Арксинусное распределение

Тип распределения вероятностей

В теории вероятностей распределение арксинуса — это распределение вероятностей, кумулятивная функция распределения которого включает арксинус и квадратный корень :

${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)={\frac {\arcsin(2x-1)}{\pi }}+{\frac {1}{2}}}$

для 0 ≤  x  ≤ 1, и чья функция плотности вероятности равна

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}}$

на (0, 1). Стандартное распределение арксинуса является частным случаем бета-распределения с α  =  β  = 1/2. То есть, если — случайная величина, распределенная по арксинусу, то . В более широком смысле распределение арксинуса является частным случаем распределения Пирсона типа I . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\sim {\rm {Beta}}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$

Распределение арксинуса появляется в законе арксинуса Леви , в законе арксинуса Эрдёша и как априорное распределение Джеффриса для вероятности успеха испытания Бернулли . ^{[1] [2]}

Обобщение

Произвольная ограниченная поддержка

Распределение можно расширить, включив в него любую ограниченную поддержку из a  ≤  x  ≤  b с помощью простого преобразования

${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)}$

для a  ≤  x  ≤  b , и чья функция плотности вероятности равна

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}}$

на ( а ,  б ).

Фактор формы

Обобщенное стандартное арксинусное распределение на (0,1) с функцией плотности вероятности

${\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {\sin \pi \alpha }{\pi }}x^{-\alpha }(1-x)^{\alpha -1}}$

также является частным случаем бета-распределения с параметрами . ${\displaystyle {\rm {Beta}}(1-\alpha ,\alpha )}$

Обратите внимание, что общее распределение арксинуса сводится к стандартному распределению, указанному выше. ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}}}$

Характеристики

• Распределение арксинуса замкнуто относительно переноса и масштабирования на положительный множитель
  • Если ${\displaystyle X\sim {\rm {Arcsine}}(a,b)\ {\text{then }}kX+c\sim {\rm {Arcsine}}(ak+c,bk+c)}$
• Квадрат распределения арксинуса по (-1, 1) имеет распределение арксинуса по (0, 1)
  • Если ${\displaystyle X\sim {\rm {Arcsine}}(-1,1)\ {\text{then }}X^{2}\sim {\rm {Arcsine}}(0,1)}$
• Координаты точек, равномерно выбранных на окружности радиуса с центром в начале координат (0, 0), имеют распределение ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\rm {Arcsine}}(-r,r)}$
  • Например, если мы выберем точку равномерно на окружности, то распределение координаты x точки будет равно , а распределение ее координаты y будет равно ${\displaystyle U\sim {\rm {Uniform}}(0,2\pi r)}$ ${\displaystyle r\cdot \cos(U)\sim {\rm {Arcsine}}(-r,r)}$ ${\textstyle r\cdot \sin(U)\sim {\rm {Arcsine}}(-r,r)}$

Характерная функция

Характеристическая функция обобщенного арксинусного распределения представляет собой функцию Бесселя нулевого порядка первого рода, умноженную на комплексную экспоненту, заданную выражением . Для частного случая характеристическая функция принимает вид . ${\displaystyle e^{it{\frac {b+a}{2}}}J_{0}({\frac {b-a}{2}}t)}$ ${\displaystyle b=-a}$ ${\displaystyle J_{0}(bt)}$

Связанные дистрибутивы

• Если U и V — одинаковые равномерные (−π,π) случайные величины, то , , , и все имеют распределение. ${\displaystyle \sin(U)}$ ${\displaystyle \sin(2U)}$ ${\displaystyle -\cos(2U)}$ ${\displaystyle \sin(U+V)}$ ${\displaystyle \sin(U-V)}$ ${\displaystyle {\rm {Arcsine}}(-1,1)}$
• Если — обобщенное арксинусное распределение с параметром формы, поддерживаемым на конечном интервале [a,b], то ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\frac {X-a}{b-a}}\sim {\rm {Beta}}(1-\alpha ,\alpha )\ }$
• Если X ~ Коши(0, 1), то имеет стандартное распределение арксинуса ${\displaystyle {\tfrac {1}{1+X^{2}}}}$

Ссылки

1. Overturf, Drew; et al. (2017). Исследование диаграмм направленности от объемно распределенных фазированных решеток . MILCOM 2017 - 2017 IEEE Military Communications Conference (MILCOM). стр. 817–822. doi :10.1109/MILCOM.2017.8170756. ISBN 978-1-5386-0595-0.
2. Бьюкенен, К. и др. (2020). «Управление нулевым лучом с использованием распределенных решеток и распределений с общей апертурой». Труды IEEE по антеннам и распространению . 68 (7): 5353–5364. doi :10.1109/TAP.2020.2978887.

Дальнейшее чтение

• Рогозин, Б.А. (2001) [1994], "Распределение арксинуса", Энциклопедия математики , EMS Press