Аффинная оболочка

Наименьшее аффинное подпространство, содержащее подмножество

В математике аффинная оболочка или аффинная оболочка множества S в евклидовом пространстве Rn ^— это наименьшее аффинное множество , содержащее S , ^[1] или, что эквивалентно, пересечение всех аффинных множеств, содержащих S. Здесь аффинное множество можно определить как перенос векторного подпространства .

Аффинная оболочка aff( S ) множества S — это множество всех аффинных комбинаций элементов множества S , то есть

${\displaystyle \operatorname {aff} (S)=\left\{\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}x_{i}\,{\Bigg |}\,k>0,\,x_{i}\in S,\,\alpha _{i}\in \mathbb {R} ,\,\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}=1\right\}.}$

Примеры

• Аффинная оболочка пустого множества — это пустое множество.
• Аффинная оболочка синглтона ( множества, состоящего из одного элемента) — это сам синглтон.
• Аффинная оболочка множества двух различных точек — это прямая, проходящая через них.
• Аффинная оболочка множества из трех точек, не лежащих на одной прямой, — это плоскость, проходящая через них.
• Аффинная оболочка множества из четырех точек, не лежащих в плоскости в R ^{3 ,} представляет собой все пространство R ³ .

Характеристики

Для любых подмножеств ${\displaystyle S,T\subseteq X}$

• ${\displaystyle \operatorname {aff} (\operatorname {aff} S)=\operatorname {aff} S}$
• ${\displaystyle \operatorname {aff} S}$является замкнутым множеством, если имеет конечную размерность. ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {aff} (S+T)=\operatorname {aff} S+\operatorname {aff} T}$
• Если тогда . ${\displaystyle 0\in S}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} S=\operatorname {span} S}$
• Если то — линейное подпространство . ${\displaystyle s_{0}\in S}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} (S)-s_{0}=\operatorname {span} (S-s_{0})}$ ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {aff} (S-S)=\operatorname {span} (S-S)}$.
  • Так, в частности, всегда является векторным подпространством . ${\displaystyle \operatorname {aff} (S-S)}$ ${\displaystyle X}$
• Если выпукло , то ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} (S-S)=\displaystyle \bigcup _{\lambda >0}\lambda (S-S)}$
• Для каждого , где — наименьший конус, содержащий (здесь множество является конусом, если для всех и всех неотрицательно ). ${\displaystyle s_{0}\in S}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} S=s_{0}+\operatorname {cone} (S-S)}$ ${\displaystyle \operatorname {cone} (S-S)}$ ${\displaystyle S-S}$ ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle rc\in C}$ ${\displaystyle c\in C}$ ${\displaystyle r\geq 0}$
  • Следовательно, всегда есть линейное подпространство, параллельное . ${\displaystyle \operatorname {cone} (S-S)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} S}$

Связанные наборы

• Если вместо аффинной комбинации использовать выпуклую комбинацию , то есть потребовать в приведенной выше формуле, чтобы все были неотрицательными, то получится выпуклая оболочка S , которая не может быть больше аффинной оболочки S , поскольку накладывается больше ограничений. ${\displaystyle \alpha _{i}}$
• Понятие конической комбинации порождает понятие конической оболочки.
• Однако если вообще не накладывать никаких ограничений на числа , то вместо аффинной комбинации получится линейная комбинация , а полученное множество будет линейной оболочкой S , содержащей аффинную оболочку S. ${\displaystyle \alpha _{i}}$

Ссылки

1. Роман 2008, стр. 430 §16

Источники

• RJ Webster, Выпуклость , Oxford University Press, 1994. ISBN  0-19-853147-8 .
• Роман, Стивен (2008), Продвинутая линейная алгебра , Graduate Texts in Mathematics (Третье изд.), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5