Пучок алгебр

Тип кольцевого пространства

В алгебраической геометрии пучок алгебр на кольчатом пространстве X — это пучок коммутативных колец на X , который также является пучком -модулей ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ . Он квазикогерентен, если он таков как модуль.

Когда X является схемой , как и кольцо, можно взять глобальный Spec квазикогерентного пучка алгебр: это приводит к контравариантному функтору из категории квазикогерентных (пучков) -алгебр на X в категорию схем, которые аффинны над X (определены ниже). Более того, это эквивалентность: квазиобратный задается отправкой аффинного морфизма в ^[1] ${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}.}$

Аффинный морфизм

Морфизм схем называется аффинным, если имеет открытое аффинное покрытие , такое, что аффинно. ^[2] Например, конечный морфизм является аффинным. Аффинный морфизм является квазикомпактным и отделимым ; в частности, прямой образ квазикогерентного пучка вдоль аффинного морфизма является квазикогерентным. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f^{-1}(U_{i})}$

Базовое изменение аффинного морфизма является аффинным. ^[3]

Пусть — аффинный морфизм между схемами и локально окольцованным пространством вместе с отображением . Тогда естественное отображение между множествами: ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle g:E\to Y}$

${\displaystyle \operatorname {Mor} _{Y}(E,X)\to \operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{Y}-{\text{alg}}}(f_{*}{\mathcal {O}}_{X},g_{*}{\mathcal {O}}_{E})}$

является биективным. ^[4]

Примеры

• Пусть — нормализация алгебраического многообразия X. Тогда, поскольку f конечна, она квазикогерентна и . ${\displaystyle f:{\widetilde {X}}\to X}$ ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{\widetilde {X}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}(f_{*}{\mathcal {O}}_{\widetilde {X}})={\widetilde {X}}}$
• Пусть — локально свободный пучок конечного ранга на схеме X. Тогда — квазикогерентная -алгебра и — ассоциированное векторное расслоение над X (называемое тотальным пространством ). ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} (E^{*})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}(\operatorname {Sym} (E^{*}))\to X}$ ${\displaystyle E}$
• В более общем случае, если F — когерентный пучок на X , то все еще существует , обычно называемая абелевой оболочкой F ; см. Конус (алгебраическая геометрия)#Примеры . ${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}(\operatorname {Sym} (F))\to X}$

Формирование прямых изображений

Для заданного окольцованного пространства S существует категория пар, состоящая из окольцованного морфизма пространства и -модуля . Тогда формирование прямых образов определяет контравариантный функтор из в категорию пар, состоящую из -алгебры A и A -модуля M , который переводит каждую пару в пару . ${\displaystyle C_{S}}$ ${\displaystyle (f,M)}$ ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$ ${\displaystyle (f,M)}$ ${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {O}},f_{*}M)}$

Теперь предположим, что S — схема, а затем пусть — подкатегория, состоящая из пар, таких, что — аффинный морфизм между схемами и квазикогерентным пучком на . Тогда указанный выше функтор определяет эквивалентность между и категорией пар, состоящей из -алгебры A и квазикогерентного -модуля . ^[5] ${\displaystyle \operatorname {Aff} _{S}\subset C_{S}}$ ${\displaystyle (f:X\to S,M)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Aff} _{S}}$ ${\displaystyle (A,M)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$

Вышеуказанная эквивалентность может быть использована (помимо прочего) для выполнения следующей конструкции. Как и прежде, задана схема S , пусть A будет квазикогерентной -алгеброй, а затем возьмем ее глобальную Spec: . Тогда для каждого квазикогерентного A -модуля M , существует соответствующий квазикогерентный -модуль такой, что называется пучком, связанным с M . Другими словами, определяет эквивалентность между категорией квазикогерентных -модулей и квазикогерентными -модулями. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$ ${\displaystyle f:X=\operatorname {Spec} _{S}(A)\to S}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$ ${\displaystyle f_{*}{\widetilde {M}}\simeq M,}$ ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle A}$

Смотрите также

• квазиаффинный морфизм
• Теорема Серра об аффинности

Ссылки

1. EGA 1971, гл. Я, Теорема 9.1.4. harvnb error: no target: CITEREFEGA1971 (help)
2. EGA 1971, Гл. I, Определение 9.1.1. harvnb error: no target: CITEREFEGA1971 (help)
3. Проект Stacks, Тег 01S5.
4. EGA 1971, Гл. I, Предложение 9.1.5. harvnb error: no target: CITEREFEGA1971 (help)
5. EGA 1971, гл. Я, Теорема 9.2.1. harvnb error: no target: CITEREFEGA1971 (help)

• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1971). Элементы алгебраической геометрии: I. Язык схем . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (на французском языке). Том. 166 (2-е изд.). Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-05113-8.
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics , т. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157

Внешние ссылки

• https://ncatlab.org/nlab/show/affine+morphism