система Постникова

В математике топологическая конструкция

В гомотопической теории , ветви алгебраической топологии , система Постникова (или башня Постникова ) — это способ разложения топологического пространства путем фильтрации его гомотопического типа . Это выглядит так: для пространства существует список пространств , где ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\geq 0}}$

${\displaystyle \pi _{k}(X_{n})={\begin{cases}\pi _{k}(X)&{\text{ for }}k\leq n\\0&{\text{ for }}k>n\end{cases}}}$

и есть ряд отображений , которые являются расслоениями со слоями пространств Эйленберга-Маклейна . Короче говоря, мы разлагаем гомотопический тип с помощью обратной системы топологических пространств, гомотопический тип которых в степени совпадает с усеченным гомотопическим типом исходного пространства . Системы Постникова были введены Михаилом Постниковым и названы в его честь . ${\displaystyle \phi _{n}:X_{n}\to X_{n-1}}$ ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$

Существует похожая конструкция, называемая башней Уайтхеда (определена ниже), где вместо пространств с гомотопическим типом для степеней эти пространства имеют нулевые гомотопические группы для для . ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \leq n}$ ${\displaystyle \pi _{k}(X_{n})=0}$ ${\displaystyle 1<k<n}$

Определение

Система Постникова линейно связного пространства является обратной системой пространств ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \cdots \to X_{n}\xrightarrow {p_{n}} X_{n-1}\xrightarrow {p_{n-1}} \cdots \xrightarrow {p_{3}} X_{2}\xrightarrow {p_{2}} X_{1}\xrightarrow {p_{1}} *}$

с последовательностью карт, совместимых с обратной системой, такой что ${\displaystyle \phi _{n}:X\to X_{n}}$

1. Отображение индуцирует изоморфизм для каждого . ${\displaystyle \phi _{n}:X\to X_{n}}$ ${\displaystyle \pi _{i}(X)\to \pi _{i}(X_{n})}$ ${\displaystyle i\leq n}$
2. ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}$для . ^{[1] : 410} ${\displaystyle i>n}$
3. Каждое отображение является расслоением , и поэтому волокно является пространством Эйленберга–Маклейна . ${\displaystyle p_{n}:X_{n}\to X_{n-1}}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$

Первые два условия подразумевают, что также является -пространством. В более общем смысле, если является -связным, то является -пространством и все для являются стягиваемыми . Обратите внимание, что третье условие включается только факультативно некоторыми авторами. ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle K(\pi _{1}(X),1)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle i<n}$

Существование

Системы Постникова существуют на связных комплексах CW , ^{[1] : 354} и существует слабая гомотопическая эквивалентность между и его обратным пределом, поэтому ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\simeq \varprojlim {}X_{n}}$,

показывая, что является CW-приближением его обратного предела. Они могут быть построены на CW-комплексе путем итеративного уничтожения гомотопических групп. Если у нас есть отображение, представляющее гомотопический класс , мы можем выполнить выталкивание вдоль граничного отображения , убивая гомотопический класс. Для этот процесс может быть повторен для всех , давая пространство, которое имеет исчезающие гомотопические группы . Используя тот факт, что может быть построено из путем уничтожения всех гомотопических отображений , мы получаем отображение . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:S^{n}\to X}$ ${\displaystyle [f]\in \pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle S^{n}\to e_{n+1}}$ ${\displaystyle X_{m}}$ ${\displaystyle n>m}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X_{m})}$ ${\displaystyle X_{n-1}}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle S^{n}\to X_{n}}$ ${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$

Основная собственность

Одним из основных свойств башни Постникова, делающим ее столь эффективной для изучения при вычислении когомологий, является тот факт, что пространства гомотопны комплексу CW , который отличается от только ячейками размерности . ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \geq n+2}$

Гомотопическая классификация расслоений

Последовательность расслоений ^[2] имеет гомотопически определенные инварианты, то есть гомотопические классы отображений , дают хорошо определенный гомотопический тип . Гомотопический класс получается из рассмотрения гомотопического класса классифицирующей карты для волокна . Соответствующая классифицирующая карта — это ${\displaystyle p_{n}:X_{n}\to X_{n-1}}$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle [X]\in \operatorname {Ob} (hTop)}$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$

${\displaystyle X_{n-1}\to B(K(\pi _{n}(X),n))\simeq K(\pi _{n}(X),n+1)}$,

следовательно, гомотопический класс классифицируется гомотопическим классом ${\displaystyle [p_{n}]}$

${\displaystyle [p_{n}]\in [X_{n-1},K(\pi _{n}(X),n+1)]\cong H^{n+1}(X_{n-1},\pi _{n}(X))}$

называемый n- м инвариантом Постникова для , поскольку гомотопические классы отображений в пространства Эйленберга-Маклейна дают когомологии с коэффициентами в ассоциированной абелевой группе. ${\displaystyle X}$

Последовательность волокон для пространств с двумя нетривиальными гомотопическими группами

Одним из частных случаев гомотопической классификации является гомотопический класс пространств, для которых существует расслоение ${\displaystyle X}$

${\displaystyle K(A,n)\to X\to \pi _{1}(X)}$

давая гомотопический тип с двумя нетривиальными гомотопическими группами, и . Тогда, из предыдущего обсуждения, отображение расслоения дает класс когомологий в ${\displaystyle \pi _{1}(X)=G}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X)=A}$ ${\displaystyle BG\to K(A,n+1)}$

${\displaystyle H^{n+1}(BG,A)}$,

который также может быть интерпретирован как класс групповых когомологий . Это пространство можно считать более высокой локальной системой . ${\displaystyle X}$

Примеры башен Постникова

Постникова башняК(Г,н)

Одним из концептуально простейших случаев башни Постникова является случай пространства Эйленберга–Маклейна . Это дает башню с ${\displaystyle K(G,n)}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{i}\simeq *&{\text{for }}i<n\\X_{i}\simeq K(G,n)&{\text{for }}i\geq n\end{matrix}}}$

Постникова башняС2

Башня Постникова для сферы — это особый случай, первые несколько членов которого можно понять явно. Поскольку у нас есть первые несколько гомотопических групп из односвязности , теории степеней сфер и расслоения Хопфа, что дает для , следовательно ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle \pi _{k}(S^{2})\simeq \pi _{k}(S^{3})}$ ${\displaystyle k\geq 3}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\pi _{1}(S^{2})=&0\\\pi _{2}(S^{2})=&\mathbb {Z} \\\pi _{3}(S^{2})=&\mathbb {Z} \\\pi _{4}(S^{2})=&\mathbb {Z} /2.\end{matrix}}}$

Затем, и происходит из последовательности отката ${\displaystyle X_{2}=S_{2}^{2}=K(\mathbb {Z} ,2)}$ ${\displaystyle X_{3}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{3}&\to &*\\\downarrow &&\downarrow \\X_{2}&\to &K(\mathbb {Z} ,4),\end{matrix}}}$

который является элементом в

${\displaystyle [p_{3}]\in [K(\mathbb {Z} ,2),K(\mathbb {Z} ,4)]\cong H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })=\mathbb {Z} }$.

Если бы это было тривиально, то это подразумевало бы . Но это не так! Фактически, это отвечает за то, почему строгие бесконечные группоиды не моделируют гомотопические типы. ^[3] Вычисление этого инварианта требует больше работы, но может быть явно найдено. ^[4] Это квадратичная форма , полученная из расслоения Хопфа . Обратите внимание, что каждый элемент в дает другой гомотопический 3-тип. ${\displaystyle X_{3}\simeq K(\mathbb {Z} ,2)\times K(\mathbb {Z} ,3)}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S^{3}\to S^{2}}$ ${\displaystyle H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })}$

Гомотопические группы сфер

Одним из приложений башни Постникова является вычисление гомотопических групп сфер . ^[5] Для -мерной сферы мы можем использовать теорему Гуревича, чтобы показать, что каждая стягиваема для , поскольку теорема подразумевает, что нижние гомотопические группы тривиальны. Напомним, что существует спектральная последовательность для любого расслоения Серра , например, расслоение ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle S_{i}^{n}}$ ${\displaystyle i<n}$

${\displaystyle K(\pi _{n+1}(X),n+1)\simeq F_{n+1}\to S_{n+1}^{n}\to S_{n}^{n}\simeq K(\mathbb {Z} ,n)}$.

Затем мы можем сформировать гомологическую спектральную последовательность с -термами ${\displaystyle E^{2}}$

${\displaystyle E_{p,q}^{2}=H_{p}\left(K(\mathbb {Z} ,n),H_{q}\left(K\left(\pi _{n+1}\left(S^{n}\right),n+1\right)\right)\right)}$.

И первое нетривиальное отображение в , ${\displaystyle \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)}$

${\displaystyle d_{0,n+1}^{n+1}:H_{n+2}(K(\mathbb {Z} ,n))\to H_{0}\left(K(\mathbb {Z} ,n),H_{n+1}\left(K\left(\pi _{n+1}\left(S^{n}\right),n+1\right)\right)\right)}$,

эквивалентно записано как

${\displaystyle d_{0,n+1}^{n+1}:H_{n+2}(K(\mathbb {Z} ,n))\to \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)}$.

Если легко вычислить и , то мы можем получить информацию о том, как выглядит эта карта. В частности, если это изоморфизм, мы получаем вычисление . Для случая это можно вычислить явно, используя расслоение путей для , основное свойство башни Постникова для (давая , и теорему об универсальном коэффициенте , дающую . Более того, из-за теоремы Фрейденталя о подвеске это фактически дает стабильную гомотопическую группу, поскольку стабильна для . ${\displaystyle H_{n+1}\left(S_{n+1}^{n}\right)}$ ${\displaystyle H_{n+2}\left(S_{n+2}^{n}\right)}$ ${\displaystyle \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{4}\simeq S^{3}\cup \{{\text{cells of dimension}}\geq 6\}}$ ${\displaystyle H_{4}(X_{4})=H_{5}(X_{4})=0}$ ${\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \pi _{1}^{\mathbb {S} }}$ ${\displaystyle \pi _{n+k}\left(S^{n}\right)}$ ${\displaystyle n\geq k+2}$

Обратите внимание, что аналогичные методы можно применить с использованием башни Уайтхеда (ниже) для вычисления и , что даст первые две нетривиальные стабильные гомотопические группы сфер. ${\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)}$ ${\displaystyle \pi _{5}\left(S^{3}\right)}$

Постниковские башни спектров

Помимо классической башни Постникова, в стабильной гомотопической теории существует понятие башен Постникова, построенных на спектрах ^{[6] стр. 85-86} .

Определение

Для спектра башня Постникова представляет собой диаграмму в гомотопической категории спектров, заданную формулой ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\text{Ho}}({\textbf {Spectra}})}$

${\displaystyle \cdots \to E_{(2)}\xrightarrow {p_{2}} E_{(1)}\xrightarrow {p_{1}} E_{(0)}}$,

с картами

${\displaystyle \tau _{n}:E\to E_{(n)}}$

коммутируя с картами. Тогда эта башня является башней Постникова, если выполняются следующие два условия: ${\displaystyle p_{n}}$

1. ${\displaystyle \pi _{i}^{\mathbb {S} }\left(E_{(n)}\right)=0}$для , ${\displaystyle i>n}$
2. ${\displaystyle \left(\tau _{n}\right)_{*}:\pi _{i}^{\mathbb {S} }(E)\to \pi _{i}^{\mathbb {S} }\left(E_{(n)}\right)}$является изоморфизмом для , ${\displaystyle i\leq n}$

где — стабильные гомотопические группы спектра. Оказывается, у каждого спектра есть башня Постникова, и эту башню можно построить с помощью индуктивной процедуры, похожей на ту, что приведена выше. ${\displaystyle \pi _{i}^{\mathbb {S} }}$

Башня Уайтхед

При наличии комплекса CW существует дуальная конструкция к башне Постникова, называемая башней Уайтхеда . Вместо того, чтобы убивать все высшие гомотопические группы, башня Уайтхеда итеративно убивает низшие гомотопические группы. Это дается башней комплексов CW, ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \cdots \to X_{3}\to X_{2}\to X_{1}\to X}$,

где

1. Нижние гомотопические группы равны нулю, поэтому для . ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}$ ${\displaystyle i\leq n}$
2. Индуцированное отображение является изоморфизмом для . ${\displaystyle \pi _{i}:\pi _{i}(X_{n})\to \pi _{i}(X)}$ ${\displaystyle i>n}$
3. Карты представляют собой расслоения с волокнами . ${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$ ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n-1)}$

Подразумеваемое

Обратите внимание , что это универсальное покрытие , поскольку это покрывающее пространство с односвязным покрытием. Кроме того, каждое является универсально -связным покрытием . ${\displaystyle X_{1}\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{n}\to X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

Строительство

Пространства в башне Уайтхеда строятся индуктивно. Если мы построим a, убивая высшие гомотопические группы в , ^[7] мы получим вложение . Если мы позволим ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle X_{n}\to K(\pi _{n+1}(X),n+1)}$

${\displaystyle X_{n+1}=\left\{f\colon I\to K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right):f(0)=p{\text{ and }}f(1)\in X_{n}\right\}}$

для некоторой фиксированной базовой точки , то индуцированное отображение является расслоением со слоем, гомеоморфным ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X_{n+1}\to X_{n}}$

${\displaystyle \Omega K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)\simeq K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)}$,

и поэтому у нас есть расслоение Серра

${\displaystyle K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\to X_{n}\to X_{n-1}}$.

Используя длинную точную последовательность в теории гомотопий, мы имеем, что для , для , и, наконец, существует точная последовательность ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=\pi _{i}\left(X_{n-1}\right)}$ ${\displaystyle i\geq n+1}$ ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=\pi _{i}(X_{n-1})=0}$ ${\displaystyle i<n-1}$

${\displaystyle 0\to \pi _{n+1}\left(X_{n+1})\to \pi _{n+1}(X_{n}\right)\mathrel {\overset {\partial }{\rightarrow }} \pi _{n}K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\to \pi _{n}\left(X_{n+1}\right)\to 0}$,

где если средний морфизм является изоморфизмом, то другие две группы равны нулю. Это можно проверить, посмотрев на включение и заметив, что пространство Эйленберга–Маклана имеет клеточное разложение ${\displaystyle X_{n}\to K(\pi _{n+1}(X),n+1)}$

${\displaystyle X_{n-1}\cup \{{\text{cells of dimension}}\geq n+2\}}$; таким образом,

${\displaystyle \pi _{n+1}\left(X_{n}\right)\cong \pi _{n+1}\left(K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)\right)\cong \pi _{n}\left(K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\right)}$,

дающий желаемый результат.

Как гомотопическое волокно

Другой способ рассматривать компоненты в башне Уайтхеда — как гомотопическое волокно . Если мы возьмем

${\displaystyle {\text{Hofiber}}(\phi _{n}:X\to X_{n})}$

от башни Постникова мы получаем пространство, которое имеет ${\displaystyle X^{n}}$

${\displaystyle \pi _{k}(X^{n})={\begin{cases}\pi _{k}(X)&k>n\\0&k\leq n\end{cases}}}$

Башня спектров Уайтхеда

Двойственное понятие башни Уайтхеда можно определить аналогичным образом, используя гомотопические волокна в категории спектров. Если мы допустим

${\displaystyle E\langle n\rangle =\operatorname {Hofiber} \left(\tau _{n}:E\to E_{(n)}\right)}$

то это можно организовать в башню, дающую связные покрытия спектра. Это широко используемая конструкция ^{[8] [9] [10]} в теории бордизмов , потому что покрытия неориентированного спектра кобордизмов дают другие теории бордизмов ^[10] ${\displaystyle M{\text{O}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M{\text{String}}&=M{\text{O}}\langle 8\rangle \\M{\text{Spin}}&=M{\text{O}}\langle 4\rangle \\M{\text{SO}}&=M{\text{O}}\langle 2\rangle \end{aligned}}}$

например, струнный бордизм.

Башня Уайтхеда и теория струн

В геометрии Spin группа строится как универсальное покрытие Специальной ортогональной группы , так же как и расслоение, дающее первый член в башне Уайтхеда. Существуют физически релевантные интерпретации для более высоких частей в этой башне, которые можно прочитать как ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\to \operatorname {Spin} (n)\to SO(n)}$

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Fivebrane} (n)\to \operatorname {String} (n)\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)}$

где - -связное покрытие, называемое группой струн , и - -связное покрытие, называемое группой пятибран . ^{[11] [12]} ${\displaystyle \operatorname {String} (n)}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {Fivebrane} (n)}$ ${\displaystyle 7}$

Смотрите также

• Спектральная последовательность Адамса
• Пространство Эйленберга–Маклейна
• комплекс ХО
• Теория преград
• Стабильная гомотопическая теория
• Гомотопические группы сфер
• Высшая группа

Ссылки

1. Хэтчер, Аллен . Алгебраическая топология (PDF) .
2. Кан, Дональд В. (1963-03-01). "Индуцированные отображения для систем Постникова" (PDF) . Труды Американского математического общества . 107 (3): 432–450. doi : 10.1090/s0002-9947-1963-0150777-x . ISSN  0002-9947.
3. Симпсон, Карлос (1998-10-09). "Гомотопические типы строгих 3-группоидов". arXiv : math/9810059 .
4. Эйленберг, Сэмюэл ; Маклейн, Сондерс (1954). «О группах , III: Операции и препятствия». Annals of Mathematics . 60 (3): 513–557. doi :10.2307/1969849. ISSN  0003-486X. JSTOR  1969849. ${\displaystyle H(\Pi ,n)}$
5. Laurențiu-George, Maxim. "Спектральные последовательности и гомотопические группы сфер" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 19 мая 2017 г.
6. О спектрах Тома, ориентируемости и кобордизмах. Springer Monographs in Mathematics. Берлин, Гейдельберг: Springer . 1998. doi :10.1007/978-3-540-77751-9. ISBN 978-3-540-62043-3.
7. Максим, Лауренциу. «Конспект лекций по теории гомотопий и ее приложениям» (PDF) . стр. 66. Архивировано (PDF) из оригинала 16 февраля 2020 г.
8. Хилл, Майкл А. (2009). «Струнный бордизм BE8 и BE8 × BE8 через размерность 14». Illinois Journal of Mathematics . 53 (1): 183–196. doi : 10.1215/ijm/1264170845 . ISSN  0019-2082.
9. Бунке, Ульрих; Науманн, Нико (2014-12-01). «Вторичные инварианты для струнных бордизмов и топологических модулярных форм». Bulletin des Sciences Mathématiques . 138 (8): 912–970. doi : 10.1016/j.bulsci.2014.05.002 . ISSN  0007-4497.
10. Szymik, Markus (2019). «Струнный бордизм и хроматические характеристики». В Daniel G. Davis; Hans-Werner Henn; JF Jardine; Mark W. Johnson; Charles Rezk (ред.). Теория гомотопий: инструменты и приложения . Contemporary Mathematics. Т. 729. С. 239–254. arXiv : 1312.4658 . doi :10.1090/conm/729/14698. ISBN 9781470442446. S2CID  56461325.
11. "Математическая физика – Физическое применение башни Постникова, String(n) и Fivebrane(n)". Physics Stack Exchange . Получено 2020-02-16 .
12. "at.algebraic topology – Какое отношение башни Уайтхеда имеют к физике?". MathOverflow . Получено 2020-02-16 .

• Постников, Михаил М. (1951). «Определение групп гомологии пространства с помощью гомотопических инвариантов». Доклады Академии наук СССР . 76 : 359–362.
• Максим, Лауренциу. «Конспект лекций по теории гомотопий и ее приложениям» (PDF) . www.math.wisc.edu .
• Определение вторых групп гомологий и когомологий пространства с помощью гомотопических инвариантов - дает доступные примеры инвариантов Постникова
• Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-79540-1.
• Чжан. "Башни Постникова, башни Уайтхеда и их приложения (рукописные заметки)" (PDF) . www.math.purdue.edu . Архивировано из оригинала (PDF) 2020-02-13.