Системы счисления со смешанным основанием — это нестандартные позиционные системы счисления , в которых числовая основа меняется от позиции к позиции. Такое числовое представление применяется, когда количество выражается с помощью последовательности единиц, каждая из которых кратна следующей меньшей единице, но не тем же множителем. Такие единицы распространены, например, при измерении времени; время в 32 недели, 5 дней, 7 часов, 45 минут, 15 секунд и 500 миллисекунд может быть выражено как количество минут в системе счисления со смешанным основанием следующим образом:
... 32, 5, 07, 45; 15, 500... ∞, 7, 24, 60; 60, 1000
или как
В табличном формате цифры пишутся над их основанием, а точка с запятой указывает на точку основания . В числовом формате каждая цифра имеет связанное с ней основание, прикрепленное как нижний индекс, а точка основания отмечена точкой или точкой . Основанием для каждой цифры является количество соответствующих единиц, которые составляют следующую большую единицу. Как следствие, для первой (самой значимой) цифры нет основания (записывается как ∞), поскольку здесь «следующая большая единица» не существует (и нельзя добавить большую единицу «месяц» или «год» к последовательности единиц, поскольку они не являются целыми кратными «недели»).
Наиболее известным примером систем со смешанными основаниями является хронометрия и календари. Западные основания времени включают, как кардинально, так и порядково, десятичные годы, декады и столетия, семеричные для дней в неделе, двенадцатеричные месяцы в году, основания 28–31 для дней в месяце, а также основание 52 для недель в году. Время далее делится на часы, отсчитываемые по основанию 24 часа, шестидесятеричные минуты в часе и секунды в минуте, с десятичными дробями последних.
Стандартная форма для дат:2021-04-10 16:31:15, что было бы смешанным числом с основанием по этому определению, с учетом того, что количество дней меняется как в течение месяца, так и в високосные годы. Один из предлагаемых календарей вместо этого использует 13-месячную базу , четверичные недели и семеричные дни.
Смешанную систему счисления часто лучше всего выразить с помощью таблицы. Таблица, описывающая то, что можно понимать как 604800 секунд недели, выглядит следующим образом, при этом неделя начинается в час 0 дня 0 (полночь воскресенья):
В этой системе счисления смешанное число 3 7 17 24 51 60 57 60 секунд будет интерпретироваться как 17:51:57 в среду, а 0 7 0 24 02 60 24 60 будет 00:02:24 в воскресенье. Специальные обозначения для смешанных систем счисления являются обычным явлением.
Календарь майя состоит из нескольких перекрывающихся циклов с разными основаниями. Короткий счет цолкин перекрывает именованные дни с основанием 20 с трехзначными днями. Хааб состоит из двадцатеричных дней, восьмизначных месяцев и 52-летних лет, образующих круг . Кроме того, длинный счет из двадцатеричных дней, восьмизначных винал , затем двадцатичетверичных тун , к'атун , бак'тун и т. д. отслеживает исторические даты.
Вторым примером смешанной системы счисления в настоящее время является разработка и использование валюты, где ограниченный набор номиналов печатается или чеканится с целью представления любой денежной величины; сумма денег затем представляется количеством монет или банкнот каждого номинала. При принятии решения о том, какие номиналы создавать (и, следовательно, какие основания смешивать), стремятся к компромиссу между минимальным количеством различных номиналов и минимальным количеством отдельных монет, необходимых для представления типичных величин. Так, например, в Великобритании печатаются банкноты достоинством £50, £20, £10 и £5, а монеты чеканятся по £2, £1, 50 пенсов, 20 пенсов, 10 пенсов, 5 пенсов, 2 пенса и 1 пенс — они следуют серии предпочтительных значений 1-2-5 .
До перехода на десятичную систему денежные суммы в Великобритании измерялись в фунтах, шиллингах и пенсах, при этом 12 пенсов составляли шиллинг, а 20 шиллингов — фунт, так что, например, «£1 7s 6d» соответствовало смешанной системе счисления 1 ∞ 7 20 6 12 .
Единицы измерения, принятые в США, обычно представляют собой смешанные системы счисления, в которых множители изменяются от одной единицы к другой так же, как и единицы времени.
Представление со смешанным основанием также относится к версиям алгоритма Кули–Тьюки БПФ со смешанным основанием , в которых индексы входных значений раскрываются в представлении со смешанным основанием, индексы выходных значений раскрываются в соответствующем представлении со смешанным основанием с обратным порядком оснований и цифр, а каждое подпреобразование можно рассматривать как преобразование Фурье по одному разряду для всех значений оставшихся цифр.
Смешанно-основные числа с одинаковым основанием можно обрабатывать, используя обобщение ручных арифметических алгоритмов. Преобразование значений из одной смешанной базы в другую легко выполняется путем преобразования сначала значений разрядов одной системы в другую, а затем применения цифр из одной системы к ним.
APL и J включают операторы для преобразования в смешанные системы счисления и обратно.
Другое предложение — так называемая факториальная система счисления:
Например, наибольшее число, которое может быть представлено шестью цифрами, будет 543210, что равно 719 в десятичной системе : 5×5! + 4×4! + 3×3! + 2×2! + 1×1! Это может быть неясно на первый взгляд, но система счисления на основе факториалов однозначна и полна. Каждое число может быть представлено одним и только одним способом, потому что сумма соответствующих факториалов, умноженная на индекс, всегда равна следующему факториалу минус один:
Существует естественное отображение между целыми числами 0, ..., n ! − 1 и перестановками n элементов в лексикографическом порядке, которое использует факториальное представление целого числа, за которым следует интерпретация в виде кода Лемера .
Вышеприведенное уравнение является частным случаем следующего общего правила для любого представления основания (стандартного или смешанного), которое выражает тот факт, что любое представление основания (стандартного или смешанного) является однозначным и полным. Каждое число может быть представлено одним и только одним способом, поскольку сумма соответствующих весов, умноженная на индекс, всегда равна следующему весу минус один:
что можно легко доказать с помощью математической индукции .
Другое предложение — это числовая система с последовательными простыми числами в качестве основания, разрядные значения которой являются изначальными числами, рассмотренная С. С. Пиллаи [1] , Ричардом К. Гаем (последовательность A049345 в OEIS ) и другими авторами [2] [3] [4] :
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(([i+1]+1)-1)\cdot ([i]+1)!=([n+1]+1)!-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cd6d0fab1e62c69dfdf5eeadd6b2accf9c2e56f)
