stringtranslate.com

недесятичный

Недесятичная система счисления (также известная как недесятичная , недесятичная и система счисления с основанием 11 ) — это позиционная система счисления , в которой в качестве основы используется одиннадцать . Хотя ни одно известное общество не насчитывает одиннадцать человек, предположительно так поступили два: маори ( один из двух полинезийских народов Новой Зеландии ) и пангва ( народ Танзании , говорящий на языке банту ). Идея счета по одиннадцати по-прежнему представляет интерес из-за ее связи с традиционным методом подсчета голосов, практикуемым в Полинезии. [1] [2] Во время Французской революции недесятичное число кратко рассматривалось как возможная основа реформированной системы измерения. [3] Недесятичные числа применяются в информатике, [4] технологиях, [5] и в системе международных стандартных книжных номеров . [6] Они также иногда фигурируют в произведениях популярной художественной литературы. [7] В недесятичном формате - заглавная буква (часто A , символ 10 в шестнадцатеричном виде ; T , первая буква английского слова «десять»; или X , римская цифра 10) или цифра ↊ (называемая «dek»). ) обычно используется как трансдесятичный символ для обозначения числа 10.

Предполагаемое использование недесятичного числа в культурных системах счисления

Использование маори

Конант и Уильямс

На протяжении примерно столетия идея о том, что маори считали одиннадцатью, была наиболее известна благодаря ее упоминанию в трудах американского математика Леви Леонарда Конанта . Он определил это как «ошибку», возникшую в словаре новозеландского языка XIX века, опубликованном преподобным Уильямом Уильямсом , в то время архидьяконом Вайапу . [8] : с. 123 

«Много лет назад появилось заявление, которое сразу привлекло внимание и пробудило любопытство. Оно заключалось в том, что маори, коренные жители Новой Зеландии, использовали в качестве основы своей системы счисления число 11; и что эта система была вполне широко развит, имея простые слова для чисел 121 и 1331, то есть для квадрата и куба 11». [8] : стр. 122–123. 

Это утверждение, опубликованное Уильямсом в первых двух выпусках серии словарей, гласило:

«Туземцы считают по одиннадцати, пока не дойдут до десятой одиннадцати, которая составляет их сотню; затем далее до десятой сотни, которая составляет их тысячу; но те туземцы, которые поддерживают сношения с европейцами, по большей части , отказался от этого метода и, исключив нгахуру , считай текау или тахи текау за 10, руа текау за 20 и т. д. *По-видимому, это основано на принципе отложения одного к каждому десяти в качестве подсчета. у англичан, как в случае с булочной дюжиной». [9] : с. xv 

Урок и Блоссвиль

В 2020 году более раннее континентальное происхождение идеи, что маори считали одиннадцатью, было связано с опубликованными работами двух научных исследователей XIX века, Рене Примевера Урока и Жюля де Блоссвиля . [1] Они посетили Новую Зеландию в 1824 году в рамках кругосветного плавания « Кокиль» 1822–1825 годов , [10] французского корвета под командованием Луи Исидора Дюперрея и при поддержке Жюля Дюмона д'Юрвиля . По возвращении во Францию ​​в 1825 году Урок опубликовал свой французский перевод статьи, написанной немецким ботаником Адельбертом фон Шамиссо . [11] В заявлении фон Шамиссо о том, что новозеландская система счисления основана на двадцатиричной ( двумерной ) системе счисления, Урок вставил сноску, чтобы отметить ошибку:

Текст фон Шамиссо в переводе Урока: «...de l'E. de la mer du Sud... c'est là qu'on trouve Premierment le système arithmétiquefundé sur un échelle de vingt, comme dans la Nouvelle- Зеланд (2)...» [11] : с. 27  [...к востоку от Южного моря... именно здесь мы впервые находим арифметическую систему, основанную на двадцатикратной шкале, как в Новой Зеландии (2)...]

Сноска к уроку к тексту фон Шамиссо: «(2) Erreur. Le système arithmétique des Zélandais est undécimal, et les Anglais sont les premiers qui ont propagé cette fausse idée. (L.)» [11] : с. 27  [(2) Ошибка. Зеландская арифметическая система недесятичная, и англичане первыми распространили эту ложную идею. (Л).]

Фон Шамиссо сам упомянул о своей ошибке в 1821 году, проследив источник своего замешательства и его разъяснения у Томаса Кендалла , английского миссионера в Новой Зеландии, который предоставил материал по языку маори , который лег в основу грамматики, опубликованной в 1820 году английским издательством. лингвист Сэмюэл Ли . [12] [13] В той же публикации 1821 года фон Шамиссо также определил систему счисления маори как десятичную, отметив, что источником путаницы была полинезийская практика подсчета вещей парами, где каждая пара считалась как одна единица, поэтому что десять единиц численно эквивалентны двадцати: [12] [13]

«Перед нами «Грамматика и словарь языка Новой Зеландии», опубликованная Церковным миссионерским обществом. Лондон, 1820. 8vo. Автором этой грамматики является тот же мистер Кендалл, который передал нам словарь во время путешествия Николаса. 14. Теперь нам открылся язык, и мы исправляем свое мнение» . [12] : с. 13 

И,

«Очень далеко не легко узнать арифметическую систему народа. В Новой Зеландии, как и в Тонге, существует десятичная система. Что, возможно, и обмануло г-на Кендалла вначале, в его первой попытке В путешествии Николаса, которому мы следовали, у новозеландцев существует обычай считать предметы парами. Туземцы Тонги считают бананы и рыбу также парами и двадцатками ( Tecow , английская оценка)». [12] : стр. 441–442. 

Использование Улсом термина «недесятичный» в 1825 году, возможно, было ошибкой типографа, которая соединила предполагаемую фразу «un десятичный», которая правильно определила бы новозеландскую нумерацию как десятичную. [1] Урок знал, что полинезийские числа были десятичными и очень похожими во всем регионе, поскольку он многое узнал о тихоокеанских системах счисления за 2,5 года на « Кокиле» , собирая числовые словари и, в конечном итоге, публикуя или комментируя более дюжины из них. [1] Он также был знаком с работами Томаса Кендалла и Сэмюэля Ли благодаря переводу работ фон Шамиссо. [11] Эти обстоятельства позволяют предположить, что Лессон вряд ли неправильно понял, что Новая Зеландия считает счет по одиннадцати. [1]

Урок, его товарищ и друг Блоссвилль [15] отправили своим современникам отчеты о предполагаемом открытии счета по одиннадцати числам в Новой Зеландии. По крайней мере двое из этих корреспондентов опубликовали эти отчеты, в том числе итальянский географ Адриано Бальби , который подробно описал письмо, которое он получил от Лессона в 1826 году, [16] и венгерский астроном Франц Ксавер фон Зак , который кратко упомянул предполагаемое открытие как часть письмо из Блоссвилля он получил через третье лицо. [17] Де Блоссвиль также упомянул об этом шотландскому писателю Джорджу Лилли Крейку , который сообщил об этом письме в своей книге 1830 года «Новозеландцы» . [18] Урок также, вероятно, был автором недатированного эссе, написанного французом, но в остальном анонимным, найденного среди бумаг прусского лингвиста Вильгельма фон Гумбольдта и опубликованного в 1839 году. [19] [20]

История расширилась в своем пересказе: [1] В письме 1826 года, опубликованном Бальби, был добавлен предполагаемый числовой словарь с терминами для одиннадцати в квадрате ( Карау ) и одиннадцати в кубе ( Камано ), а также описание того, как числовые слова и процедура подсчета предположительно были получены от местных информаторов. [16] Интересно, что это также изменило ошибочную классификацию, требующую исправления, с двадцатеричной на десятичную. [11] [16] В эссе 1839 года, опубликованном вместе с бумагами фон Гумбольдта, упоминается Томас Кендалл , английский миссионер, чья путаница по поводу влияния парного подсчета на числа маори заставила фон Шамиссо ошибочно идентифицировать их как двенадцатизначные . [11] [12] [19] В нем также перечислены места, откуда предположительно прибыли предполагаемые местные информаторы. [19]

Отношение к традиционному счету

Идея о том, что маори считали одиннадцатью, подчеркивает изобретательную и прагматичную форму счета, когда-то практиковавшуюся по всей Полинезии. [1] [21] [22] При этом методе подсчета каждый десятый предмет откладывался, чтобы отметить десять подсчитанных предметов; отложенные предметы впоследствии подсчитывались таким же образом: каждый десятый предмет теперь обозначал сто (второй раунд), тысячу (третий раунд), десять тысяч предметов (четвертый раунд) и так далее. [1] Метод подсчета работал одинаково, независимо от того, была ли базовая единица измерения одним предметом, парой или группой из четырех человек — базовые единицы счета, используемые во всем регионе — и он был основой для уникального двоичного счета, обнаруженного в Мангареве , где подсчет также мог вестись группами по восемь человек. [1] [23]

Метод счета также решает еще одну загадку: почему гавайское слово « двадцать» , ивакалуа , означает «девять и два». При использовании метода подсчета пар было подсчитано девять пар (18), а последняя пара (2) была отложена для следующего раунда. [1] [2]

Использование Пангвой

Меньше известно об идее счета пангва в Танзании до одиннадцати. Это было упомянуто в 1920 году британским антропологом Норткотом У. Томасом :

«Еще одна ненормальная система счисления — это система пангва, живущая к северо-востоку от озера Ньясса, которая использует систему счисления с основанием одиннадцать». [24] : с. 59 

И,

«Если бы мы могли быть уверены, что ки дзиго изначально имело значение одиннадцать, а не десять, в Пангве, было бы заманчиво соотнести дзи или чи с тем же словом в Валегга-Ленду, где оно означает двенадцать, и таким образом ввести связь, хотя и самая хрупкая и отдаленная, со всеми тремя областями, в которых используются аномальные системы». [24] : с. 59 

Это утверждение было повторено британским исследователем и колониальным администратором Гарри Х. Джонстоном в Vol. II его исследования языков банту и полубанту в 1922 году . Он также отметил многообещающее сходство между термином Пангва, обозначающим одиннадцать, и терминами, обозначающими десять, на родственных языках: [25]

«Иногда для «одиннадцати» существуют специальные термины. Насколько мне известно, они следующие:

Ки-дзигꞷ 36 (на этом языке пангва северо-востока Ньясаленда счет фактически ведется одиннадцатью. Ки-дзигꞷ-кавили = «двадцать два», Ки-дзигꞷ-кадату = «тридцать три»). Однако корень -дзигꞷ , очевидно, тот же самый, что и -цигꞷ , который в № 38 означает «десять». Он также может быть связан с -диги («десять») в числе 148, -туку или -дугу в Абабуа. и конголезские языки: -дикꞷ из 130, -лику из 175 («восемь») и тиаг из 249». [25] : стр. 477. 

В классификации языков банту и полубанту Джонстона [25]

Сегодня считается, что пангва имеет десятичные числа, причем числа шесть и выше заимствованы из суахили . [26]

Недесятичная дробь в истории измерений

В июне 1789 года, всего за несколько недель до того, как Французская революция началась со штурма Бастилии , Академия наук учредила комитет ( la Commission des Poids et Mesures ) для стандартизации систем мер и весов — популярная реформа, которая была первым шагом на пути к стандартизации систем мер и весов. создание международной метрической системы . [27] [28] 27 октября 1790 года комитет сообщил, что они рассмотрели возможность использования двенадцатеричной системы счисления (основание 12) в качестве основы для весов, длин/расстояний и денег из-за ее большей делимости по сравнению с десятичной системой счисления (основание 10). [29] Однако в конечном итоге они отвергли эту инициативу, решив, что общая шкала, основанная на устных числах, упростит вычисления и преобразования, а также облегчит внедрение новой системы. [29] Математику Жозефу-Луи Лагранжу , члену комитета, приписывают влияние на комитет в выборе десятичной системы счисления. [3] Дебаты о том, какой из них использовать, по-видимому, были оживленными, если не спорными, поскольку в какой-то момент Лагранж предложил принять 11 в качестве базового числа на том основании, что неделимость на самом деле выгодна; поскольку 11 было простым числом, ни одна дробь с этим знаменателем не могла быть сокращена: [3] [30]

Деламбр писал: «Il était peu frappé de l’objection que l’on trait contre ce system du petit nombre des diviseurs de sa base. Если рассматривать все дроби, то это идея, похожая на эти преувеличения, которые являются лучшими духами в споре, но больше всего я не работаю под номером 11, который вручает номер 12. que des novateurs plus intrépides auraient voulu substituer à celui de 10, qui fait partout la base de la nuération». [3] : с. lxvi 

В переводе: «Он [Лагранж] почти сожалел, что [основание] не было простым числом, таким как 11, которое обязательно давало бы всем дробям один и тот же знаменатель. Эту идею можно будет рассматривать, если хотите, как одно из тех преувеличений, которые избегал лучших умов в пылу споров; но он использовал число 11 только для того, чтобы исключить число 12, которое наиболее отважные новаторы хотели заменить на 10, которое является основой исчисления повсюду».

В 1795 году в опубликованных публичных лекциях в Нормальной школе Лагранж заметил , что дроби с разными знаменателями (например, 1/2 , 1/3 , 1/4 , 1/5 , 1/7 ) , хотя и простые сами по себе , были неудобно, поскольку их разные знаменатели затрудняют их сравнение. [31] То есть сравнивать дроби несложно, если числитель равен 1 (например, 1 ⁄ 2 больше, чем 1 ⁄ 3 , что, в свою очередь, больше 1 ⁄ 4 ). Однако сравнения становятся более трудными , когда смешаны и числители, и знаменатели: 3/4 больше, чем 5/7 , которое , в свою очередь , больше, чем 2/3 , хотя это невозможно определить путем простой проверки знаменателей так, как это возможно, если числитель равен 1. Он отметил, что трудность была решена, если бы все дроби имели одинаковый знаменатель:

Лагранж писал: «On voit aussi par-là, qu'il est indifférent que le nombre quisuit la base du system, comme le nombre 10 dans notre système décimal, ait des diviseurs ou not; peut-être même y aurait-il, à quelques égards, de l'avantage à ce que ce ce nombre n'eût point de diviseurs, comme le nombre 11, ce qui aurait leu dans le système undecimal, parce qu'on en serait moins porté à работодатель les дроби 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 3 и т. д.». [31] : с. 23 

В переводе: «Мы также видим благодаря этому [аргументу о делимости], что не имеет значения, имеет ли число, являющееся основанием системы, как число 10 в нашей десятичной системе, делители или нет; возможно, они даже были бы, в некотором отношении было бы преимуществом, если бы это число не имело делителей, как число 11, которое имело бы место в недесятичной системе, потому что было бы меньше склонности использовать дроби 1/2 , 1/3 и т. д . »

Пересказывая эту историю, Ральф Х. Бирд (в 1947 году президент тогдашнего Двенадцатеричного общества Америки) отметил, что числа с основанием 11 имеют тот недостаток, что для простых чисел выше 11 «мы не можем сказать наверняка, не проверив их, не только от того, являются они простыми или нет, но, что удивительно, от того, являются ли они четными или нечетными». [32] : с. 9 

Недесятичная дробь в информатике и технологиях

Недесятичное число (часто называемое в этом контексте недесятичным) полезно в информатике и технологиях для понимания дополнения (вычитания путем отрицательного сложения) [4] и выполнения проверок цифр в десятичном канале. [5]

Трансдесятичные символы

Любая система счисления с основанием больше десяти требует одной или нескольких новых цифр; «в недесятичной системе (с основанием одиннадцать) должен быть символ, обозначающий десять». [33] : с. 345  Чтобы разрешить ввод на пишущих машинках, такие буквы, как ⟨ A ⟩ (как в шестнадцатеричном формате ), ⟨ T ⟩ (начальная буква «десять») или ⟨ X ⟩ ( римская цифра 10) используются для числа 10 в системе счисления 11. Также можно использовать цифру ↊ («dek»), так называемую цифру Питмана для 10, предложенную в 1947 году Исааком Питманом в качестве одного из двух трансдесятичных символов, необходимых для представления системы счисления по основанию 12 ( двенадцатеричной ). [34]

Недесятичный код в международных стандартных номерах книг (ISBN)

В 10-значных числах в системе международных стандартных книжных номеров (ISBN) в качестве контрольной цифры использовалось недесятичное число . [6] Контрольная цифра — это последняя цифра ISBN, которая математически связана со всеми остальными цифрами, которые он содержит, и используется для проверки их точности. [35] Он представляет собой ответ на математический расчет, в данном случае тот, который умножает десять цифр ISBN на целые числа от десяти (крайняя левая цифра) до двух (предпоследняя крайняя правая цифра, последняя из которых является контрольной цифрой). себя), а затем суммирует их. [36] В результате вычислений должно получиться число, кратное одиннадцати, причем его последняя цифра, представленная цифрами от 0 до 9 или X (для десяти), равна десятой цифре ISBN. [36] С 1 января 2007 года стандартом являются тринадцатизначные номера ISBN. [6] Международное агентство ISBN предоставляет онлайн-калькулятор, который преобразует десятизначные номера ISBN в тринадцатизначные. [37]

Недесятичная дробь в популярной художественной литературе

В романе Карла Сагана « Контакт» сообщение , оставленное неизвестным продвинутым разумом, скрыто внутри числа пи ; сообщение лучше всего раскрывается, когда число «пи» вычисляется в недесятичном формате. [38] [39] : с. 317  По словам создателя сериала Дж. Майкла Стражински , в телесериале «Вавилон 5» развитая раса, известная как минбарцы , использует недесятичные числа, которые они получают, считая десять пальцев и голову. [40] [41]

Недесятичные двойные числа

Таблица недесятичного умножения

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ abcdefghij Оверманн, Каренли А. (2020). «Любопытная идея о том, что маори когда-то считали одиннадцатью, и идеи, которые она до сих пор хранит в межкультурных числовых исследованиях». Журнал Полинезийского общества . 129 (1): 59–84. дои : 10.15286/jps.129.1.59-84 . Проверено 24 июля 2020 г.
  2. ^ ab Оверманн, Каренли А. (2021), Алгоритмы подсчета в Океании: аналитические данные для проекта ЕС 785793, неопубликовано , получено 21 марта 2022 г.
  3. ^ abcd Деламбр, Жан Батист Жозеф (1816). «Заметьте sur la vie et les ouvrages de M. Malus, et de M. le Comte Lagrange». Mémoires de la classe des Sciences mathématique et Physiques de l'Institut de France, Année 1812, Seconde Partie (на французском языке). Париж: Фирмин Дидо. стр. xxvii – lxxx.
  4. ^ аб Рават, Саураб; Сах, Анушри (2013). «Вычитание в традиционной и странной системе счисления с помощью комплиментов r и r-1». Международный журнал компьютерных приложений . 70 (23): 13–17. дои : 10.5120/12206-7640 .
  5. ^ аб Ульрих, Вернер (ноябрь 1957 г.). «Недвоичные коды с исправлением ошибок». Технический журнал Bell System . 36 (6): 1364–1365. doi :10.1002/j.1538-7305.1957.tb01514.x.
  6. ^ Руководство пользователя abc ISBN, международное издание, 7-е изд . Лондон: Международное агентство ISBN. 2017. ISBN 978-92-95055-12-4.
  7. ^ Дас, Дебасис; Ланжевар, Украина (январь 2012 г.). «Реалистичный подход к странной системе счисления от недесятеричной до пятнадцатеричной» (PDF) . Международный журнал компьютерных наук и телекоммуникаций . 3 (1): 13.
  8. ^ аб Конант, Леви Леонард (1896). Понятие числа: его возникновение и развитие . Нью-Йорк: Macmillan and Co., стр. 122–123. ОСЛК  990771340.
  9. ^ Уильямс, Уильям (1844). Словарь новозеландского языка и краткая грамматика; к которым добавлены подборки разговорных предложений . Пайхия, Новая Зеландия: Пресса Общества церковной миссии. ОСЛК  504512293.
  10. ^ Дюперри, Луи Исидор (1829). «Tableaux des parkourues par la Corvette de Sa Majesté, la Coquille, et des météorologiques faites a bord du batiment, подвеска les années 1822, 1823, 1824 и 1825 годов» [Таблицы маршрутов, пройденных корветом Ее Величества, Coquille, и метеорологические наблюдения, сделанные на борту судна в 1822, 1823, 1824 и 1825 годах». Voyage autour du monde, exécuté par ordre du roi, sur la corvette de sa majesté, la Coquille, подвеска les années 1822, 1823, 1824 и 1825 годов... и опубликовано под покровительством сына превосходства господина Шаброля... .par MLI Duperrey... [ Кругосветное путешествие, выполненное по приказу короля на корвете Его Величества Coquille в 1822, 1823, 1824 и 1825 годах... и опубликованное под эгидой его превосходительства. Граф Шаброль ... М. Л. Дюперри ... ] (на французском языке). Том. 7. Париж: Артюс Бертран. стр. 84–87. ОСЛК  257721098.
  11. ^ abcdef Фон Шамиссо, Адельберт (1825). «Du Grand Océan, de ses iles et de ses Côtes: par A. de Chamisso, Docteur en philosophie, &c. &c.; traduit sur l'édition anglaise par RP Lesson, Médecin de la corvette la Coquille , Pharmacien de la Marine, Membre de plusieurs sociétés savantes и т. д.». [О Великом океане, его островах и побережьях: А. де Шамиссо, доктор философии и т. д. &против.; переведено на английское издание Р. П. Уроком, доктором корвета La Coquille , военно-морским фармацевтом, членом нескольких научных обществ и т. д.]. В Бажо, Луи-Мари (ред.). Annales maritimes etcoloniales [ Морские и колониальные анналы ] (на французском языке). Том. 2, Часть 2. Париж: L'imprimerie Royale. стр. 1–41.
  12. ^ abcde фон Шамиссо, Адельберт (1821). «Исправления и замечания». В Фон Коцебу, Отто (ред.). Путешествие в Южное море и Берингов пролив с целью исследования северо-восточного прохода, предпринятое в 1815–1818 годах на средства его высочества канцлера Империи графа Романцова на корабле. Рюрик: Том. III. Лондон: Лонгман, Херст, Рис, Орм и Браун. стр. 439–442.
  13. ^ Аб Ли, Сэмюэл (1820). Грамматика и словарный запас языка Новой Зеландии . Лондон: Церковное миссионерское общество. ОСЛК  561056725.
  14. ^ Кендалл, Томас (1817). «Словарь английских и новозеландских слов, последний сравнивается с некоторыми словами в языке Тонга». В Николасе, Джон Лиддьярд (ред.). Рассказ о путешествии в Новую Зеландию, совершенном в 1814 и 1816 годах в компании преподобного Сэмюэля Марсдена, главного капеллана Нового Южного Уэльса . Том. II. Лондон: Джеймс Блэк и сын. стр. 327–352. ОСЛК  831296147.
  15. ↑ Ралле, Луи (1 мая 1953 г.). «Un naturaliste Saintongeais: Урок Рене-Примевера (1794–1849)» [Натуралист из Сентонжа: Урок Рене-Примевера (1794–1849)]. Annales de la Société des Sciences Naturelles de la Charente-Maritime (на французском языке). 3 (1): 77–131 . Проверено 25 июля 2020 г. - через Gallica.
  16. ^ abc Бальби, Адриано (1826). «Наблюдения за классификацией языков океана». Этнографический атлас мира, или классификация древних и современных народов после изучения языка. Том. 1, Discours préliminaire et введение (на французском языке). Париж: Поль Ренуар. стр. 230–278.
  17. ^ Фон Зак, Франц Ксавер (1826). «Астрономическая, географическая, гидрографическая и статистическая переписка». В Сайги, Эмиль (ред.). Бюллетень математических, астрономических, физических и химических наук, 1-й раздел, том V (на французском языке). Париж: Бюро бюллетеней. стр. 120–123.
  18. ^ Крейк, Джордж Лилли (1830). Новозеландцы . Бостон: Уэллс и Лилли. ОКЛК  877372740.
  19. ^ abc Фон Гумбольдт, Вильгельм (1839). Если вы изучаете язык Kawi-Sprache на острове Java, это не должно быть Einer Einleitung über die Verschiedenheit des menschlichen Sprachbaues и ihren Einsluss aus die geistige Entwickelung des Menschengeschlechts. Группа III. Südsee-Sprachen, als östlicher Zweig des Malayischen (на немецком языке). Берлин: Ф. Дюммлер. ОСЛК  889950161.
  20. ^ Потт, Август Фридрих (1847). Die Quinare Und Vigesimale Zählmethode Bei Völkern Aller Welttheile: Nebst Ausführlicheren Bemerkungen Über die Zahlwörter Indogermanischen Stammes und Einem Anhange Über Fingernamen . Галле, Германия: CA Schwetschke und Sohn. ОСЛК  669402349.
  21. ^ Оверманн, Каренли А. (2021). «Счет одиннадцатью и почему девять и два составляют двадцать: материальные корни полинезийских чисел». Журнал математики и культуры . 15 (3): 1–32 . Проверено 2 ноября 2021 г.
  22. ^ Оверманн, Каренли А. (2023). Материальность чисел: возникновение и развитие от предыстории до наших дней. Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781009361248.
  23. ^ Бендер, Андреа; Беллер, Зигхард (2013). «Мангареванское изобретение двоичных шагов для упрощения вычислений». Учеб. Натл. акад. наук. США . 111 (4): 1322–1327. дои : 10.1073/pnas.1309160110 . ПМЦ 3910603 . ПМИД  24344278. 
  24. ^ аб Томас, Норткот В. (1920). «Двенадцатеричная система счисления». Мужчина . 20 (1): 56–60. дои : 10.2307/2840036. JSTOR  2840036 . Проверено 25 июля 2020 г.
  25. ^ abc Джонстон, Гарри Х (1922). «Числа банту и полубанту». Сравнительное исследование языков банту и полубанту, Vol. II . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. стр. 463–482. ОСЛК  872099614.
  26. ^ «Пангва, Танзания». Системы счисления языков мира . Институт Макса Планка. 1994 . Проверено 24 января 2022 г.
  27. ^ Хеллман, К. Дорис (январь 1936 г.). «Лежандр и французская реформа мер и весов». Осирис . 1 . Издательство Чикагского университета : 314–340. дои : 10.1086/368429. JSTOR  301613. S2CID  144499554 . Получено 13 июля 2021 г. - через JSTOR.
  28. ^ Смитон, Уильям А. (2000). «Основы метрической системы во Франции в 1790-х годах». Платиновые металлы Rev. 44 (3): 125–134 . Проверено 29 октября 2023 г.
  29. ^ аб Борда, Жан-Шарль де; Лагранж, Жозеф-Луи; Лавуазье, Антуан Лоран; Тийе, ​​Матье; Кондорсе, Жан-Антуан-Николя де Карита (1791). «Rapport fait à l'Académie des Sciences, par MM. Borda, Lagrange, Lavoisier, Tillet & Condorcet, 27 октября 1790 года». История Королевской академии наук. Анни M.DCC.LXXXVIII. Avec les Mémoires de Mathématique & de Physique, pour la même Année, tirés des Registres de Cette Académie (на французском языке). Париж: L'Imprimerie Royale. стр. 1–6.
  30. ^ Глейзер, Антон (1981). История двоичной и другой недесятичной счисления . Лос-Анджелес: Издательство Томаш. ОКЛК  923223696.
  31. ^ аб Лагранж, Жозеф-Луи; Лаплас, Пьер-Симон (1795). «Математика». Сеансы нормальных школ, встречи стенографистов и ревю профессоров. Вторая вечеринка. Дебаты. Том премьер (на французском языке). Париж: Л. Рейнье. стр. 3–23. ОСЛК  780161317.
  32. ^ Борода, Ральф Х (1947). «Неискренние уговоры». Двенадцатеричный бюллетень . 3 (2): 6–9.
  33. ^ О'Салливан, Д. (1875). Принципы арифметики: Комплексный учебник для учителей и учащихся старших классов (3-е изд.). Дублин: Александр Том. ОСЛК  443088675.
  34. ^ Питман, Исаак (1947). «Реформа расплаты». Двенадцатеричный бюллетень . 3 (2): 1–5.
  35. ^ «Что такое ISBN?». Международное агентство ISBN. 2014 . Проверено 14 июля 2021 г.
  36. ^ ab «Информация об ISBN: анатомия 10-значного ISBN». 2015 . Проверено 14 июля 2021 г.
  37. ^ «Калькулятор ISBN» . Международное агентство ISBN. 2014 . Проверено 14 июля 2021 г.
  38. ^ «Шаблоны числа пи в «Контакте»» . Математический обмен стеками .
  39. ^ Саган, Карл (1985). Контакт . Нью-Йорк: Галерея книг. ISBN 9781501197987.
  40. ^ « Качество милосердия », Вавилон 5 , ориг. дата выхода в эфир 17 августа 1994 г.
  41. ^ «Одиннадцатая минбарская база JMSNews включает [десять] пальцев и голову…» jmsnews.com .