Атомные единицы

Система измерения

Атомные единицы — это система естественных единиц измерения, которая особенно удобна для расчетов в атомной физике и смежных научных областях, таких как вычислительная химия и атомная спектроскопия . Первоначально они были предложены и названы физиком Дугласом Хартри . ^[1] Атомные единицы часто обозначаются сокращениями «au» или «au», не путать с аналогичными сокращениями, используемыми для астрономических единиц , произвольных единиц и единиц поглощения в других контекстах.

Мотивация

В контексте атомной физики использование системы атомных единиц может быть удобным ярлыком, позволяющим исключить ненужные символы и числа с очень маленькими порядками. Например, оператор Гамильтона в уравнении Шредингера для атома гелия со стандартными величинами, например, при использовании единиц СИ, равен ^[2]

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\text{e}}}}\nabla _{1}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\text{e}}}}\nabla _{2}^{2}-{\frac {2e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{1}}}-{\frac {2e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{2}}}+{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{12}}},}$

но, приняв соглашение, связанное с атомными единицами, которое преобразует количества в безразмерные эквиваленты, становится

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {1}{2}}\nabla _{1}^{2}-{\frac {1}{2}}\nabla _{2}^{2}-{\frac {2}{r_{1}}}-{\frac {2}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{12}}}.}$

В этом соглашении константы , , и все соответствуют значению (см. § Определение ниже). Расстояния, имеющие отношение к физике, выраженные в единицах СИ, естественно, имеют порядок, тогда как расстояния, выраженные в атомных единицах, имеют порядок (один радиус Бора , атомная единица длины). Дополнительным преимуществом выражения величин с использованием атомных единиц является то, что их значения, рассчитанные и сообщаемые в атомных единицах, не изменяются при пересмотре значений фундаментальных констант. Фундаментальные константы встроены в коэффициенты перевода между атомными единицами и СИ. ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle m_{\text{e}}}$ ${\displaystyle 4\pi \epsilon _{0}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 10^{-10}\,\mathrm {m} }$ ${\displaystyle 1a_{0}}$

История

Хартри определил единицы измерения на основе трех физических констант: ^{[1] : 91.}

Как для того, чтобы исключить из уравнений различные универсальные константы, так и для того, чтобы избежать высоких степеней 10 в числовых работах, удобно выражать величины в единицах, которые можно назвать «атомными единицами», определяемыми следующим образом:

Единица длины , , по орбитальной механике радиус 1-квантовой круговой орбиты H -атома с неподвижным ядром. ${\displaystyle a_{\text{H}}=h^{2}\,/\,4\pi ^{2}me^{2}}$

Единица заряда , , величина заряда электрона. ${\displaystyle e}$

Единица массы , , масса электрона. ${\displaystyle m}$

Им соответствуют:

Единица действия , . ${\displaystyle h\,/\,2\pi }$

Единица энергии , [...] ${\displaystyle e^{2}/a_{\text{H}}=2hcR=}$

Единица времени , . ${\displaystyle 1\,/\,4\pi cR}$
 

-  Д. Р. Хартри, Волновая механика атома с некулоновским центральным полем. Часть I. Теория и методы

Здесь современный эквивалент — постоянная Ридберга , — масса электрона , — радиус Бора , — приведенная постоянная Планка . Выражения Хартри, которые содержат , отличаются от современной формы из-за изменения определения , как объяснено ниже. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{\infty }}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m_{\text{e}}}$ ${\displaystyle a_{\text{H}}}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle h/2\pi }$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e}$

В 1957 году книга Бете и Солпитера « Квантовая механика одно- и двухэлектронных атомов» ^[3] была построена на единицах Хартри, которые они назвали атомными единицами, сокращенно «ау». В качестве основных единиц они решили использовать свою единицу действия и угловой момент вместо длины Хартри. Они отметили, что единицей длины в этой системе является радиус первой орбиты Бора , а их скорость — скорость электрона в модели первой орбиты Бора. ${\displaystyle \hbar }$

В 1959 году Шулл и Холл ^[4] выступили за атомные единицы , основанные на модели Хартри, но снова решили использовать ее в качестве определяющей единицы. Они прямо назвали единицу расстояния « радиусом Бора »; кроме того, они написали единицу энергии как и назвали ее Хартри . Эти термины стали широко использоваться в квантовой химии. ^{[5] : 349} ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle H=me^{4}/\hbar ^{2}}$

В 1973 году МакВини расширил систему Шулла и Холла, добавив диэлектрическую проницаемость в виде определяющей или базовой единицы. ^{[6] [7]} Одновременно он принял определение СИ, так что его выражение для энергии в атомных единицах соответствует выражению в 8-й брошюре СИ. ^[8] ${\displaystyle \kappa _{0}=4\pi \epsilon _{0}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e^{2}/(4\pi \epsilon _{0}a_{0})}$

Определение

Набором основных единиц в атомной системе, как в одном предложении, являются масса покоя электрона, величина электронного заряда, постоянная Планка и диэлектрическая проницаемость. ^{[6] [9]} В системе атомных единиц каждая из них принимает значение 1; соответствующие значения в Международной системе единиц ^{[10] : 132} приведены в таблице.

Примечания к таблице

^† Этот выбор базовых единиц, который по существу произволен, является предложением МакВини.

^‡ W представляет размерность энергии, ML ² T ⁻² . ^[6]

^⹋ В столбце «Атомные единицы» применено соглашение об использовании безразмерных эквивалентов.

Единицы

Три из определяющих констант (приведенная постоянная Планка, элементарный заряд и масса покоя электрона) сами являются атомными единицами – действия , [ ^15] электрического заряда , ^[16] и массы , ^[17] соответственно. Две названные единицы — это длина ( радиус Бора ) и энергия ( Хартри ). ${\displaystyle a_{0}\equiv 4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}/m_{\text{e}}e^{2}}$ ${\displaystyle E_{\text{h}}\equiv \hbar ^{2}/m_{\text{e}}a_{0}^{2}}$

Конвенции

При использовании атомарных единиц приняты различные соглашения, которые различаются по представлению, формальности и удобству.

Явные единицы

• Во многих текстах (например, Джеррард и МакНил, ^[7] Шулл и Холл ^[4] ) атомные единицы определяются как количества без преобразования используемых уравнений. По существу, они не предлагают рассматривать какие-либо величины как безразмерные или менять форму каких-либо уравнений. Это согласуется с выражением величин через размерные величины, где атомная единица включается явно как символ (например , , или, более двусмысленно, ), и сохранение неизмененных уравнений с явными константами. ^[42] ${\displaystyle m=3.4~m_{\text{e}}}$ ${\displaystyle m=3.4~{\text{a.u. of mass}}}$ ${\displaystyle m=3.4~{\text{a.u.}}}$
• Предлагается также возможность выбора более удобных, тесно связанных величин, более подходящих для решения задачи в качестве единиц, чем универсальные фиксированные единицы, например, на основе приведенной массы электрона, хотя и с тщательным ее определением там, где они используются (например, единица , где для указанной массы ). ^[4] ${\displaystyle H_{M}=\mu e^{4}/\hbar ^{2}}$ ${\displaystyle \mu =m_{\text{e}}M/(m_{\text{e}}+M)}$ ${\displaystyle M}$

Соглашение, исключающее единицы

В атомной физике принято упрощать математические выражения путем преобразования всех величин:

• Хартри предположил, что выражение в атомных единицах позволяет нам «исключить из уравнений различные универсальные константы», что равнозначно неформальному предложению преобразования величин и уравнений таким образом, чтобы все количества были заменены соответствующими безразмерными величинами. ^{[1] : 91} Он не выходит за рамки примеров.
• МакВини предполагает, что «... их принятие позволяет записать все фундаментальные уравнения в безразмерной форме, в которой такие константы, как , и отсутствуют и их вообще не нужно учитывать во время математических выводов или процессов численного решения; единицы измерения в которые должна появиться любая рассчитанная величина, неявно указаны в ее физических размерах и могут быть указаны в конце». Он также заявляет, что «Альтернативное соглашение состоит в том, чтобы интерпретировать символы как числовые меры величин, которые они представляют, отнесенные к некоторой определенной системе единиц: в этом случае уравнения содержат только чистые числа или безразмерные переменные; ... соответствующие единицы предоставляются в конце расчета со ссылкой на физические размеры вычисляемой величины. [Это] соглашение имеет много рекомендаций и молчаливо принимается в атомной и молекулярной физике всякий раз, когда вводятся атомные единицы, например, для удобства вычислений ." ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle h}$
• Часто используется неформальный подход, при котором «уравнения выражаются в атомных единицах просто путем установки ». ^{[42] [43] [44]} Это форма сокращения более формального процесса преобразования между количествами, предложенного другими, такими как МакВини. ${\displaystyle \hbar =m_{\text{e}}=e=4\pi \epsilon _{0}=1}$

Физические константы

Безразмерные физические константы сохраняют свои значения в любой системе единиц. Следует отметить константу тонкой структуры , которая появляется в выражениях вследствие выбора единиц измерения. Например, числовое значение скорости света , выраженное в атомных единицах, равно ^{[45] :597.} ${\displaystyle \alpha ={e^{2}}/{(4\pi \epsilon _{0})\hbar c}\approx 1/137}$ ${\displaystyle c=1/\alpha \,{\text{a.u.}}\approx 137\,{\text{a.u.}}}$

Модель Бора в атомных единицах

Атомные единицы выбираются с учетом свойств электронов в атомах, что особенно ясно проявляется в классической модели Бора атома водорода для связанного электрона в основном состоянии :

• Масса = 1 а.е. массы
• Заряд = −1 а.е. заряда
• Радиус орбиты = 1 а.е. длины
• Орбитальная скорость = 1 а.е. скорости ^{[45] : 597}
• Орбитальный период = 2 π а.е. времени
• Орбитальная угловая скорость = 1 радиан на а.е. времени.
• Орбитальный момент = 1 а.е. импульса
• Энергия ионизации =1/2а.е. энергии
• Электрическое поле (из-за ядра) = 1 а.е. электрического поля
• Сила Лоренца (из-за ядра) = 1 а.е. силы

Рекомендации

1. Хартри, Д.Р. (1928), «Волновая механика атома с некулоновским центральным полем. Часть I. Теория и методы», Математические труды Кембриджского философского общества , том. 24, нет. 1, Cambridge University Press, стр. 89–110, Bibcode : 1928PCPS...24...89H, doi : 10.1017/S0305004100011919, S2CID  122077124
2. МакКуорри, Дональд А. (2008). Квантовая химия (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Университетские научные книги.
3. Бете, Ганс А.; Солпитер, Эдвин Э. (1957). Введение. Единицы измерения. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. стр. 2–4. дои : 10.1007/978-3-662-12869-5_1. ISBN 978-3-662-12871-8.
4. Шулл, Х.; Холл, Г.Г. (1959). «Атомные единицы». Природа . 184 (4698): 1559. Бибкод : 1959Natur.184.1559S. дои : 10.1038/1841559a0. S2CID  23692353.
5. Левин, Ира Н. (1991). Квантовая химия . Серия Pearson по продвинутой химии (4-е изд.). Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall International. ISBN 978-0-205-12770-2.
6. МакВини, Р. (май 1973 г.). «Естественные единицы в атомной и молекулярной физике». Природа . 243 (5404): 196–198. Бибкод : 1973Natur.243..196M. дои : 10.1038/243196a0. ISSN  0028-0836. S2CID  4164851.
7. Джеррард, ХГ; Макнил, Д.Б. (1992). Системы единиц. Дордрехт: Springer Нидерланды. стр. 3–8. дои : 10.1007/978-94-011-2294-8_2. ISBN 978-0-412-46720-2.
8. Международное бюро мер и весов (2006), Международная система единиц (СИ) (PDF) (8-е изд.), стр. 125, ISBN 92-822-2213-6, заархивировано (PDF) из оригинала 04 июня 2021 г. , получено 16 декабря 2021 г.. Обратите внимание, что эта информация опущена в 9-м издании.
9. Пол Куинси; Питер Дж. Мор; Уильям Д. Филлипс (2019), «Углы по своей сути не являются ни отношениями длин, ни безразмерными», Metrologia , 56 , arXiv : 1909.08389 , doi : 10.1088/1681-7575/ab27d7, В [системе атомных единиц Хартри] единицы, m _e , e , ħ и 1/4 πε ₀ все равны единице.– ссылка, дающая эквивалентный набор определяющих констант.
10. «9-е издание брошюры SI». МБМВ. 2019 . Проверено 20 мая 2019 г.
11. «Приведенная постоянная Планка». КОДАТА 2018 .
12. «Элементарный заряд». КОДАТА 2018 .
13. «масса электрона». КОДАТА 2018 .
14. «Атомная единица диэлектрической проницаемости». КОДАТА 2018 .
15. «атомная единица действия». КОДАТА 2018 .
16. «Атомная единица заряда» . КОДАТА 2018 .
17. «Атомная единица массы» . КОДАТА 2018 .
18. «Атомная единица 1-й гиперполяризуемости». КОДАТА 2018 .
19. «Атомная единица 2-й гиперполяризуемости». КОДАТА 2018 .
20. «атомная единица действия». КОДАТА 2018 .
21. «Атомная единица заряда» . КОДАТА 2018 .
22. «Атомная единица плотности заряда» . КОДАТА 2018 .
23. «Атомная единица тока» . КОДАТА 2018 .
24. «Атомная единица электрического дипольного момента». КОДАТА 2018 .
25. "Атомная единица электрического поля" . КОДАТА 2018 .
26. «Атомная единица градиента электрического поля» . КОДАТА 2018 .
27. «Атомная единица электрической поляризуемости». КОДАТА 2018 .
28. «Атомная единица электрического потенциала». КОДАТА 2018 .
29. «Атомная единица электрического квадрупольного момента» . КОДАТА 2018 .
30. «атомная единица энергии» . КОДАТА 2018 .
31. «Энергия Хартри в эВ» . КОДАТА 2018 .
32. «атомная единица силы» . КОДАТА 2018 .
33. «Атомная единица длины». КОДАТА 2018 .
34. «Атомная единица магнитного дипольного момента». КОДАТА 2018 .
35. «Атомная единица плотности магнитного потока» . КОДАТА 2018 .
36. «Атомная единица намагничиваемости». КОДАТА 2018 .
37. «Атомная единица массы» . КОДАТА 2018 .
38. «Атомная единица импульса». КОДАТА 2018 .
39. «Атомная единица диэлектрической проницаемости». КОДАТА 2018 .
40. «Атомная единица времени» . КОДАТА 2018 .
41. «Атомная единица скорости». КОДАТА 2018 .
42. Пилар, Фрэнк Л. (2001). Элементарная квантовая химия. Дуврские публикации. п. 155. ИСБН 978-0-486-41464-5.
43. Бишоп, Дэвид М. (1993). Теория групп и химия. Дуврские публикации. п. 217. ИСБН 978-0-486-67355-4.
44. Дрейк, Гордон В.Ф. (2006). Справочник Springer по атомной, молекулярной и оптической физике (2-е изд.). Спрингер. п. 5. ISBN 978-0-387-20802-2.
45. Карплюс, Мартин; Портер, Ричард Нидхэм (1970), Атомы и молекулы: введение для студентов, изучающих физическую химию , Нидерланды: В. А. Бенджамин.
46. «CODATA Международно рекомендованные значения фундаментальных физических констант на 2018 год» . Справочник NIST по константам, единицам измерения и неопределенности . НИСТ . 20 мая 2019 г. Проверено 31 августа 2019 г. (все значения).