Составная кривая Безье

Геометрическая форма

Безье — красный безье проходит через синие вершины, зеленые точки — это контрольные точки, определяющие форму соединяющихся кривых Безье.

В геометрическом моделировании и компьютерной графике составная кривая Безье или сплайн Безье представляет собой сплайн , составленный из кривых Безье , который, по крайней мере, непрерывен . Другими словами, составная кривая Безье — это серия кривых Безье, соединенных концами, где последняя точка одной кривой совпадает с начальной точкой следующей кривой. В зависимости от применения могут быть добавлены дополнительные требования к плавности (например , непрерывности). ^[1] ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle C^{2}}$

Непрерывный составной Безье также называется полибезье по сходству с ломаной линией , но в то время как в полилиниях точки соединены прямыми линиями, в полибезье точки соединены кривыми Безье. Безьегон (также называемый безигоном ) — это замкнутый путь, составленный из кривых Безье . Он похож на многоугольник тем, что соединяет набор вершин линиями, но в то время как в многоугольниках вершины соединены прямыми линиями, в безьергоне вершины соединены кривыми Безье. ^{[2] [3] [4]} Некоторые авторы даже называют составную кривую Безье «сплайном Безье»; ^[5] последний термин, однако, используется другими авторами как синоним (несоставной) кривой Безье, и они добавляют слово «составной» перед «сплайном Безье», чтобы обозначить составной случай. ^[6] ${\displaystyle C^{0}}$

Возможно, наиболее распространенным применением составного Безье является описание контура каждой буквы в файле PostScript или PDF . Такие контуры состоят из одного безьергона для открытых букв или из нескольких безьергонов для закрытых букв. Современные системы векторной графики и компьютерных шрифтов, такие как PostScript , Asymptote , Metafont , OpenType и SVG , используют составные кривые Безье, состоящие из кубических кривых Безье (кривые 3-го порядка) для рисования изогнутых форм.

Функция Sinc , аппроксимированная с помощью гладкого сплайна Безье, т. е. серии плавно соединенных кривых Безье.

Плавное соединение

Обычно желаемым свойством сплайнов является соединение отдельных кривых с заданным уровнем параметрической или геометрической непрерывности . Хотя отдельные кривые сплайна полностью непрерывны в пределах своего интервала, всегда существует некоторый разрыв в местах пересечения различных кривых. ${\displaystyle C^{\infty }}$

Сплайн Безье уникален тем, что это один из немногих сплайнов, который не гарантирует более высокую степень непрерывности, чем . Однако можно организовать контрольные точки, чтобы гарантировать различные уровни непрерывности соединений, хотя это может привести к потере локального контроля, если ограничение слишком строгое для данной степени сплайна Безье. ${\displaystyle C^{0}}$

Плавное соединение кубического Безье

Учитывая две кубические кривые Безье с контрольными точками и соответственно, ограничения для обеспечения непрерывности при можно определить следующим образом: ${\displaystyle [\mathbf {P} _{0},\mathbf {P} _{1},\mathbf {P} _{2},\mathbf {P} _{3}]}$ ${\displaystyle [\mathbf {P} _{3},\mathbf {P} _{4},\mathbf {P} _{5},\mathbf {P} _{6}]}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{3}}$

• ${\displaystyle C^{0}/G^{0}}$(позиционная непрерывность) требует, чтобы они встречались в одной и той же точке, что по определению делают все сплайны Безье. В этом примере общей точкой является ${\displaystyle \mathbf {P} _{3}}$

• ${\displaystyle C^{1}}$(непрерывность скорости) требует, чтобы соседние контрольные точки вокруг соединения были зеркалами друг друга. Другими словами, они должны следовать ограничению ${\displaystyle \mathbf {P} _{4}=2\mathbf {P} _{3}-\mathbf {P} _{2}}$

• ${\displaystyle G^{1}}$(непрерывность касательной) требует, чтобы соседние контрольные точки были коллинеарны соединению. Это менее строго, чем непрерывность, и оставляет дополнительную степень свободы, которую можно параметризовать с помощью скаляра . Тогда ограничение может быть выражено выражением ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \beta _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{4}=\mathbf {P} _{3}+(\mathbf {P} _{3}-\mathbf {P} _{2})\beta _{1}}$

Хотя следующие ограничения непрерывности возможны, они редко используются с кубическими сплайнами Безье, поскольку другие сплайны, такие как B-сплайн или β-сплайн ^[7], естественным образом справляются с более высокими ограничениями без потери локального управления.

• ${\displaystyle C^{2}}$(непрерывность ускорения) ограничена . Однако применение этого ограничения ко всему кубическому сплайну Безье приведет к каскадной потере локального контроля над точками касания. Кривая по-прежнему будет проходить через каждую третью точку сплайна, но контроль над ее формой будет потерян. Чтобы добиться непрерывности с использованием кубических кривых, вместо этого рекомендуется использовать кубический однородный B-сплайн, поскольку он обеспечивает непрерывность без потери локального управления за счет отсутствия гарантии прохождения через определенные точки. ${\displaystyle \mathbf {P} _{5}=\mathbf {P} _{1}+4(\mathbf {P} _{3}-\mathbf {P} _{2})}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle C^{2}}$

• ${\displaystyle G^{2}}$(непрерывность кривизны) ограничивается , оставляя две степени свободы по сравнению с , в виде двух скаляров и . Возможна более высокая степень геометрической непрерывности, хотя она становится все более сложной ^[8]. ${\displaystyle \mathbf {P} _{5}=\mathbf {P} _{3}+(\mathbf {P} _{3}-\mathbf {P} _{2})(2\beta _{1}+\beta _{1}^{2}+\beta _{2}/2)+(\mathbf {P} _{1}-\mathbf {P} _{2})\beta _{1}^{2}}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle \beta _{1}}$ ${\displaystyle \beta _{2}}$

• ${\displaystyle C^{3}}$(непрерывность толчка) ограничена . Применение этого ограничения к кубическому сплайну Безье приведет к полной потере локального управления, поскольку весь сплайн теперь полностью ограничен и определяется контрольными точками первой кривой. Фактически, это, возможно, больше не сплайн, поскольку его форма теперь эквивалентна бесконечной экстраполяции первой кривой, что делает ее не только непрерывной, но и , поскольку соединения между отдельными кривыми больше не существуют. ${\displaystyle \mathbf {P} _{6}=\mathbf {P} _{3}+(\mathbf {P} _{3}-\mathbf {P} _{0})+6(\mathbf {P} _{1}-\mathbf {P} _{2}+\mathbf {P} _{3}-\mathbf {P} _{2})}$ ${\displaystyle C^{3}}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$

Аппроксимация дуг окружности

Если примитивы дуг окружности не поддерживаются в конкретной среде, их можно аппроксимировать кривыми Безье . ^[9] Обычно для аппроксимации круга используются восемь квадратных сегментов ^{[10] или четыре кубических сегмента.} Желательно найти длину контрольных точек, при которой ошибка аппроксимации будет наименьшей для заданного числа кубических отрезков. ${\displaystyle \mathbf {k} }$

Использование четырех кривых

Учитывая только единичную дугу окружности с углом 90 градусов в первом квадранте , мы определяем конечные точки и с контрольными точками и соответственно как: ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {A'} }$ ${\displaystyle \mathbf {B'} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=[0,1]\\\mathbf {A'} &=[\mathbf {k} ,1]\\\mathbf {B'} &=[1,\mathbf {k} ]\\\mathbf {B} &=[1,0]\\\end{aligned}}}$

Из определения кубической кривой Безье имеем:

${\displaystyle \mathbf {C} (t)=(1-t)^{3}\mathbf {A} +3(1-t)^{2}t\mathbf {A'} +3(1-t)t^{2}\mathbf {B'} +t^{3}\mathbf {B} }$

Используя точку как середину дуги, мы можем написать следующие два уравнения: ${\displaystyle \mathbf {C} (t=0.5)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {C} &={\frac {1}{8}}\mathbf {A} +{\frac {3}{8}}\mathbf {A'} +{\frac {3}{8}}\mathbf {B'} +{\frac {1}{8}}\mathbf {B} \\\mathbf {C} &={\sqrt {1/2}}={\sqrt {2}}/2\end{aligned}}}$

Решение этих уравнений для координаты x (и тождественно для координаты y) дает:

${\displaystyle {\frac {0}{8}}\mathbf {+} {\frac {3}{8}}\mathbf {k} +{\frac {3}{8}}+{\frac {1}{8}}={\sqrt {2}}/2}$

${\displaystyle \mathbf {k} ={\frac {4}{3}}({\sqrt {2}}-1)\approx 0.5522847498}$

Однако обратите внимание, что полученная кривая Безье полностью находится за пределами круга с максимальным отклонением радиуса около 0,00027. Добавляя небольшую поправку к промежуточным точкам, таким как

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A'} &=[\mathbf {k} +0.0009,1-0.00103]\\\mathbf {B'} &=[1-0.00103,\mathbf {k} +0.0009],\end{aligned}}}$

величина отклонения радиуса до 1 уменьшается примерно в 3 раза, до 0,000068 (за счет выводимости аппроксимируемой окружной кривой в конечных точках).

Общий случай

Мы можем аппроксимировать окружность радиуса произвольным количеством кубических кривых Безье. Пусть дуга начинается в точке и заканчивается в точке , расположенной на равных расстояниях выше и ниже оси X, охватывая дугу угла : ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \theta =2\phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} _{x}&=R\cos(\phi )\\\mathbf {A} _{y}&=R\sin(\phi )\\\mathbf {B} _{x}&=\mathbf {A} _{x}\\\mathbf {B} _{y}&=-\mathbf {A} _{y}\end{aligned}}}$

Контрольные точки можно записать как: ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A'} _{x}&={\frac {4R-\mathbf {A} _{x}}{3}}\\\mathbf {A'} _{y}&={\frac {(R-\mathbf {A} _{x})(3R-\mathbf {A} _{x})}{3\mathbf {A} _{y}}}\\\mathbf {B'} _{x}&=\mathbf {A'} _{x}\\\mathbf {B'} _{y}&=-\mathbf {A'} _{y}\end{aligned}}}$

Примеры

• 
  Восьмисегментный квадратичный полибезье (красный), аппроксимирующий окружность (черный) с контрольными точками
• 
  Четырехсегментный кубический полибезье (красный), аппроксимирующий круг (черный) с контрольными точками

Шрифты

В шрифтах TrueType используются составные кривые Безье, состоящие из квадратичных кривых Безье (кривые 2-го порядка). Чтобы описать типичный дизайн шрифта в виде компьютерного шрифта с любой заданной точностью, для Безье 3-го порядка требуется меньше данных, чем для Безье 2-го порядка; а для этого, в свою очередь, требуется меньше данных, чем для серии прямых линий. Это верно, даже несмотря на то, что любой сегмент прямой требует меньше данных, чем любой сегмент параболы; и этот параболический сегмент, в свою очередь, требует меньше данных, чем любой сегмент кривой 3-го порядка.

Смотрите также

• B-сплайн

Рекомендации

1. Евгений В. Шикин; Александр Иванович Плис (14 июля 1995 г.). Руководство по сплайнам для пользователя. ЦРК Пресс. п. 96. ИСБН 978-0-8493-9404-1.
2. API-интерфейс Microsoft Polybezier
3. Справочник по API Papyrus beziergon
4. «Лучшая коробка с мелками» . ИнфоМир. 1991.
5. Ребаза, Хорхе (24 апреля 2012 г.). Первый курс прикладной математики. Джон Уайли и сыновья. ISBN 9781118277157.
6. (Фирма), Wolfram Research (13 сентября 1996 г.). Стандартные дополнительные пакеты Mathematica ® 3.0. Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521585859.
7. Гудман, TNT (9 декабря 1983 г.). «Свойства β-сплайнов». Журнал теории приближения . 44 (2): 132–153. дои : 10.1016/0021-9045(85)90076-0 .
8. ДеРоуз, Энтони Д. (1 августа 1985 г.). «Геометрическая непрерывность: независимая от параметризации мера непрерывности для компьютерного геометрического проектирования».
9. Станислав, Г. Адам. «Рисование круга с помощью кривых Безье» . Проверено 10 апреля 2010 г.
10. «Оцифровка буквенных конструкций» . Яблоко . Проверено 26 июля 2014 г.
11. ДеВенеза, Ричард. «Рисование круга с помощью кривых Безье» (PDF) . Проверено 10 апреля 2010 г.