Антисимметричный тензор

Тензор равен отрицательному значению любой из его транспозиций

В математике и теоретической физике тензор антисимметричен на (или относительно ) подмножества индексов , если он меняет знак (+/−) при замене любых двух индексов подмножества. ^{[1] [2]} Подмножество индексов, как правило, должно быть либо полностью ковариантным , либо полностью контравариантным .

Например, имеет место, когда тензор антисимметричен относительно своих первых трех индексов. $${\displaystyle T_{ijk\dots }=-T_{jik\dots }=T_{jki\dots }=-T_{kji\dots }=T_{kij\dots }=-T_{ikj\dots }}$$

Если тензор меняет знак при замене каждой пары своих индексов, то тензор полностью (или полностью ) антисимметричен . Полностью антисимметричное ковариантное тензорное поле порядка можно назвать дифференциальной -формой , а полностью антисимметричное контравариантное тензорное поле можно назвать -векторным полем . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Антисимметричные и симметричные тензоры

Тензор A , который антисимметричен по индексам и обладает тем свойством, что свертка с тензором B , который симметричен по индексам и тождественно равен 0. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

Для общего тензора U с компонентами и парой индексов U имеет симметричную и антисимметричную части , определяемые как: ${\displaystyle U_{ijk\dots }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j,}$

Аналогичные определения можно дать и для других пар индексов. Как предполагает термин «часть», тензор представляет собой сумму своей симметричной части и антисимметричной части для данной пары индексов, как в $${\displaystyle U_{ijk\dots }=U_{(ij)k\dots }+U_{[ij]k\dots }.}$$

Обозначение

Сокращенная запись для антисимметризации обозначается парой квадратных скобок. Например, в произвольных размерностях для ковариантного тензора порядка 2 M и для ковариантного тензора порядка 3 T , $${\displaystyle M_{[ab]}={\frac {1}{2!}}(M_{ab}-M_{ba}),}$$ $${\displaystyle T_{[abc]}={\frac {1}{3!}}(T_{abc}-T_{acb}+T_{bca}-T_{bac}+T_{cab}-T_{cba}).}$$

В любых 2-х и 3-х измерениях их можно записать как , где — обобщенная дельта Кронекера , и используется соглашение Эйнштейна о суммировании . $${\displaystyle {\begin{aligned}M_{[ab]}&={\frac {1}{2!}}\,\delta _{ab}^{cd}M_{cd},\\[2pt]T_{[abc]}&={\frac {1}{3!}}\,\delta _{abc}^{def}T_{def}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \delta _{ab\dots }^{cd\dots }}$

В более общем смысле, независимо от числа измерений, антисимметризация по индексам может быть выражена как ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle T_{[a_{1}\dots a_{p}]}={\frac {1}{p!}}\delta _{a_{1}\dots a_{p}}^{b_{1}\dots b_{p}}T_{b_{1}\dots b_{p}}.}$$

В общем случае каждый тензор ранга 2 можно разложить на симметричную и антисимметричную пару следующим образом: $${\displaystyle T_{ij}={\frac {1}{2}}(T_{ij}+T_{ji})+{\frac {1}{2}}(T_{ij}-T_{ji}).}$$

Это разложение в общем случае не верно для тензоров ранга 3 и выше, которые имеют более сложные симметрии.

Примеры

Полностью антисимметричные тензоры включают в себя:

• Тривиально, все скаляры и векторы (тензоры порядка 0 и 1) полностью антисимметричны (а также полностью симметричны).
• Электромагнитный тензор в электромагнетизме .​ ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$
• Риманова форма объема на псевдоримановом многообразии .

Смотрите также

• Антисимметричная матрица  – Форма матрицыPages displaying short descriptions of redirect targets
• Внешняя алгебра  – Алгебра внешних/клиновых произведений
• Символ Леви-Чивиты  – антисимметричный объект перестановки, действующий на тензоры
• Исчисление Риччи  – обозначение индекса тензора для вычислений на основе тензоров
• Симметричный тензор  – тензор, инвариантный относительно перестановок векторов, на которые он действует.
• Симметризация  – процесс, преобразующий любую функцию от n переменных в симметричную функцию от n переменных.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

Примечания

1. KF Riley; MP Hobson; SJ Bence (2010). Математические методы для физики и техники . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
2. Хуан Рамон Руис-Толоса; Энрике Кастильо (2005). От векторов к тензорам. Спрингер. п. 225. ИСБН 978-3-540-22887-5.раздел §7.

Ссылки

• Пенроуз, Роджер (2007). Дорога к реальности . Старинные книги. ISBN 978-0-679-77631-4.
• JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. стр. 85–86, §3.5. ISBN 0-7167-0344-0.

Внешние ссылки

• Антисимметричный тензор – mathworld.wolfram.com