В общей теории относительности аргумент с дыркой является очевидным парадоксом, который сильно беспокоил Альберта Эйнштейна при разработке его знаменитых уравнений поля .
В обычном уравнении поля знание источника поля и граничных условий определяет поле везде. Например, если нам даны ток и плотность заряда и соответствующие граничные условия, уравнения Максвелла определяют электрическое и магнитное поля. Однако они не определяют векторный потенциал, поскольку векторный потенциал зависит от произвольного выбора калибровки.
Эйнштейн заметил, что если уравнения гравитации общековариантны , то метрика не может быть однозначно определена ее источниками как функция координат пространства-времени. В качестве примера: рассмотрим гравитационный источник, такой как Солнце. Тогда есть некоторое гравитационное поле, описываемое метрикой g(r). Теперь выполните преобразование координат r r', где r' совпадает с r для точек, которые находятся внутри Солнца, но r' отличается от r снаружи Солнца. Координатное описание внутренней части Солнца не затрагивается преобразованием, но функциональная форма метрики g' для новых значений координат снаружи Солнца изменяется. Из-за общей ковариантности уравнений поля эта преобразованная метрика g' также является решением в непреобразованной системе координат.
Это означает, что один источник, Солнце, может быть источником многих, казалось бы, различных метрик. Разрешение немедленно: любые два поля, которые отличаются только таким преобразованием «дырки», физически эквивалентны, так же как два разных векторных потенциала, которые отличаются калибровочным преобразованием, физически эквивалентны. Тогда все эти математически различные решения физически неразличимы — они представляют одно и то же физическое решение уравнений поля.
Существует множество вариаций этого кажущегося парадокса. В одной версии рассмотрим начальную поверхность с некоторыми данными и найдем метрику как функцию времени. Затем выполним преобразование координат, которое перемещает точки в будущем начальной поверхности, но которое не влияет на начальную поверхность или любые точки на бесконечности. Вывод может быть таким, что общековариантные уравнения поля не определяют будущее однозначно, поскольку эта новая преобразованная координатами метрика является одинаково допустимым решением тех же уравнений поля в исходной системе координат. Таким образом, задача начального значения не имеет единственного решения в общей теории относительности. Это также верно в электродинамике, поскольку вы можете выполнить калибровочное преобразование, которое повлияет только на векторный потенциал завтра. Решение в обоих случаях заключается в использовании дополнительных условий для фиксации калибровки.
Вывод Эйнштейном уравнений гравитационного поля был отложен из-за аргумента дырки, который он создал в 1913 году. [1] Однако проблема была не такой, как указано в разделе выше. К 1912 году, когда Эйнштейн начал то, что он называл своей «борьбой со значением координат», [2] он уже знал, что нужно искать тензорные уравнения, поскольку они не зависят от изменения координат. Он уже нашел форму гравитационного поля (а именно, как тетраду или поле фрейма или метрику ), и уравнения движения материи в заданном гравитационном поле (которые следуют из максимизации собственного времени, заданного ). [3] Очевидно, что это инвариантно относительно преобразований координат.
То, что его беспокоило, было следствием его принципа общей ковариантности и вытекает из следующего. [4] Общая ковариантность утверждает, что законы физики должны иметь одинаковую математическую форму во всех системах отсчета (ускоряющихся или нет) и, следовательно, во всех системах координат, и поэтому дифференциальное уравнение, которое является уравнениями поля гравитационного поля, должно иметь одинаковую математическую форму во всех системах координат. Другими словами, если заданы две системы координат, скажем, координаты и координаты, то в обеих системах координат нужно решить совершенно одно и то же дифференциальное уравнение, за исключением того, что в одной независимой переменной является , а в другой независимой переменной является . Это подразумевает, что как только в системе координат находится метрическая функция , которая решает уравнения поля, можно просто записать ту же самую функцию, но заменить все ' на ', что решает уравнения поля в системе координат. Поскольку эти два решения имеют одинаковую функциональную форму, но принадлежат разным системам координат, они налагают разные геометрии пространства-времени. Обратите внимание, что это второе решение не связано с первым через преобразование координат, но тем не менее является решением. Вот проблема, которая так сильно беспокоила Эйнштейна: если эти системы координат различаются только после , то есть два решения; они имеют одинаковые начальные условия, но они накладывают разные геометрии после . На основе этого наблюдения Эйнштейн провел три года в поисках необщековариантных уравнений поля в отчаянной гонке с Гильбертом . [5]
Если быть точнее, Эйнштейн представлял себе ситуацию, когда распределение материи известно везде за пределами некоторой замкнутой области пространства-времени, лишенной материи, дыры. Тогда уравнения поля вместе с граничными условиями предположительно позволяют определить метрическое поле внутри дыры. Берутся координаты и , различающиеся внутри дыры, но совпадающие вне ее. Затем рассуждение продолжается так же, как в предыдущем абзаце.
Поскольку эти два решения имеют одинаковую функциональную форму, они принимают одни и те же значения; они просто принимают их в разных местах. Поэтому одно решение получается из другого путем активного перетаскивания метрической функции по пространственно-временному многообразию в новую конфигурацию. Это известно как диффеоморфизм , иногда называемый физиками активным диффеоморфизмом, чтобы отличить его от преобразований координат (пассивных диффеоморфизмов). Эйнштейну не удалось найти необщековариантные уравнения поля, только чтобы вернуться к аргументу дырки и разрешить его. По сути, это включало признание того, что эти два решения физически эквивалентны, заявив, что то, как метрика локализуется по пространственно-временному многообразию, физически не имеет значения и что отдельные точки пространства-времени, определенные в терминах пространственно-временных координат, не имеют физического смысла сами по себе (это источник проблемы для субстанционализма многообразия). Чтобы придать смысл «местоположению», Эйнштейн обобщил ситуацию, приведенную в предыдущих абзацах, введя две частицы; тогда физические точки (внутри дырки) можно определить в терминах их совпадающих мировых линий. Это работает, потому что материя перетаскивается вместе с метрикой при активных диффеоморфизмах. Без введения этих частиц невозможно было бы определить физические точки пространства-времени (внутри дыры); см. цитаты Эйнштейна, приведенные ниже в разделе «Разрешение Эйнштейна».
Для философски настроенных все еще есть некоторая тонкость. Если метрические компоненты считать динамическими переменными общей теории относительности , то условие, что уравнения являются инвариантными относительно координат, само по себе не имеет никакого содержания. Все физические теории инвариантны относительно преобразований координат, если сформулированы правильно. Уравнения Максвелла можно записать в любой системе координат и предсказать будущее таким же образом.
Но для того, чтобы сформулировать электромагнетизм в произвольной системе координат, необходимо ввести описание геометрии пространства-времени, которое не привязано к специальной системе координат. Это описание представляет собой метрический тензор в каждой точке или связь, которая определяет, какие близлежащие векторы параллельны. Введенный математический объект, метрика Минковского, меняет форму от одной системы координат к другой, но он не является частью динамики, он не подчиняется уравнениям движения. Что бы ни происходило с электромагнитным полем, оно всегда одно и то же. Оно действует, не подвергаясь воздействию.
В общей теории относительности каждая отдельная локальная величина, которая используется для описания геометрии, сама по себе является локальным динамическим полем со своим собственным уравнением движения. Это создает серьезные ограничения, поскольку уравнение движения должно быть разумным. Оно должно определять будущее из начальных условий, оно не должно иметь неуправляемых неустойчивостей для малых возмущений, оно должно определять положительно определенную энергию для малых отклонений. Если принять точку зрения, что инвариантность координат тривиально верна, принцип инвариантности координат просто утверждает, что сама метрика является динамической, и ее уравнение движения не включает фиксированную фоновую геометрию.
В 1915 году Эйнштейн понял, что аргумент дырки делает предположение о природе пространства-времени: он предполагает, что есть смысл говорить о значении гравитационного поля (с точностью до простых преобразований координат) в точке пространства-времени, определяемой координатой пространства-времени — точнее, он предполагает, что есть смысл говорить о физических свойствах гравитационного поля, например, является ли оно плоским или искривленным (это свойство гравитационного поля, не зависящее от координат), в точке пространства-времени. Отказавшись от этого предположения, общая ковариантность стала совместимой с детерминизмом. В то время как два гравитационных поля, которые отличаются активным диффеоморфизмом, выглядят по-разному геометрически, после пересчета траекторий всех частиц их взаимодействия явно определяют «физические» местоположения, относительно которых гравитационное поле принимает одно и то же значение при всех активных диффеоморфизмах. [6] (Обратите внимание, что если бы две метрики были связаны друг с другом простым преобразованием координат, то мировые линии частиц не были бы переставлены; это происходит потому, что обе эти метрики накладывают одну и ту же геометрию пространства-времени и потому, что мировые линии геометрически определяются как траектории максимального собственного времени — только при активном диффеоморфизме геометрия изменяется, а траектории изменяются.) Это было первое четкое утверждение принципа калибровочной инвариантности в физических законах.
Эйнштейн считал, что аргумент дырки подразумевает, что единственное осмысленное определение местоположения и времени — через материю. Точка в пространстве-времени сама по себе бессмысленна, потому что метка, которую дают такой точке, не определена. Точки пространства-времени приобретают свое физическое значение только потому, что материя движется через них. По его словам:
Он считал это глубочайшим пониманием общей теории относительности. Согласно этому пониманию, физическое содержание любой теории исчерпывается каталогом совпадений пространства-времени, которые она лицензирует. Джон Стэйчел назвал этот принцип аргументом совпадения точек . [1]
В общем случае то, что инвариантно относительно активных диффеоморфизмов и, следовательно, калибровочно-инвариантно, — это совпадения между значением гравитационного поля и значением поля материи в одном и том же «месте», поскольку гравитационное поле и поле материи перетаскиваются вместе друг с другом при активном диффеоморфизме. Из этих совпадений можно сформировать представление о том, что материя расположена относительно гравитационного поля. Как выразился Карло Ровелли : «Больше никаких полей в пространстве-времени: только поля в полях». [4] Это истинный смысл [ требуется пояснение ] высказывания «Сцена исчезает и становится одним из актеров»; пространство-время как «контейнер», над которым происходит физика, не имеет объективного физического смысла, и вместо этого гравитационное взаимодействие представляется просто как одно из полей, формирующих мир.
Эйнштейн назвал свое решение «превосходящим мои самые смелые ожидания».
Петлевая квантовая гравитация (LQG) — это подход к квантовой гравитации, который пытается объединить фундаментальные принципы классической ОТО с минимальными существенными чертами квантовой механики и не требует никаких новых гипотез. Физики, занимающиеся петлевой квантовой гравитацией, рассматривают независимость фона как центральный принцип в своем подходе к квантованию гравитации — классическую симметрию, которая должна быть сохранена квантовой теорией, если мы хотим по-настоящему квантовать геометрию (= гравитацию). Одним из непосредственных следствий является то, что LQG является УФ-конечной, поскольку малые и большие расстояния калибровочно эквивалентны, поскольку можно заменить одну метрическую функцию на другую, связанную с первой активным диффеоморфизмом. Можно привести более точный аргумент. [8] Прямое доказательство конечности канонической LQG в присутствии всех форм материи было предоставлено Тиманном. [9] Однако было высказано предположение [ кем? ], что петлевая квантовая гравитация нарушает независимость фона, вводя предпочтительную систему отсчета (« спиновая пена »). [ требуется ссылка ]
Пертурбативная теория струн (в дополнение к ряду непертурбативных формулировок) не является «очевидно» независимой от фона, поскольку она зависит от граничных условий на бесконечности, подобно тому, как пертурбативная общая теория относительности не является «очевидно» зависимой от фона. Однако некоторые разделы теории струн допускают формулировки, в которых независимость от фона проявляется, включая, в частности, AdS/CFT . Считается, что теория струн в целом независима от фона, даже если многие полезные формулировки не делают это очевидным. [10] Противоположную точку зрения см. у Смолина. [11]
