Арифметическое число

Демонстрация с помощью палочек Кюизенера арифметической природы числа 6.

В теории чисел арифметическое число — это целое число , для которого среднее значение его положительных делителей также является целым числом. Например, 6 — арифметическое число, потому что среднее его делителей равно

${\displaystyle {\frac {1+2+3+6}{4}}=3,}$

которое также является целым числом. Однако 2 не является арифметическим числом, поскольку его делители — только 1 и 2, а их среднее 3/2 не является целым числом.

Первые числа в последовательности арифметических чисел равны

1, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 27, 29, 30, 31, 33, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, ... (последовательность A003601 в OEIS ).

Средние арифметические делителей арифметических чисел указаны под номером A102187.

Плотность

Известно, что естественная плотность таких чисел равна 1: ^[1] действительно, доля чисел меньше X , которые не являются арифметическими, асимптотически ^[2]

${\displaystyle \exp \left({-c{\sqrt {\log \log X}}}\,\right)}$

где c = 2 √ log 2 + o(1).

Число N является арифметическим, если количество делителей d ( N  ) делит сумму делителей σ( N  ). Известно, что плотность целых чисел N , подчиняющихся более сильному условию, что d ( N  ) ² делит σ( N  ), равна 1/2. ^{[1] [2]}

Примечания

1. Гай (2004) стр.76
2. Бейтман, Пол Т .; Эрдеш, Пол ; Померанс, Карл ; Штраус, Э.Г. (1981). «Среднее арифметическое делителей целого числа». В Кноппе, Мичиган (ред.). Аналитическая теория чисел, Тр. Конференция, Университет Темпл, 1980 г. (PDF) . Конспект лекций по математике. Том. 899. Шпрингер-Верлаг . стр. 197–220. Збл  0478.10027.

Рекомендации

• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Спрингер-Верлаг . БИ 2. ISBN 978-0-387-20860-2. Збл  1058.11001.