Антисимметричный тензор

Тензор, равный отрицательному значению любой его транспозиции.

В математике и теоретической физике тензор является антисимметричным относительно (или относительно ) подмножества индексов , если он меняет знак ( +/-), когда любые два индекса подмножества меняются местами. ^{[1] [2]} Подмножество индекса обычно должно быть либо полностью ковариантным , либо полностью контравариантным .

Например,

$${\displaystyle T_{ijk\dots }=-T_{jik\dots }=T_{jki\dots }=-T_{kji\dots }=T_{kij\dots }=-T_{ikj\dots }}$$

Если тензор меняет знак при замене каждой пары своих индексов, то тензор полностью (или тотально ) антисимметричен . Полностью антисимметричное ковариантное тензорное поле порядка можно назвать дифференциальной -формой , а полностью антисимметричное контравариантное тензорное поле можно назвать -векторным полем . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Антисимметричные и симметричные тензоры

Тензор A , антисимметричный по индексам и обладающий тем свойством, что сжатие с тензором B , симметричным по индексам , тождественно равно 0. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

Для общего тензора U с компонентами и парой индексов U имеет симметричную и антисимметричную части, определяемые как : ${\displaystyle U_{ijk\dots }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j,}$

Аналогичные определения можно дать и для других пар индексов. Как следует из термина «часть», тензор представляет собой сумму его симметричной части и антисимметричной части для данной пары индексов, как в

$${\displaystyle U_{ijk\dots }=U_{(ij)k\dots }+U_{[ij]k\dots }.}$$

Обозначения

Сокращенное обозначение антисимметризации обозначается парой квадратных скобок. Например, в произвольных размерностях для ковариантного тензора M второго порядка

$${\displaystyle M_{[ab]}={\frac {1}{2!}}(M_{ab}-M_{ba}),}$$

T

$${\displaystyle T_{[abc]}={\frac {1}{3!}}(T_{abc}-T_{acb}+T_{bca}-T_{bac}+T_{cab}-T_{cba}).}$$

В любых 2-х и 3-х измерениях их можно записать как

$${\displaystyle {\begin{aligned}M_{[ab]}&={\frac {1}{2!}}\,\delta _{ab}^{cd}M_{cd},\\[2pt]T_{[abc]}&={\frac {1}{3!}}\,\delta _{abc}^{def}T_{def}.\end{aligned}}}$$

дельта Кронекераобозначения Эйнштейна ${\displaystyle \delta _{ab\dots }^{cd\dots }}$

В более общем смысле, независимо от количества измерений, антисимметризация по индексам может быть выражена как ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle T_{[a_{1}\dots a_{p}]}={\frac {1}{p!}}\delta _{a_{1}\dots a_{p}}^{b_{1}\dots b_{p}}T_{b_{1}\dots b_{p}}.}$$

В общем, каждый тензор ранга 2 можно разложить на симметричную и антисимметричную пару следующим образом:

$${\displaystyle T_{ij}={\frac {1}{2}}(T_{ij}+T_{ji})+{\frac {1}{2}}(T_{ij}-T_{ji}).}$$

Это разложение вообще не верно для тензоров ранга 3 и выше, которые имеют более сложную симметрию.

Примеры

К полностью антисимметричным тензорам относятся:

• Тривиально, все скаляры и векторы (тензоры порядка 0 и 1) полностью антисимметричны (а также полностью симметричны).
• Электромагнитный тензор в электромагнетизме . _ ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$
• Риманова форма объема на псевдоримановом многообразии .

Смотрите также

• Антисимметричная матрица  - Форма матрицыPages displaying short descriptions of redirect targets
• Внешняя алгебра  - алгебра векторного пространства.
• Символ Леви-Чивита  - антисимметричный объект перестановки, действующий на тензоры.
• Исчисление Риччи  - обозначение тензорного индекса для вычислений на основе тензоров
• Симметричный тензор  - тензор, инвариантный относительно перестановок векторов, на которые он действует.
• Симметризация  - процесс, который преобразует любую функцию от n переменных в симметричную функцию от n переменных.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

Примечания

1. К. Ф. Райли; член парламента Хобсон; С. Дж. Бенс (2010). Математические методы в физике и технике . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86153-3.
2. Хуан Рамон Руис-Толоса; Энрике Кастильо (2005). От векторов к тензорам. Спрингер. п. 225. ИСБН 978-3-540-22887-5.раздел §7.

Рекомендации

• Пенроуз, Роджер (2007). Дорога к реальности . Винтажные книги. ISBN 978-0-679-77631-4.
• Дж. А. Уилер; К. Миснер; К. С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co., стр. 85–86, §3.5. ISBN 0-7167-0344-0.

Внешние ссылки

• Антисимметричный тензор – mathworld.wolfram.com