Статистика Бозе – Эйнштейна

Описание поведения бозонов

В квантовой статистике статистика Бозе-Эйнштейна ( статистика B-E ) описывает один из двух возможных способов, которыми совокупность невзаимодействующих идентичных частиц может занимать набор доступных дискретных энергетических состояний при термодинамическом равновесии . Агрегация частиц в одном и том же состоянии, характерная для частиц, подчиняющихся статистике Бозе-Эйнштейна, объясняет связное течение лазерного света и ползучесть сверхтекучего гелия без трения . Теорию такого поведения разработал (1924–25) Сатьендра Натх Бозе , который признал, что совокупность одинаковых и неразличимых частиц может быть распределена таким образом. Позднее эта идея была принята и развита Альбертом Эйнштейном в сотрудничестве с Бозе.

Статистика Бозе-Эйнштейна применима только к частицам, которые не подчиняются ограничениям принципа исключения Паули . Частицы, подчиняющиеся статистике Бозе-Эйнштейна, называются бозонами и имеют целые значения спина . Напротив, частицы, которые подчиняются статистике Ферми-Дирака, называются фермионами и имеют полуцелые спины.

Сравнение средней занятости основного штата по трем статистикам

Распределение Бозе – Эйнштейна

При низких температурах бозоны ведут себя иначе, чем фермионы (которые подчиняются статистике Ферми-Дирака ), поскольку неограниченное их количество может «конденсироваться» в одно и то же энергетическое состояние. Это, казалось бы, необычное свойство также приводит к возникновению особого состояния вещества – конденсата Бозе-Эйнштейна . Статистика Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна применяется, когда важны квантовые эффекты и частицы « неразличимы ». Квантовые эффекты возникают, если концентрация частиц удовлетворяет

$${\displaystyle {\frac {N}{V}}\geq n_{q},}$$

где N — число частиц, V — объем, а n _q — концентрация квантов , для которой расстояние между частицами равно тепловой длине волны де Бройля , так что волновые функции частиц практически не перекрываются.

Статистика Ферми-Дирака применима к фермионам (частицам, подчиняющимся принципу исключения Паули ), а статистика Бозе-Эйнштейна применима к бозонам . Поскольку концентрация квантов зависит от температуры, большинство систем при высоких температурах подчиняются классическому пределу (Максвелла-Больцмана), если только они не обладают очень высокой плотностью, как у белого карлика . И Ферми-Дирак, и Бозе-Эйнштейн становятся статистиками Максвелла-Больцмана при высокой температуре или при низкой концентрации.

Статистика Бозе-Эйнштейна была введена для фотонов в 1924 году Бозе и обобщена на атомы Эйнштейном в 1924–25 годах.

Ожидаемое количество частиц в энергетическом состоянии i для статистики Бозе – Эйнштейна равно:

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}-1}}}$

с ε _i > µ и где n _i – число заполнения (число частиц) в состоянии i , – вырождение уровня энергии i , ε _i – энергия i - го состояния, µ – химический потенциал (нулевой для фотонного газа ), k _B — постоянная Больцмана , а T — абсолютная температура . ${\displaystyle g_{i}}$

Дисперсия этого распределения рассчитывается непосредственно из приведенного выше выражения для среднего числа. ^[1] ${\displaystyle V(n)}$

$${\displaystyle V(n)=kT{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\bar {n}}_{i}=\langle n\rangle (1+\langle n\rangle )={\bar {n}}+{\bar {n}}^{2}}$$

Для сравнения, среднее количество фермионов с энергией, определяемой распределением энергии частиц Ферми – Дирака, имеет аналогичный вид: ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

$${\displaystyle {\bar {n}}_{i}(\varepsilon _{i})={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}+1}}.}$$

Как упоминалось выше, как распределение Бозе-Эйнштейна, так и распределение Ферми-Дирака приближаются к распределению Максвелла-Больцмана в пределе высокой температуры и низкой плотности частиц без необходимости каких-либо специальных предположений:

• В пределе низкой плотности частиц, следовательно , или эквивалентно . В этом случае , что является результатом статистики Максвелла – Больцмана. ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}\pm 1}}\ll 1}$ ${\displaystyle e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}\pm 1\gg 1}$ ${\displaystyle e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}\gg 1}$ ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}\approx {\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}}}={\frac {1}{Z}}e^{-(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}}$
• В пределе высокой температуры частицы распределены в широком диапазоне значений энергии, поэтому заселенность каждого состояния (особенно высокоэнергетических с ) снова очень мала, . Это снова сводится к статистике Максвелла – Больцмана. ${\displaystyle \varepsilon _{i}-\mu \gg k_{\text{B}}T}$ ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}\pm 1}}\ll 1}$

Помимо сведения к распределению Максвелла-Больцмана в пределе высокой и низкой плотности, статистика Бозе-Эйнштейна также сводится к распределению закона Рэлея-Джинса для состояний с низкой энергией с , а именно ${\displaystyle T}$
${\displaystyle \varepsilon _{i}-\mu \ll k_{\text{B}}T}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {n}}_{i}&={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}-1}}\\&\approx {\frac {g_{i}}{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}}={\frac {g_{i}k_{\text{B}}T}{\varepsilon _{i}-\mu }}.\end{aligned}}}$$

История

Владислав Натансон в 1911 году пришел к выводу, что закон Планка требует неразличимости «единиц энергии», хотя он не формулировал это в терминах квантов света Эйнштейна. ^{[2] [3]}

Читая в Университете Дакки (на территории тогдашней Британской Индии , а ныне Бангладеш ) лекцию о теории радиации и ультрафиолетовой катастрофы , Сатьендра Нат Бозе намеревался показать своим студентам, что современная теория неадекватна, поскольку она предсказывает результаты. не соответствует экспериментальным результатам. Во время этой лекции Бозе допустил ошибку в применении теории, которая неожиданно дала предсказание, согласовавшееся с экспериментом. Ошибка была простой ошибкой — подобно утверждению, что при подбрасывании двух честных монет в одной трети случаев выпадет два орла, — которая показалась бы явно неправильной любому, кто имеет базовое понимание статистики (примечательно, что эта ошибка напоминала знаменитую ошибку Д. 'Аламбер известен по своей статье Croix ou Pile ^{[4] [5]} ). Однако предсказанные результаты совпали с экспериментом, и Бозе понял, что это, возможно, не ошибка. Впервые он занял позицию, согласно которой распределение Максвелла-Больцмана не будет верным для всех микроскопических частиц во всех масштабах. Таким образом, он исследовал вероятность нахождения частиц в различных состояниях в фазовом пространстве, где каждое состояние представляет собой небольшой участок с фазовым объемом h ³ , а положение и импульс частиц не сохраняются отдельно, а рассматриваются как одна переменная.

Бозе адаптировал эту лекцию в небольшую статью под названием «Закон Планка и гипотеза квантов света» ^{[6] [7]} и представил ее в « Философский журнал» . Однако заключение рецензента было отрицательным, и статья была отклонена. Не испугавшись, он отправил рукопись Альберту Эйнштейну с просьбой опубликовать ее в Zeitschrift für Physik . Эйнштейн немедленно согласился, лично перевел статью с английского на немецкий (Боз ранее перевел статью Эйнштейна по общей теории относительности с немецкого на английский) и позаботился о ее публикации. Теория Бозе завоевала уважение, когда Эйнштейн отправил свою статью в поддержку теории Бозе в Zeitschrift für Physik с просьбой опубликовать их вместе. Статья вышла в 1924 году. ^[8]

Причина, по которой Бозе дал точные результаты, заключалась в том, что, поскольку фотоны неотличимы друг от друга, нельзя рассматривать любые два фотона, имеющие равные квантовые числа (например, поляризацию и вектор импульса), как два различных идентифицируемых фотона. Первоначально Бозе имел коэффициент 2 для возможных спиновых состояний, но Эйнштейн заменил его на поляризацию. ^[9] По аналогии, если бы в альтернативной вселенной монеты вели себя как фотоны и другие бозоны, вероятность появления двух орлов действительно составляла бы одну треть, как и вероятность получения орла и решки, равная единице. половина для обычных (классических, различимых) монет. «Ошибка» Бозе приводит к тому, что сейчас называется статистикой Бозе-Эйнштейна.

Бозе и Эйнштейн распространили эту идею на атомы, и это привело к предсказанию существования явления, которое стало известно как конденсат Бозе-Эйнштейна, плотное скопление бозонов (которые представляют собой частицы с целым спином, названные в честь Бозе), что было продемонстрировано существуют экспериментально в 1995 году.

Вывод

Вывод из микроканонического ансамбля

В микроканоническом ансамбле рассматривается система с фиксированными энергией, объемом и числом частиц. Возьмем систему, состоящую из одинаковых бозонов, которые обладают энергией и распределены по уровням или состояниям с одинаковой энергией , т.е. происходит вырождение, связанное с энергией полной энергии . Вычисление числа расположений частиц, распределенных по состояниям, является задачей комбинаторики . Поскольку частицы здесь неразличимы в квантовомеханическом контексте, количество способов расположения частиц в ящиках (для th уровня энергии) будет (см. изображение): ${\textstyle N=\sum _{i}n_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\textstyle E=\sum _{i}n_{i}\varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Изображение представляет собой одно из возможных распределений бозонных частиц в разных ящиках. Перегородки ящиков (зеленые) можно перемещать, чтобы изменить размер ящиков и, как следствие, количество бозонов, которые может содержать каждый ящик.

$${\displaystyle w_{i,{\text{BE}}}={\frac {(n_{i}+g_{i}-1)!}{n_{i}!(g_{i}-1)!}}=C_{n_{i}}^{n_{i}+g_{i}-1},}$$

где – k -комбинация множества из m элементов. Полное число расположений в ансамбле бозонов представляет собой просто произведение приведенных выше биномиальных коэффициентов по всем уровням энергии, т.е. ${\displaystyle C_{k}^{m}}$ ${\displaystyle C_{n_{i}}^{n_{i}+g_{i}-1}}$

$${\displaystyle W_{\text{BE}}=\prod _{i}w_{i,{\text{BE}}}=\prod _{i}{\frac {(n_{i}+g_{i}-1)!}{(g_{i}-1)!n_{i}!}},}$$

Максимальное количество договоренностей, определяющих соответствующее число занятий, получается путем максимизации энтропии или, что то же самое, установки и учета дополнительных условий (как множителей Лагранжа ). ^[10] Результатом для , является распределение Бозе-Эйнштейна. ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} (\ln W_{\text{BE}})=0}$ ${\textstyle N=\sum n_{i},E=\sum _{i}n_{i}\varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle n_{i}\gg 1}$ ${\displaystyle g_{i}\gg 1}$ ${\displaystyle n_{i}/g_{i}=O(1)}$

Вывод из великого канонического ансамбля

Распределение Бозе-Эйнштейна, применимое только к квантовой системе невзаимодействующих бозонов, естественным образом выводится из большого канонического ансамбля без каких-либо приближений. ^[11] В этом ансамбле система способна обмениваться энергией и обмениваться частицами с резервуаром (температура T и химический потенциал µ, фиксируемые резервуаром).

Благодаря невзаимодействующему качеству каждый доступный одночастичный уровень (с уровнем энергии ϵ ) образует отдельную термодинамическую систему, контактирующую с резервуаром. То есть количество частиц внутри всей системы , занимающих данное одночастичное состояние, образует подансамбль, который также является большим каноническим ансамблем; следовательно, его можно проанализировать посредством построения большой статистической суммы .

Каждое одночастичное состояние имеет фиксированную энергию . Поскольку подансамбль, связанный с одночастичным состоянием, варьируется только в зависимости от числа частиц, ясно, что полная энергия подансамбля также прямо пропорциональна числу частиц в одночастичном состоянии; где – число частиц, тогда полная энергия подансамбля будет равна . Начиная со стандартного выражения для большой статистической суммы и заменяя на , большая статистическая сумма принимает вид ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N\varepsilon }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle N\varepsilon }$

$${\displaystyle {\mathcal {Z}}=\sum _{N}\exp((N\mu -N\varepsilon )/k_{\text{B}}T)=\sum _{N}\exp(N(\mu -\varepsilon )/k_{\text{B}}T)}$$

Эта формула применима как к фермионным, так и к бозонным системам. Статистика Ферми-Дирака возникает при рассмотрении эффекта принципа исключения Паули : хотя число фермионов, занимающих одно и то же одночастичное состояние, может быть только 1 или 0, количество бозонов, занимающих одночастичное состояние, может быть любым целым числом. Таким образом, большую статистическую сумму для бозонов можно рассматривать как геометрическую серию и оценивать ее следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}&=\sum _{N=0}^{\infty }\exp(N(\mu -\varepsilon )/k_{\text{B}}T)=\sum _{N=0}^{\infty }[\exp((\mu -\varepsilon )/k_{\text{B}}T)]^{N}\\&={\frac {1}{1-\exp((\mu -\varepsilon )/k_{\text{B}}T)}}.\end{aligned}}}$$

Заметим, что геометрический ряд сходится только тогда , когда , включая случай, когда . Это означает, что химический потенциал бозе-газа должен быть отрицательным, т. е. , тогда как ферми-газ может принимать как положительные, так и отрицательные значения химического потенциала. ^[12] ${\displaystyle e^{(\mu -\varepsilon )/k_{\text{B}}T}<1}$ ${\displaystyle \epsilon =0}$ ${\displaystyle \mu <0}$

Среднее число частиц для этого одночастичного подсостояния определяется выражением

$${\displaystyle \langle N\rangle =k_{\text{B}}T{\frac {1}{\mathcal {Z}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {Z}}}{\partial \mu }}\right)_{V,T}={\frac {1}{\exp((\varepsilon -\mu )/k_{\text{B}}T)-1}}}$$

^{[13] [14]}

Дисперсия числа частиц равна : ${\textstyle \sigma _{N}^{2}=\langle N^{2}\rangle -\langle N\rangle ^{2}}$

$${\displaystyle \sigma _{N}^{2}=k_{\text{B}}T\left({\frac {d\langle N\rangle }{d\mu }}\right)_{V,T}={\frac {\exp((\varepsilon -\mu )/k_{\text{B}}T)}{(\exp((\varepsilon -\mu )/k_{\text{B}}T)-1)^{2}}}=\langle N\rangle (1+\langle N\rangle ).}$$

В результате для состояний с высокой занятостью стандартное отклонение числа частиц энергетического уровня очень велико, немного больше, чем само число частиц: . Эта большая неопределенность связана с тем, что распределение вероятностей числа бозонов на данном энергетическом уровне представляет собой геометрическое распределение ; как это ни парадоксально, наиболее вероятное значение N всегда равно 0. (Напротив, классические частицы вместо этого имеют распределение Пуассона по числу частиц для данного состояния с гораздо меньшей неопределенностью и с наиболее вероятным значением N , близким к . ) ${\displaystyle \sigma _{N}\approx \langle N\rangle }$ ${\textstyle \sigma _{N,{\rm {classical}}}={\sqrt {\langle N\rangle }}}$ ${\displaystyle \langle N\rangle }$

Вывод в каноническом подходе

Также возможно получить приближенную статистику Бозе-Эйнштейна в каноническом ансамбле . Эти выводы являются длинными и дают приведенные выше результаты только в асимптотическом пределе большого числа частиц. Причина в том, что общее число бозонов фиксировано в каноническом ансамбле. Распределение Бозе-Эйнштейна в этом случае может быть получено, как и в большинстве текстов, путем максимизации, но математически лучший вывод - это метод средних значений Дарвина-Фаулера, как подчеркивает Дингл. ^[15] См. также Мюллер-Кирстен. ^[10] Однако флуктуации основного состояния в конденсированной области заметно различаются в каноническом и великоканоническом ансамблях. ^[16]

Вывод

Предположим, у нас есть несколько уровней энергии, помеченных индексом , каждый уровень имеет энергию и содержит общее количество частиц. Предположим, что каждый уровень содержит отдельные подуровни, все из которых имеют одинаковую энергию и различимы. Например, две частицы могут иметь разные импульсы, и в этом случае они отличны друг от друга, но при этом могут иметь одинаковую энергию. Величина, связанная с уровнем, называется «вырождением» этого энергетического уровня. На одном подуровне может находиться любое количество бозонов. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Пусть – число способов распределения частиц по подуровням энергетического уровня. Существует только один способ распределения частиц с одним подуровнем, поэтому . Легко видеть, что существуют способы распределения частиц по двум подуровням, которые мы запишем как: ${\displaystyle w(n,g)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle w(n,1)=1}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle w(n,2)={\frac {(n+1)!}{n!1!}}.}$$

Немного подумав (см. примечания ниже), можно увидеть, что число способов распределения частиц по трем подуровням равно ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle w(n,3)=w(n,2)+w(n-1,2)+\cdots +w(1,2)+w(0,2)}$$

так что

$${\displaystyle w(n,3)=\sum _{k=0}^{n}w(n-k,2)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n-k+1)!}{(n-k)!1!}}={\frac {(n+2)!}{n!2!}}}$$

где мы использовали следующую теорему о биномиальных коэффициентах :

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {(k+a)!}{k!a!}}={\frac {(n+a+1)!}{n!(a+1)!}}.}$$

Продолжая этот процесс, мы видим, что это всего лишь биномиальный коэффициент (см. примечания ниже). ${\displaystyle w(n,g)}$

$${\displaystyle w(n,g)={\frac {(n+g-1)!}{n!(g-1)!}}.}$$

Например, числа заселенностей для двух частиц на трех подуровнях равны 200, 110, 101, 020, 011 или 002, всего шесть, что равно 4!/(2!2!). Количество способов реализации набора чисел занятости является произведением способов заполнения каждого отдельного энергетического уровня: ${\displaystyle n_{i}}$

$${\displaystyle W=\prod _{i}w(n_{i},g_{i})=\prod _{i}{\frac {(n_{i}+g_{i}-1)!}{n_{i}!(g_{i}-1)!}}\approx \prod _{i}{\frac {(n_{i}+g_{i})!}{n_{i}!(g_{i})!}}}$$

где приближение предполагает, что . ${\displaystyle n_{i}\gg 1}$

Следуя той же процедуре, которая использовалась при выводе статистики Максвелла-Больцмана , мы хотим найти набор, для которого W максимизируется, при условии, что существует фиксированное общее количество частиц и фиксированная полная энергия. Максимумы и встречаются при одном и том же значении и, поскольку это легче реализовать математически, вместо этого мы будем максимизировать последнюю функцию. Мы ограничиваем наше решение, используя множители Лагранжа , образующие функцию: ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \ln(W)}$ ${\displaystyle n_{i}}$

$${\displaystyle f(n_{i})=\ln(W)+\alpha (N-\sum n_{i})+\beta (E-\sum n_{i}\varepsilon _{i})}$$

Использование приближения и приближения Стирлинга для факториалов дает ${\displaystyle n_{i}\gg 1}$ ${\displaystyle \left(x!\approx x^{x}\,e^{-x}\,{\sqrt {2\pi x}}\right)}$

$${\displaystyle f(n_{i})=\sum _{i}(n_{i}+g_{i})\ln(n_{i}+g_{i})-n_{i}\ln(n_{i})+\alpha \left(N-\sum n_{i}\right)+\beta \left(E-\sum n_{i}\varepsilon _{i}\right)+K.}$$

Где K представляет собой сумму ряда членов, которые не являются функциями . Взяв производную по , установив результат равным нулю и найдя решение для , получим числа популяции Бозе-Эйнштейна: ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$

$${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\alpha +\beta \varepsilon _{i}}-1}}.}$$

С помощью процесса, аналогичного описанному в статье о статистике Максвелла – Больцмана , можно увидеть, что:

$${\displaystyle d\ln W=\alpha \,dN+\beta \,dE}$$

которое, используя знаменитое соотношение Больцмана, становится формулировкой второго закона термодинамики при постоянном объеме, и отсюда следует, что и где S — энтропия , — химический потенциал , k _B — постоянная Больцмана , а T — температура , так что, наконец: ${\displaystyle S=k_{\text{B}}\,\ln W}$ ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\text{B}}T}}}$ ${\displaystyle \alpha =-{\frac {\mu }{k_{\text{B}}T}}}$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}-1}}.}$$

Обратите внимание, что приведенную выше формулу иногда пишут:

$${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\varepsilon _{i}/k_{\text{B}}T}/z-1}},}$$

где – абсолютная активность , как заметил МакКуорри. ^[17] ${\displaystyle z=\exp(\mu /k_{\text{B}}T)}$

Также обратите внимание, что когда количество частиц не сохраняется, удаление ограничения сохранения числа частиц эквивалентно установке и, следовательно, химического потенциала на ноль. Это будет иметь место для фотонов и массивных частиц, находящихся во взаимном равновесии, и результирующее распределение будет распределением Планка . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mu }$

Примечания

Гораздо более простой способ представить функцию распределения Бозе-Эйнштейна - это принять во внимание, что n частиц обозначены одинаковыми шарами, а оболочки g отмечены линиями разделения g-1. Понятно, что перестановки этих n шаров и перегородок g − 1 дадут разные способы расположения бозонов на разных энергетических уровнях. Скажем, для 3 (=  n ) частиц и 3 (=  g ) оболочек, следовательно ( g − 1) = 2 , расположение может быть следующим : и т. д. Следовательно, количество различных перестановок n + ( g − 1) объектов, которые имеют n одинаковых элементов и ( g  − 1) одинаковых элементов, будет равно:

$${\displaystyle {\frac {(g-1+n)!}{(g-1)!n!}}}$$

На изображении показано визуальное представление одного из таких распределений n частиц в g ящиках, которые можно представить как g - 1 разделов.

Изображение представляет собой одно из возможных распределений бозонных частиц в разных ящиках. Перегородки ящиков (зеленые) можно перемещать, чтобы изменить размер ящиков и, как следствие, количество бозонов, которые может содержать каждый ящик.

ИЛИ

Цель этих заметок — прояснить некоторые аспекты вывода распределения Бозе-Эйнштейна для начинающих. Перечисление случаев (или путей) в распределении Бозе – Эйнштейна можно переделать следующим образом. Рассмотрим игру в бросание игральных костей, в которой имеются игральные кости, каждая из которых принимает значения из набора , для . Ограничения игры заключаются в том, что значение кубика , обозначенное , должно быть больше или равно значению кубика , обозначенному , в предыдущем броске, т.е. Таким образом, правильная последовательность бросков кубика может быть описана n -кортежом , таким, что . Обозначим множество этих допустимых n -кортежей: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{1,\dots ,g\}}$ ${\displaystyle g\geq 1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle (i-1)}$ ${\displaystyle m_{i-1}}$ ${\displaystyle m_{i}\geq m_{i-1}}$ ${\displaystyle (m_{1},m_{2},\dots ,m_{n})}$ ${\displaystyle m_{i}\geq m_{i-1}}$ ${\displaystyle S(n,g)}$

Тогда величина (определенная выше как количество способов распределения частиц по подуровням энергетического уровня) представляет собой мощность , т. е. количество элементов (или допустимых n -кортежей) в . Таким образом, проблема нахождения выражения для становится проблемой подсчета элементов в . ${\displaystyle w(n,g)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S(n,g)}$ ${\displaystyle S(n,g)}$ ${\displaystyle w(n,g)}$ ${\displaystyle S(n,g)}$

Пример n = 4, g = 3:

$${\displaystyle S(4,3)=\left\{\underbrace {(1111),(1112),(1113)} _{(a)},\underbrace {(1122),(1123),(1133)} _{(b)},\underbrace {(1222),(1223),(1233),(1333)} _{(c)},\underbrace {(2222),(2223),(2233),(2333),(3333)} _{(d)}\right\}}$$

$${\displaystyle w(4,3)=15}$$

(есть элементы в ) ${\displaystyle 15}$ ${\displaystyle S(4,3)}$

Подмножество получается путем фиксации всех индексов на , за исключением последнего индекса , который увеличивается с до . Подмножество получается путем фиксации и увеличения от до . Из-за ограничений на индексы в индекс должен автоматически принимать значения в . Построение подмножеств и происходит аналогично. ${\displaystyle (a)}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle m_{n}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle g=3}$ ${\displaystyle (b)}$ ${\displaystyle m_{1}=m_{2}=1}$ ${\displaystyle m_{3}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle g=3}$ ${\displaystyle m_{i}\geq m_{i-1}}$ ${\displaystyle S(n,g)}$ ${\displaystyle m_{4}}$ ${\displaystyle \left\{2,3\right\}}$ ${\displaystyle (c)}$ ${\displaystyle (d)}$

Каждый элемент можно рассматривать как мультимножество мощности ; элементы такого мультимножества берутся из множества мощности , а число таких мультимножеств есть коэффициент мультимножества ${\displaystyle S(4,3)}$ ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle \left\{1,2,3\right\}}$ ${\displaystyle g=3}$

$${\displaystyle \left\langle {\begin{matrix}3\\4\end{matrix}}\right\rangle ={3+4-1 \choose 3-1}={3+4-1 \choose 4}={\frac {6!}{4!2!}}=15}$$

В более общем смысле, каждый элемент представляет собой мультимножество мощности (количества игральных костей) с элементами, взятыми из набора мощности ( количества возможных значений каждого кубика), а количество таких мультимножеств, т. е. является коэффициентом мультимножества. ${\displaystyle S(n,g)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left\{1,\dots ,g\right\}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle w(n,g)}$

что в точности совпадает с формулой для , полученной выше с помощью теоремы, включающей биномиальные коэффициенты, а именно ${\displaystyle w(n,g)}$

Чтобы понять разложение

или, например, и ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle g=3}$

$${\displaystyle w(4,3)=w(4,2)+w(3,2)+w(2,2)+w(1,2)+w(0,2),}$$

давайте переставим элементы следующим образом ${\displaystyle S(4,3)}$

$${\displaystyle S(4,3)=\left\{\underbrace {(1111),(1112),(1122),(1222),(2222)} _{(\alpha )},\underbrace {(111{\color {Red}{\underset {=}{3}}}),(112{\color {Red}{\underset {=}{3}}}),(122{\color {Red}{\underset {=}{3}}}),(222{\color {Red}{\underset {=}{3}}})} _{(\beta )},\underbrace {(11{\color {Red}{\underset {==}{33}}}),(12{\color {Red}{\underset {==}{33}}}),(22{\color {Red}{\underset {==}{33}}})} _{(\gamma )},\underbrace {(1{\color {Red}{\underset {===}{333}}}),(2{\color {Red}{\underset {===}{333}}})} _{(\delta )}\underbrace {({\color {Red}{\underset {====}{3333}}})} _{(\omega )}\right\}.}$$

Очевидно, что подмножество совпадает с множеством ${\displaystyle (\alpha )}$ ${\displaystyle S(4,3)}$

$${\displaystyle S(4,2)=\left\{(1111),(1112),(1122),(1222),(2222)\right\}.}$$

Удалив индекс (показанный красным с двойным подчеркиванием ) в подмножестве , можно получить набор ${\displaystyle m_{4}=3}$ ${\displaystyle (\beta )}$ ${\displaystyle S(4,3)}$

$${\displaystyle S(3,2)=\left\{(111),(112),(122),(222)\right\}.}$$

Другими словами, между подмножеством и множеством существует взаимно однозначное соответствие . Мы пишем ${\displaystyle (\beta )}$ ${\displaystyle S(4,3)}$ ${\displaystyle S(3,2)}$

$${\displaystyle (\beta )\longleftrightarrow S(3,2).}$$

Аналогично легко увидеть, что

$${\displaystyle (\gamma )\longleftrightarrow S(2,2)=\left\{(11),(12),(22)\right\}}$$

$${\displaystyle (\delta )\longleftrightarrow S(1,2)=\left\{(1),(2)\right\}}$$

$${\displaystyle (\omega )\longleftrightarrow S(0,2)=\{\}=\varnothing .}$$

Таким образом, мы можем написать

$${\displaystyle S(4,3)=\bigcup _{k=0}^{4}S(4-k,2)}$$

или в более общем смысле,

и поскольку наборы

$${\displaystyle S(i,g-1),{\text{ for }}i=0,\dots ,n}$$

непересекающиеся, то мы имеем

с соглашением, что

Продолжая процесс, приходим к следующей формуле

$${\displaystyle w(n,g)=\sum _{k_{1}=0}^{n}\sum _{k_{2}=0}^{n-k_{1}}w(n-k_{1}-k_{2},g-2)=\sum _{k_{1}=0}^{n}\sum _{k_{2}=0}^{n-k_{1}}\cdots \sum _{k_{g}=0}^{n-\sum _{j=1}^{g-1}k_{j}}w(n-\sum _{i=1}^{g}k_{i},0).}$$

Используя соглашение (7) _2, приведенное выше, получаем формулу

имея в виду, что для и, будучи константами, мы имеем ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$

Затем можно убедиться, что (8) и (2) дают один и тот же результат для , , и т. д. ${\displaystyle w(4,3)}$ ${\displaystyle w(3,3)}$ ${\displaystyle w(3,2)}$

Междисциплинарные приложения

Распределение Бозе-Эйнштейна, рассматриваемое как чистое распределение вероятностей , нашло применение в других областях:

• В последние годы статистика Бозе-Эйнштейна также использовалась как метод взвешивания терминов при поиске информации . Этот метод является одним из набора моделей DFR («Отклонение от случайности») ^[18] , основная идея которого заключается в том, что статистика Бозе-Эйнштейна может быть полезным индикатором в тех случаях, когда конкретный термин и конкретный документ имеют значительную взаимосвязь, которая не произошло бы чисто случайно. Исходный код для реализации этой модели доступен в проекте Terrier в Университете Глазго.
• Эволюция многих сложных систем, включая Всемирную паутину , бизнес и сети цитирования, закодирована в динамической сети, описывающей взаимодействия между составляющими системы. Несмотря на свою необратимую и неравновесную природу, эти сети следуют статистике Бозе и могут подвергаться конденсации Бозе-Эйнштейна. Рассмотрение динамических свойств этих неравновесных систем в рамках равновесных квантовых газов предсказывает, что явления «преимущество первопроходца», «пригодный-богатый» (FGR) и «победитель получает все», наблюдаемые в конкурентных системах, термодинамически различные фазы лежащих в основе развивающихся сетей. ^[19]

Смотрите также

• Корреляции Бозе-Эйнштейна
• Конденсат Бозе – Эйнштейна
• Бозе-газ
• Эйнштейн твердый
• бозон Хиггса
• Парастатистика
• Закон Планка об излучении черного тела
• Сверхпроводимость
• Статистика Ферми – Дирака
• Статистика Максвелла – Больцмана

Примечания

1. Пирсолл, Томас (2020). Квантовая фотоника, 2-е издание. Тексты для аспирантов по физике. Спрингер. дои : 10.1007/978-3-030-47325-9. ISBN 978-3-030-47324-2.
2. Джаммер, Макс (1966). Концептуальное развитие квантовой механики . МакГроу-Хилл. п. 51. ИСБН 0-88318-617-9.
3. Пассон, Оливер; Гребе-Эллис, Йоханнес (01 мая 2017 г.). «Закон излучения Планка, квант света и предыстория неразличимости в преподавании квантовой механики». Европейский журнал физики . 38 (3): 035404. arXiv : 1703.05635 . Бибкод : 2017EJPh...38c5404P. дои : 10.1088/1361-6404/aa6134. ISSN  0143-0807. S2CID  119091804.
4. Даламбер, Жан (1754). «Крест или куча». L'Encyclopédie (на французском языке). 4 .
5. Даламбер, Жан (1754). «Крест или куча» (PDF) . Университет Ксавьера . Перевод Ричарда Дж. Пулскампа . Проверено 14 января 2019 г.
6. См. стр. 14, примечание 3, диссертации: Микеланджели, Алессандро (октябрь 2007 г.). Конденсация Бозе – Эйнштейна: анализ проблем и строгие результаты (PDF) (доктор философии). Международная школа перспективных исследований . Архивировано (PDF) из оригинала 3 ноября 2018 года . Проверено 14 февраля 2019 г.
7. Бозе (2 июля 1924 г.). «Закон Планка и гипотеза квантов света» (Постскриптум) . Университет Ольденбурга . Проверено 30 ноября 2016 г. .
8. Бозе (1924), "Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese", Zeitschrift für Physik (на немецком языке), 26 (1): 178–181, Бибкод : 1924ZPhy...26..178B, doi : 10.1007/BF01327326, S2CID  186235974
9. [1]
10. HJW Мюллер-Кирстен, Основы статистической физики , 2-е изд., World Scientific (2013), ISBN 978-981-4449-53-3 . 
11. Шривастава, РК; Ашок, Дж. (2005). «Глава 7». Статистическая механика . Нью-Дели : PHI Learning Pvt. ООО ISBN 9788120327825.
12. Ландау, Л.Д., Лифшич, Э.М., Лифшиц, Э.М., и Питаевский, Л.П. (1980). Статистическая физика (Том 5). Пергамон Пресс.
13. «Глава 6». Статистическая механика . Январь 2005 г. ISBN. 9788120327825.
14. Распределение BE можно также получить из теории теплового поля.
15. Р.Б. Дингл, Асимптотические разложения: их вывод и интерпретация , Academic Press (1973), стр. 267–271.
16. Зифф РМ; Кац, М.; Уленбек, GE (1977). «Еще раз об идеальном газе Бозе-Эйнштейна». Отчеты по физике 32 : 169–248.
17. См. МакКуорри в цитатах.
18. Амати, Г.; Си Джей Ван Рейсберген (2002). «Вероятностные модели поиска информации на основе измерения отклонения от случайности» АСМ ТОИС 20 (4):357–389.
19. Бьянкони, Г .; Барабаши, А.-Л. (2001). «Конденсация Бозе – Эйнштейна в сложных сетях». Письма о физическом обзоре 86 : 5632–5635.

Рекомендации

• Аннетт, Джеймс Ф. (2004). Сверхпроводимость, сверхтекучести и конденсаты . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-850755-0.
• Картер, Эшли Х. (2001). Классическая и статистическая термодинамика . Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 0-13-779208-5.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (2005). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: Пирсон, Прентис-Холл. ISBN 0-13-191175-9.
• МакКуорри, Дональд А. (2000). Статистическая механика (1-е изд.). Саусалито, Калифорния 94965: Университетские научные книги. п. 55. ИСБН 1-891389-15-7.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)