholarpedia «Время и хаос Эренфеста». Показано, что из-за экспоненциальной нестабильности классических траекторий время Эренфеста, на котором существует полное соответствие между квантовой и классической эволюцией, логарифмически коротко и пропорционально логарифму типичного квантового числа. Для случая интегрируемой динамики этот временной масштаб гораздо больше и пропорционален определенной степени квантового числа.

Примечания

^ Зал 2013 г., раздел 3.7.5.
^ Эренфест, П. (1927). «Bemerkung über die angenäherte Gültigkeit der Classic Mechanik InternalHalb der Quantenmechanik». Zeitschrift für Physik . 45 (7–8): 455–457. Бибкод : 1927ZPhy...45..455E. дои : 10.1007/BF01329203. S2CID 123011242.
^ Смит, Хенрик (1991). Введение в квантовую механику . World Scientific Pub Co Inc., стр. 108–109. ISBN 978-9810204754.
^ Уилер, Николас. «Замечания относительно статуса и некоторых разветвлений теоремы Эренфеста» (PDF) .
^ Холл 2013 с. 78
^ В обозначениях Бра-Кета , где – оператор Гамильтона, а $H$ – гамильтониан, представленный в координатном пространстве (как и в случае, приведенном выше). Другими словами, мы применили сопряженную операцию ко всему уравнению Шредингера, что изменило порядок операций для $H$ и $Φ$ . $\phi ^{*}=\langle \phi ,x\rangle$ ${\frac {\partial }{\partial t}}\langle \phi |x\rangle ={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \phi |{\hat {H}}|x\rangle ={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \phi |x\rangle H={\frac {-1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H,$ ${\hat {H}}$
^ Хотя математическое ожидание импульса $⟨ p ⟩$ , которое является вещественной функцией времени, будет зависеть от времени, сам оператор импульса $p$ на этом рисунке этого не делает: скорее, оператор импульса является константой линейный оператор в гильбертовом пространстве системы. Зависимость математического ожидания от времени на этой картине обусловлена эволюцией во времени волновой функции, для которой рассчитывается математическое ожидание. Специальным примером оператора, который действительно зависит от времени, является $⟨$ $xt$ $2$ $⟩$ , где $x$ — обычный оператор положения, а t $—$ просто (неоператорное) время, параметр.
^ abc Бондарь, Д.; Кабрера, Р.; Ломпей, Р.; Иванов, М.; Рабиц, Х. (2012). «Оперативное динамическое моделирование, выходящее за рамки квантовой и классической механики». Письма о физических отзывах . 109 (19): 190403. arXiv : 1105.4014 . Бибкод : 2012PhRvL.109s0403B. doi : 10.1103/PhysRevLett.109.190403. PMID 23215365. S2CID 19605000.
^ Транструм, МК; Ван Хуэле, JFOS (2005). «Коммутационные соотношения для функций операторов». Журнал математической физики . 46 (6): 063510. Бибкод : 2005JMP....46f3510T. дои : 10.1063/1.1924703.