.png/1280px-Abacus_(PSF).png)
Счеты ( мн.ч.: абаки или счеты ) , также называемые счетной рамкой , представляют собой ручной счетный инструмент , который использовался с древних времен на древнем Ближнем Востоке , в Европе , Китае и России до принятия индуистской традиции . Арабская система счисления . [1] Счеты состоят из двумерного массива скользящих бусин (или подобных объектов). В самых ранних конструкциях бусины могли свободно лежать на плоской поверхности или скользить по канавкам. Позже бусины стали скользить по стержням и встроить их в рамку, что позволило ускорить манипуляции.
Каждый стержень обычно представляет собой одну цифру многозначного числа, составленного с использованием позиционной системы счисления, такой как десятичная (хотя в некоторых культурах использовались другие числовые основы ). В римских и восточноазиатских счетах используется система, напоминающая десятичную дробь с двоичным кодом , где верхняя колода (содержащая одну или две бусины) представляет пятерки, а нижняя колода (содержащая четыре или пять бусинок) представляет единицы. Обычно используются натуральные числа , но некоторые допускают простые дробные компоненты (например , 1/2, 1/4 и 1/12 на римских счетах ) , а для арифметики с фиксированной запятой можно представить десятичную точку .
Любая конкретная конструкция счеты поддерживает несколько методов выполнения вычислений, включая сложение , вычитание , умножение , деление , а также квадратные и кубические корни . Бусины сначала располагаются так, чтобы представлять число, затем ими манипулируют для выполнения математической операции с другим числом, и их конечное положение можно считать результатом (или использовать в качестве начального числа для последующих операций).
В древнем мире счеты были практичным вычислительным инструментом. Хотя сегодня вместо счетов обычно используются калькуляторы и компьютеры , в некоторых странах счеты по-прежнему используются повседневно. Преимущество счетов состоит в том, что они не требуют письменных принадлежностей и бумаги (необходимой для алгоритмов ) или источника электроэнергии . Купцы, торговцы и клерки в некоторых частях Восточной Европы , России , Китая и Африки используют счеты. Счеты по-прежнему широко используются в качестве системы подсчета очков в неэлектронных настольных играх. Другие могут использовать счеты из-за нарушений зрения , которые не позволяют использовать калькулятор. [1] В большинстве стран счеты до сих пор используются для обучения детей основам математики . [ нужна цитата ]
Слово «счеты» датируется по крайней мере 1387 годом нашей эры, когда в среднеанглийской работе это слово было заимствовано из латыни , описывающее счеты из песочной доски. Латинское слово происходит от древнегреческого ἄβαξ ( абакс ), что означает что-то без основы, а в просторечии — любой кусок прямоугольного материала. [2] [3] [4] В качестве альтернативы, без ссылки на древние тексты по этимологии, было высказано предположение, что это означает «квадратную табличку, усыпанную пылью», [5] или «чертежную доску, покрытую пылью (для употребления математики)» [6] (точная форма латыни, возможно, отражает форму родительного падежа греческого слова ἄβακoς ( абакос )). Хотя таблица, усеянная пылью, пользуется популярностью, некоторые утверждают, что доказательств недостаточно для такого вывода. [7] [nb 1] Греческий ἄβαξ , вероятно, заимствован из северо-западного семитского языка , такого как финикийский , о чем свидетельствует родственное еврейскому слову ʾābāq ( אבק ), или «пыль» (в постбиблейском смысле «песок, используемый для письма»). поверхность"). [8]
И счеты [9] , и абаки [9] используются во множественном числе. Пользователя счетов называют абацистом . [10]
Шумерские счеты появились между 2700 и 2300 годами до нашей эры . В нем содержалась таблица последовательных столбцов, которые разграничивали последовательные порядки их шестидесятеричной (основание 60) системы счисления. [11]
Некоторые ученые указывают на персонаж вавилонской клинописи , который, возможно, произошел от изображения счетов. [12] Древневавилонские [13] ученые, такие как Этторе Карруччо, полагают, что древние вавилоняне «похоже, использовали счеты для операций сложения и вычитания; однако это примитивное устройство оказалось трудным для использования для более сложных операций». расчеты». [14]
Греческий историк Геродот упоминал о счетах в Древнем Египте . Он писал, что египтяне манипулировали галькой справа налево, в противоположность греческому методу слева направо. Археологи нашли древние диски разных размеров, которые, как полагают, использовались в качестве счетчиков. Однако настенные изображения этого инструмента еще не обнаружены. [15]
Около 600 г. до н.э. персы впервые начали использовать счеты во времена империи Ахеменидов . [16] Во времена Парфянской , Сасанидской и Иранской империй ученые концентрировались на обмене знаниями и изобретениями с окружающими их странами – Индией , Китаем и Римской империей – именно так счеты могли экспортироваться в другие страны.
Самые ранние археологические свидетельства использования греческих счетов относятся к V веку до нашей эры. [17] Демосфен (384–322 до н.э.) жаловался, что необходимость использовать гальку для расчетов слишком сложна. [18] [19] В пьесе Алексиса IV века до нашей эры упоминаются счеты и камешки для бухгалтерского учета, а Диоген и Полибий используют счеты как метафору человеческого поведения, заявляя, что «человеки, которые иногда отстаивали большее, а иногда и более меньше», как камешки на счетах. [19] Греческие счеты представляли собой стол из дерева или мрамора, на котором были установлены небольшие деревянные или металлические счетчики для математических расчетов. [ нужна цитация ] Эти греческие счеты использовались в Ахеменидской Персии, этрусской цивилизации , Древнем Риме и западном христианском мире до Французской революции .
Табличка, найденная на греческом острове Саламин в 1846 году нашей эры ( Саламинская табличка ), датируется 300 годом до нашей эры, что делает ее самой старой счетной доской, обнаруженной до сих пор. Это плита из белого мрамора длиной 149 см (59 дюймов), шириной 75 см (30 дюймов) и толщиной 4,5 см (2 дюйма), на которой нанесено 5 групп маркировок. В центре планшета находится набор из пяти параллельных линий, поровну разделенных вертикальной линией, увенчанных полукругом на пересечении самой нижней горизонтальной линии и единственной вертикальной линии. Ниже этих линий находится широкое пространство с разделяющей его горизонтальной трещиной. Ниже этой трещины находится еще одна группа из одиннадцати параллельных линий, снова разделенных на две части линией, перпендикулярной им, но с полукругом в верхней части пересечения; третья, шестая и девятая из этих линий отмечены крестиком в месте пересечения с вертикальной линией. [20] Также в этот период в 1851 году была раскопана ваза Дария . Она была покрыта изображениями, в том числе «казначеем», держащим в одной руке восковую табличку, а другой манипулирующим счетчиками на столе. [18]
Обычным методом вычислений в Древнем Риме, как и в Греции, было перемещение фишек по гладкому столу. Первоначально использовались камешки (лат. Calculi ). Маркированные линии обозначали единицы, пятерки, десятки и т. д., как в римской системе счисления .
В I веке до нашей эры Гораций упоминает восковые счеты — доску, покрытую тонким слоем черного воска, на которой с помощью стилуса начерчивались колонны и фигуры. [21]
Один из примеров археологических свидетельств римских счетов , показанный рядом во время реконструкции, датируется I веком нашей эры. Он имеет восемь длинных канавок, содержащих до пяти бусинок в каждой, и восемь более коротких канавок, в каждой из которых либо по одной бусине, либо без них. Канавка, отмеченная буквой I, обозначает единицы, X десятков и так далее до миллионов. Бусинки в более коротких бороздках обозначают пятерки (пять единиц, пять десятков и т. д.), напоминающие десятичную систему с двоичным кодом , родственную римским цифрам . Короткие бороздки справа, возможно, использовались для обозначения римских «унций» (т.е. дробей).
Римская система «встречного литья» широко использовалась в средневековой Европе и в ограниченном применении сохранялась до девятнадцатого века. [22] Богатые абацисты использовали декоративные чеканные жетоны, называемые жетонами .
Благодаря повторному внедрению счетов с модификациями Папой Сильвестром II, они снова стали широко использоваться в Европе в 11 веке . использовался намного быстрее и его было легче перемещать. [25]
Самая ранняя известная письменная документация о китайских счетах датируется II веком до нашей эры. [26]
Китайские счеты, также известные как суанпан (算盤/算盘, букв. «Вычислительный лоток»), бывают различной длины и ширины, в зависимости от оператора. Обычно он имеет более семи стержней. На каждом стержне верхней колоды есть две бусины и по пять бусинок в нижней, которые представляют числа в двоично- десятичной системе. Бусины обычно округлые и изготовлены из твердой древесины . Бусины подсчитываются, перемещая их вверх или вниз по направлению к балке; бусины, сдвинутые к балке, засчитываются, а отодвинутые от нее – нет. [27] Одна из верхних бусин равна 5, а одна из нижних — 1. Под каждым стержнем указан номер, показывающий значение места. Суанпан можно мгновенно вернуть в исходное положение быстрым движением вдоль горизонтальной оси, чтобы отвести все бусины от горизонтальной балки в центре .
Прототип китайских счетов появился во времена династии Хань , бусины имеют овальную форму. Династия Сун и ранее использовали счеты с четырьмя бусинами типа 1:4, похожие на современные счеты, включая форму бусин, широко известную как счеты в японском стиле. [ нужна цитата ]
В начале династии Мин счеты стали появляться в соотношении 1:5. Верхняя колода имела одну бусину, а нижняя — пять. [28] В конце династии Мин стили счетов появились в соотношении 2:5. [28] На верхней колоде было две бусины, а на нижней — пять.
Для Суанпана были разработаны различные методы расчета, позволяющие проводить эффективные расчеты. Некоторые школы учат учеников, как им пользоваться.
В длинном свитке «Вдоль реки во время праздника Цинмин», написанном Чжан Цзэдуанем во времена династии Сун (960–1297), хорошо виден суаньпань рядом со счетной книгой и рецептами врача на прилавке аптеки ( Фейбао).
Сходство римских счетов с китайскими позволяет предположить, что одни могли вдохновить другие, учитывая свидетельства торговых отношений между Римской империей и Китаем. Однако прямой связи не было продемонстрировано, и сходство счетов может быть случайным, поскольку оба в конечном итоге возникают в результате счета пятью пальцами на каждой руке. В то время как римская модель (как и большинство современных корейских и японских) имеет 4 плюс 1 бусину на десятичный знак, стандартный суанпан имеет 5 плюс 2. Кстати, это позволяет использовать шестнадцатеричную систему счисления (или любую систему счисления до 18), которая может иметь использовался для традиционных китайских мер веса. (Вместо проводов, как в китайской, корейской и японской моделях, в римской модели использовались канавки, что, по-видимому, значительно замедляло арифметические вычисления.)
Другим возможным источником суанпана являются китайские счетные стержни , которые работали в десятичной системе , но не имели понятия нуля в качестве заполнителя. Ноль, вероятно, был представлен китайцам во времена династии Тан (618–907), когда путешествие по Индийскому океану и Ближнему Востоку обеспечило бы прямой контакт с Индией , что позволило им усвоить концепцию нуля и десятичной точки от индийских купцов. и математики.
В «Абхидхармакосабхашье» Васубандху ( 316–396), санскритском труде по буддийской философии , говорится, что философ второго века н.э. Васумитра сказал, что «помещение фитиля (санскритская вартика ) на цифру один ( эканка ) означает, что это единица, тогда как размещение фитиль на числе сто означает, что оно называется сто, а на числе одна тысяча означает, что оно тысяча». Неясно, в чем именно заключалась эта договоренность. Примерно в V веке индийские служащие уже находили новые способы записи содержимого счетов. [29] В индуистских текстах термин шунья (ноль) использовался для обозначения пустого столбца на счетах. [30]
В Японии счеты называются соробан (算盤, そろばん, букв. «поднос для подсчета»). Его завезли из Китая в 14 веке. [31] Вероятно, он использовался рабочим классом за сто или более лет до того, как его принял правящий класс, поскольку классовая структура препятствовала таким изменениям. [32] Счеты 1:4, в которых удаляются редко используемые вторая и пятая бусины, стали популярными в 1940-х годах.
Сегодняшние японские счеты представляют собой счеты с четырьмя бусинами формата 1:4, привезенные из Китая в эпоху Муромати . Он имеет форму верхней бусины и четырех нижних. Верхняя бусина на верхней колоде была равна пяти, а нижняя подобна китайским или корейским счетам, и десятичное число можно выразить, поэтому счеты спроектированы как устройство один: четыре. Бусины всегда имеют форму ромба. Вместо метода деления обычно используется частное деление; в то же время, чтобы цифры умножения и деления были последовательными, используйте умножение деления. Позже в Японии появились счеты 3:5 под названием 天三算盤, которые сейчас находятся в коллекции Изэ Жунцзи в деревне Шанси в городе Ямагата . В Японии также использовались счеты типа 2:5.
Счеты с четырьмя бусинами распространились и стали распространены по всему миру. Усовершенствования японских счетов возникали в разных местах. В Китае использовались счеты с пластиковыми бусинами на алюминиевой раме. Напильник находится рядом с четырьмя бисеринками, и нажатием кнопки «очистка» переводим верхнюю бисеринку в верхнее положение, а нижнюю — в нижнее положение.
Счеты по-прежнему производятся в Японии, несмотря на распространение, практичность и доступность карманных электронных калькуляторов . Использование соробана до сих пор преподается в японских начальных школах как часть математики , прежде всего как средство для более быстрого счета в уме. Использование визуальных образов может выполнить расчет так же быстро, как и физический инструмент. [33]
Китайские счеты мигрировали из Китая в Корею около 1400 года нашей эры. [18] [34] [35] Корейцы называют это джупан (주판), супан (수판) или джусан (주산). [36] Счеты с четырьмя бусинами (1:4) были введены во времена династии Корё . Счеты 5:1 были завезены в Корею из Китая во времена династии Мин.
В некоторых источниках упоминается использование счетов, называемых непохуальцинцин, в древней ацтекской культуре. [37] Эти мезоамериканские счеты использовали 5-значную систему счисления с основанием 20. [38] Слово Nepōhualtzintzin, произношение на языке науатль: [nepoːwaɬˈt͡sint͡sin] происходит от языка науатль , образованного корнями; Не – личный -; pōhual или pōhualli Произношение на науатле: [ˈpoːwalːi] – счет -; и цинцин. Произношение на языке науатль: [ˈt͡sint͡sin] – маленькие похожие элементы. Полный его смысл был принят так: счет с небольшими одинаковыми элементами. Его использованию в Кальмекаке обучали темальпуке на науатле: [temaɬˈpoʍkeʔ] , которые с детства занимались учетом неба.
Непохуальцинцин был разделен на две основные части, разделенные перекладиной или промежуточным шнуром. В левой части было четыре бусины. Бусинки в первом ряду имеют унитарные значения (1, 2, 3 и 4), а справа три бусины имели значения 5, 10 и 15 соответственно. Чтобы узнать стоимость соответствующих бисерин верхних рядов, достаточно умножить на 20 (по каждому ряду) значение соответствующего счетчика в первом ряду.
В устройстве было 13 рядов по 7 бусин, всего 91 бусинка. Это было базовое число для этой культуры. Оно имело тесную связь с природными явлениями, подземным миром и небесными циклами. Один Непоуальцинцин (91) представляет количество дней, которое длится сезон года, два Непоуальцинцин (182) — количество дней цикла кукурузы, от посева до сбора урожая, три Непоуальцинцин (273) — количество дней. беременности ребенка, а четыре Непоуальцинцина (364) завершили цикл, составляющий приблизительно один год. В переводе на современную компьютерную арифметику Непохуальцинцин имел ранг от 10 до 18 в формате с плавающей запятой , что позволяло точно рассчитывать большие и малые суммы, хотя округление не допускалось.
Повторное открытие Непоуальцинцина произошло благодаря мексиканскому инженеру Давиду Эспарсе Идальго, [39] который во время своих путешествий по Мексике нашел разнообразные гравюры и изображения этого инструмента и реконструировал некоторые из них из золота, нефрита, инкрустаций ракушек и т. д. [40 ] Очень древний Непоуальцинцин относят к культуре ольмеков , а также некоторые браслеты майяского происхождения, а также разнообразие форм и материалов в других культурах.
Санчес написал в книге «Арифметика на языке майя» , что на полуострове Юкатан были найдены еще одни счеты с основанием 5 и 4 , которые также вычисляли календарные данные. Это были счеты для пальцев, на одной руке использовались цифры 0, 1, 2, 3 и 4; а с другой стороны использовались 0, 1, 2 и 3. Обратите внимание на использование нуля в начале и конце двух циклов.
Кипу инков представляло собой систему цветных шнуров с узлами, использовавшихся для записи числовых данных, [ 41] подобно продвинутым счетным стержням , но не использовавшихся для выполнения расчетов. Расчеты проводились с использованием юпаны ( на языке кечуа «счетный инструмент»; см. рисунок), которая все еще использовалась после завоевания Перу. Принцип работы юпаны неизвестен, но в 2001 году итальянский математик Де Паскуале предложил объяснение. Сравнивая форму нескольких юпан, исследователи обнаружили, что расчеты были основаны на использовании последовательности Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5 и степеней 10, 20 и 40 в качестве значений мест для различных полей инструмента. Использование последовательности Фибоначчи позволит свести к минимуму количество зерен в любом поле. [42]
Русские счеты — счеты ( счеты ) , обычно имеют одну наклонную колоду с десятью бусинами на каждой проволоке (кроме одной проволоки с четырьмя бусинами для четвертьрублевых дробей ) . Четырехбусинная проволока была введена для четвертаков , которые чеканились до 1916 года. [43] На русских счетах используются вертикально, при этом каждая проволока проходит горизонтально. Проволоку обычно загибают вверх в центре, чтобы бусины были закреплены с обеих сторон. Он очищается, когда все бусины перемещаются вправо. Во время манипуляции бусины перемещаются влево. Для удобства просмотра две средние бисеринки на каждой проволоке (5-я и 6-я) обычно отличаются по цвету от остальных восьми. Аналогично, левая полоска тысячной проволоки (и миллионной проволоки, если она есть) может иметь другой цвет.
Русские счеты использовались в магазинах и на рынках по всему бывшем Советскому Союзу , и до 1990-х годов их использованию преподавали в большинстве школ. [44] [45] Даже изобретение в 1874 году механического калькулятора , арифмометра Однера , не заменило их в России . По словам Якова Перельмана , известно, что некоторые бизнесмены, пытавшиеся импортировать калькуляторы в Российскую империю, уходили в отчаянии, увидев опытного счетовода. [46] Аналогичным образом, массовое производство арифмометров Феликса с 1924 года не привело к значительному сокращению использования счетов в Советском Союзе . [47] Русские счеты начали терять популярность только после массового производства отечественных микрокалькуляторов в 1974 году .
Русские счеты были привезены во Францию около 1820 года математиком Жаном-Виктором Понселе , служившим в армии Наполеона и находившимся в плену в России. [48] Счеты вышли из употребления в Западной Европе в 16 веке с появлением десятичной системы счисления и алгоритмических методов. [ нужна цитата ] Для французских современников Понселе это было что-то новое. Понселе использовал его не для каких-либо прикладных целей, а как учебное и демонстрационное средство. [49] Турки и армяне использовали счеты , аналогичные русским счетам. Турки называли его кульбой , а армяне - хоребом . [50]
Во всем мире счеты использовались в дошкольных и начальных школах в качестве вспомогательного средства при обучении системе счисления и арифметике .
В западных странах распространена рамка из бусинок, похожая на русские счеты, но с прямыми проволоками и вертикальной рамкой (см. Изображение).
Каркас можно использовать либо с позиционной записью, как и в других счетах (таким образом, 10-проволочная версия может представлять числа до 9 999 999 999), либо каждая бусинка может представлять одну единицу (например, 74 можно представить, сдвигая все бусины на 7 проволок и 4 бусины). на 8-м проводе, поэтому могут быть представлены числа до 100). В показанной бусине промежуток между 5-й и 6-й проволокой, соответствующий изменению цвета между 5-й и 6-й бисеринами на каждой проволоке, предполагает использование последней. Обучение умножению, например 6 на 7, можно представить перестановкой 7 бусинок на 6 проволок.
Красно-белые счеты используются в современных начальных школах для широкого спектра уроков, связанных с числами. Вариант с двадцатью бусинами, называемый голландским названием rekenrek («расчетная рамка»), часто используется либо на нитке бус, либо на жестком каркасе. [51]
Физик Ричард Фейнман был известен своими математическими расчетами. Он написал о встрече в Бразилии с японским экспертом по счетам, который предложил ему соревноваться в скорости между ручкой Фейнмана, бумагой и счетами. Счеты были намного быстрее при сложении, несколько быстрее при умножении, но Фейнман быстрее делил. Когда на счетах решалась действительно сложная задача, например, для решения кубических корней, Фейнман легко побеждал. Однако число, выбранное наугад, было близко к числу, которое Фейнман знал как точный куб, что позволило ему использовать приближенные методы. [52]
Обучение расчету на счетах может улучшить способность к умственным расчетам. Ментальный расчет на основе счетов (AMC), который произошел от счетов, представляет собой процесс выполнения вычислений, включая сложение, вычитание, умножение и деление, в уме путем манипулирования воображаемыми счетами. Это когнитивный навык высокого уровня, позволяющий выполнять вычисления с помощью эффективного алгоритма. Люди, проходящие долгосрочную тренировку AMC, демонстрируют более высокий объем числовой памяти и более эффективное соединение нейронных путей. [53] [54] Они способны восстанавливать память для решения сложных процессов. [55] AMC включает в себя как зрительно-пространственную , так и зрительно-моторную обработку, которая генерирует зрительные счеты и перемещает воображаемые бусины. [56] Поскольку для этого требуется запомнить только конечное положение бусин, это требует меньше памяти и меньше времени вычислений. [56]
.png/1280px-Gregor_Reisch,_Margarita_Philosophica,_1508_(1230x1615).png)
Двоичные счеты используются для объяснения того, как компьютеры манипулируют числами. [57] Счеты показывают, как числа, буквы и знаки могут храниться в двоичной системе на компьютере или через ASCII . Устройство состоит из серии бусин на параллельных проволоках, расположенных в три отдельных ряда. Бусинки представляют собой переключатель на компьютере в положении «включено» или «выключено».
Адаптированные счеты, изобретенные Тимом Кранмером и называемые счетами Кранмера, обычно используются пользователями с нарушениями зрения. За бусинами помещается кусок мягкой ткани или резины, который удерживает их на месте, пока пользователи ими манипулируют. Затем устройство используется для выполнения математических функций умножения, деления, сложения, вычитания, извлечения квадратного и кубического корня. [58]
Хотя говорящие калькуляторы приносят пользу слепым учащимся, в младших классах их часто обучают счетам. [59] Слепые учащиеся также могут выполнять математические задания, используя устройство для записи Брайля и код Немета (разновидность кода Брайля для математики), но большие задачи на умножение и деление в длинные позиции утомительны. Счеты дают этим ученикам инструмент для решения математических задач, который соответствует скорости и математическим знаниям, необходимым их зрячим сверстникам, используя карандаш и бумагу. Многие слепые люди считают этот числовой автомат полезным инструментом на протяжении всей жизни. [58]
Тексты в Wikisource:
.jpg/1280px-ROC-era_abacus_at_China_National_Museum_of_Women_and_Children_(20210909140914).jpg)
.JPG/1280px-Soroban_(Abacus).JPG)
.jpg/1280px-Abacus_(469411480).jpg)
.jpg/1280px-Ming_Abacus_(9834846395).jpg)
.jpg/1280px-Kang_Mansion_Abacus_(10214827804).jpg)
_(8150570757).jpg/1280px-Soroban_(japanese_abacus)_(8150570757).jpg)
_Japanese_Calculator,_Made_In_Japan_(15262059515).jpg/1280px-Vintage_Tomoe_Soroban_(Abacus)_Japanese_Calculator,_Made_In_Japan_(15262059515).jpg)
