Асимптотическое распределение

В математике и статистике асимптотическое распределение — это распределение вероятностей , которое в некотором смысле является «предельным» распределением последовательности распределений. Одно из основных применений идеи асимптотического распределения — предоставление приближений к кумулятивным функциям распределения статистических оценщиков .

Определение

Последовательность распределений соответствует последовательности случайных величин Z i _для i = 1, 2, ..., I . В простейшем случае асимптотическое распределение существует, если распределение вероятностей Z _i сходится к распределению вероятностей (асимптотическому распределению) при увеличении i : см. сходимость в распределении . Частным случаем асимптотического распределения является случай, когда последовательность случайных величин всегда равна нулю или Z _i = 0 при стремлении i к бесконечности. Здесь асимптотическое распределение является вырожденным распределением , соответствующим нулевому значению.

Однако наиболее обычный смысл, в котором используется термин асимптотическое распределение, возникает, когда случайные величины Z _i изменяются двумя последовательностями неслучайных значений. Таким образом, если

Y_{i}={\frac {Z_{i}-a_{i}}{b_{i}}}

сходится по распределению к невырожденному распределению для двух последовательностей { a _i } и { b _i }, то говорят, что Z _i имеет это распределение в качестве своего асимптотического распределения. Если функция распределения асимптотического распределения равна F , то для больших n справедливы следующие приближения

P\left({\frac {Z_{n}-a_{n}}{b_{n}}}\leq x\right)\approx F(x),

P(Z_{n}\leq z)\approx F\left({\frac {z-a_{n}}{b_{n}}}\right).

Если существует асимптотическое распределение, то не обязательно, что любой результат последовательности случайных величин является сходящейся последовательностью чисел. Сходится именно последовательность распределений вероятностей.

Центральная предельная теорема

Возможно, наиболее распространенным распределением, возникающим как асимптотическое распределение, является нормальное распределение . В частности, центральная предельная теорема дает пример, где асимптотическое распределение является нормальным распределением .

Центральная предельная теорема: Предположим, что есть последовательность случайных величин iid с и . Пусть будет средним значением . Тогда по мере приближения к бесконечности случайные величины сходятся по распределению к нормальному : ^[1] $\{X_{1},X_{2},\точки \}$ $\mathrm {E} [X_{i}]=\mu$ $\operatorname {Var} [X_{i}]=\sigma ^{2}<\infty$ $S_{n}$ $\{X_{1},\точки ,X_{n}\}$ $n$ ${\sqrt {n}}(S_{n}-\mu)$ $N(0,\сигма^{2})$

Центральная предельная теорема дает только асимптотическое распределение. Как приближение для конечного числа наблюдений, она обеспечивает разумное приближение только вблизи пика нормального распределения; для того, чтобы растянуться до хвостов, требуется очень большое число наблюдений.

Локальная асимптотическая нормальность

Локальная асимптотическая нормальность является обобщением центральной предельной теоремы. Это свойство последовательности статистических моделей , которое позволяет асимптотически приближать эту последовательность с помощью нормальной модели расположения после перемасштабирования параметра. Важный пример, когда локальная асимптотическая нормальность имеет место, — это случай независимой и одинаково распределенной выборки из регулярной параметрической модели ; это как раз и есть центральная предельная теорема.

Барндорф-Нильсон и Кокс дают прямое определение асимптотической нормальности. ^[2]

Смотрите также

Ссылки

^ Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера (третье изд.). John Wiley & Sons . стр. 357. ISBN 0-471-00710-2.
^ Barndorff-Nielsen, OE ; Cox, DR (1989). Асимптотические методы для использования в статистике. Chapman and Hall . ISBN 0-412-31400-2.