Позиционные обозначения

Метод представления или кодирования чисел

Словарь терминов, используемых в позиционных системах счисления

Позиционное обозначение (или обозначение знака , или позиционная система счисления ) обычно обозначает расширение до любой основы индийско -арабской системы счисления (или десятичной системы ). В более общем смысле, позиционная система — это система счисления , в которой вклад цифры в значение числа равен значению цифры, умноженному на коэффициент, определяемый положением цифры. В ранних системах счисления , таких как римские цифры , цифра имеет только одно значение: I означает единицу, X означает десять, а C — сотню (однако значение может быть отрицательным, если оно помещено перед другой цифрой). В современных позиционных системах, таких как десятичная система , положение цифры означает, что ее значение необходимо умножить на некоторое значение: в 555 три одинаковых символа представляют пять сотен, пять десятков и пять единиц соответственно из-за их разные позиции в строке цифр.

Вавилонская система счисления с основанием 60 была первой разработанной позиционной системой, и ее влияние присутствует и сегодня в том, как время и углы подсчитываются в счетах, связанных с числом 60, например, 60 минут в часе и 360 градусов в круге. . Сегодня индийско-арабская система счисления ( основание десять ) является наиболее часто используемой системой во всем мире. Однако двоичная система счисления (основание два) используется почти во всех компьютерах и электронных устройствах , поскольку ее легче эффективно реализовать в электронных схемах .

Описаны системы с отрицательной базой, комплексной базой или отрицательными цифрами. Большинство из них не требуют знака минус для обозначения отрицательных чисел.

Использование точки счисления (десятичная точка по основанию десять) распространяется на дроби и позволяет представлять любое действительное число с произвольной точностью. С позиционной записью арифметические вычисления намного проще, чем с любой старой системой счисления; это привело к быстрому распространению обозначения, когда оно было введено в Западной Европе.

История

Суанпан (число на картинке — 6 302 715 408)

Сегодня повсеместно распространена десятичная ( десятичная ) система, которая, предположительно, основана на счете десятью пальцами . Другие базы использовались в прошлом, а некоторые продолжают использоваться и сегодня. Например, вавилонская система счисления , считающаяся первой позиционной системой счисления, имела основание 60 . Однако ему не хватало настоящего нуля . Первоначально выведенный только из контекста, позже, примерно к 700 г. до н. э., ноль стал обозначаться «пробелом» или «символом пунктуации» (например, двумя наклонными клиньями) между цифрами. ^[1] Это был заполнитель , а не настоящий ноль, поскольку он не использовался отдельно или в конце числа. Такие числа, как 2 и 120 (2×60), выглядели одинаково, поскольку у большего числа не было последнего заполнителя. Только контекст мог их различить.

Эрудит Архимед (ок. 287–212 до н.э.) изобрел десятичную позиционную систему в своем «Песочном счете» , основанном на 10 ^{8 [2]} , и позже побудил немецкого математика Карла Фридриха Гаусса сетовать на то, каких высот наука достигла бы уже в его дни. если бы Архимед полностью осознал потенциал своего гениального открытия. ^[3]

До того, как позиционная запись стала стандартной, использовались простые аддитивные системы ( знаковая запись ), такие как римские цифры , а бухгалтеры в Древнем Риме и в средние века использовали счеты или каменные счетчики для выполнения арифметических действий. ^[4]

Китайские палочные цифры ; Вертикальная форма верхнего ряда
Горизонтальная форма нижнего ряда

Счетные стержни и большинство счетов использовались для представления чисел в позиционной системе счисления. Используя счетные стержни или счеты для выполнения арифметических операций, запись начальных, промежуточных и конечных значений расчета можно было легко выполнить с помощью простой аддитивной системы в каждой позиции или столбце. Этот подход не требовал запоминания таблиц (в отличие от позиционных обозначений) и мог быстро дать практические результаты.

Самая старая из существующих систем позиционных обозначений — это либо китайские стержневые цифры , использовавшиеся, по крайней мере, с начала 8-го века, либо, возможно, кхмерские цифры , показывающие возможное использование позиционных чисел в 7-м веке. Кхмерские цифры и другие индийские цифры происходят от цифр Брахми примерно III века до нашей эры, символы которых в то время не использовались позиционно. Средневековые индийские цифры являются позиционными, как и производные арабские цифры , записанные с X века.

После Французской революции (1789–1799) новое французское правительство способствовало расширению десятичной системы. ^[5] Некоторые из этих усилий в пользу десятичной системы, такие как десятичное время и десятичный календарь , не увенчались успехом. Другие французские инициативы в области десятичной системы — десятичная денежная система и метрическая система мер и весов — широко распространились за пределы Франции почти на весь мир.

История позиционных фракций

Дж. Леннарт Берггрен отмечает, что позиционные десятичные дроби были впервые использованы арабским математиком Абуль-Хасаном аль-Уклидиси еще в X веке. ^[6] Еврейский математик Иммануил Бонфилс использовал десятичные дроби около 1350 года, но не разработал никаких обозначений для их представления. ^[7] Персидский математик Джамшид аль-Каши сделал такое же открытие десятичных дробей в 15 веке. ^[6] Аль Хорезми ввел фракции в исламских странах в начале 9 века; представление его дробей было похоже на традиционные китайские математические дроби Суньцзы Суаньцзин . ^[8] Эта форма дроби с числителем вверху и знаменателем внизу без горизонтальной черты также использовалась в работе Абуль-Хасана аль-Уклидиси 10-го века и Джамшида аль-Каши 15-го века «Арифметический ключ». ^{[8] [9]}

Принятие десятичного представления чисел меньше единицы, дроби , часто приписывают Саймону Стевину в его учебнике Де Тьенде ; ^[10] , но и Стевин, и Э. Дж. Дейкстерхейс указывают, что Региомонтан способствовал принятию в Европе десятичных дробей : ^[11]

Европейские математики, переняв от индусов через арабов идею позиционного значения целых чисел, пренебрегли распространением этой идеи на дроби. В течение нескольких столетий они ограничивались использованием обыкновенных и шестидесятеричных дробей... Эта половинчатость так и не была полностью преодолена, и шестидесятеричные дроби до сих пор составляют основу нашей тригонометрии, астрономии и измерения времени. ¶ ... Математики стремились избежать дробей, принимая радиус R равным числу единиц длины вида 10 ⁿ и затем принимая за n настолько большое целое значение, что все встречающиеся величины можно было с достаточной точностью выразить целыми числами. ¶ Первым, кто применил этот метод, был немецкий астроном Региомонтан. Поскольку Региомонтан выражал гониометрические отрезки в единице R /10 ⁿ , его можно назвать предшественником учения о десятичных позиционных дробях. ^{[11] : 17, 18}

По оценке Дейкстерхейса, «после публикации Де Тьенде потребовалось лишь небольшое продвижение для установления полной системы десятичных позиционных дробей, и этот шаг был быстро предпринят рядом авторов... после Стевина самая важная фигура в этом развитии был Региомонтан». Дейкстерхейс отметил, что [Стевин] «отдает должное Региомонтану за его предыдущий вклад, говоря, что тригонометрические таблицы немецкого астронома на самом деле содержат всю теорию« чисел десятого прогресса »». ^{[11] : 19}

Математика

Основа системы счисления

В математических системах счисления основание r обычно представляет собой количество уникальных цифр , включая ноль, которые позиционная система счисления использует для представления чисел. В некоторых случаях, например, с отрицательной базой , основание системы счисления является абсолютным значением базы b . Например, для десятичной системы система счисления (и основание) равна десяти, поскольку в ней используются десять цифр от 0 до 9. Когда число «достигает» 9, следующим числом будет не другой другой символ, а «1». за которым следует «0». В двоичном формате система счисления равна двум, поскольку после достижения «1» вместо «2» или другого письменного символа она переходит сразу к «10», за которой следуют «11» и «100». ${\displaystyle r=|b|}$

Самый высокий символ позиционной системы счисления обычно имеет значение на единицу меньше, чем значение основания этой системы счисления. Стандартные позиционные системы счисления отличаются друг от друга только используемой основой.

Система счисления представляет собой целое число, большее 1, поскольку система счисления с нулевым значением не будет содержать цифр, а система счисления с 1 будет содержать только нулевую цифру. Отрицательные основания используются редко. В системе с более чем уникальными цифрами числа могут иметь множество различных возможных представлений. ${\displaystyle |b|}$

Важно, что система счисления конечна, из чего следует, что количество цифр достаточно мало. В противном случае длина цифры не обязательно была бы логарифмической по размеру.

(В некоторых нестандартных позиционных системах счисления , включая биективную нумерацию , определение основания или разрешенных цифр отклоняется от приведенного выше.)

В стандартной позиционной записи с десятичной системой счисления имеется десять десятичных цифр и число.

${\displaystyle 5305_{\mathrm {dec} }=(5\times 10^{3})+(3\times 10^{2})+(0\times 10^{1})+(5\times 10^{0})}$.

В стандартной шестнадцатеричной системе счисления ( шестнадцатеричной системе счисления ) есть шестнадцать шестнадцатеричных цифр (0–9 и A–F) и число.

${\displaystyle 14\mathrm {B} 9_{\mathrm {hex} }=(1\times 16^{3})+(4\times 16^{2})+(\mathrm {B} \times 16^{1})+(9\times 16^{0})\qquad (=5305_{\mathrm {dec} }),}$

где B представляет число одиннадцать в виде одного символа.

В общем случае в системе счисления b имеется b цифр и число. ${\displaystyle \{d_{1},d_{2},\dotsb ,d_{b}\}=:D}$

${\displaystyle (a_{3}a_{2}a_{1}a_{0})_{b}=(a_{3}\times b^{3})+(a_{2}\times b^{2})+(a_{1}\times b^{1})+(a_{0}\times b^{0})}$

имеет Примечание, которое представляет собой последовательность цифр, а не умножение . ${\displaystyle \forall k\colon a_{k}\in D.}$ ${\displaystyle a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}}$

Обозначения

При описании основания в математической записи буква b обычно используется как символ этого понятия, поэтому для двоичной системы b равно 2. Другой распространенный способ выражения основания — запись его в виде десятичного индекса после числа, которое является представляемого (это обозначение используется в данной статье). 1111011 ₂ подразумевает, что число 1111011 является числом с основанием 2, равным 123 ₁₀ ( десятичное представление), 173 ₈ ( восьмеричное ) и 7B ₁₆ ( шестнадцатеричное ). В книгах и статьях при использовании изначально письменных сокращений оснований счисления основание впоследствии не печатается: предполагается, что двоичное 1111011 совпадает с 1111011 ₂ .

Основание b также может обозначаться фразой «основание- b ». Итак, двоичные числа имеют основание 2; восьмеричные числа — «основание 8»; десятичные числа имеют основание «10»; и так далее.

Для данного основания b набор цифр {0, 1, ..., b −2, b −1} называется стандартным набором цифр. Таким образом, двоичные числа имеют цифры {0, 1}; десятичные числа имеют цифры {0, 1, 2, ..., 8, 9}; и так далее. Поэтому следующие ошибки в обозначениях: 52 ₂ , 2 ₂ , 1A ₉ . (Во всех случаях одна или несколько цифр не входят в набор разрешенных цифр для данной базы.)

Возведение в степень

Позиционные системы счисления работают с использованием возведения в степень по основанию. Значение цифры — это цифра, умноженная на значение ее места. Значения разрядов — это число по основанию, возведенное в n- ю степень, где n — количество других цифр между данной цифрой и точкой счисления . Если данная цифра находится в левой части точки счисления (т.е. ее значение является целым числом ), то n положительно или равно нулю; если цифра находится справа от точки счисления (т. е. ее значение дробное), то n отрицательно.

В качестве примера использования: число 465 в соответствующем основании b (которое должно быть не ниже основания 7, поскольку старшая цифра в нем равна 6) равно:

${\displaystyle 4\times b^{2}+6\times b^{1}+5\times b^{0}}$

Если бы число 465 было в десятичной системе счисления, оно было бы равно:

${\displaystyle 4\times 10^{2}+6\times 10^{1}+5\times 10^{0}=4\times 100+6\times 10+5\times 1=465}$

(465 ₁₀ = 465 ₁₀ )

Однако если бы число было в базе 7, то оно было бы равно:

${\displaystyle 4\times 7^{2}+6\times 7^{1}+5\times 7^{0}=4\times 49+6\times 7+5\times 1=243}$

(465 ₇ = 243 ₁₀ )

10 _b = b для любого основания b , поскольку 10 _b = 1× b ¹ + 0× b ⁰ . Например, 10 ₂ = 2; 10 ₃ = 3; 10 ₁₆ = 16 ₁₀ . Обратите внимание, что последние цифры «16» имеют десятичную систему счисления. База не имеет значения для однозначных чисел.

Эту концепцию можно продемонстрировать с помощью диаграммы. Один объект представляет одну единицу. Когда количество объектов равно базовому b или превышает его , создается группа объектов с b объектами. Когда количество этих групп превышает b , то создается группа из этих групп объектов с b группами из b объектов; и так далее. Таким образом, одно и то же число в разных системах счисления будет иметь разные значения:

241 по основанию 5: 2 группы по 5 2 (25) 4 группы по 5 1 группа по 1 оооооооооо ооооооооооооооооооо оооооооо + + о ооооооооооооооооооо оооооооооо

241 по основанию 8: 2 группы по 8 2 (64) 4 группы по 8 1 группа по 1 оооооооооооооо оооооооооооооо оооооооооооооооооооооооо оооооооооооо + + о оооооооооооооо оооооооооооооооооооооооо оооооооооооооо оооооооооооооо

Обозначение можно дополнительно расширить, добавив ведущий знак минус. Это позволяет представлять отрицательные числа. Для данной базы каждое представление соответствует ровно одному действительному числу , и каждое действительное число имеет хотя бы одно представление. Представления рациональных чисел — это те представления, которые конечны, используют штриховую нотацию или заканчиваются бесконечно повторяющимся циклом цифр.

Цифры и цифры

Цифра — это символ, который используется для позиционной записи, а цифра состоит из одной или нескольких цифр, используемых для представления числа в позиционной записи. Сегодня наиболее распространенными цифрами являются десятичные цифры «0», «1», «2», «3», «4», «5», «6», «7», «8» и «9». Различие между цифрой и числом наиболее заметно в контексте системы счисления.

Ненулевое число с более чем одной цифрой будет означать другое число в другой системе счисления, но в целом цифры будут означать одно и то же. ^[12] Например, число 23 8 с основанием 8 _{содержит} две цифры: «2» и «3», а также число с основанием (в нижнем индексе) «8». При преобразовании в десятичную систему 23 ₈ эквивалентно 19 ₁₀ , т.е. 23 ₈ = 19 ₁₀ . В наших обозначениях нижний индекс « ₈ » у цифры 23 ₈ является частью цифры, но это не всегда так.

Представьте себе, что число «23» имеет неоднозначное базовое число. Тогда «23», вероятно, может быть любым основанием, начиная с основания 4 и выше. В системе счисления 4 «23» означает 11 ₁₀ , т.е. 23 ₄ = 11 ₁₀ . В системе счисления 60 «23» означает число 123 ₁₀ , то есть 23 ₆₀ = 123 ₁₀ . В данном случае цифра «23» соответствует набору чисел с основанием 10 {11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, ... , 121, 123}, а ее цифры «2» и «3» всегда сохраняют свое первоначальное значение: «2» означает «два из», а «3» — «три из».

В некоторых приложениях, когда цифра с фиксированным количеством позиций должна представлять большее число, можно использовать более высокую систему счисления с большим количеством цифр на позицию. Трехзначное десятичное число может обозначать только число до 999 . Но если базу счисления увеличить до 11, скажем, добавив цифру «А», то те же три позиции, максимизированные до «ААА», могут представлять число, вплоть до 1330 . Мы могли бы снова увеличить базу счисления и присвоить «B» 11 и так далее (но существует также возможное шифрование между числом и цифрой в иерархии число-цифра-число). Трехзначное число «ZZZ» в базе 60 может означать215 999 . Если мы используем всю коллекцию наших буквенно-цифровых символов , мы могли бы в конечном итоге использовать систему счисления с основанием 62 , но мы удалим две цифры: прописную «I» и прописную «O», чтобы уменьшить путаницу с цифрами «1» и «0». ^[13] У нас осталась шестидесятеричная система счисления, или шестидесятеричная система счисления, использующая 60 из 62 стандартных буквенно-цифровых символов. (Но см. Шестидесятеричную систему ниже.) В общем, количество возможных значений, которые могут быть представлены цифровымчислом в системе счисленияравно. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r^{d}}$

Распространенными системами счисления в информатике являются двоичная (основание 2), восьмеричная (основание 8) и шестнадцатеричная (основание 16). В двоичном формате в цифрах присутствуют только цифры «0» и «1». В восьмеричных цифрах восемь цифр от 0 до 7. Hex — это 0–9 A–F, где десять цифр сохраняют свое обычное значение, а буквы соответствуют значениям 10–15, всего шестнадцать цифр. Цифра «10» — это двоичная цифра «2», восьмеричная цифра «8» или шестнадцатеричная цифра «16».

Радикс-точка

Обозначение можно расширить до отрицательных показателей по основанию b . Таким образом, так называемая точка счисления, чаще всего «.», используется как разделитель позиций с неотрицательным показателем от позиций с отрицательным показателем.

Числа, которые не являются целыми числами, используют места за пределами точки счисления . Для каждой позиции за этой точкой (и, следовательно, после цифры единиц) показатель степени n степени bn уменьшается на 1, а степень приближается к 0. ^{Например} , число 2,35 равно:

${\displaystyle 2\times 10^{0}+3\times 10^{-1}+5\times 10^{-2}}$

Знак

Если основание и все цифры в наборе цифр неотрицательны, отрицательные числа выразить невозможно. Чтобы избежать этого, к системе счисления добавляется знак минус здесь »-«. В обычных обозначениях оно добавляется к строке цифр, представляющей неотрицательное число.

Базовая конверсия

Преобразование в базу целого числа n , представленного в базе, может быть выполнено с помощью последовательности евклидовых делений на самую правую цифру в базе — это остаток от деления n на вторую крайнюю правую цифру — это остаток от деления частного и так далее. Самая левая цифра — это последнее частное. В общем случае k- я цифра справа — это остаток от деления на ( k −1 ) -е частное. ${\displaystyle b_{2}}$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle b_{2}:}$ ${\displaystyle b_{2}}$ ${\displaystyle b_{2};}$ ${\displaystyle b_{2},}$ ${\displaystyle b_{2}}$

Например: преобразование _{шестнадцатеричного} A10B в десятичное (41227):

0xA10B/10 = 0x101A R: 7 (единицы)0x101A/10 = 0x19C R: 2 (десятки) 0x19C/10 = 0x29 R: 2 (место сотен) 0x29/10 = 0x4 Ч: 1... 4

При преобразовании в большую систему счисления (например, из двоичной системы в десятичную) остаток представляет собой одну цифру, используя цифры из . Например: преобразование 0b11111001 (двоичное) в 249 (десятичное): ${\displaystyle b_{2}}$ ${\displaystyle b_{1}}$

0b11111001/10 = 0b11000 R: 0b1001 (0b1001 = "9" для единицы) 0b11000/10 = 0b10 R: 0b100 (0b100 = «4» для десятков) 0b10/10 = 0b0 R: 0b10 (0b10 = «2» для сотен)

Для дробной части преобразование можно выполнить, взяв цифры после точки системы счисления (числителя) и разделив ее на подразумеваемый знаменатель в целевой системе счисления. Аппроксимация может потребоваться из-за возможности наличия неконцевых цифр, если знаменатель приведенной дроби имеет простой множитель, отличный от любого из простых множителей основания, в который нужно преобразовать. Например, 0,1 в десятичной системе счисления (1/10) — это 0b1/0b1010 в двоичной системе счисления. При делении этого значения в этой системе счисления результат будет 0b0,0 0011 (поскольку один из простых делителей числа 10 равен 5). Более общие дроби и основания см. в алгоритме для положительных оснований .

На практике метод Хорнера более эффективен, чем повторное деление, требуемое выше ^{[14] [ нужен лучший источник ]} . Число в позиционной записи можно рассматривать как многочлен, где каждая цифра является коэффициентом. Коэффициенты могут быть больше одной цифры, поэтому эффективный способ преобразования оснований — это преобразовать каждую цифру, а затем вычислить полином с помощью метода Хорнера в целевой базе. Преобразование каждой цифры представляет собой простую справочную таблицу , устраняющую необходимость в дорогостоящих операциях деления или модуля; и умножение на x становится сдвигом вправо. Однако другие алгоритмы оценки полиномов также будут работать, например, повторное возведение в квадрат для одиночных или редких цифр. Пример:

Преобразовать 0xA10B в 41227 A10B = (10*16^3) + (1*16^2) + (0*16^1) + (11*16^0) Справочная таблица: 0x0 = 0 0x1 = 1 ... 0x9 = 9 0xА = 10 0xB = 11 0xС = 12 0xD = 13 0xE = 14 0xF = 15 Следовательно, десятичные цифры 0xA10B — это 10, 1, 0 и 11.  Разложите цифры следующим образом. Самая значащая цифра (10) «опускается»: 10 1 0 11 <- цифры 0xA10B --------------- 10 Затем умножаем нижнее число из исходной базы (16), произведение помещаем под следующую цифру исходного значения, а затем прибавляем: 10 1 0 11 160 --------------- 10 161 Повторяйте до тех пор, пока не будет выполнено последнее сложение: 10 1 0 11 160 2576 41216 --------------- 10 161 2576 41227  и это 41227 в десятичном виде.

Преобразовать 0b11111001 в 249 Справочная таблица: 0b0 = 0 0b1 = 1Результат: 1 1 1 1 1 0 0 1 <- Цифры 0b11111001 2 6 14 30 62 124 248 ------------------------- 1 3 7 15 31 62 124 249

Конечные дроби

Числа, имеющие конечное представление, образуют полукольцо

${\displaystyle {\frac {\mathbb {N} _{0}}{b^{\mathbb {N} _{0}}}}:=\left\{mb^{-\nu }\mid m\in \mathbb {N} _{0}\wedge \nu \in \mathbb {N} _{0}\right\}.}$

Более явно, если - факторизация в простые числа с показателями , ^[15] тогда с непустым набором знаменателей мы имеем ${\displaystyle p_{1}^{\nu _{1}}\cdot \ldots \cdot p_{n}^{\nu _{n}}:=b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \nu _{1},\ldots ,\nu _{n}\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle S:=\{p_{1},\ldots ,p_{n}\}}$

${\displaystyle \mathbb {Z} _{S}:=\left\{x\in \mathbb {Q} \left|\,\exists \mu _{i}\in \mathbb {Z} :x\prod _{i=1}^{n}{p_{i}}^{\mu _{i}}\in \mathbb {Z} \right.\right\}=b^{\mathbb {Z} }\,\mathbb {Z} ={\langle S\rangle }^{-1}\mathbb {Z} }$

где – группа , порожденная и – так называемая локализация по . ${\displaystyle \langle S\rangle }$ ${\displaystyle p\in S}$ ${\displaystyle {\langle S\rangle }^{-1}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S}$

Знаменатель элемента содержит, если его свести к наименьшим членам , только простые множители из . Это кольцо всех конечных дробей до основания плотно в поле рациональных чисел . Ее пополнение для обычной (архимедовой) метрики такое же, как и для , а именно действительными числами . Итак , если не путать с , кольцом дискретного нормирования простого числа , которое равно с . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S=\{p\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\{p\}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{T}}$ ${\displaystyle T=\mathbb {P} \setminus \{p\}}$

Если делит , то имеем ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b^{\mathbb {Z} }\,\mathbb {Z} \subseteq c^{\mathbb {Z} }\,\mathbb {Z} .}$

Бесконечные представления

Рациональное число

Представление нецелых чисел можно расширить, чтобы разрешить бесконечную строку цифр за точкой. Например, 1,12112111211112... по основанию 3 представляет собой сумму бесконечного ряда :

${\displaystyle {\begin{array}{l}1\times 3^{0\,\,\,}+{}\\1\times 3^{-1\,\,}+2\times 3^{-2\,\,\,}+{}\\1\times 3^{-3\,\,}+1\times 3^{-4\,\,\,}+2\times 3^{-5\,\,\,}+{}\\1\times 3^{-6\,\,}+1\times 3^{-7\,\,\,}+1\times 3^{-8\,\,\,}+2\times 3^{-9\,\,\,}+{}\\1\times 3^{-10}+1\times 3^{-11}+1\times 3^{-12}+1\times 3^{-13}+2\times 3^{-14}+\cdots \end{array}}}$

Поскольку полную бесконечную строку цифр невозможно записать явно, завершающее многоточие (...) обозначает пропущенные цифры, которые могут следовать, а могут и не следовать определенному шаблону. Один из распространенных шаблонов — это когда конечная последовательность цифр повторяется бесконечно. Это обозначается рисованием винкулума на повторяющемся блоке:

${\displaystyle 2.42{\overline {314}}_{5}=2.42314314314314314\dots _{5}}$

Это повторяющаяся десятичная система счисления (для которой не существует единого общепринятого обозначения или формулировки). По основанию 10 это называется повторяющейся десятичной дробью или повторяющейся десятичной дробью.

Иррациональное число имеет бесконечное неповторяющееся представление во всех целочисленных основаниях. Имеет ли рациональное число конечное представление или требует бесконечного повторяющегося представления, зависит от основания. Например, одну треть можно представить следующим образом:

${\displaystyle 0.1_{3}}$

${\displaystyle 0.{\overline {3}}_{10}=0.3333333\dots _{10}}$

или, с подразумеваемой базой:

${\displaystyle 0.{\overline {3}}=0.3333333\dots }$(см. также 0,999... )

${\displaystyle 0.{\overline {01}}_{2}=0.010101\dots _{2}}$

${\displaystyle 0.2_{6}}$

Для целых чисел p и q с НОД ( p , q ) = 1 дробь p / q имеет конечное представление в базе b тогда и только тогда, когда каждый простой множитель q также является простым множителем b .

Для данной базы любое число, которое может быть представлено конечным числом цифр (без использования штриховой записи), будет иметь несколько представлений, включая одно или два бесконечных представления:

1. Добавлять можно конечное или бесконечное число нулей:

${\displaystyle 3.46_{7}=3.460_{7}=3.460000_{7}=3.46{\overline {0}}_{7}}$

2. Последняя ненулевая цифра может быть уменьшена на единицу, и к ней добавляется бесконечная строка цифр, каждая из которых соответствует единице меньше базовой, (или заменяет любые следующие нулевые цифры):

${\displaystyle 3.46_{7}=3.45{\overline {6}}_{7}}$

${\displaystyle 1_{10}=0.{\overline {9}}_{10}\qquad }$(см. также 0,999... )

${\displaystyle 220_{5}=214.{\overline {4}}_{5}}$

Иррациональные числа

(Действительное) иррациональное число имеет бесконечное неповторяющееся представление во всех целочисленных основаниях.

Примерами являются неразрешимые корни n-й степени.

${\displaystyle y={\sqrt[{n}]{x}}}$

с и y ∉ Q , числа, которые называются алгебраическими , или числа типа ${\displaystyle y^{n}=x}$

${\displaystyle \pi ,e}$

которые трансцендентны . Число трансценденталов неисчислимо , и единственный способ записать их с помощью конечного числа символов — это дать им символ или конечную последовательность символов.

Приложения

Десятичная система

В десятичной (основание 10) индуистско-арабской системе счисления каждая позиция, начиная справа, представляет собой высшую степень 10. Первая позиция представляет собой 10 0 (1), вторая позиция 10 1 (10), третья позиция 10. ² ( 10×10 или 100), четвертая позиция 10 3 ( 10×10×10 или 1000) и так далее.

Дробные значения обозначаются разделителем , который может различаться в разных местах. Обычно этим разделителем является точка, точка или запятая . Цифры справа от него умножаются на 10, возведенные в отрицательную степень или показатель степени. Первая позиция справа от разделителя указывает 10 ^-1 (0,1), вторая позиция 10 ^-2 (0,01) и так далее для каждой последующей позиции.

Например, число 2674 в десятичной системе счисления:

(2 × 10 ³ ) + (6 × 10 ² ) + (7 × 10 ¹ ) + (4 × 10 ⁰ )

или

(2×1000) + (6×100) + (7×10) + (4×1).

Шестидесятеричная система

Шестидесятеричная система, или система с основанием 60, использовалась для целых и дробных частей вавилонских цифр и других месопотамских систем, а астрономы -эллинисты использовали греческие цифры только для дробной части, и до сих пор используется для обозначения современного времени и углов, но только для минут и углов. секунды. Однако не все эти применения были позиционными.

Современное время отделяет каждую позицию двоеточием или символом штриха . Например, время может быть 10:25:59 (10 часов 25 минут 59 секунд). Углы используют аналогичные обозначения. Например, угол может составлять 10°25′59″ (10 градусов 25 минут 59 секунд ). В обоих случаях только минуты и секунды используют шестидесятеричную систему счисления — угловые градусы могут быть больше 59 (один оборот вокруг круга составляет 360°, два оборота — 720° и т. д.), а для времени и углов используются десятичные доли секунды. . ^{[ нужна цитация ]} Это контрастирует с числами, используемыми астрономами эллинизма и эпохи Возрождения , которые использовали трети , четверти и т. д. для более точных приращений. Там, где мы могли бы написать 10°25′59,392″ , они написали бы 10°25 59 23 31 12 ${\displaystyle \scriptstyle {{}^{\prime }}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {{}^{\prime \prime }}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {{}^{\prime \prime \prime }}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {{}^{\prime \prime \prime \prime }}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {{}^{\prime \prime \prime \prime \prime }}}$ или 10°25 ⁱ 59 ⁱⁱ 23 ⁱⁱⁱ 31 ^iv 12 ^v .

Использование набора цифр с прописными и строчными буквами позволяет кратко обозначать шестидесятеричные числа, например, 10:25:59 становится «ARz» (путем пропуска I и O, но не i и o), что полезно для использования в URL-адресах. и т. д., но это не очень понятно человеку.

В 1930-х годах Отто Нойгебауэр представил современную систему обозначений вавилонских и эллинистических чисел, которая заменяет современные десятичные обозначения от 0 до 59 в каждой позиции, используя при этом точку с запятой (;) для разделения целой и дробной частей числа и запятую. (,) для разделения позиций внутри каждой части. ^[16] Например, средний синодический месяц , используемый как вавилонскими, так и эллинистическими астрономами и до сих пор используемый в еврейском календаре , составляет 29;31,50,8,20 дней, а угол, используемый в приведенном выше примере, будет записан как 10;25. ,59,23,31,12 градусов.

Вычисление

В вычислениях чаще всего используются двоичная (основание 2), восьмеричная (основание 8) и шестнадцатеричная ( основание 16 ) . Компьютеры на самом базовом уровне имеют дело только с последовательностями обычных нулей и единиц, поэтому в этом смысле легче иметь дело со степенями двойки. Шестнадцатеричная система используется как «сокращение» для двоичной системы: каждые 4 двоичных цифры (бита) относятся к одной и только одной шестнадцатеричной цифре. В шестнадцатеричном формате шесть цифр после 9 обозначаются A, B, C, D, E и F (а иногда и a, b, c, d, e и f).

Восьмеричная система счисления также используется как еще один способ представления двоичных чисел. В этом случае основание равно 8, поэтому используются только цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. При преобразовании из двоичного числа в восьмеричное каждые 3 бита относятся к одной и только одной восьмеричной цифре.

Шестнадцатеричная, десятичная, восьмеричная и множество других систем счисления использовались для кодирования двоичного кода в текст , реализации арифметики произвольной точности и других приложений.

Список оснований и их применения см. в списке систем счисления .

Другие основы в человеческом языке

Системы с основанием 12 ( двенадцатеричные или дюжинные) были популярны, потому что умножение и деление проще, чем в десятичной, а сложение и вычитание выполняются так же легко. Двенадцать — полезное основание, поскольку оно имеет множество факторов . Это наименьшее общее кратное единиц, двух, трех, четырех и шести. В английском языке до сих пор существует специальное слово для обозначения «дюжины», и по аналогии со словом, обозначающим 10 ² , сотня , коммерция разработала слово, обозначающее 12 ² , брутто . Стандартные 12-часовые часы и обычное использование 12 в английских единицах измерения подчеркивают полезность базы. Кроме того, до перевода в десятичную систему старая британская валюта фунт стерлингов (GBP) частично использовала систему счисления с основанием 12; в шиллинге (s) было 12 пенсов (d), в фунте (£) — 20 шиллингов, и, следовательно, в фунте было 240 пенсов. Отсюда и термин ЛСД или, точнее, £sd .

Цивилизация майя и другие цивилизации доколумбовой Мезоамерики использовали систему счисления с основанием 20 ( двумерная ), как и несколько североамериканских племен (два из которых проживали в южной Калифорнии). Свидетельства существования систем счета с основанием 20 также можно найти в языках Центральной и Западной Африки .

Остатки галльской системы счисления с основанием 20 также существуют во французском языке, как это видно сегодня в названиях чисел от 60 до 99. Например, шестьдесят пять — это soixante-cinq (буквально «шестьдесят [и] пять»), а семьдесят пять — это soixante-quinze (буквально «шестьдесят [и] пятнадцать»). Кроме того, для любого числа от 80 до 99 число «столбца десятков» выражается как кратное двадцати. Например, восемьдесят два — это quatre-vingt-deux (буквально четыре двадцать[с] [и] два), а девяносто два — это quatre-vingt-douze (буквально четыре двадцать[с] [и] двенадцать). В старофранцузском языке сорок выражалось как две двадцатки, а шестьдесят — как три двадцатки, так что пятьдесят три выражалось как две двадцатки [и] тринадцать и так далее.

В английском языке тот же самый двадцатеричный счет используется при использовании « счетов ». Хотя в основном это историческое слово, оно иногда используется в разговорной речи. Стих 10 90-го псалма Библии в версии короля Иакова начинается так: «Дней лет наших — шестьдесят лет, и если по силе они будут восемьдесят лет, то сила их — труд и скорбь». Геттисбергское обращение начинается словами: «Четыре десятка и семь лет назад».

В прошлом ирландский язык также использовал систему счисления с основанием 20: двадцать — фичид , сорок дха фичид , шестьдесят три фичид и восемьдесят ceithre fhichid . Остаток этой системы можно увидеть в современном слове, обозначающем 40, daoichead .

В валлийском языке по-прежнему используется система счисления по основанию 20 , особенно для возраста людей, дат и общих фраз. 15 также важно: 16–19 — это «один на 15», «два на 15» и т. д. 18 обычно — это «две девятки». Обычно используется десятичная система.

В языках инуитов используется двадцатеричная система счета. Студенты из Кактовика, Аляска, изобрели систему счисления с основанием 20 в 1994 году ^[17].

Датские цифры имеют аналогичную структуру с основанием 20 .

В языке маори Новой Зеландии также есть свидетельства базовой системы счисления с основанием 20, как это видно в терминах Te Hokowhitu a Tu , относящихся к военному отряду (буквально «семь двадцаток Ту») и Tama-hokotahi , относящихся к великому воину. («один человек равен 20»).

Двоичная система использовалась в Древнем Египте с 3000 по 2050 год до нашей эры. Она была написана курсивом путем округления рациональных чисел меньше 1 до 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 с выброшенным членом 1/64 (система называлась Глаз Гора ).

В ряде языков австралийских аборигенов используются двоичные или подобные им системы счета. Например, в Кала Лагау Я цифры от одного до шести — это урапон , укасар , укасар-урапон , укасар-укасар , укасар-укасар-урапон , укасар-укасар-укасар .

Коренные жители Северной и Центральной Америки использовали основание 4 ( четвертичное ) для обозначения четырех сторон света. Мезоамериканцы имели тенденцию добавлять вторую систему с основанием 5, чтобы создать модифицированную систему с основанием 20.

Пятеричная система счисления (пятеричная ) использовалась во многих культурах для счета. Очевидно, оно основано на количестве цифр на человеческой руке. Его также можно рассматривать как подбазу других оснований, таких как основание-10, основание-20 и основание-60.

Система с основанием 8 ( восьмеричная ) была разработана племенем Юки из Северной Калифорнии, которое использовало для счета промежутки между пальцами, соответствующие цифрам от первой до восьмой. ^[18] Существуют также лингвистические данные, которые позволяют предположить, что протоиндоевропейцы бронзового века (от которых происходит большинство европейских и индийских языков), возможно, заменили систему с основанием 8 (или систему, которая могла считать только до 8) на система с основанием 10. Доказательства заключаются в том, что слово, обозначающее 9, ньюм , некоторые предполагают, что оно происходит от слова, обозначающего «новый», ньюо- , предполагая, что число 9 было недавно изобретено и названо «новым числом». ^[19]

Многие древние системы счета используют пять в качестве основной основы, что почти наверняка связано с количеством пальцев на руке человека. Часто эти системы дополняются вторичной базой, иногда десятью, иногда двадцатью. В некоторых африканских языках слово «пять» совпадает со словами «рука» или «кулак» ( язык диола в Гвинее-Бисау , язык банда в Центральной Африке ). Счет продолжается путем прибавления 1, 2, 3 или 4 к комбинациям из 5, пока не будет достигнуто вторичное основание. В случае двадцати это слово часто означает «человек полный». Эта система называется пятиквазигезимальной . Он встречается во многих языках Суданского региона .

Язык Telefol , на котором говорят в Папуа-Новой Гвинее , примечателен наличием системы счисления с основанием 27.

Нестандартные позиционные системы счисления

Интересные свойства существуют, когда основание не является фиксированным или положительным и когда наборы цифровых символов обозначают отрицательные значения. Есть еще много вариаций. Эти системы представляют практическую и теоретическую ценность для ученых-компьютерщиков.

Сбалансированная троичная система ^[20] использует основание 3, но набор цифр равен { 1 ,0,1} вместо {0,1,2}. « 1 » имеет эквивалентное значение -1. Отрицание числа легко образуется путем включения   единиц. Эту систему можно использовать для решения задачи о балансе, которая требует нахождения минимального набора известных противовесов для определения неизвестного веса. Веса 1, 3, 9,... 3 ⁿ известных единиц могут быть использованы для определения любого неизвестного веса до 1 + 3 + ... + 3 ⁿ единиц. Груз можно использовать по обе стороны весов или не использовать вообще. Гири, используемые на чаше весов с неизвестной массой, обозначаются цифрой 1 , цифрой 1, если она используется на пустой чашке весов, и цифрой 0, если не используются. Если неизвестная гиря W уравновешена цифрами 3 (3 ¹ ) на одной чашке и 1 и 27 (3 ⁰ и 3 ³ ) на другой, то ее вес в десятичном формате равен 25 или 10 1 1 в сбалансированной системе счисления по основанию-3.

10 1 1 ₃ = 1 × 3 ³ + 0 × 3 ² − 1 × 3 ¹ + 1 × 3 ⁰ = 25.

Факториальная система счисления использует переменную систему счисления, давая факториалы в качестве разрядных значений; они связаны с китайской теоремой об остатках и перечислениями в системе счисления остатков . Эта система эффективно перечисляет перестановки. В производной от этого конфигурации в качестве системы подсчета используется конфигурация головоломки « Ханойские башни» . Конфигурацию башен можно привести в соответствие 1 к 1 с десятичным отсчетом шага, на котором происходит конфигурация, и наоборот.

Непозиционные позиции

Каждая позиция не обязательно должна быть позиционной сама по себе. Вавилонские шестидесятеричные цифры были позиционными, но в каждой позиции находились группы из двух видов клиньев, обозначающих единицы и десятки (узкий вертикальный клин | для единицы и открытый острие влево ⟨ для десяти) — до 5+9=14 символов. на позицию (т.е. 5 десятков ⟨⟨⟨⟨⟨ и 9 единиц ||||||||| сгруппированы в один или два близких квадрата, содержащих до трёх ярусов символов, или заполнитель (\\) из-за отсутствия позиция). ^[21] Астрономы-эллинисты использовали одну или две буквенные греческие цифры для каждой позиции (одну из 5 букв, обозначающих 10–50, и/или одну из 9 букв, обозначающих 1–9, или символ нуля ). ^[22]

Смотрите также

Примеры:

• Список систем счисления
• Категория: Позиционные системы счисления

Похожие темы:

• Алгоризм
• Индо-арабская система счисления
• Смешанная система счисления
• Нестандартные позиционные системы счисления
• Научная нотация

Другой:

• Значимые фигуры

Примечания

1. Каплан, Роберт (2000). Ничто, что есть: естественная история нуля . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. стр. 11–12 – через archive.org.
2. «Греческие цифры». Архивировано из оригинала 26 ноября 2016 года . Проверено 31 мая 2016 г.
3. Меннингер, Карл : Залворт и Зиффер. Eine Kulturgeschichte der Zahl , Ванденхук и Рупрехт, 3-й. изд., 1979, ISBN 3-525-40725-4 , стр. 150–153. 
4. Ифра, страница 187.
5. LF Менабреа. Перевод Ады Августы, графини Лавлейс. «Набросок аналитической машины, изобретенной Чарльзом Бэббиджем». Архивировано 15 сентября 2008 года в Wayback Machine . 1842.
6. Берггрен, Дж. Леннарт (2007). «Математика в средневековом исламе». Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник . Издательство Принстонского университета. п. 518. ИСБН 978-0-691-11485-9.
7. Гандз, С .: Изобретение десятичных дробей и применение экспоненциального исчисления Иммануэлем Бонфилсом из Тараскона (около 1350 г.), Isis 25 (1936), 16–45.
8. Лам Лэй Йонг , «Развитие индуистско-арабской и традиционной китайской арифметики», Chinese Science , 1996, стр. 38, обозначения Курта Фогеля
9. Лэй Йонг, Лам . «Китайское Бытие, переписывающее историю нашей системы счисления». Архив истории точных наук . 38 : 101–108.
10. Б.Л. ван дер Варден (1985). История алгебры. От Хорезми до Эмми Нётер . Берлин: Springer-Verlag.
11. EJ Dijksterhuis (1970) Саймон Стевин: Наука в Нидерландах около 1600 года , Martinus Nijhoff Publishers , голландский оригинал, 1943 год.
12. Цифра, как правило, сохранит свое значение в других системах счисления, потому что более высокая система счисления обычно является обозначением расширения нижней системы счисления в любой систематической организации. В математических науках практически существует только одна позиционная система счисления для каждого основания ниже 10, и это распространяется с небольшими, если незначительными, вариациями выбора буквенных цифр для этих оснований выше 10.
13. Обычно мы не удаляем строчные цифры «l» и строчные «o», поскольку в большинстве шрифтов они различимы из цифр «1» и «0».
14. Пользователь «Ушел». «Системы счисления. Как перейти от системы счисления от $n$ к $m$». Математический обмен стеками . Проверено 6 августа 2020 г. {{cite web}}: |last1=имеет общее имя ( справка )
15. Точный размер не имеет значения. Их должно быть только ≥ 1. ${\displaystyle \nu _{1},\ldots ,\nu _{n}}$
16. Нойгебауэр, Отто ; Сакс, Авраам Джозеф ; Гетце, Альбрехт (1945), Математические клинописные тексты, Американская восточная серия, том. 29, Нью-Хейвен: Американское восточное общество и американские школы восточных исследований, с. 2, ISBN 9780940490291, заархивировано из оригинала 1 октября 2016 года , получено 18 сентября 2019 года.
17. Бартли, Wm. Кларк (январь – февраль 1997 г.). «Старый путь имеет значение» (PDF) . Делимся своими путями . 2 (1): 12–13. Архивировано (PDF) из оригинала 25 июня 2013 года . Проверено 27 февраля 2017 г. .
18. Барроу, Джон Д. (1992), Пи в небе: счет, мышление и бытие , Clarendon Press, стр. 38, ISBN 9780198539568.
19. (Мэллори и Адамс, 1997) Энциклопедия индоевропейской культуры
20. Кнут, страницы 195–213.
21. Ифра, страницы 326, 379.
22. Ифра, страницы 261–264.

Рекомендации

• О'Коннор, Джон; Робертсон, Эдмунд (декабрь 2000 г.). «Вавилонские цифры». Архивировано из оригинала 11 сентября 2014 года . Проверено 21 августа 2010 г.
• Кадвани, Джон (декабрь 2007 г.). «Позиционное значение и лингвистическая рекурсия». Журнал индийской философии . 35 (5–6): 487–520. дои : 10.1007/s10781-007-9025-5. S2CID  52885600.
• Кнут, Дональд (1997). Искусство компьютерного программирования . Том. 2. Аддисон-Уэсли. стр. 195–213. ISBN 0-201-89684-2.
• Ифра, Джордж (2000). Универсальная история чисел: от предыстории до изобретения компьютера . Уайли. ISBN 0-471-37568-3.
• Кребер, Альфред (1976) [1925]. Справочник индейцев Калифорнии. Публикации Courier Dover. п. 176. ИСБН 9780486233680.

Внешние ссылки

• Точная базовая конверсия
• Развитие индуистского арабского языка и традиционной китайской арифметики
• Внедрение базовой конверсии в кратчайшие сроки
• Научитесь считать другие базы на пальцах
• Онлайн-конвертер баз произвольной точности